保守力名词解释

Mm Mm （2）引力势能： WG [( G ) ( G )] rb ra Mm 引力势能以两质点相距无 E pG G 穷远为零势能点。 r
（3）弹性势能：
弹性势能以弹簧原长为零 势能点。
注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。
小结：
1、只有在保守力场中，才可引入相应的势能；只要
§4-3 保守力的功 势能 1、保守力：有些力作功只与 作功路径的始 末位置有关，而与路径的具体形状无关。这 种力称为保守力。 保守力场：在施力物体周围存在的一种作用。 当其他物体进入其作用范围内时，会受到力 的作用。
典型的保守力和保守力场：重力与重力场、 万有引力与引力场、弹性力与弹力场。
与保守力相对应的是耗散力——作功与路径形状有关
一般情况下，保守力沿某方向的分量就等于势能 沿该方向的方向导数的负值。
保守力与势能的关系：W保 E p dW dE p F dr dE P

F dr Fx dx F y dy Fz dz
Fx E p x , Fy E p y , Fz
m
0
M
h
解：从子弹以初速击中沙箱到获得共同速度可看作
在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向
受外力为0，由动量守恒有
m 0 (m M )
子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱 地球组成的系统机械能守恒。
mv0 v mM
1 2 ( m M ) ( m M ) gh 2 ( m M ) 2 gh 0 m
由动量守恒
两边平方
mv mv1 mv2 v v1 v 2 2 2 2 v v1 2v1 v2 v2

一、力的分类1.保守力。

所做功只与物体的相对起始和终点所在之处相关联，而与其物体的过程轨迹无关的力，即为保守力[1]。

假若一力学体系里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。

若场力的积分，则W ABC=W ADC，由此W ABCDA= W ABC+W CDA=W ABC-W ADC=0。

从其定义已经了解到对象的相对起始和终点所在之处决定了保守力做功的多少，假若在此力的作用下，物体的运动在一个封闭的路径绕行一个周期后回到起始位置，则作功是零。

假若空间中存在某一质点，质点不论在其周围任何位置，其所受到的力f与向量同向或反向，即受到吸引力或排斥力，力的大小是标量的单值函数，我们称这样的力为有心力。

所有的有心力都是保守力，如万有引力（重力）。

如果在一个孤立的系统中，所有的作用力都是保守力，则为机械能守恒的系统。

2.非保守力。

力所做的功与其运动轨迹有关的作用力即为非保守力。

通常由于能量守恒原理，非保守力做功的能量损耗被转移到其他地方。

例如，物体间摩擦力做功会使机械能转变为热能，有时候也伴随着声能等。

游船在水中移动时，水对船身的阻力将船所具有的机械能转变，如热能、声能和波能等。

从热力学第二定律可推断出，非保守力的能量损耗不可逆。

3.耗散力。

作用力对质点体系做功为负，从此导致整个系统的机械能总体减少的力即为耗散力。

耗散力做功与力使物体运动所经过的轨迹有关[2-4]。

力的划分根据力做功与运动轨迹是否相关而区分为保守力与非保守力；耗散力、非耗散力是非保守力的两个组成部分。

我们在力学体系内了解的非保守力基本上都为耗散型力，因而长久以来耗散力就几乎等同于非保守力的代替词。

然而非保守力并不都是耗散力，这二者是有区别的，例如，一根绳子跨过一个上端固定的轻质滑轮，此绳两端分别连接有两个重量不相等的重物，在放开物体令其自由运动后，绳子的拉力对下降的物体做功为负，对上升的物体做功为正。

