2.4指数与指数函数

指数函数运算法则公式指数函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在学习指数函数时，运算法则是其中的重要内容之一。

本文将介绍指数函数运算法则的公式及其具体应用。

1. 指数函数的定义指数函数是以自然对数e为底的函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图像呈现出不断增长或不断减小的特点，是一种常见的增长模式。

2. 指数函数运算法则公式指数函数的运算法则包括指数相加、指数相减、指数相乘、指数相除等几种情况。

下面将分别介绍这几种情况的运算法则公式及其推导过程。

2.1 指数相加当指数相加时，底数相同，指数相加。

公式如下：a^m * a^n = a^(m+n)其中a为底数，m和n为指数。

这个公式的推导过程可以通过对指数相加的性质进行分析得出。

2.2 指数相减当指数相减时，底数相同，指数相减。

公式如下：a^m / a^n = a^(m-n)其中a为底数，m和n为指数。

这个公式的推导过程可以通过对指数相减的性质进行分析得出。

2.3 指数相乘当指数相乘时，底数相同，指数相乘。

公式如下：(a^m)^n = a^(m*n)其中a为底数，m和n为指数。

这个公式的推导过程可以通过对指数相乘的性质进行分析得出。

2.4 指数相除当指数相除时，底数相同，指数相除。

公式如下：(a^m) / (a^n) = a^(m-n)其中a为底数，m和n为指数。

这个公式的推导过程可以通过对指数相除的性质进行分析得出。

3. 指数函数运算法则的应用指数函数运算法则在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在数学中，它可以用来简化指数函数的运算，化简复杂的指数表达式。

在物理中，它可以用来描述指数增长或指数衰减的过程。

在工程中，它可以用来解决与指数函数相关的实际问题。

4. 总结指数函数运算法则是指数函数的重要内容之一，掌握了这些运算法则可以帮助我们更好地理解和运用指数函数。

本文介绍了指数函数运算法则的公式及其具体应用，希望对读者有所帮助。

2014届高考一轮复习收尾精炼：指数与指数函数一、选择题1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，x ∈[－1，，4x ，x ∈[0，1]，则f (log 43)等于( )．A.13 B ．3 C.14D ．4 2．函数f (x )＝3·4x －2x在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( )．A ．－112B ．0C ．2D ．103．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )．4．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2，则a ， b ，c 的大小关系为( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a5．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 6．已知函数f (x )＝9x －m ·3x＋m ＋1在x ∈(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )．A ．2－22＜m ＜2＋2 2B ．m ＜2C ．m ＜2＋2 2D ．m ≥2＋2 27．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x .若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013等于( )．A ．2 013B ． 2C ．12D ．－2二、填空题8．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为__________．9．已知f (x )＝a x ＋a －x(a ＞0且a ≠1)，且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是__________．10．(2013届湖南长沙一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ≤0，2x －3，x >0，则使得f (x )＞1的x 的取值范围是__________．三、解答题11．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值．12．已知函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题1．B 解析：∵0＜log 43＜1， ∴f (log 43)＝4log 34＝3.2．C 解析：设t ＝2x， ∵x ∈[0，＋∞)，∴t ≥1.∵y ＝3t 2－t (t ≥1)的最小值为2， ∴函数f (x )的最小值为2.3．B 解析：y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，a －x，x <0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x(a ＞1)的图象相同； 当x ＜0时，y ＝a －x 与y ＝a x的图象关于y 轴对称，由此判断B 正确．4．A 解析：∵a ＝40.8＝21.6，b ＝80.46＝21.38，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2＝21.2,1.6＞1.38＞1.2，y ＝2x为R 上的增函数，∴a ＞b ＞c .5．B 解析：利用对称性，三点到直线x ＝1距离越远函数值越大．6．C 解析：(方法一)令t ＝3x ，则问题转化为函数g (t )＝t 2－mt ＋m ＋1在t ∈(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，1－m ＋1＋m ≥0，解得m ＜2＋2 2.(方法二)令t ＝3x，问题转化为m ＜t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)，即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小，又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2≥2(t －1)2t －1＋2＝2＋22， 所以m ＜2＋2 2.7．C 解析：设2＋x ＝t ，∴x ＝t －2. ∴f (t )＝f [2－(t －2)] ＝f (4－t )＝f (t －4)． ∴f (x )的周期为4.∴a 2 013＝f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.二、填空题8．m ＜n 解析：a ＝5－12∈(0,1)，函数f (x )＝a x在R 上递减，由f (m )＞f (n )得m ＜n .9．12 解析：f (1)＝a ＋a －1＝3，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝a 0＋a 0＋a 1＋a －1＋a 2＋a －2＝2＋3＋(a ＋a －1)2－2＝12.10．(－2,0]∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，3x ＋2>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x －3>1， 得－2＜x ≤0或x ＞2.三、解答题11．解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}． f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512.∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x＜2，∴当2x＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．12．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x .由条件可知2x－12x ＝2，即22x －2×2x－1＝0，解得2x＝1± 2. ∵2x＞0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t－1)． ∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]． 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

