高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3_1数系的扩充和复数的概念(第1课时)自我小测新人教A版_1

第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2） 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

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念（第1课时）课堂探究新人教A版选修2-2 探究一复数的概念1．虚数单位的性质i2＝－1，1·i＝i，0·i＝0。

2．复数的实部与虚部的确定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部与虚部．3．数集从实数集扩充到复数集后，一些运算结论不一定成立．【典型例题1】(1）下列说法错误的有__________．(填序号）①若z∈C时，z2≥0;②若a∈R,则（a＋1)i是纯虚数；③若a＞b，则a＋i＞b＋i。

(2）给出以下命题：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②形如a＋b i的数一定是虚数；③两个复数不能比较大小；④若a∈C，则(a＋3）i是纯虚数．其中正确命题的个数是________．思路分析：按照复数、实数、纯虚数的概念进行分析与判断．解析:(1）①错误，若z＝i,则z2＝－1＜0；②错误，当a＝－1时，(a＋1)i＝0∈R;③错误，两个虚数不能比较大小．(2）①复数由实数和虚数组成,虚数中包含着纯虚数，故①错；②形如a＋b i的数不一定是虚数，也可能是实数，故②错；③中两个复数并非不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大小，故③错；④中当a＝－3时，（a＋3）i＝0，不是纯虚数，故④错．因此正确命题的个数为0.答案：（1)①②③（2）0探究二复数的分类1．解决这类复数的分类问题时，主要依据复数z＝a＋b i(a，b∈R）是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围，但若已知的复数z 不是a＋b i(a，b∈R）的形式,应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．2．应特别注意z＝a＋b i（a,b∈R）是纯虚数的条件是a＝0且b≠0，不能忘记b≠0这一限制条件．【典型例题2】实数m取什么值时，复数（m2－3m＋2)＋（m2－4)i是：（1)实数．（2）虚数．（3)纯虚数．思路分析:根据复数分类的充要条件，列出方程(不等式）组求m.解：设z＝（m2－3m＋2)＋(m2－4）i。

