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保守力做功公式

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大学物理功-动能定理-保守力的功

大学物理功-动能定理-保守力的功

解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。

4-2-1 保守力 保守力的功

4-2-1 保守力 保守力的功

二保守力势能元功：h mg S cos G A ∆=∆= d αbamgh mghh mg h mg A −=∆=∆=∑∑Δh)()d (d b a h h b ah h mg zmg r G A kmg G ba−=−=⋅=−=∫∫或： 重力的功：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时，重力作功为零。

)(a b mgh mgh −−=功只与物体的始末位置（x a ，x b ）有关。

弹性力的功：F=-a ba)(变力kx F −=222121ba x x x x kx kx xkx x F A baba−=−==∫∫d d )( 222121a b kx kx −−=质点由a →bbM 万有引力的功：在M 的引力场中：rF r F A d cos d d α=⋅=)11(d 020ba r r ba r r Mm G dr r MmG A A ba−−=−==∫∫r rMmG d 20−=将质点由a →b ，引力作功为：)[(b r Mm G 10−−=)](ar Mm G 10−−小结：1.地球附近重力的功2.弹簧弹性力的功3.平方反比力的功这些力作功的特点：其功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路程无关。

这种力称为保守力。

做功的大小只与物体与所经历的路程有关的力称为非保守力。

一对保守力作功保守力的特点：∫⋅=bl a r F A )(d 1∫⋅=bl a rF )(d 2 ∫⋅=Lr F A d 2.绕任一闭合路经，保守力做功的结果为零。

即保守力属于系统内相互作用的物体间的一对力。

2l ∫⋅=b l a r F )(d 1 ∫⋅+a l b rF )(d 2 0=∫⋅−b l a rF )(d 2∫⋅=bl a r F )(d 1 1.保守力做功的大小只与物体的始末大学物理学。

2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律

2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律

引入机械能 E Ek E p
A外 A非保内 Eb Ea
质点系的功能原理：质点系所受外力的功与非保守内力的功 等于系统机械能的增量。
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律 (一保守力 二势能 三功能原理)
2.7.4 机械能守恒定律
由质点系的功能原理 A外 A非保内 Eb Ea
当 A外 A非保内 0 时
A重力 (mghb mgha ) =-(末□－初□)
A弹性
( 1 2
k xb2
1 2
kxa2 )
=-(末□－初□)
A万有
(G
Mm) rb
(G
Mram)=-(末□－初□)
A→△能量→ mgh、1 kx2、 G Mm ——某种能量
2
r
2.概念 这种由物体间相对位置决定的能量——称为势能——Ep
A保守力 E p
(2)概念 保守力———做功与路径无关，只取决于始末位置 如：重力、弹性力、万有引力
非保守力——不具有这种性质的力 如：摩擦力
(3)说明 保守力的另一种表述：
沿任一闭合路径运动一周时，做功为零的力
数学表达
F
dr
0
§2.7 保守力的功 势能 机械能守恒定律（—力做功特点、保守力）
2.7.2 势能 1.保守力做功的启示
mvm (m M )v共 v共
(2)m、M、弹簧、地球系统
E(2) Ek E p重 E p弹
Ek E p重
1
2
(m M 0；E p弹
)v共 1
2
kl
2
l Mg k E(2)
(3)E=C → E(2)=E(3)
E(3)
(m
M
)gh

大学物理功 动能定理 保守力的功

大学物理功 动能定理 保守力的功

二
保守力和非保守力
dr2
2
这一对相互作用力作功之和为： O z dA f12 dr1 f 21 dr2 f12 d (r1 r2 )
x
dr12 为m1相对于m2的位移。
f12 dr12
令：1 r2 r12 r
15
dA f12 dr12
0
7
例题 质量为2kg的质点在力 F＝12ti (SI) 的
作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
dx A＝ F dr Fdx F dt F vdt dt t t 12 t t F 2 v v0 adt 0 dt dt 3t 0 0 2 0 m
O
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理： 1 1 2 2 A＝AP＋A f 2 mv 2 mv 0
l-x x
O
1 v 0 0 AP＋A f mv 2 x 2 l l mg mg( l 2 a 2 ) AP p dr xdx a a l 2l 2 μmg( l a ) 前已得出：A f 2l 2 2 2 mg( l a ) μmg( l a ) 1 2 mv 2l 2l 2 1 g 2 2 2 2 得v ( l a ) μ( l a ) l 22
θ
a
dr
4
2）功是过程量，与路径有关。 3）合力的功 = 分力的功的代数和 b b A F dr ( F1 F2 ) dr
a