第4课时 指数函数§2.4 指数与指数函数一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2010·镇江模拟)若0<x <1，则2x, 2-x ，0.2x 的大小关系是________．解析 取x ＝12，则212＝2，2－12＝22，0.212＝0.2，∴2>22>0.2，即2x >2－x >0.2x .答案 2x >2－x >0.2x2．(2009·江苏，10)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析 ∵0<a ＝5－12<1，∴函数f (x )＝a x 在R 上是减函数． 又∵f (m )>f (n )， ∴m <n . 答案 m <n 3．(2009·山东烟台模拟)函数y ＝2-|x |的单调增区间是______________．解析 画出函数y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－xx ≥02x x <0的图象，如图．答案 (-∞，0]4．(2010·泰州月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x <0，g (x )， x >0若f (x )是奇函数，则g (2)＝________.解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＝－f (2)∴f (2)＝－14，又∵f (2)＝g (2)，∴g (2)＝－14.答案 －145．(2010·扬州调研)若函数y ＝4x －3·2x ＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞， 0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为________． 解析 因为y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， 所以1≤(2x )2－3·2x ＋3≤7，所以x ≤0或1≤x ≤2. 答案 A ＝B6．(2010·南京调研)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是______________．解析 f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋1>1.故0<a ≤1. 答案 (0,1]7．(2010·锦州模拟)函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______．解析 当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32；当0<a <1时，y ＝a x在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或a ＝32.答案 12或328．(2010·盐城模拟)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则 f (b x )________f (c x )．(用“≤”，“≥”，“>”，“<”填空) 解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )．∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )，若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )， ∴f (3x )≥f (2x )． 答案 ≤ 9．(2009·湖北黄冈四市联考)设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b ＝________.解析 因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]， 所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以有a ＋b ＝1. 答案 1二、解答题(本大题共3小题，共46分) 10．(14分)(2009·广东韶关一模)要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．解 由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．又∵－1＋2x 4x ＝－⎝⎛⎭⎫122x －⎝⎛⎭⎫12x＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋122＋14，∵x ∈(－∞，1]，∴⎝⎛⎭⎫12x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t ＋122＋14， t ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 则f (t )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为减函数， f (t )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎝⎛⎭⎫12＋122＋14＝－34， 即f (t )∈⎝⎛⎦⎤－∞，－34. ∵a >f (t )，在[12，＋∞)上恒成立，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 11．(16分)(2009·江苏苏北四市期末)设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立． (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图 象关于直线y ＝x 对称，求h (x )； (3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域． 解 (1)由f (0)＝2，得b ＝1，由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0， 由a x >0得a ＝2， 所以f (x )＝2x ＋1.(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )应该在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)．(3)由已知得y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[54，2]，所以函数y ＝g (x )＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[54，2])．由于函数g (x )＝2x ＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[54，2]上均为增函数，因此当x ＝54时，y ＝242－1，当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[54，2])的值域为[242－1,5]．12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝(13)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解 (1)因为x ∈[－1,1]，所以(13)x ∈[13，3]．设(13)x ＝t ，t ∈[13，3]， 则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，h (a )＝φ(13)＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3 (a <13)3－a 2(13≤a ≤3)12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 212－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得m＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在．§2.5 对数与对数函数一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 ∵a ＝log 3π>1，b ＝12log 23<1，c ＝12log 32<1，∴a >b ，a >c .又log 23log 32＝lg 23lg 22>1，∴b >c ，∴a >b >c . 答案 a >b >c 2．(2009·福建厦门模拟)函数y ＝lg x ＋lg(x －1)的定义域为A ，y ＝lg(x 2－x )的定义域为B ，则 A 、B 的关系是______________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1>0，∴A ＝{x |x >1}，由x 2－x >0得x >1或x <0，∴B ＝{x |x >1或x <0}，∴A B . 答案 A B3．(2009·广东改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ， a )则f (x )＝__________________.解析 由y ＝a x 得，x ＝log a y ，即f (x )＝log a x ，由于a ＝log a a ＝12，因此f (x )＝log 12x .答案 log 12x4．(2009·南京十三中三模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ， x <1，log a x ， x ≥1是R 上的减函数，那么a 的取值范围是________________．解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a －1<0(3a －1)＋4a ≥0，解得17≤a <13.答案 [17，13)5．(2010·江苏泰州月考)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是__________．