圆的基本性质复习

圆的基本性质复习教案第一章：圆的定义与性质1.1 圆的定义：一个平面内，到定点距离等于定长的点的集合。

1.2 圆的性质：1.2.1 圆心到圆上任意一点的距离相等。

1.2.2 圆上任意两点间的弧长相等。

1.2.3 圆的半径与直径互为一半。

1.2.4 圆的周长与直径的比值为圆周率π。

第二章：圆的方程2.1 圆的标准方程：(x-a)²+ (y-b)²= r²，其中（a，b）为圆心坐标，r为半径。

2.2 圆的一般方程：x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0，其中D²+ E²4F > 0。

第三章：圆的弧与弦3.1 弧：圆上两点间的部分。

3.2 弦：圆上任意两点间的线段。

3.3 弦心距：弦与圆心的连线。

3.4 圆的劣弧与优弧：劣弧为圆心角小于180°的弧，优弧为圆心角大于180°的弧。

第四章：圆的相交弦与切线4.1 相交弦：两条相交的弦。

4.2 直径所对的圆周角为直角。

4.3 切线：与圆只有一个交点的直线。

4.4 切线的性质：切线与半径垂直，切线长度等于半径。

第五章：圆的面积与周长5.1 圆的面积公式：S = πr²。

5.2 圆的周长公式：C = 2πr。

5.3 圆的直径与半径的关系：d = 2r。

5.4 圆的周长与直径的关系：C = πd。

第六章：圆的复合性质6.1 圆的相交弦定理：圆内接于四边形时，对角互补，即任意一对对角的和为180°。

6.2 圆的内接四边形对角互补定理：圆内接四边形的对角互补。

6.3 圆的内接多边形内角和定理：圆内接多边形的内角和为(n-2)×180°，其中n 为多边形的边数。

第七章：圆与直线的位置关系7.1 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。

7.2 直线与圆相切：直线与圆有一个交点，且交点为切点。

7.3 直线与圆相离：直线与圆没有交点。

7.4 直线与圆的交点性质：交点与圆心的连线与直线垂直。

圆的有关性质基础复习一、知识要点：1.垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3.圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

4.圆的内接四边形多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

例如图1，连EF后，可得：∠DEF＝∠B，∠DEF＋∠A＝180°∴∠A＋∠B＝180°∴BC∥DA二、典型例题：D．5例题4图A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°例5． AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，∠CDB＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cm 例 6.如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④____（不添加其它字母和辅助线）；（2）A ∠=30°，CD ，求O ⊙的半径r ．例7. 如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是的中点； （2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD ；（3）若，且AC=4，求CF 的长．三、巩固提高：1．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝3 5，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A. 点B 、C 均在圆P 外B. 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外 D ．点B 、C 均在圆P 内2．如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB的度数为( )A ．50° B ．80°或50°C ．130° D ．50° 或130°3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°4．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．65．在半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( )A ．6B ．8C ．10D ．126．如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝______度．7．如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是_____________．8．如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，DC 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD ＋∠CAO ＝________.9．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，CD ＝4 2，则∠AED ＝___________.10．如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE ·AB .其中正确结论的序号是_______．11．如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2， CD 平行于AB ，并与AB 相交于点M 、N .(1)求线段OD 的长；(2)若tan ∠C ＝12，求弦MN 的长．12．如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．13．●观察计算当a ＝5，b ＝3时， a ＋b 2与ab 的大小关系是__________________； 当a ＝4，b ＝4时， a ＋b 2与ab 的大小关系是__________________． ●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ，BD ＝b .(1)分别用a 、b 表示线段OC 、CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a 、b 的式子表示)．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a ＋b 2与ab 的大小关系是：_________________. ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．14．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值． .15．如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．(1)证明：B 、C 、E 三点共线；(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D 1CE 1(图2)，若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．四、课外作业：。