但是根据能量守恒定律，在整个过程中机械能并无损失，而是转变为相应内能等，所以此拉力既不是属于保守力之列，也不是属于耗散力之列，即为非耗散力。

非保守力判定条件力是物理学中的基本概念之一，是描述物体运动和相互作用的重要因素。

在物理学中，保守力和非保守力是两种不同类型的力。

保守力是指在力所做的功与路径无关，而非保守力则是指在力所做的功与路径有关。

非保守力判定条件是指判断一个力是否为非保守力的一些规则和方法。

下面将介绍一些常见的非保守力判定条件。

当力的大小与物体的速度有关时，该力可以被认为是非保守力。

例如，摩擦力就是一种非保守力。

当物体在运动时，摩擦力的大小与物体的速度成正比，因此摩擦力是一个非保守力。

当力所做的功与路径有关时，该力也可以被认为是非保守力。

例如，阻力就是一种非保守力。

当物体在空气中运动时，阻力的大小与物体的运动路径有关，因此阻力是一个非保守力。

当力的大小与物体的形状和位置有关时，该力也可以被认为是非保守力。

例如，重力就是一种非保守力。

当物体的形状和位置发生变化时，重力的大小也会发生变化，因此重力是一个非保守力。

当力所做的功与时间有关时，该力也可以被认为是非保守力。

例如，阻尼力就是一种非保守力。

当物体在受到阻尼力的作用下运动时，阻尼力所做的功与时间有关，因此阻尼力是一个非保守力。

总的来说，非保守力判定条件主要包括力的大小与物体的速度、力所做的功与路径、力的大小与物体的形状和位置、力所做的功与时间等因素有关。

通过对这些因素的观察和分析，我们可以判断一个力是否为非保守力。

非保守力在物理学中起着重要的作用，它们可以改变物体的运动状态，使物体发生加速度或减速度。

在日常生活中，我们经常会遇到非保守力的存在，如摩擦力、阻力、重力等。

了解非保守力的判定条件可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，进而应用于实际问题的解决中。

非保守力判定条件是一些用于判断一个力是否为非保守力的方法和规则。

通过对力的大小与物体的速度、力所做的功与路径、力的大小与物体的形状和位置、力所做的功与时间等因素的观察和分析，我们可以确定一个力是否为非保守力。

非保守力在物理学中具有重要的意义，它们可以改变物体的运动状态，影响物体的加速度和减速度。

因为物体对地球的引力不足以使地球产生 位移,所以对地球用动能定理有:
1 mgh m v 2 2
0 00
1 mgh m v 2 2 1 1 2 mg (z 1 z 2 ) m v mgz 1 m v 2 mgz 2 2 2
此即机械能守恒定律.所以地球上进行的力学实验中一般 不考虑地球能量的变化 系统的动能定理为:
M2
M1
M1 F dr F dr E p
M2
保守力的功 A 等于质点在始末两位置势能增量的负值 微分形式
dA dE p
A E p
（1）势能 为状态量，是状态（位置）的单值 函数。其数值还与零势能点的选取有关。
（2）势能属于物体与系统所共有。
讨论
1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程
2. 功是能量交换或转换的一种度量 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在 机械运动范围内的体现
六.三个宇宙速度
第一宇宙速度
在地面上发射航天器，使之能绕地球圆轨道运行所需的最
小发射速度，即发射人造卫星所需的最小速度
Mm v2 GM G 2 m v r r r
取： EP ( M 0 ) 0 (势
M0(选参考点)
M0
M
F dr
势能是位置的函数，在数值上等 于从 M 到 势能零点 保守力所做的 功，该函数通常称作势能函数。 势能是系统具有的做功本领
讨论
（1） 因势能零点可以任选，所以某一点的势能值是相对的。
第三宇宙速度
在地面上发射航天器，使之不但能脱离地球引力场，还要脱 离太阳的引力场所需的最小发射速度。 计算在地球公转轨道上需以多大速度发射，才能脱离太阳的 引力场。代入太阳质量 Ms，地球到太阳的距离 Rs

0
保守力 重 力 弹 力
势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线 h
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞
3.势能和保守力的关系： 势能是保守力对路径的线积分，EP＝
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
Mm 1 EP＝ r －G r 2 dr GMm r

F m r
M
o
③弹性势能
Wab
xb
xa
1 2 1 2 kxdx ( kxb kxa ) EP 2 2
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
1 1 2 E P kxdx (0 kx ) kx 2 x 2 2 势能曲线对照表(势能随位置变化的曲线～势能曲线)
m
C
L1
F
B
A
L2
D
WACB WADB F dr
ACB
ADB
F dr
（路径L1）
（路径L2）
对沿闭合路径ACBDA运动一周的物体做功为
W F dr
L ACB
F dr
BDA
F dr