解析 由x 2－3x ＋2>0得x <1或x >2，当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2－3x ＋2单调递减，而0<12<1，由复合函数单调性可知y ＝log 12(x 2－3x ＋2)在(－∞，1)上是单调递增的，在(2，＋∞)上是单调递减的． 答案 ()－∞，1 6．(2010·泰州模拟)方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． 解析 log 3(x 2－10)＝log 33x . ∴x 2－10＝3x .∴x 2－3x －10＝0. ∴x ＝－2或x ＝5. 检验知x ＝5适合． 答案 57．(2009·辽宁改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则 f (2＋log 23)＝________.解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1) ＝f (3＋log 23)．又因为3＋log 23>4，故f (3＋log 23) ＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·13＝124.答案 1248．(2010·淮北调研)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值 为________．解析 ∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性． ∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12.答案 129．(2009·广东五校联考)设a >0，a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________________． 解析 设t ＝lg(x 2－2x ＋3)＝lg[(x －1)2＋2]． 当x ＝1时，t min ＝lg 2.又函数y ＝f (x )有最大值，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0，得0<x 2－5x ＋7<1， 解得2<x <3.故不等式解集为{x |2<x <3}． 答案 (2,3)二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.(14分)(2010·江苏启东中学模拟)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax －a )在区间(－∞，－12)上为增函数，求a 的取值范围．解 令g (x )＝x 2－ax －a .∵f (x )＝log 12g (x )在(－∞，－12)上为增函数，∴g (x )应在(－∞，－12)上为减函数且g (x )>0在(－∞，－12)上恒成立．因此⎩⎨⎧a 2≥－12g (－12)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－114＋a 2－a >0.解得－1≤a <12，故实数a 的取值范围是－1≤a <12.11．(16分)(2010·舟山调研)已知函数y ＝2log a (x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．解 因为μ(x )＝x 2－2ax －3在(－∞，a ]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数，要使y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0＜a 2＜1，即0＜a ＜1或－1＜a ＜0，且有 ⎩⎪⎨⎪⎧μ(－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，得－14≤a ＜0或0＜a ＜1.12．(16分)(2010·扬州模拟)已知函数f (x )＝log a x ＋bx －b(a >0，且a ≠1，b >0)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性．解 (1)由x ＋bx －b>0⇒(x ＋b )(x －b )>0.解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．(2)∵f (－x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋b －x －b＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b x ＋b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则u (x )＝1＋2bx －b.它在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．∴当0<a <1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数； 当a >1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．§2.6 幂函数一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2010·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________.解析 由已知得2＝4α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，∴log 2f (2)＝log 2212＝12.答案 122．(2009·江苏靖江调研)设α∈{－2，－12，12，2}，则使函数y ＝x α为偶函数的所有α的和为____________．解析 符合题意的α为－2和2，则－2＋2＝0. 答案 0 3．(2009·山东临沂模拟)已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________________． 解析 由指数函数y ＝0.8x 知， ∵0.7<0.9，∴0.80.9<0.80.7<1， 即b <a ，又c ＝1.20.8>1，∴b <a <c . 答案 b <a <c4．(2010·连云港模拟)幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －5m －3，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0.∴m ＝2.答案 25．(2010·盐城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1， x ≤0，x 12， x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________________．解析 f (x 0)>1，当x 0≤0时，2－x 0－1>1，即2－x 0>2，－x 0>1，∴x 0<－1；当x 0>0时，x 120>1，∴x 0>1.综上，x 0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)6．(2010·西安调研)函数y ＝(0.5x －8)－12的定义域是______________．解析 由题意知0.5x －8>0，即(12)x >8，即2－x >23，∴－x >3，则x <－3. 答案 (－∞，－3)7．(2009·宝城第一次月考)若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则a 的取值范围是______________．解析 ∵(a ＋1)－13<(3－2a )－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>03－2a >0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<03－2a <0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a ＋1<0 解之得23<a <32或a <－1.答案 23<a <32或a <－18．(2009·南京二模)给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，都有函 数值f (x 0)∈D ，则称函数y ＝f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0,1)，则函数 ①f 1(x )＝3x －1；②f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1；③f 3(x )＝1－x ；④f 4(x )＝x 12，其中在D 上封闭的是________．(填序号即可)解析 ∵f 1⎝⎛⎭⎫13＝0∉(0,1)，∴f 1(x )在D 上不封闭．∵f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1在(0,1)上是减函数，∴0＝f 2(1)<f 2(x )<f 2(0)＝1，∴f 2(x )适合． ∵f 3(x )＝1－x 在(0,1)上是减函数，∴0＝f 3(1)<f 3(x )<f 3(0)＝1，∴f 3(x )适合．又∵f 4(x )＝x 12在(0,1)上是增函数，且0＝f 4(0)<f 4(x )<f 4(1)＝1，∴f 4(x )适合． 答案 ②③④9．(2010·泉州模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点(18，24)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)； ②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)； ③f (x 1)x 1>f (x 2)x 2； ④f (x 1)x 1<f (x 2)x 2. 其中正确结论的序号是________________．