圆的基本性质复习课教案seek； pursue； go/search/hanker after； crave； court； woo； go/run after第三章圆的性质1班级__________ 姓名___________复习内容：圆、圆的对称性、圆周角、确定圆的条件.复习要求：1.进一步理解圆及有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆的位置关系；2.探索圆的性质,了解圆心角与圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征.复习重点：圆的有关性质的应用复习过程：一.梳理有关知识点：基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角确定圆的条件：对称性：基本性质垂径定理：圆圆心角、弧、弦的关系定理：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论：1同弧或等弧所的圆周角290°的圆周角所对弦是 ,二.基础练习训练：1. 小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞,其中三角形两边长分别为1cm和2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖,那么这个圆布的直径最小应等于 .2.⊙O的半径为6㎝,OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝,则点A、B、C 与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_____,点B在⊙O_______.OACB3. 如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠ACB=40°,则∠AOB=____,∠OAB=_____.4. 如图,方格纸上一圆经过2,5、-2,2、2,-3、6,2四点,则该圆圆心的坐标为A ．2,-1B ．2,2C ．2,1D ．3,1 三、典型例：例1：如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A 、B 、C, 1用尺规作图法,找出弧ABC 所在圆的圆心O 保留作图痕迹,不写作法； 2设△ABC 是等腰三角形,底边BC = 10cm,腰AB = 6 cm,求圆片的半径R 结果保留根号；3若在2题中的R 的值满足n 〈R 〈mm 、n 为正整数,试估算m 和n 的值.例2 、1如图,在半径为5cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离为3cm,则弦AB 的长是_______ ; 弦AB 所对的圆心角的度数为___________. 2如图,在⊙O 中,弦AB ＝60,弓高CD ＝9,求圆的半径.3已知点P 是半径为5的⊙Ο内一定点,且PO=4,则过点P 的OA D BCOA D BCABC所有弦中,弦长可取到的整数值共有的条数是 . 例3 、如图所示,AB 是⊙O 的弦,半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F,•且AE=BF,请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系,并给予证明．例4：如图,在⊙O 中,直径AB=10,弦AC=6,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.求BC 和AD 的长.例5 、如图,ABC △是⊙O 的内接三角形,AC BC =,D 为⊙O 弧AB 上一点,延长DA 至点E ,使CE CD =．1求证：AE BD =；2若AC BC ⊥,求证：2AD BD CD +=．O ACＥＡＯＤ Ｂ四、达标检：1．如图,BD 为⊙O 的直径,∠A=30°,则∠CBD 的度数为A ．30°B ．60°C ．80°D ．120°2．如图,AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD 等于 A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°3．如图,⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF 等于 A ．80° B ．50° C ．40° D ．20°4、如图,点A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=40°,则∠OBC 的度数是________5．如图,已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 等于____________º.OAC BAB O COBACO BA CE D6.在半径为2的⊙O 中,弦AB 的长为22,则弦AB 所对的圆心角∠AOB 的度数是__________7．如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,且AB=6,BC=3． 1求∠BAC 的度数；2如果OE ⊥AC,垂足为E,求OE 的长；3求∠ADC 的度数．课后作业： 一、选择题：1、半径为6的圆中,圆心角α为60°,则角α所对弦长等于• A ．42 B ．10 C ．8 D ．62、若一个直角三角形的两边分别为6和8,则这个直角三角形外接圆直径是B.10或4或83．在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB 与CD 关系是 A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 4．如图,⊙O 中,如果AB =2AC ,那么 ．A ．AB=2ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC 5．如图,AB 和DE 是⊙O 的直径,弦AC ∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________．二、填空1．⊙O 的直径为10,弦AB =8,P 是弦AB 上一动点,那么OP 长的取值范围是____.第四题第五题2．如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,O 为圆心,OD ⊥AB,垂足为D,OE ⊥AC,•垂足为E,•若DE=3,则BC=________．3．如图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm,DE=2cm,则EF=_______cm ．4．如图,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,AC=3,则△ABC 的周长为________． 5．在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是2、3,则∠BAC 的度数为_______________.6. 如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM ＝120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 的反向延长线与△ABC 的外接圆交于点F ,连接FB 、FC ,且FC 与AB 交于E , 1判断△FBC 的形状,并说明理由；2请探索线段AB 、AC 与AF 之间满足条件的关系式并说明理由.7.已知：⊿ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,交AC 于E,1如图1,当∠A 为锐角时,连接BE,试判断∠BAC 与∠CBE 的关系,并证明你的结论；2如图1中的边AB 不动,边AC 绕点A 按逆时针旋转,当∠BAC 为钝角时,如图2CA 的延长线与⊙O 相交于E,请问：∠BAC 与∠CBE 的关系是否与1中你所得出的关系相同 若相同加以证明；若不同,请说明理由.FBCDMA E(2)(1)C。

圆（二十四章）一、圆的基本性质1．圆的定义（两种）：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆；平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

2．有关概念：弦、直径；弧、等弧、优弧、劣弧、半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆。

3．“三点定圆”定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4．垂径定理及其推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。

推论3：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论4：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

5．“等对等”定理及其推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6.与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弧是半圆。

⑶弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。

二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：d>R d=Rd<R 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 B C A O2.切线的性质（重点）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

Ⅱ、教学内容：圆的基本性质一、认识圆1、圆的定义 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所 形成的图形叫圆，固定的端点 O 叫圆心，线段 OA 叫半径。

由圆的定义可知： 各点到定点（圆心 O）的距离等于定长的点都在圆上。

d = r 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

d < r 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

d > r (d 为任意一点到圆心 O 的 距离，r 为圆 O 半径) 连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆; 圆上任意一条弦（不是直径）的两个端点分圆成大小不同的两条弧， 大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

