圆的基本性质测试

B第三章《圆的基本性质》测试题班级 姓名 学号一、选择题（每题3分，共30分） 1、下列命题为真命题的是 ( )A 、点确定一个圆B 、度数相等的弧相等C 、圆周角是直角的所对弦是直径D 、 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 E.圆有且只有一个内接三角形; F.三角形只有一个外接圆;G 同弧或等弧所对的圆周角相等2、若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是 ( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定3、一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ）A 、2.5 cm 或6.5 cmB 、2.5 cmC 、6.5 cmD 、5 cm 或13cm4. 如图，ABCD 的一边AB 为直径作⊙O ，若⊙O 过点C ，且∠AOC=700，则∠A 等于（ ）A. 1450B. 1400C. 1350D. 1200目5、如图，⊙O 的直径CD=10，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于M ，且DM ∶MC=4∶1，则AB 的长是（ ）A 2B 8C 16 D916、如图，AB 、CD 为⊙O 直径，则下列判断正确的是（ ）A AD 、BC 一定平行且相等B AD 、BC 一定平行但不一定相等 C AD 、BC 一定相等但不一定平行 D AD 、BC 不一定平行也不一定相等7、 如图，当半径为30cm 的转动轮转过1200角时，传送带上的物体A 平移的距离为（ ) A. 900лcm B.300лcm C. 60лcm D.20лcm8、点P 为⊙O 内一点，且OP ＝4，若⊙O 的半径为6，则过点P 的弦长不可能为 （ ）A 302B 12C 8D 10.5第5题 第6题第16题图9、A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O — C — D — O路线作匀速运动．设运动时间为t（s），∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）10（2009黄石）如图5，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1－h2| 等于（）A、5B、6C、7D、8二、填空题（每题4分，共24分）11、在⊙O中，弦AB=AOB＝120°，则⊙O的半径为。

第7题第8题第三章 圆的基本性质能力提升测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ,若︒=∠40ABC ，则=∠BOD （ ） A. ︒20 B. ︒40 C. ︒50 D. ︒802.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB =30°，则sin ∠AOB 的值是（ ） A ． B ．C ．D ．3.用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ） A ．cm B ．3cm C ．4cm D ．4cm4.如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD 的中垂线，交⊙O 于B ，C 两点，2、连接AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形 乙：1、以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点。

2、连接AB ，BC ，CA ．△ABC 即为所求的三角形。

对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）A ．甲、乙均正确B ．甲、乙均错误C ．甲正确、乙错误D ．甲错误，乙正确第4题 第5题 5.如图，已知BD 是⊙O 直径，点A 、C 在⊙O 上，⌒AB =⌒BC，∠AOB =60°，则∠BDC 的 度数是（ ）A.20°B.25°C.30°D. 40°6.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD =12，则⊙O 的直径为（ ） A. 8 B. 10 C.16 D.20第1题 第2题 第3题DCB AO第9题7.如图所示，扇形AOB的圆心角为120︒，半径为2，则图中阴影部分的面积为( )334.-πA2334.-πB3234.-πC34.πD8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．CB=DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．CB=DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD10.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A、是正方形B、是长方形C、是菱形D、以上答案都不对二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为．12．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为________．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．14．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．15.如图所示，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于点D，若AB=20cm，∠A=30°，则AD=cm．16.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则AD=_____________．三、解答题（共7题，共66分）17、（本题8分）如图所示,已知F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任一点,A是弧BF的A BCO第10题第11题第12题第13题第14题第15题第16题中点,AD ⊥BC 于点D .求证:AD =12BF .18（本题8分）.如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,∠CEA =30°, 求CD 的长.19．（本题8分）如图所示,OA 、OB 、OC都是圆O 的半径,∠AOB =2∠BOC ． 求证:∠ACB =2∠BAC .20、（本题10分）如图，弧AC 是劣弧，M 是弧AC 中点，B 为弧AC 上任意一点，自M 向BC 弦引垂线，垂足为D ，求证：AB +BD =DC 。