解析 依题意，设f (x )＝x α，则有(18)α＝24，即(18)α＝(18)12，所以α＝12，于是f (x )＝x 12.由于函数f (x )＝x 12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1<x 2时，必有f (x 1)<f (x 2)，从而有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f (x 1)x 1，f (x 2)x 2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，所以③正确．答案 ②③二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.(14分)(2009·辽宁丹东检测)已知幂函数y ＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域内图象关于y 轴对称，求p 的值．解 由题意知：－12p 2＋p ＋32＝－12(p －1)2＋2.因为p ∈Z ，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域上为偶函数，所以p ＝1.11．(16分)(2010·四平调研)已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．解 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.又n ＝2k ，k ∈Z ，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13.∴f (x )在R 上单调递增．∴f (x 2－x )>f (x ＋3)，∴x 2－x >x ＋3. 解得x <－1或x >3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝x1＋x，(1)画出f (x )的草图；(2)由图象指出f (x )的单调区间；(3)设a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c ，证明：f (a )＋f (b )＞f (c )．(1)解 由xx x f +=1)(得 .111)(+-=x x f ∴f(x)的图象可由xy 1-=的图象向左平移1个 单位，再向上平移1个单位得到如图． (2)解 由图象知(－∞，－1)，(－1，＋∞) 均为f (x )的单调增区间．(3)证明 ∵f (x )在(－1，＋∞)为增函数， a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ＞0，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b＞0，a ＋b ＞c ＞0， ∴f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b ＞c1＋c＝f (c )，∴f (a )＋f (b )＞f (c )．一、填空题1．(2010·盐城中学高三上学期期中考试)函数y ＝a x ＋2－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (其坐标与a 无关)，则A 的坐标为________． 答案：(－2，－1)2．(苏北四市高三联考)设方程2x ＋x ＝4的根为x 0，若x 0∈，则整数k ＝________.解析：根据题意，当x ＝12时，2x ＋x ＜4；当x ＝32时，2x ＋x ＞4；所以x 0∈⎝⎛⎭⎫12，32，故 整数k ＝1. 答案：1 3．若x >0，则＝________.解析：＝－23.答案：－234．(2010·淮安市学科学习能力评价测试)已知，则a ，b ，c按从小到大顺序排列为________．解析：，∴b <a <c .答案：b <a <c 5．＝________.解析：原式＝－1＋(－2)－4＝52－1＋116＝2516.答案：25166．设f (x )＝4x 4x ＋2，则f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫311＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011＝________. 解析：可以求得f (x )＋f (1－x )＝1，于是有f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫1011＝f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫911＝f ⎝⎛⎭⎫311＋f ⎝⎛⎭⎫811＝f ⎝⎛⎭⎫411＋f ⎝⎛⎭⎫711＝f ⎝⎛⎭⎫511＋f ⎝⎛⎭⎫611＝1， 共有5组，所以原式＝5. 答案：57. (南京市高三调研测试)如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图象交于A 、B 两点，过 B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C .若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________． 解析：设C (a,4a)，所以A (a,2a)，B (2a,4a)，又O ，A ，B 三点共线，所以2a a ＝4a2a，故4a＝2×2a ，所以2a ＝0(舍去)或2a ＝2，即a ＝1，所以点A 的坐标是(1,2)． 答案：(1,2) 二、解答题8．计算：(1) ；(2)⎝⎛⎭⎫142＋＋3＋23－2－(1.03)0·⎝⎛⎭⎫－623.解：(1)原式＝＝11＋3－＋23－2×＝11＋3－3＋8－8＝11.(2)原式＝116＋＋(3＋2)2(3)2－(2)2－⎝⎛⎭⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 9．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明：设－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝＝＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1 ＝＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).∵－1<x 1<x 2，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，∴3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)<0.∵－1<x 1<x 2，且a >1，.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 10．(2010·银川一中月考)设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(1)解：依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ，∴⎝⎛⎭⎫a －1a ·⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立，由此得到a －1a ＝0，即a 2＝1.又∵a >0， ∴a ＝1.(2)证明：方法一：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝＝＝＝，由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 1＋x 2>0，， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 方法二：由f (x )＝e x＋e －x，得f ′(x )＝e x －e －x＝e 2x －1ex .当x ∈(0，＋∞)时，有e x >0，e 2x －1>0，此时f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．1．(2010·广东东莞模拟)已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且 a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 解：(1)函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以，a 2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)．由x ≥0得，x －1≥－1，于是0＜⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以，所求的函数值域为(0,2]．2．已知，求的值．解：设＝t ，则＝1t ，t ＋1t ＝3，t 2＋1t2＋2＝9.原式＝t 3＋1t 3＋2t 4＋1t 4＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t ⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2－1＋2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 22－2＋3＝3(7－1)＋249－2＋3＝25.第5课时 对数函数一、填空题1．(南通市调研考试)设x 0是方程8－x ＝lg x 的解，且x 0∈(k ，k ＋1)(k ∈Z)，则k ＝ ________.解析：将原方程移项后，构造函数f (x )＝8－x －lg x ，因f (7)>0，f (8)<0，所以k ＝7. 答案：72．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23等于________． 解析：∵lg x －lg y ＝a ，∴lg x y ＝a ，lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝lg ⎝⎛⎭⎫x 23⎝⎛⎭⎫y 23＝lg ⎝⎛⎭⎫x y 3＝3lg x y ＝3a . 