一个优弧对应一个劣弧！ 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆 ； 能够重合的两个圆叫等圆 ； 两个面积相等的圆叫等圆 ； 周长相等的两个圆是等圆 ； 半径相等的两圆能重合，所以是等圆。

同圆指的是在同一个圆中。

显然，同圆或等圆的半径相等。

圆心和半径都确定了，那么这个圆就确定了。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

随堂练习：1.下列结论正确的是（ ） B.半圆是弧 C.一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优 A.长度相等的两条弧是等弧 弧 D.弧是半圆2.过已知点 A 且半径为 3 厘米的圆的圆心的轨迹是_________________________．3.过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（ A.1 定 4.下列说法正确的是（ A．弦是直径 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且同一个圆中最长的弦 B.2） C.3 D.无法确）5.下列命题中是真命题的有（ ） ① 两个端点能够重合的弧是等弧； ② 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分； ③ 过圆中一个定点可以有无数条弦，但直径只能有一条； ④ 半径相等的圆是等圆； ⑤ 直径是最大的弦； ⑥ 半圆所对的弦是直径； ⑦ 两条半径组成一条直径； ⑧ 圆上两点之间的部分叫做弦； ⑨ 过圆心的线段叫做圆的直径； ⑩ 直径的长度是半径的 2 倍. A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个6.下列说法中，不正确的是（ A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．圆上的点到圆心的距离都相等）D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长7.矩形 ABCD 中，AB=8，BC=3 5 ，点 P 在边 AB 上，且 BP=3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ A．点 B、C 均在圆 P 外 B．点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内 C．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外 D．点 B、C 均在圆 P 内 ）8.如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，∠ QON=30° ，公路 PQ 上 A 处距离 O 点 240 米，如果火车行驶时，周围 200 米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 MN 上沿 MN 方向以 72 千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为（ ）A.12 秒B.16 秒C.20 秒D.24 秒9.已知矩形 ABCD 的边 AB=6，AD=8．如果以点 A 为圆心作⊙ A，使 B，C，D 三点中在圆 内和在圆外都至少有一个点，那么⊙ 的半径 r 的取值范围是（ A ） A.6<r<10 B.8<r<10 C.6<r  8 D.8<r  1010.如图，在 Rt△ABC 中∠ ACB=90° ，AC=6，AB=10，CD 是斜边 AB 上的中线，以 AC 为 直径作⊙ O，设线段 CD 的中点为 P，则点 P 与⊙ 的位置关系是（ O ）A.点 P 在⊙ 内 OB.点 P 在⊙ 上 OC.点 P 在⊙ 外 OD.无法确定11.一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm，则圆的半径为（ A.16cm 或 6cm B.3cm 或 8cm C.3cm） D.8cm能力提升：12.如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC=a，EF=b， NH=c，则 a、b、c 的大小是 _____________________.二、过三点的圆由圆的定义可知：圆心到圆上任意一点的距离都相等（长度为该圆的半径） 。

圆的基本性质复习课教案（市公开课）第一章：圆的定义与性质1.1 圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆。

1.2 圆心：圆的中心点称为圆心。

1.3 半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。

1.4 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段称为直径。

1.5 圆的性质：（1）圆是对称图形，圆心是对称中心。

（2）圆上任意一点到圆心的距离相等，即半径相等。

（3）直径是半径的两倍。

第二章：圆的周长与面积2.1 圆的周长：圆的周长称为圆周率，用符号π表示。

2.2 圆的面积：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。

2.3 圆周率π的值：π约等于3.14159。

第三章：圆的方程3.1 圆的标准方程：圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

3.2 圆的一般方程：圆的方程也可以表示为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

第四章：圆的弧与弦4.1 弧：圆上两点间的部分称为弧。

4.2 弦：圆上任意两点间的线段称为弦。

4.3 直径所对的圆周角是直角。

4.4 圆心角与所对弧的关系：圆心角等于所对弧的两倍。

第五章：圆的相交与切线5.1 圆与圆的相交：两个圆的边界相交称为圆与圆的相交。

5.2 圆与圆的切线：与圆相切的直线称为圆的切线。

5.3 切线的性质：切线与半径垂直，切点处的切线斜率等于半径的斜率的负倒数。

第六章：圆的相切与内切6.1 圆的相切：两个圆仅有一个公共点时，称为相切。

6.2 内切：一个圆内含于另一个圆时，称为内切。

6.3 相切关系的应用：相切圆的半径之和等于两圆心距离。

第七章：圆的方程应用7.1 圆的方程求解：通过给定的条件，求解圆的方程中的未知数。

7.2 圆的方程应用实例：求解圆与直线、圆与圆的交点坐标。

第八章：圆的弧长与角度8.1 弧长：圆周上的一段弧的长度称为弧长。

8.2 圆心角与弧长的关系：圆心角的大小等于所对弧的长度与半径的比值。