BDA
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向空间变化率

b
a
F dl
F
m
a
θ
dl
b
l
Fl
保守力沿某一给定的l方向的分量等于与此保守力 相应的势能函数沿l方向的空间变化率。 若势能为EP（x,y,z)

解 放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中， 1 2 kx1 弹簧弹性力作功 2
摩擦力作功
mgx2 1 2 根据动能定理有 kx1 mgx2 0 0 2 2 2
x1
x2
kx1 100 0.02 0.20 2mgx2 2 0.1 9.8 0.1
保守力做功在数值上等于系统势能的减少。 保守力功与势能的积分关系： W Ep
保守力功与势能的微分关系： dW dEp
例
一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m
=0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图 所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。 求物体与水平面间的滑动摩擦系数。
保守力 与非保守力 势能
1. 保守力
功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经 历的路径无关，这类力叫做保守力。不具备这种性 质的力叫做非保守力。
1.1 重力作功
设质量为m的物 体在重力的作用下从a 点任一曲线acb运动到 b点。
a
c ha hb
d
G
h
ha
b
hb
重力作功
力 G 所做的元功是
在元位移 s 中，重
a
c ha hb
A G coss h d G mg cos s b hb mgh A A mgh mg h mgha mghb
ha
重力作功
A mgha mghb
由此可见，重力作 功仅仅与物体的始末位 置有关，而与运动物体 所经历的路径无关。
A F d s 0
3. 势能
势能（E P） ：由物体的相对位置所确定的系

保守力 成对力的功 势能
保守力 成对力的功 势能 一、 保守力
根据各种力做功的特点，可将力分为保守力和 非保守力。 保守力（conservative force）：
做功与路径无关，只与始末位置有关的力。 如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。 非保守力（non-conservative force）： 做功不仅与始末位置有关，还与路径有关的力。 如：摩擦力、回旋力等。
摩擦力所做的功：
A4 Ff l cos180 1453 435(J)
（2）合力所做的功：
A A1 A2 A3 A4 165 J
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（3）如改用起重机把木箱吊上汽车。 所用拉力 F' 至少要等于重力。这时拉力所做的功为
A Fl sin30 980 30 0.5 1.47 103(J)
重力所做的功
A2 Gl co（s 180 60） 980 3（ 0.5） 1.47 103(J)
正压力所做的功
A3 FNl cos90 0
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根据牛顿第二定律：
FN F sin10 G cos30 0
FN G cos30 F sin10 727(N) Ff μFN 0.20 727 145(N)
例 柔软均质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台 上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间
的摩擦因数为 ，且 s ＞Ｌ，求初速度v0 。
解：
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由动能定理：
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重力的功 设物体m从a点沿任一曲线移动到b点。
在元位移 dr中，重力所做的元功为
dA mg cosds mgdh
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弹性力的功 设光滑水平桌面一端固定 的轻弹簧(k)，另一端连接 质点 m，当质点由a点运 动到b点的过程中 ：

§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
dv f mg cos m dt 摩擦力的功 W阻 fdr
A
R
f N
n

d
o
B
解2：动能定理 由质点动能定理： W Ek Ek 0 Ek 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 Ek Ek 0 A A点物体动能 Ek 0 0 mg cos dr W阻 Ek 1 90 2 W阻 mv 0 mg cos Rd 2 1 2 mv mgR 2
初态机械能： 1 2 E A mvA mgh 2 h AC sin 36.9
36.9º
f
vA
h
末态机械能：
n
1 2 EC k( BC ) 2
n i 1 i 1
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
i 1
Wi外 0,
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理 利用质点系的动能定理：
i 1
Wi外 Wi内 Ek Ek 0 Ek
i 1 n i 1
n
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
i 1 n n n
Wi内 Wi内保 Wi内非