答案：3a3．函数f (x )＝lg|x |的奇偶性是________单调减区间是________．解析：函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)．又f(-x)=lg |-x |=lg|x|=f(x )，所以f(x)为偶函 数．画出函数y=lg|x|的图象，如图：由图可知，f(x)的单调减区间是(-∞，0)． 答案：偶函数 (-∞，0)4．函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值为________． 解析：∵0<a <1，∴f (x )在[a,2a ]上为减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝1.答案：15．(2010·广东东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)3x (x ≤0)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫13＝－1，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝f (－1)＝3－1＝13. 答案：136．(盐城市调研考试)已知函数f (x )＝e －x ＋ln x (e 是自然对数的底数)，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0<x 2，则f (x 1)________f (x 2)(填“>”，“≥”，“<”，“≤”)．解析：∵f (x )＝e －x＋ln x ，∴f ′(x )＝－e －x＋1x ＝e x－xe x x(x >0，e x >1)．令y ＝e x －x ，则y ′＝e x －1>0，∴y ＝e x －x 在(0，＋∞)上递增， ∴当x ∈(0，＋∞)时， y >1.∴f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上为递增函数． ∵0<x 1<x 0<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)． 答案：<7．已知2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________.解析：∵2a ＝10,5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510， ∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝1.答案：1 二、解答题8．(原创题)已知函数f (x )＝在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求a 的取 值范围．解：令g (x )＝x 2－ax －a .∵f (x )＝在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数， ∴g (x )应在⎝⎛⎫－∞，－12上为减函数且g (x )>0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立．因此⎩⎨⎧a 2≥－12g ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－114＋a 2－a ≥0.解得：－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是－1≤a ≤12.9．(2010·山东德州模拟)已知函数f (x )＝1x －log 21＋x 1－x.(1)求f (x )的定义域； (2)判断并证明f (x )的奇偶性；(3)在(0,1)内，求使关系式f (x )>f ⎝⎛⎭⎫13成立的实数x 的取值范围． 解：(1)函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1＋x 1－x >0，解得－1<x <1，且x ≠0，∴定义域为{x |－1<x <0，或0<x <1}． (2)函数f (x )为奇函数．∵f (－x )＝－1x －log 21－x 1＋x ＝－1x ＋log 21＋x 1－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)设0<x 1<x 2<1，∵1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2，又0<x 1<x 2<1，∴1x 1－1x 2>0. ①又1＋x 11－x 1－1＋x 21－x 2＝2(x 1－x 2)(1－x 1)(1－x 2)，又0<x 1<x 2<1， ∴0<1＋x 11－x 1<1＋x 21－x 2，∴log 21＋x 11－x 1<log 21＋x 21－x 2. ②由①②得f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)内是递减的． 又因为f (x )>f ⎝⎛⎭⎫13，所以0<x <13为所求． 10．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)且log 2[f (x )]<f (1)．解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2[f (a )]＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12， 即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2log 2(x 2－x ＋2)<2， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1－1<x <2，⇒0<x <1.1．阅读下面一段材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[x ]表示“不超过x 的最 大整数”，在数轴上，当x 是整数，[x ]就是x ，当x 不是整数时，[x ]是点x 左侧的第 一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(Gauss)函数．如[－2]＝－2， [－1.5]＝－2，[2.5]＝2.求⎣⎡⎦⎤log 2 14＋⎣⎡⎦⎤log 2 13＋⎣⎡⎦⎤log 2 12＋[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋ [log 24]的值为________．解析：由题意知：⎣⎡⎦⎤log 2 14＋⎣⎡⎦⎤log 2 13＋⎣⎡⎦⎤log 2 12＋[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋[log 24]＝ (－2)＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋1＋2＝－1. 答案：－12．(2010·全国大联考三江苏卷)已知f (x －1)＝log a x －1(a >1)，g (x )与f (x )的图象关于直线 x ＝1对称，求不等式2f (x )－g (x )＋1≤0的解集．解：易得f (x )＝log a (x ＋1)－1，x >－1；g (x )＝f (2－x )＝log a (3－x )－1，x <3. 题设不等式即log a (x ＋1)2≤log a (3－x )且－1<x <3，①∵a >1，∴①⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，(x ＋1)2≤3－x ，解得－1<x ≤－3＋172. ∴不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x ≤－3＋172.幂函数、一次函数及二次函数一、填空题 1．若，则a 的取值范围是________．解析：∵，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>03－2a >0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<03－2a <0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a ＋1<0，解之得23<a <32或a <－1.答案：23<a <32或a <－12．(2010·山东潍坊模拟)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________. 解析：由题意知：2＝4α，∴α＝12，∴log 2f (2)＝＝12. 答案：123．当|x |≤1时，函数f (x )＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (－1)·f (1)<0，∴(－a ＋2a ＋1)(a ＋2a ＋1)<0，∴－1<a <－13.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－13 5．(南通市调研考试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________. 解析：由幂函数定义得k ＝1，再将点⎝⎛⎭⎫12，22代入得22＝⎝⎛⎭⎫12α，从而α＝12，故k ＋α＝32.答案：326．函数f (x )＝(x －1)log 23a －6x log 3a ＋x ＋1在区间[0,1]上恒为正值，实数a 的取值范围 是________．解析：由题知⎩⎨⎧f (0)>0f (1)>0，⎩⎪⎨⎪⎧－log 23a ＋1>0－6log 3a ＋2>0，13＜a ＜33.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，337．(苏州市高三教学调研测试)设函数f (x )＝ax 2＋x －a (x ∈[－1,1])的最大值为M (a )，则 对于一切a ∈[－1，1]，M (a )的最大值为________．