b
a

4.2 保守力及其功

4.2 保守力及其功

3
4.2 保守力及其功
三、 万有引力的功 为原点， 以 M 为原点， m 的位置矢量为 M 对 m 的万有引力为： 的万有引力为：
第4章 功和能 功能原理
v m a r。 v
M
r (t)
v dr
v m 由 a 点移动到 b 点时 F 作功为： 作功为： v v B Mm v v A = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 3 r ⋅ dr A r
v Mm v F = −G 3 r r
v r (t + dt)
O
b
v v v r ⋅ dr = r dr cos φ = rdr
Mm A = ∫ − G 2 dr ra r
rb
v r (t )
v dr
v r (t + dt ) ϕ
4
4.2 保守力及其功 rb Mm A = ∫ − G 2 dr ra r
2
4.2 保守力及其功
二、弹性力的功
Hale Waihona Puke 第4章 功和能 功能原理xb
A = ∫ F dx = ∫ − kx dx
xa xa
xb
v v F = −kxi
1 2 1 2 A = −( kx b − kx a ) 2 2
v F
o xA xB
x
A = ∫ − kxdx = 0
结论： ） 弹性力的功只与始、末位置有关， 结论： 1） 弹性力的功只与始、末位置有关， 与质点所经过的路径无 而与质点所经过的路径无关。 2） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； ） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理

3-2 保守力做功与势能

3-2 保守力做功与势能

第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
三 保守力与势能的关系 1. 积分关系 2. 微分关系
v v dA = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
dE p = ∂E p ∂x dx + ∂E p ∂y dy + ∂E p ∂z dz
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
AACBDA =
∫ F ⋅ dr
r r
A
dr
ra
C
D
ACBDA
=
∫
ACB
r r F ⋅ dr +
∫
BDA
r r F ⋅ dr
= AACB + ABDA
=0
第3章 机械能和功
AACBDA
r r = ∫ F ⋅ dr = 0
ACBDA
3-2 保守力做功与势能
结 论 ： AACBDA
r r = ∫ F ⋅ dr = 0
r r 点为势能零点，则空间任意一点 r 势能零点， r0 点为势能零点
空间某点的势能E 空间某点的势能 p在数值上等于质点从该点移动到势 能零点时保守力作的功。 能零点时保守力作的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
轻弹簧原长l 劲度系数为k，下端悬挂质量为m的 例 轻弹簧原长 0，劲度系数为 ，下端悬挂质量为 的 重物。已知弹簧重物在O点达到平衡 点达到平衡， 重物。已知弹簧重物在 点达到平衡，此时弹簧伸长了 x0 ，现取 轴向下为正，原点位于：(1)弹簧原长位置， 现取x 轴向下为正，原点位于： 弹簧原长位置 弹簧原长位置， (2)力的平衡位置 。 若取原点为重力势能和弹性势能的 力的平衡位置。 力的平衡位置 势能零点， 势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能 。

保守力的功


摩擦力所做的功与物体实际经过的路 径有关，与物体的始末位置无关。
上面四种力：
只有重力、弹力、万有引力作功有共同特征：
共同特征： 作功与所经过的路径无关， 只与始末(相对)位置有关 具有这种特征的力称为保守力，否则称 为非保守力。
重力、弹簧弹性力、万有引力是保守力；摩擦 力是非保守力。
保守力定义有两种表述 表述一（文字叙述）：
作功与路径无关,只与始末位置有关的力
称为保守力 表述二（数学表示） ：
F保 dr 0
L
保守力的环流为零。
10
第二种表述：

L
F保 dr
F保 dr -
b
b2a

a1b

F保 dr

F保 dr
1

b2a

a 2b

F保 dr
b b)
0
x
特点：重力的功只与物体始末两点的位置有关而 与物体所经过的路径无关。
弹簧弹性力的功
弹簧 自然长度 0
F
X
特点：弹簧弹性力所作的功只与物体的始末两点 的位置有关而与物体所经过的路径无关。
特点：万有引力所作的功只与物体的始末两点的 位置有关而与物体所经过的路径无关。
摩擦力的功
b
1
a
2
2
a
a 2b