绝密★启用前第三章圆的基本性质单元测试卷题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断2．如图，AB是直径，，∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径是（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm6．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S17．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm9．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=度．13．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则的长为．14．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，17．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是．18．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM 的最小值为．评卷人得分三．解答题（共6小题，共46分）19．（6分）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．20．（6分）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；（2）若AC=EC，求证：AD=BE．22．（8分）已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．23．（8分）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．（10分）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．参考答案与试题解析1．解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，故选：A．2．解：∵，∠BOC=40°，∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．故选：D．3．解：设AP=x，则PB=5x，那么⊙O的半径是（x+5x）=3x ∵弦CD⊥AB于点P，CD=10cm∴PC=PD=CD=×10=5cm由相交弦定理得CP•PD=AP•P B即5×5=x•5x解得x=或x=﹣（舍去）故⊙O的半径是3x=3cm，故选：C．4．解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．5．解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1=30°（如图），∴a=2cos∠1=，6．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．∴S扇形AOC=；S扇形BOC=．在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，∴S△OBC =，S弓形==，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．7．解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6），∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6），故选：A．8．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=8，OD=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故选：C．9．解：甲，∵=，∴△DEC为等腰三角形，∴L为之中垂线，∴O为两中垂线之交点，即O为△CDE的外心，∴O为此圆圆心．乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，∴、为此圆直径，∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．故选：A．10．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选：B．11.解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴=，∴∠AOC=∠COB=70°，∴∠ADC=AOC=35°，故答案为35．12．解：如图，连接AE，∵点D是的中点，∴∠AED=∠CED，∵∠CED=40°，∴∠AEC=2∠CED=80°，∵四边形ADCE是圆内接四边形，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，故答案为：100．13．解：连接OC，如图，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAO=60°，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=130°﹣60°=70°，∴的长==π．故答案为π．14．解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：则CE=DE，∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，∴OD=OA=2，OM=1，∵∠OME=∠CMA=45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE=OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，∴CD=2DE=；故答案为：．15．解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，∵AD=AC，BE=BC，∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，∴O是△ABC的内心，则r=（AC+BC﹣AB）=（AD+BE﹣AB）=DE=3，∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，故答案为9．16．解：设BE，DG交于O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOG=90°，∴BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确．故答案为：①②③．17．解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．又∵OE∥AC，∴∠ACB=∠COE=90°．∴在直角△OEC 中，OC=2，CE=4， ∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2∴S 阴影=S 扇形BCE ﹣S 扇形BOD ﹣S △OCE =﹣π×22﹣×2×2=﹣2，故答案为：﹣2．18．解：如图，作点C 关于AB 的对称点C′，连接C′D 与AB 相交于点M ， 此时，点M 为CM +DM 的最小值时的位置， 由垂径定理，=，∴=，∵==，AB 为直径，∴C ′D 为直径，∴CM +DM 的最小值是16． 故答案是：16．19．证明：连接OC ， ∵=，∴∠AOC=∠BOC ．∵CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ， ∴∠CDO=∠CEO=90° 在△COD 与△COE 中， ∵，∴△COD ≌△COE （AAS ）， ∴OD=OE ，∵AO=BO，∴AD=BE．20．解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=2a，∴CE=AC﹣AE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．21．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∵∠ADC=86°，∴∠ABC=94°，∴∠CBE=180°﹣94°=86°；（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD=BE．22．解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，∵OD=OC=CD=2∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°∴∠DBC=30°∴∠EBD=30°∵AB为直径，∴∠ADB=90°∴∠E=90°﹣300=600∠E的度数为600；（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°，∴∠DAC=30°，∴∠EBD=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠E=90°﹣30°=60°，（3）如图3，连结OD，OC，∵OD=OC=CD=2， ∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC=60°， ∴∠CBD=30°， ∴∠ADB=90°， ∴∠BED=60°， ∴∠AEC=60°．23．解：（1）连接OD ，OC ， ∵C 、D 是半圆O 上的三等分点， ∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°， ∴∠CAB=30°， ∵DE ⊥AB ， ∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°； （2）由（1）知，∠AOD=60°， ∵OA=OD ，AB=4，∴△AOD 是等边三角形，OA=2， ∵DE ⊥AO ， ∴DE=，∴S 阴影=S 扇形AOD ﹣S △AOD =﹣×=π﹣．24．（1）证明：∵CD ⊥AB∴∠CEB=90°∴∠C+∠B=90°，同理∠C+∠CNM=90°∴∠CNM=∠B，∵∠CNM=∠AND∴∠AND=∠B，∵，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN=AD，CD⊥AB∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=或x=﹣3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×+1=，即⊙O的半径为．。