解析：①当a ＝0时，有f (x )＝x ，此时当x ∈[－1,1]时有f (x )max ＝f (1)＝1；②当0<a ≤1 时，f (x )的对称轴为x ＝－12a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12，又图象开口向上，此时f (x )max ＝f (1)＝1； 当－12≤a ＜0时，对称轴x ＝－12a ∈[1，＋∞)且图象开口向下，此时f (x )max ＝f (1)＝1；当－1≤a ＜－12时，对称轴x ＝－12a ∈⎣⎡⎭⎫12，1且图象开口向下， 此时f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ －a －14a ，所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤a ≤11，－12≤a ＜0－a －14a ，－1≤a ＜－12，所以当a ＝－1时，M (a )max ＝54.答案：54二、解答题8．如果函数y ＝2ax(x <0)的图象与函数y ＝a 2x ＋1(x <0)的图象有2个交点，求a 的取值 范围．解：当x ＜0时，有2个交点即方程2ax ＝a 2x ＋1在(－∞，0)上有2个解， 即函数f (x )＝a 2x 2＋x －2a 在(－∞，0)上有2个零点，如右图，∴即，解得－12＜a ＜0，故a 应满足－12＜a ＜0.9．已知幂函数y ＝ (m ∈Z)，在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式并讨论单调性和奇偶性．解：由幂函数的图象和性质知：m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.当m ＝0时，y ＝x －3，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，此时函数在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减函数．又(－x )－3＝－x －3，y ＝x－3是奇函数；当m ＝1时，y ＝x －4，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，结合图象，函数在(－∞，0)上 单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．又(－x )－4＝x －4，故y ＝x－4是偶函数，当m ＝2时，y ＝x －3同m ＝0时的结论相同．10．(2010·盐城中学高三上学期期中考试)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b ＜1)， 在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f (x )＝g (x )x. (1)求a ，b 的值；(2)不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，求实数k 的范围；(3)方程f ()|2x－1|＋k ⎝⎛⎭⎫2|2x －1|－3＝0有三个不同的实数解，求实数k 的范围．解：(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，当a ＞0时，g (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ g (3)＝4g (2)＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋1＋b ＝4，4a －4a ＋1＋b ＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝0当a ＜0时，g (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g (3)＝1g (2)＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋1＋b ＝14a －4a ＋1＋b ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3.∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0即g (x )＝x 2－2x ＋1.f (x )＝x ＋1x－2.(2)不等式f ()2x－k ·2x ≥0化为2x ＋12x －2≥k ·2x,1＋⎝⎛⎫12x 2－2 12x ≥k ， 令12x ＝t ，k ≤t 2－2t ＋1，∵x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，记φ(t )＝t 2－2t ＋1，∴φ(t )min ＝0， ∴k ≤0.(3)方程f ()|2x－1|＋k ⎝⎛⎭⎫2|2x －1|－3＝0，化为|2x －1|＋－(2＋3k )＝0|2x －1|2－(2＋3k )|2x －1|＋(1＋2k )＝0，|2x －1|≠0.令|2x －1|＝t ，则方程化为t 2－(2＋3k )t ＋(1＋2k )＝0(t ≠0)． ∵方程|2x －1|＋－(2＋3k )＝0有三个不同的实数解，∴由t =|2x -1|的图象知，t 2-(2+3 k )t +(1+2 k )=0有两个根t 1、t 2， 且0＜t 1＜1＜t 2或0＜t1＜1，t 2=1，记φ(t )=t 2-(2+3 k )t+(1+2 k )则或，∴k ＞0.1．(2010·全国大联考三江苏卷)设二次函数k (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且k (－1)＝0.对一切实数 x ，不等式x ≤k (x )≤12(x 2＋1)恒成立(a ≠0)．(1)求函数k (x )的表达式；(2)求证：＋＋…＋>2n n ＋2. (1)解：由x ≤k (x )≤12(x 2＋1)得1≤k (1)≤1，∴k (1)＝1.∵k (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又∵k (1)＝1，k (－1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0，⇒a ＋c ＝12，b ＝12.又x ≤k (x )≤12(x 2＋1)恒成立，则由ax 2－12x ＋c ≥0(a ≠0)恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝14－4ac ≤0，a ＋c ＝12，⇒a ＝c ＝14.同理由⎝⎛⎭⎫12－a x 2－12x ＋12－c ≥0恒成立得14－4ac ≤0，可得a ＝c ＝14.综上a ＝c ＝14，b ＝12， 所以k (x )＝14x 2＋12x ＋14.(2)证明：k (n )＝n 2＋2n ＋14＝(n ＋1)24⇒＝4(n ＋1)2要证原不等式成立，即证122＋132＋…＋1(n ＋1)2>n 2n ＋4. ∵1(n ＋1)2>1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. ∴＋＋…＋>2nn ＋2. 2．已知函数f (x )＝(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在 区间[－1,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，说明理由． 解：(1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2. (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]． ∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得． 而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意．第6课时 幂函数、一次函数及二次函数一、填空题1．若，则a 的取值范围是________． 解析：∵， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>03－2a >0a ＋1>3－2a 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1<03－2a <0a ＋1>3－2a 或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a ＋1<0，解之得23<a <32或a <－1. 答案：23<a <32或a <－1 2．(2010·山东潍坊模拟)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________.解析：由题意知：2＝4α，∴α＝12，∴log 2f (2)＝＝12. 答案：123．当|x |≤1时，函数f (x )＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (－1)·f (1)<0，∴(－a ＋2a ＋1)(a ＋2a ＋1)<0，∴－1<a <－13. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－13 4．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))已知集合A ＝{x |x 2－2x <3}，集合B ＝ {x |x ≤2}，则A ∩B ＝________.解析：A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}＝(－1,3)；B ＝(－∞，2]， ∴A ∩B ＝(－1,2]．答案：(－1,2]5．(南通市调研考试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________. 解析：由幂函数定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入得22＝⎝⎛⎭⎫12α，从而α＝12， 故k ＋α＝32. 答案：326．函数f (x )＝(x －1)log 23a －6x log 3a ＋x ＋1在区间[0,1]上恒为正值，实数a 的取值范围 是________．。