摩擦力所做的功与物体实际经过的路 径有关，与物体的始末位置无关。
上面四种力：
只有重力、弹力、万有引力作功有共同特征：
共同特征： 作功与所经过的路径无关， 只与始末(相对)位置有关 具有这种特征的力称为保守力，否则称 为非保守力。
重力、弹簧弹性力、万有引力是保守力；摩擦 力是非保守力。
保守力定义有两种表述 表述一（文字叙述）：
作功与路径无关,只与始末位置有关的力
称为保守力 表述二（数学表示） ：
F保 dr 0
L
保守力的环流为零。
10
第二种表述：

L
F保 dr
F保 dr -
b
b2a

a1b

F保 dr

F保 dr
1

b2a

a 2b

F保 dr
b b)
0
x
特点：重力的功只与物体始末两点的位置有关而 与物体所经过的路径无关。
弹簧弹性力的功
弹簧 自然长度 0
F
X
特点：弹簧弹性力所作的功只与物体的始末两点 的位置有关而与物体所经过的路径无关。
特点：万有引力所作的功只与物体的始末两点的 位置有关而与物体所经过的路径无关。
摩擦力的功
b
1
a
2
2
a
a 2b


L
F保 dr a1b来自 F保 dr
F保 dr 0

L
F保 dr 0
11
大学物理学
保守力
保守力的定义
力所做功的大小只与物体的始末位置有关与物 体运动所经过的路径无关，这类力叫保守力。

V = Vg+Ve
根据 Vg = Wy 及
所选定的基准面，决定质点位置以量测 V。
若质点在空间中任一位置 (x, y, z)，则其位能函数 V = V(x, y, z)。质点自(x1, y1, z1)
移动至(x2, y2, z2)，保守力所做之功，可以其函数差量测，即
U1-2 = V1 - V2
例如，重 W 之质点，悬挂于弹簧上，其位能函数可用位置 s 表达，此位置是从弹簧未受力之
(5.4-27) 当一质点在势力场中沿路径 l 运动，考虑到上式，由式(5.4-7)，力场对其所作的功可表为
(5.4-28) 其中 U0与 U 和 V0与 V 分别为路径 l 的起点与终点的势函数和势能值。由此式表明，质点在势 力场中运动势力的功仅与路径的起始与终点的位置有关而与路径无关。考虑到势力场的功为 两位置势函数(或势能)值的差，因此势力场的绝对大小已不太重要。如果在力场中的某点 r0 定义其势函数(或势能)值为零，即令
保守力
名词简介
在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，所做的功， 不因为路径的不同而改变。则称此力为保守力(Conservative Force)。假若一个物理系统里， 所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。 做功
保守力的功与物体运动所经过的路径无关，只与运动物体的起点和终点的位置有关，当 然也与保守力场的性质有关。
图5-14 等势面 则由式(5.4-28)，有
(5.4-29) 此式表明，质点在势力场某位置的势能为质点由零势能位置移动到该位置势力所作的功的负 值。 在势力场中，势函数(或势能)为常值 c 的点构成了一曲面(见图5-14)，即
这些曲面称为等势面。c 为零的曲面称为零势面。根据势力与势函数的关系式(5.4-25)可见， 势力的方向沿等势面的法向。质点在等势面上移动，势力不作功。