圆的基本性质练习（含答案）圆的基本性质考点1 对称性圆既是__________ ①______ 对称图形，又是 _________ ②____ 对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。

它的对称中心是_ ④ _____________________ 。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦所对的两条__⑥ __________ 。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于__________ ⑦ _______ ，并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ，所对的弦也______ ⑩_________ o常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—a ______________ ，所对的弦____ J2 __________ o(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 _______ 13 _____________ ，所对的弧 __________ 14方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

圆的基本性质测试题班级 姓名 得分一：选择题（每题3分，共30分）（ ）1.下列语句中不正确的有①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线， ④半圆是弧，⑸直径是圆内 最长的弦，⑥等弧所对的圆周角相等. A ．3个 Ｂ．4个 C ．5个 Ｄ．6个（ ）2. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是：A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5 （ ）3．如图，，已知AB 是⊙O 的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=A.400B. 600C.800D.1200（ ）4．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则 ∠AOB 等于:A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°(第3题) (第4题) （第5题） （第6题）（ ）5. 两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为A ．(45)+ cmB ．9 cmC ．45cmD ．62cm（ ）6. 如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30︒，则∠CBD 的度数是 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．80︒（ ）7．AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30º，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是:A ．30ºB ．60ºC ．45ºD ．75º（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）（ ）8．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB =2cm ，∠BCD =22°30′，则⊙O 的半径为: A .4cm B.2cm C.1cm D.0.5cm （ ）9. 已知⊙O 的直径AB=12，弦AC=6，AD=62，则∠CAD=A. 60°B. 450C.1050 或150D. 60°或 450（ ）10．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°，D 为的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为: Ａ．22 Ｂ.2 Ｃ.1 Ｄ.2二：填空题（每题3分，共18分）11. 如图，⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距 离为 。

第3章圆的基本性质章末题型过关卷【浙教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2022秋•梁平区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，0）B．（0，0）C．（﹣1，1）D．（1，0）2．（2022•青羊区校级自主招生）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）A．2B．√2C．√3D．33．（2022秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD ＝6cm ，则球的半径为（ ）A ．3cmB ．134cmC ．154cmD ．174cm 4．（2022•武汉模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的弦，C 为优弧ABE 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ．若AE ＝8，DB ＝2，则⊙O 的半径为（ ）A ．6B ．5C ．4√2D ．4√35．（2022•中山市三模）如图，AB 是⊙O 的直径，若AC ＝2，∠D ＝60°，则BC 长等于（ ）A ．4B ．5C ．√3D ．2√36．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC 的顶点A 在⊙O 上，边AB 、AC 与⊙O 分别交于点D 、E ，点F 是劣弧DÊ上一点，且与D 、E 不重合，连接DF 、EF ，则∠DFE 的度数为（ ）A ．115°B ．118°C ．120°D ．125°7．（2022•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④8．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD ⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（）A．5B．2.5C．3D．29．（2022•江汉区模拟）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（）A．5B．2√2C．52D．√85410．（2022春•龙华区校级月考）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是AB̂上的一动点（不与A，B重合），点F是BĈ上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①AE＝BF；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+√2．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2022•平房区二模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．12．（2022•任城区校级三模）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为．13．（2022•曹县三模）如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为．14．如图四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，直径AB＝6，∠ADC＝140°，则劣弧BD的长为．15．如图，已知扇形ACB中，∠ACB＝90°，以BC为直径作半圆O，过点O作AC的平行线，分别交半圆O，弧AB于点D、E，若扇形ACB的半径为8，则图中阴影部分的面积是．16．（2022•越秀区校级二模）如图，⊙O的半径为2√3，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（2022秋•安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．18．（2022•白云区二模）已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是AD̂的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．19．（2022春•平南县期末）如图，两条原点重合，且互相垂直的数轴构成的平面叫做平面直角坐标系，其中横向的数轴叫做x轴，纵向的数轴叫做y轴，两数轴的交点叫做原点．现有△ABC位于一平面直角坐标系中．（1）请画出将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．̂=AÊ，BE分20．（2022•天心区二模）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB 别交AD、AC于点F、G．（1）证明：F A＝FG；（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．21．（2022•肥东县二模）如图，⊙O的直径CD分别与弦AB，AF交于点E，H，连接CF，AD，AO．已知CF＝CH，FB＝BD．（1）求证：AB⊥CD；（2）若AE＝4，OH＝1，求AO的长．22．（2022秋•梁平区期末）根据垂直定理解答下列问题：（1）如图①，在弓形ABC中，弓形高CD＝2米，弦AB＝12米，求弓形所在的圆的半径．（2）如图②中，作直径AC、BD，使得AC⊥BD，连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD的形状是；（3）在途②中，作直径A′C′⊥AB于点E，交CD于点F，作直径B′D′⊥BC于点G，交AD于H，求证：八边形AA′BB′CC′DD′是正八边形；（4）在图②中，直径A′C′将弓形AA′B分成面积相等的两部分，请你将图③中弓形的面积分成相等的四部分，只说作法，不说理由．23．（2022•社旗县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务；阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Biruni（973年﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al ﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M̂的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．是ABC这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．̂的中点，∵M是ABC∴MA＝MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；̂上一点，∠ABD＝15°，CE⊥BD于点E，CE＝（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC2，连接AD，则△DAB的周长是．。

浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A．三个点可以确定一个圆B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．长度相等的弧是等弧2．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）A．24B．22C．12D．63．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=40∘，则∠AOB的度数是（ ）A．50∘B．60∘C．70∘D．80∘4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（）A．5B．5C．25D．65．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）A．28°B．30°C．36°D．56°6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为（ ）A ．103πB ．109πC ．59πD ．518π7．如图， AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若 ∠ABC =50° ，则 ∠BDC 的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．130°D ．140°8． 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）A ．3B ．6C ．3D ．239．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程：①作直径AF ；②以点F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接AM ，MN ，AN ．结论Ⅰ：△AMN 是等边三角形；结论Ⅱ：从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对10．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E （0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（ ）A．3B．412C．72D．5二、填空题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝ °．12．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC= ．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，若四边形ABCD的外角∠DCE=65°，则∠BAD的度数是 ．14．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 ．的面积，可得π的估计值为33216．如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心5为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则A D2+B D2的最大值为 ．三、解答题17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，AD=BD，∠CAB=32°．求∠ACD的度数．18．如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求AB的长．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为__________；（2）BC与B1C1的位置和数量关系为___________；（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2(―1,―2)，B2(1,―3)，C2(0,―5)，则旋转中心的坐标为___________．20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求∠ACB的度数；（2）求BC的长；（3）求AD，BD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，C是⏜BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF．（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．22．如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少?说明你的理由.（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积(结果保留π).23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，（点P不与A､B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD．（1）求CD的长．（2）若CP=PQ，直接写出AP的长．（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ．②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】3512．【答案】513．【答案】65°14．【答案】15°15．【答案】316．【答案】49217．【答案】61°18．【答案】1619．【答案】（1）(2,2)；（2）平行且相等；（3）(0,―1)．20．【答案】（1）∠ACB=90°（2）BC=8cm（3）BD=AD=52cm21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB=90°-∠ABC，又∵C是BD的中点，∴CD=BC，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF= BF；（2）解：∵BC=CD，∴BC=CD=6．在Rt△ABC中，AB= BC2+AC2=62+82=10，∴⊙O的半径为5；∵S△ABC= 12AB×CE= 12BC×AC，∴CE= BC×ACAB =6×810=245.22．【答案】（1）解：如图所示，连接OD，∵D为BC的中点，∴∠CAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥EF.∴OD的长是圆心O到EF的距离.∵AB=90 cm，∴OD=12AB=45 cm.（2）解：如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G.∵DA=DF，∴∠F=∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°.∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD.∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2，∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD=6.在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG=OA2―O G2=33，AD=23，S△AOD=1×63×3=93.2+93=6π+93.∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×6236023．【答案】（1）解：连接OD，∵直径AB=10，AE=8，∴BE=2.∴OE=5-2=3.又∵AB⊥CD，在Rt△PED中，P D2=P E2+E D2∴ED=52―32=4∴CD=2ED=8（2）解：若CP=PQ，则点P与点O重合，或点P与点E重合．所以AP=5或8（3）解：①连接AC，由图可知∠ACQ=∠ADQ，因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，所以CE=DE，即AB是CD的垂直平分线，所以AC=AD，PC=PD，因为AP=AP，所以∠ACP=∠ADP ，所以∠ADP=∠ADQ ．②∠ADP+∠ADQ=180°．理由如下：连接AC ，因为AB 是直径，AB ⊥CD ，所以AC=AD ，CE=DE ，所以△ACP ≌△ADP （SSS ），所以∠ACP=∠ADP ，因为∠ACP=12ADQ ，∠ADQ=12ACQ ，所以∠ACP+∠ADQ=12（ADQ +ACQ ）=180°．。