初中数学指数知识点总结一、指数的概念1.1 指数的定义在数学中，指数是表示幂的一种特殊形式。

通常用a^n来表示，其中a称为底数，n称为指数。

指数n表示底数a连乘n次的结果。

例如，2^3表示2的三次方，即2*2*2=8。

1.2 指数的基本性质（1）a^0 = 1，其中a ≠ 0，这是指数的基本性质之一。

（2）a^m * a^n = a^(m + n)，这是指数的乘法法则。

（3）(a^m)^n = a^(m * n)，这是指数的乘幂法则。

（4）(a * b)^n = a^n * b^n，这是指数的乘法法则的推广。

1.3 指数的运算规律在初中数学中，指数的运算规律是学生需要掌握的重要内容。

例如，指数相等时，底数相等的指数是相等的；指数为负数时，用倒数表示；指数为分数时，用根式表示等等。

1.4 指数的应用指数在现实生活中有很多应用，比如在计算器、科学计算、金融、物理等诸多领域都有其应用。

二、指数的运算2.1 指数的加法和减法指数的加法和减法运算规律是：a^m * a^n = a^(m + n)a^m / a^n = a^(m - n)其中，a为任意非零实数，m、n为任意整数。

2.2 指数的乘法和除法指数的乘法运算规律是：(a^m)^n = a^(m * n)指数的除法运算规律是：a^m / a^n = a^(m - n)2.3 指数的混合运算指数的混合运算就是指数的加、减、乘、除等多种运算方式的综合运用。

学生在学习指数运算时，要掌握好各种运算规律，能够熟练地进行各种复杂的指数运算。

2.4 指数的化简和展开在进行指数运算时，有时需要进行化简和展开，这是指数运算中的一个重要内容。

化简就是将指数运算中的复杂表达式化为简单形式，展开则是将指数运算中的简单表达式展开成复杂形式。

三、指数函数3.1 指数函数的概念在数学中，指数函数是一类特殊的函数，它的自变量作为指数出现。

指数函数的一般形式是y = a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。

2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。

函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。

1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。

值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。

1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。

对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。

1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。

单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。

1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。

一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。

一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。

奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。

1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。

周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。

周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。

1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。

界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。

二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。

常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。

2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

2.4指数与指数函数要点梳理1.根式（1）根式的概念如果一个数的n 次方等于a （n ＞1且n ∈N *），那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是，若x n =a ，则x 叫做___________,其中n ＞1且n ∈N *.式子 叫做_____, 这里n 叫做_________，a 叫做___________.2）根式的性质①当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号____ 表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n 次方根用符号____表示, 负的n 次方根用符号________表示.正负两个n 次方根可以合写为________（a ＞0）.③④当n当n a =_______________. ⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂： （n ∈N *）；②零指数幂：a 0=____（a ≠0）；③负整数指数幂：a -p =_____（a ≠0，p ∈N *）；④正分数指数幂： =_______（a>0，m 、n ∈N *， 且n>1）；⑤负分数指数幂： = = (a>0,m 、n ∈N *,且n>1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂_____________.（2）有理数指数幂的性质①a r a s = ______(a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s = ______(a>0,r 、s ∈Q); ③(ab )r =_______(a>0,b>0,r ∈Q).3.指数函数的图象与性质nn n a a a a =∙∙∙个m n a m n a -___ ___________ (1)过定点_________ (2)当x>0时,_____;x<0时,_______ x>0时,_______; ,_____(3)在(-∞，+∞)上_______(-∞，+∞)上是________ 基础自测1.已知a< 14（ ） B. D.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是 （ ）A.y=x 3B.y=-x 2+1C.y=|x|+1D.y=2-|x|3.右图是指数函数（1）y=a x ，（2）y=b x （3）y=c x ,（4）y=d x的图象,则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是 ( )A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c4.已知f(x)=2x +2-x ,若f(a)=3,则f(2a)等于 （ ）A.5B.7C.9D.115.若函数y=(a 2-3a+3)·a x 为指数函数，则有 （ ）A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a>0且a ≠1题型一 指数幂的化简与求值【例1】计算下列各式：210.533211511336622277(1)(0.027)()(2);1259(2)(2)(6)(3);a b a b a b -+--÷-题型二指数函数的性质【例2】(12分)设函数f(x)= 为奇函数. 求：（1）实数a的值；（2）判断f（x）在其定义域上的单调性.题型三指数函数的图象及应用【例3】已知函数(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.课堂检测1.下列等式中一定成立的有（）2221xxa a∙+-+2a==-=|1|1().3xy+=A.0个B.1个C.2个D.3个2.函数f(x)=a x-b 的图象如右图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ）A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<03.定义运算：a*b= 如1*2=1,则函数f(x) =2x *2-x 的值域为 （ ）A.RB.(0,+∞)C.(0，1]D.[1，+∞) 5.若函数 则该函数在(-∞，+∞)上是 （ ）A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值6.函数 的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断,a 可能的取值是 （ ）A. 12B.32C.2D.4 7.已知 函数f(x)=a x ,若实数 m 、n 满足f(m)>f(n),则m 、n 的大小关系为______.走进高考：（2010安徽文数）1.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a（2010山东文数）2.函数()()2log 31x f x =+的值域为(),()a a b b a b ≤⎧⎨>⎩1(),21x f x =+231(23)2πx y a -=∙-A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣ （2010广东文数）3.若函数x x x f -+=33)(与x x x g --=33)(的定义域均为R ，则A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数。