非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力..常见的摩擦力;物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力..非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点..非保守力包括耗散力和非耗散力两类..在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力;所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词..严格说来两者是有区别的;一个系统的总机械能减少;并转变为系统的热能或内能..通常人们把这个过程叫耗散过程;而把导致耗散的力成为耗散力..摩擦力是耗散力;但非保守力如爆炸力不一定都是耗散力..⑴定义：做功多少只由始末位置所决定;而跟路径无关的力叫做保守力..做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力..⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置;如果在该力作用下;物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置;则所做功为零..重力、弹力等属于保守力..耗散力做功就不能由物体的始末位置决定;而和物体的运动路径有关;在其他条件相同的情况下;物体运动路径越长;所做的功也越多..摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同;是和这两种力的本身的特点有关..物体系确定后保守力和物体的运动状况无关;其大小由相互作用物体的相对位置所确定;它的方向总在两个相互作用物体的连线上..例如;物体确定后;重力的大小决定于它离开地面的高度;方向竖直向下;而和物体以什么样的速度运动无关;和物体运动速度的大小和方向如何变化无关..耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化..例如;空气对运动物体的阻力;其方向随着物体运动的方向改变而变化;它的大小随物体运动速度增大而增加..③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系..保守力做正功;则物体系的势能减少；反之;则物体系的势能增加..而且相对两个位置之间;功量一定;能量差一定..所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件..系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒..耗散力不象保守力;对于两个位置之间;力对物体做功没有确定的值;从而相应的两个位置之间没有一定的能量差..所以耗散力和物体系的势能没有联系..但是它涉及另一种形式的能量;如果系统的各物体只受保守力和耗散力作用;那么系统的包括相应的这种形式的能量和机械能在内的总能量还是守恒的..常见的摩擦力;物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力..非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点..非保守力包括耗散力和非耗散力两类..在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力;所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词..严格说来两者是有区别的;一个系统的总机械能减少;并转变为系统的热能或内能..通常人们把这个过程叫耗散过程;而把导致耗散的力成为耗散力..功一、在F-l图象中求功我们也可以用图象来描述力对物体做功的大小.以Fcosα为纵坐标;以l为横坐标.当恒力F对物体做功时;由Fcosα和l为邻边构成的矩形面积即表示功的大小;如图a所示.如果外力不是恒力;外力做功就不能用矩形表示.不过可以将位移划分为等距的小段;在每个小段中外力可近似看成恒力;所做功的大小即为该小段对应的小矩形的面积值;整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和;如图b所示.二、变力的功如果作用力F是恒定的;即力的大小和方向都不变;且受力物体向着确定的方向做直线运动;这时作用力和位移的夹角α也是恒定的;已知物体在力F的作用下运动的位移s;就可以根据公式W=Fscosα算出恒力所做的功.如果作用力是变力;即力的大小和或方向是变化的;或者物体做曲线运动;这时力F的大小随时间而变化;力和位移的夹角α也随时间而变化;便不能直接由上述公式计算功;这种情形要怎样计算功呢如图表示一个物体在变力作用下做曲线运动;由O点运动到O′点.现在我们把曲线分成很多小段;如图中的AB小段、CD小段等;每小段都足够小;可认为是直线;物体通过每小段的时间足够短;在这样短的时间里;力的变化很小;可以认为是恒定的.这样;对每小段来说;就可以用公式W=Fscosα计算功.把物体通过各个小段所做的功加在一起;就等于变力在整个过程中所做的功.三、保守力与耗散力1.保守力大小和方向完全由物体间相对位置确定的;且做功多少只由始末位置所决定;而跟路径无关的力叫做“保守力”.保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置;如果在该力作用下;物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置;则所做的功为零.万有引力包括重力、弹力等属于保守力.物体系确定后;保守力和物体的运动状况无关;其大小和方向由相互作用物体的相对位置所确定.例如;物体确定后;重力的大小决定于它离开地面的高度;方向竖直向下;而和物体以什么样的速度运动无关;和物体运动速度的大小和方向如何变化无关.保守力和物体系的势能有着极为密切的联系.保守力做正功;则物体系的势能减少;反之;则物体系的势能增加.而且相对两个位置之间;势能差一定.所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件.系统的各物体在只受保守力作用的情况下;其机械能守恒.保守力的功和势能的变化的关系为W保=Ep1-Ep2.这里的Ep2和Ep1表示终点和起点的势能.当W保>0时;保守力做正功;Ep1-Ep2>0;物体系统的势能要减少;当W保<0时;保守力做负功;Ep1-Ep2<0;物体系统的势能就要增加.保守力的功决定于物体系势能的变化量;在实际问题涉及的只有两个状态的势能差;而不是某一状态势能的绝对值.2.非保守力亦称“耗散力”.做功多少和物体运动路径有关的力叫非保守力.非保守力做功就不能由物体的始末位置决定;而和物体的运动路径有关.例如;人推车是克服摩擦力做功;摩擦力是非保守力;人推车对车做的功并不与车向哪个方向运动有关.又如;空气对运动物体的阻力;其方向随着物体运动方向的改变而改变;它的大小随物体运动速度的增大而增加.非保守力不像保守力;对于两个位置之间;力对物体做功没有确定的值;从而相应的两个位置之间没有一定的能量差.所以非保守力和物体系的势能没有关系.物体在有非保守力作用时;其动能与势能之和机械能不再守恒.质点运动时做负功的非保守力也称为耗散力.除空气阻力外;爆炸力;内燃机气缸中气体对活塞的推力都是耗散力.耗散力之所以命名为“耗散”;是由于这种力所做的功一般跟机械运动转化为非机械运动如热运动紧密联系在一起.。