L
F保 dr a1b来自 F保 dr
F保 dr 0

L
F保 dr 0
11
大学物理学
保守力
保守力的定义
力所做功的大小只与物体的始末位置有关与物 体运动所经过的路径无关，这类力叫保守力。

第 03章 2 次课 -- 动能定理 保守力和非保守力 功能原理


上海师范大学
3 /17
§3. 4 三、质点的动能定理
动能定理
外力F作用在质点上, 对质点做功, 质点的速率发生变化, 因此能量发生变化.
外力所做的功W与质点的能量有什么定量 关系吗?
dv 由 W F dr F cos dr Ft dr Ft ds 和 Ft m
A
dW F dr
W F r
A
W
B
B F dr F cosdr
r
是在力的作用下产生的位移.
W Fi dr Fi dr Wi
合力的功 = 各分力的功的代数和
i
W W1 W2 W3 Wi
5. .直角坐标系中的功
F Fx i Fy j Fz k； dr dxi dyj dzk
W Fx dx Fy dy Fz dz
6. 功的单位
Wx Wy Wz
1 /17
1J 1N m
上海师范大学
§3. 4 二、功率
12 /17
§3.5 四、势能曲线
保守力与非保守力 势 能
势能是空间位置的函数, 将这种函数用图形表示就称为势能曲线.
Ep mgz
1 E p kx 2 2
m'm Ep G r
Ep
Ep
O
Ep
x
O
重力势能曲线
z
x
O
弹性势能曲线
引力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
v v0 e
t 0
x
dt
W b (0 e

3-5 保守力与非保守力

（2）引力势能： Mm E pG G r （3）弹性势能：
E pk
1 kx 2 2
1 1 2 2 W k ( kx b kx a ) 2 2 以弹簧原长为零势能点时。
势能曲线
E p mg z
1 2 E p kx 2
m' m Ep G r
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
l-y y
0
摩擦力的元功dW ' ' ( l y ) gdy 总功
W

l
b
dW

l
b
d W d W ①
②
g 2 μg 2 (l b ) (l b)2 l l
dy
y
1 根据动能定理 W lv 2 0 2
由① 和② 两式可得
v
3-8 能量守恒定律

mgz a ]
A 弹性力 [
1 2 kxb 2
1 2 kxa ] 2
mM mM A 引力 [( G ) ( G )] rb ra
A 保 ( Epb Epa ) E p
dA 保 dEp
保守力做的功等于势能增量的负值。
A保 ( Epb Epa ) E p
3-5 保守力与非保守力
一、保守力 势能
（一）、重力、万有引力和弹性力作功的特点 1、重力的功 z
重力 G mg k a b b mg k (dxi dyj dzk ) A G dr a
a
m G y b
结论:
(mg )dz mgz a mgz b Z

物理：保守力

重力位能，相差多少？
(2)自最高点到最低点时，重力
对小淮作功多少？
1.重力位能仅与垂直高度有关。 2.重力为一保守力，不论路径为直线或曲线，
重力对物体所作的功，仅与其位能差有关。
1.位能 U ＝ mgy 位能差 U最高－U最低 ＝ mg（y最高－y最低） ＝ mg（yA－yB） yA ＝ 5.0 m， yB ＝ 0 m
4.结论：保守力作功等于起点A 与终点 B 位 置所对应的某种位置函数U初与U末之差，
此一位置函数U 便称为物体在该位置所对 应的位能。
5.例子：
(1)保守力种类：重力位能。
பைடு நூலகம்(2)重力做功：
M1
(a)数学式： U（y）＝mgy 其中
m①
G
M2
y：该点在水平零位面上或下（此参考
面可任意选定）之垂直位置。
5
2. WA→B ＝ U初－U末 ＝ U最高－U最低
2.5
0
1.最高点与最低点的位能差
＝U最高－U最低＝ mg（yA－yB） ＝30×10×（5.0－0）＝1500（J）
2.重力作的功 W＝ U初－U末
＝ U最高－U最低
5
＝1500（J）
2.5
0
保守力
一、保守力（conservative force） 1.定义：物体自空间中起点 A不论经过任何
种路径抵达终点 B 重力对物体所分别作功 W 均相同。
2.种类：地表上重力，弹力，静电力等。
3.分析：由重力位能定义，若外力只有 重力，则外力对物体所作的功只与物 体运动起点与终点位置有关而与物体 运动的路径无关。
(b)不同路径，重力作功都相同。
二、非保守力（non-conservative force） 1.定义：若受力所作的功，不只和两点位置有
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保守力做功的公式有多种表达形式，具体取决于保守力的类型和物理系统。

在物理学中，保守力是指一种做功与路径无关，仅与起始和结束位置有关的力。

保守力包括重力、弹簧力、电场力等。

对于保守力，做功的公式通常可以表示为：W = -ΔU
其中，W表示力所做的功，ΔU表示势能的变化量。

这个公式表明保守力做功等于势能减少量。

另一种表达形式是：W = m(V2^2-V1^2)/2
其中，W表示力所做的功，m表示质量，V2和V1分别表示初速度和末速度。

这个公式适用于保守力做正功的情况。

需要注意的是，不同的保守力做功公式可能略有不同，具体取决于力的类型和物理系统。