第二章§4：指数与指数函数(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(827)23＋(－1)3372964的值为 A ．0 B ．89 C ．43 D ．292．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a ＞b )，则f(x)＝2x ⊕2－x 的图象是3．若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x ，则有A ．f(2)<f(3)<g(0)B ．g(0)<f(3)<f(2)C ．f(2)<g(0)<f(3)D ．g(0)<f(2)<f(3)4．关于函数f(x)＝2x －2－x (x ∈R)有下列三个结论：①f(x)的值域为R ；②f(x)是R 上的增函数；③对x ∈R ，f(－x)＋f(x)＝0成立，其中所有正确的序号为A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 5．已知函数y ＝22x＋x ＋a 的定义域为[1,2]，则实数a 的取值范围是 A ．[－6，－3] B ．[3,6]C ．(－∞，－6)∪(－3，＋∞)D ．(－∞，3)∪(6，＋∞)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．函数y ＝(12)－x 2＋2x 的单调递增区间为________． 7．函数f(x)＝1＋22x －1的奇偶性是________． 8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝b·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)，(1)试确定f(x)；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．10．（本小题满分18分，（1）小问５分，（2）小问６分，（３）小问７分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x4x ＋1. (1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并给予证明；(3)当λ为何值时，关于x 的方程f(x)＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：(827)23＋(－1)3372964＝[(23)3]23－13(94)3＝49－49＝0. 答案：A2．解析：x ≥0时，2x ≥1≥2－x ＞0，x ＜0时，0＜2x ＜1＜2－x . ∴f(x)＝2x ⊕2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ≥02x x ＜0. 答案：C3．解析：∵f(x)－g(x)＝e x 且f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，∴f(－x)－g(－x)＝e －x ，即－f(x)－g(x)＝e －x，解得f(x)＝e x －e －x 2，g(x)＝－e x ＋e －x2.易得f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(3)>f(2)>f(0)＝0且g(0)＝－1，∴g(0)<f(2)<f(3)．答案：D4．解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x 在R 上为减函数， ∴y ＝2x －2－x 在R 上是增函数．∴②正确．又当x →＋∞时，2x →＋∞，2－x →0.∴2x －2－x →＋∞，当x →－∞时，2x →0,2－x →＋∞，∴2x －2－x →－∞，∴f(x)的值域为R.∴①正确． 又f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0.∴③正确． 答案：D 5．解析：函数y ＝22x ＋x ＋a的定义域为[1,2]时，即2x ＋x ＋a ≠0在x ∈[1,2]上恒成立， ∴a ＝－2x －x 在x ∈[1,2]上无解．设g(x)＝－2x －x ，则g(x)在x ∈[1,2]上为单调减函数，g(x)∈[－6，－3]．∴a ＜－6或a ＞－3.答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：设t ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)t ，又y ＝(12)t 在定义域上为减函数． ∴当原函数递增时，t ＝－x 2＋2x 递减，又－x 2＋2x ≥0，∴0≤x ≤2.∴t ＝－x 2＋2x 的递减区间[1,2]．∴原函数递增区间为[1,2]．答案：[1,2]7．解析：f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，f(x)＝1＋22x －1＝2x ＋12x －1，∴f(－x)＝2－x ＋12－x －1＝2x ＋11－2x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．答案：奇函数8．解析：设x ＝2a ，则x ∈(1,2)，依题意M ＝2a ＋21－a ＝2a ＋22a ＝x ＋2x ，易知函数y ＝x ＋2x在(1，2)上是减函数，在(2，2)上是增函数，∴22≤M ＜3.答案：[22，3)三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧ ba ＝6ba 3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－3(舍去)， ∴f(x)＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，得m ≤(12)x ＋(13)x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．设g(x)＝(12)x ＋(13)x ，则g(x)在(－∞，1]上递减， ∴g(x)min ＝g(1)＝13＋12＝56. ∴所求m 的范围为(－∞，56]． 10. （本小题满分18分（1）小问５分，（2）小问６分，（３）小问７分）解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1. 又f(0)＝0，∴可得函数f(x)的表达式为分段函数， 即f(x)＝⎩⎨⎧－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)0， x ＝02x4x ＋1， x ∈(0，1).(2)f(x)在(0,1)上是减函数．当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x4x ＋1.设0＜x 1＜x 2＜1，则f(x 1)－f(x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1). ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 2－2x 1＞0,2x 1＋x 2－1＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(0,1)上单调递减．(3)∵当x ∈(0,1)时，f(x)是减函数，∴f(x)∈(25，12)．同理x ∈(－1,0)时，f(x)∈(－12，－25)，又f(0)＝0，故当－12＜λ＜－25或25＜λ＜12或λ＝0时，f(x)＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．。