重力位能，相差多少？
(2)自最高点到最低点时，重力
对小淮作功多少？
1.重力位能仅与垂直高度有关。 2.重力为一保守力，不论路径为直线或曲线，
重力对物体所作的功，仅与其位能差有关。
1.位能 U ＝ mgy 位能差 U最高－U最低 ＝ mg（y最高－y最低） ＝ mg（yA－yB） yA ＝ 5.0 m， yB ＝ 0 m
4.结论：保守力作功等于起点A 与终点 B 位 置所对应的某种位置函数U初与U末之差，
此一位置函数U 便称为物体在该位置所对 应的位能。
5.例子：
(1)保守力种类：重力位能。
பைடு நூலகம்(2)重力做功：
M1
(a)数学式： U（y）＝mgy 其中
m①
G
M2
y：该点在水平零位面上或下（此参考
面可任意选定）之垂直位置。
5
2. WA→B ＝ U初－U末 ＝ U最高－U最低
2.5
0
1.最高点与最低点的位能差
＝U最高－U最低＝ mg（yA－yB） ＝30×10×（5.0－0）＝1500（J）
2.重力作的功 W＝ U初－U末
＝ U最高－U最低
5
＝1500（J）
2.5
0
保守力
一、保守力（conservative force） 1.定义：物体自空间中起点 A不论经过任何
种路径抵达终点 B 重力对物体所分别作功 W 均相同。
2.种类：地表上重力，弹力，静电力等。
3.分析：由重力位能定义，若外力只有 重力，则外力对物体所作的功只与物 体运动起点与终点位置有关而与物体 运动的路径无关。
(b)不同路径，重力作功都相同。
二、非保守力（non-conservative force） 1.定义：若受力所作的功，不只和两点位置有

例如：中微子的发现 （20世纪初衰变的研究中发现实验结果与能
量守恒相违背，泡利提出中微子假说，20年后，科 学终于证实了中微子的存在）
（4）凡违背守恒定律的过程不可能实现，由此判 断哪些过程是不可能发生的。
例如：“永动机”（第一类）
21
例：长为L的细链条，质量m均匀分布，一部 分静止在水平光滑桌面上，另一部分（a<L） 下垂。求链条自动滑离桌面时的速度。
F
R OM 2R
①
G
mM
3R2
m v2 3R
Ek
1 2
mv2
GmM 6R
②
Ep
G
3R
mM r2 dr
G
mM 3R
③
E
Ek
Ep
GMm 6R
约束于引力场中，未摆脱地球影响 15
例题： 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，
沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，
设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦
分别用牛顿定律、动能定理、机械能守恒定 律求解。
答案： v g（L2 a2 ) L
22
例题 ： 用一弹簧将质量分别为m1和m2的上下两水平 木板连接如图所示，下板放在地面上。（1）如以上 板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的 零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。 （2）对上板加多大的向下压力 F ，才能因突然撤去 它，使上板向上跳而把下板拉起来？
（3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意 义。势能零点可根据问题的需要来选择。
10
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H
h
重力势能