第一节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[小题体验]1．(2019·杭州高三质检)设复数z ＝52－i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________，虚部为________．解析：因为z＝52－i＝5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2＋i，所以复数z的实部为2，虚部为1.答案：2 12．(2019·浙江名校联考)设(a＋i)(1－b i)＝3－i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝______；若z＝a＋b i，则|z|＝______.解析：因为(a＋i)(1－b i)＝(a＋b)＋(1－ab)i＝3－i，所以a＋b＝3,1－ab＝－1，则ab＝2，所以|z|＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝9－4＝ 5.答案：3 53．(教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．答案：3＋5i1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2＜0在复数范围内有可能成立．[小题纠偏]1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________.解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a ＝4.答案：42．设i是虚数单位，若复数(2＋a i)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．解析：因为(2＋a i)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.答案：2考点一复数的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·台州二模)复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．2B．1C．－2 D．1或2解析：选A由a2－3a＋2＝0，得a＝1或2.因为复数是纯虚数，所以a≠1，所以可知a ＝2.2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( ) A. 2 B.11 C. 3D. 6解析：选C 由题意得，2－ia ＋i ＝t i(t ≠0)，∴2－i ＝－t ＋ta i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12，∴z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z |＝3，故选C.3．(2019·镇海中学模拟)已知i 是虚数单位，复数z ＝2－i ，则z ·(1＋2i)的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．4＋3i C ．4－3iD ．－4－3i解析：选C 因为z ＝2－i ，所以z ·(1＋2i)＝(2－i)(1＋2i)＝4＋3i ，所以其共轭复数为4－3i.4．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i[谨记通法]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意求解．考点二 复数的几何意义(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·杭二模拟)在复平面内，复数z ＝i 1＋i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，其在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，位于第一象限．2．(2019·河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z ＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选B 因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以A 点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.3．(2019·浙江十校联盟适考)复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的虚部为________，其共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限．解析：因为z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以z 的虚部为1，z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限．答案：1 四[谨记通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．考点三 复数的代数运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·浙江名校协作体联考)⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝( )A.52 B.10 C.102D. 5解析：选D 法一：3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－4i 2＝1－2i ，|1－2i|＝5，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝5，故选D.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝102＝5，故选D.2．(2019·嘉兴模拟)设复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i解析：选A 2z ＋z ＝21－i ＋1－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i ＋1－i ＝2.3．(2019·浙江期初联考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足41＋z ＝1－i ，则z ·z ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：选B 由41＋z ＝1－i ，得z ＝41－i－1＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ，则z ·z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故选B.4．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.[谨记通法]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江9＋1期中)已知i 为虚数单位，z 表示复数的共轭复数，若z ＝1＋i ，则z ·z i＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选Bz ·zi ＝(1＋i )(1－i )i ＝2i＝－2i. 2．(2019·湖州模拟)已知复数a ＋2i1＋i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2解析：选A a ＋2i 1＋i ＝(a ＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a ＋2)＋(2－a )i2是纯虚数，所以a ＋2＝0，解得a＝－2.3．(2018·杭州名校协作体二模)在复平面内，复数z 和i1－i表示的点关于虚轴对称，则复数z 为( )A.12＋12i B.12－12iC ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选A 因为i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－12，12，所以由条件可知z ＝12＋12i.故选A.4．(2019·金丽衢十二校联考)设a ∈R ，若复数z ＝a ＋i1＋i (i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＝________，|z |＝________.解析：a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a ＋1)＋(1－a )i2，所以a ＋1＝1－a ，解得a ＝0.所以z ＝12＋12i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪12－12i ＝22. 答案：0225．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：3二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2019·杭州质检)设z ＝i 1－i(i 为虚数单位)，则1|z |＝( )A.22B. 2C.12D ．2解析：选B 因为z ＝i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋12i ，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫122＝22， 所以1|z |＝ 2.2．(2019·宁波模拟)已知复数z 满足z (1＋i)＝2－i ，则z 的虚部为( ) A ．－32iB.32iC ．－32D.32解析：选C 因为z (1＋i)＝2－i ，所以z ＝2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝12－32i ，所以其虚部为－32.3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i (1＋i )2i ＝－12－12i ，∴z ＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B. 4．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．0解析：选C ∵z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝1×(1－z 2 019)1－z ＝1－i 2 0191－i ＝1－i 4×504·i 31－i＝i. 5．(2019·杭州七校联考)已知复数z ＝2＋a i(a ∈R )，|(－1＋i)z |＝32，则a 的值是( ) A ．±5B. 5C ．±3 D. 3解析：选A 法一：|(－1＋i)z |＝|(－2－a )＋(2－a )i|＝ (－2－a )2＋(2－a )2＝2a 2＋8＝32，则a ＝±5，故选A.法二：|(－1＋i)z |＝|－1＋i|·|z |＝2·22＋a 2＝32，则a ＝±5，故选A.6．(2018·嘉兴4月)若复数z 满足(3＋i)z ＝2－i(i 为虚数单位)，则z ＝________，|z |＝________.解析：因为(3＋i)z ＝2－i ，所以z ＝2－i 3＋i ＝(2－i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝1－i 2，所以|z |＝22.答案：1－i 2 227．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2.答案：2 8．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a i 2－i ＝________.解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i ，∵1＋a i 2－i为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a i 2－i ＝12.答案：－12 129．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3. 答案： 310．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i ＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2 ＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州二模)已知i 是虚数单位，则(1＋2i )(1－i )1＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B (1＋2i )(1－i )1＋i ＝(1＋2i )(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－i(1＋2i)＝2－i.故选B.2．(2018·湖丽衢三地期末联考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，z 1＝a ＋i ，z 2＝b －i ，若z 1·z 2是纯虚数，则ab ＝________，|z 1·z 2|的最小值为________．解析：因为z 1＝a ＋i ，z 2＝b －i ，所以z 1·z 2＝(a ＋i)(b －i)＝ab ＋1＋(b －a )i.因为z 1·z 2是纯虚数，所以ab ＝－1.|z 1·z 2|＝(b －a )2＝a 2＋b 2－2ab ＝a 2＋b 2＋2≥－2ab ＋2＝2，当且仅当a ＝－b 时，等号成立．答案：－1 23．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0， ∴a ≠－5，故a ＝3.。

3.1.1数系的扩充和复数的概念教案篇一：3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)3.1.1数系的扩充与复数的引入【教学目标】1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

【学情分析】学生为文科普通版班学生，基础较差，理解力一般，且个别学生学习积极性不够高。

【重点难点】教学重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念。

教学难点：复数概念的理解。

【教学过程】【导入】知识形成过程1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程x?1?0，没有实数根。

我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？【活动】组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程x?1?0没有实数根。

实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数。

解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题。

即一个什么样的数，它的平方会等于－1。

【讲授】引入新数1．引入新数i，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i??1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。

有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事。

这样，就可以解决前面提出的问题（?1可以开平方，而且?1的平方根是?i）。

2．提出复数的概念根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加。

3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。

湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．了解复数的代数表示方法及几何意义；3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件.【重点难点】重点：复数的有关概念以及符号表示。

难点：了解复数的代数表示方法及几何意义,复数的分类及复数相等的充要条件．【使用说明与学法指导】1。

课前用20分钟预习课本P102-104内容。

并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2.独立思考，认真限时完成，规范书写。

课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1．如何引入数i？我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：(1）i2= —1 ;（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立．根据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是．2．复数的概念?根据虚数单位i的第（2)条性质,i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi 。

形如a+bi的数，我们把它们叫做复数．复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部。