保守力的功，均为系统始末位形函数的差。
把这些由位形决定的函数，叫做势能函数(Ep) 。
A保ab E pa E pb ( E pb E pa ) E p
——保守力的功等于系统势能的减少
即 A保 E P
任一状态的势能值？
由功的定义
b
A保 f保 dl EPa EPb a
定若义选:末E态P为a 势势能能参零考f点保点 ，dr即令一保E点守Pb处力的从0 势该能点等到于势 (a) 为系统在状态a的势能 能零点的线积分值
(3) 弹性势能
通常以弹簧原长(x = 0)时为弹性势能零点，
以弹簧原长(x = 0) 时为弹性势能零点
X ox
同样根据任一状态势能值的定义
，可得弹簧伸长 x 时弹性势能:
EP弹
EP弹
0 kxdx 1 kx2
x
2
E P弹
1 2
kx 2
[思考] 设 Ep (x0) 0 ,则 Ep (x) ?
v v0
v v0e
N
Afk
Ek
Ek0
1 2
mv02
(e2
1)
重力作功 Aab mgha mghb
ha
2. 弹簧的恢复力的功
小球在x点时，受力 F k x,
则质点从 a →b 的过程中， 弹簧的恢复力作功：
(b)
Aab
F d x
(a)
xb kxdx
xa
1 2
kxa2
1 2
kxb2
Ox
E p ( x)
x0 kxdx
x
1 2
kx 2
1 2
kx02
有关势能的几点说明
1、势能属于产生保守力的整个物体系统，不属于某 一物体所有。

m'm
dW F dr G r3 r dr
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
（3）万有引力作功
说明：r
dr
r
dr
cos
rdr
m'm
m' m
dW F dr G
r3
r dr G
r2
dr
m 由A 点移动到B点时F作功为
W
dw
rB
rA
G
m' m r2
dr
m
A
r (t)
保守力、非保守力 和势能
一、几种常见力作功的特点
（1）弹性力作功
F kxi
dW
F
dx
kxi dxi
o
kxdx
F
x
xA xB
W
dw
xB kxdx
xA
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（2）重力作 功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
(mgz B mgz A )
z
zA A
zB
mg
B
o
y
x
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（3）万有引力作功
以
m' 为参考系，m
的位置矢量为 r
.
m'对 m 的万有引力为
F
G
m' m r3

ab
(2
b
2
a
)
3. 万有引力的功 ( GMm ) ( GMm ) Aab = rb ra
结束
返回
保守力的定义： 保守力的定义： 如果 有一力 F ，它对物体所作的功决 定于作功的起点和终点而与作功的路径无关， 定于作功的起点和终点而与作功的路径无关， 保守力或 称此力为保守力 有势力。 称此力为保守力或有势力。 或：若有一个力能满足条件 ∫ F . ds = 0 则称此力为保守力。 则称此力为保守力。 1: 只有保守力才能引入势能的概念。 只有保守力才能引入势能的概念。 2: 保守力的功等于系统势能增量的负值。 保守力的功等于系统势能增量的负值。 A = ∆ Ep
F a
地球
ra
r r
2
sin ds θ dr = sin ds θ
结束
Mm dr = G 2
返回
Mm dr dA = G 2 r rb dr A = G Mm ∫r 2
a
r
=
( GMm ) ( GMm ) =
rb
ra
( Epb E pa )
若取无穷远处为引力势能的零点， 若取无穷远处为引力势能的零点，则 a 点的势能为： 点的势能为： ∞ 1 1∞ Epa = ∫ a F .dr = GMm = GMm ra r ra 物体在a 物体在 点所具有的引力势能在数值上等 于将物体从该点移到无穷远处万有引力力所 作的功。 作的功。 返回
x 2
o
弹簧在x 点所具有的弹性势能 弹性势能在数值上等 弹簧在 点所具有的弹性势能在数值上等 于将弹簧从该点移到自然长度处弹性力 弹性力所 于将弹簧从该点移到自然长度处弹性力所 作的功。 作的功。
结束
返回

3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力 (conservative force)和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W
(G
m'm) (G rB
mr'Am)
重力功 W (mgzB mgz A ) A
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 kx
2
2 A
)
F dr F dr
ACB
ADB
C D
B
1
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
A C
D
l F dr 0
B
A C
物体沿闭合路径运动 一周时,
D
保守力对它所作的功等于零 .
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
)
Ep mgz
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
k x2
保守力的功
W (Ep2 Ep1) EP
3
2
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
三 势能 (potential energy) 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
W (mgzB mgzA )
引力功
W
(G
m' m ) rB
(G
mr'Am)
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxLeabharlann 2 A