初中数学：圆的基本性质测试题（含答案）一、选择题(每小题4分，共24分)1．如图G －3－1，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15°2．在同圆或等圆中，下列说法错误的是( ) A ．相等的弦所对的弧相等 B ．相等的弦所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．相等的圆心角所对的弦相等G －3－1G －3－23．如图G －3－2，在两个同心圆中，大圆的半径OA ，OB ，OC ，OD 分别交小圆于点E ，F ，G ，H ，∠AOB ＝∠GOH ，则下列结论中，错误的是( )A ．EF ＝GH B.EF ︵＝GH ︵ C ．∠AOC ＝∠BOD D.AB ︵＝GH ︵4．已知正六边形的边长为2，则它的外接圆的半径为( )A．1 B. 3 C．2 D．2 35．在如图G－3－3所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船(S)不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须( ) A．大于60° B．小于60°C．大于30° D．小于30°G－3－3G－3－46．如图G－3－4，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC 平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( ) A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥C．②③④⑥ D．①③④⑤二、填空题(每小题4分，共24分)7．如图G－3－5，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A＝________°.G－3－5G－3－68．如图G－3－6，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝________°.9．如图G－3－7，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．G－3－7G－3－810．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图G－3－8所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________°.11．如图G－3－9，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC.若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为________．G－3－9图G－3－1012．如图G－3－10，已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O，则B，D 两点间的距离为__________．三、解答题(共52分)13．(12分)如图G－3－11所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．图G－3－1114．(12分)如图G－3－12，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC 的平分线交AD于点E，连结DB.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径．图G －3－1215．(12分)作图与证明：如图G －3－13，已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，请完成下列任务：(1)作⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；(2)连结BF ，CE ，判断四边形BCEF 的形状，并加以证明．图G －3－1316．(16分)如图G －3－14，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD ︵上任意一点，连结DE ，AE .(1)求∠AED的度数；(2)如图②，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连结AF，AF＝1，AE＝4，求DE 的长．图G－3－14详解详析1．C 2.A 3.D 4.C 5.D6．D [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°，即AD⊥BD，∴①正确；∵OC∥BD，∴∠C＝∠CBD.又∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，即BC平分∠ABD，∴③正确；∵∠D＝90°，OC∥BD，∴∠CFD＝∠D＝90°，即OC⊥AD，∴AF＝DF，∴④正确；又∵AO＝BO，∴OF是△ABD的中位线，∴OF＝12BD，即BD＝2OF，∴⑤正确．故选D.7．45 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝12(180°－∠C)＝45°.8．509．4 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝6，AB＝10，∴AC ＝102－62＝8.∵OD⊥BC于点D，∴DB＝DC.又∵OA＝OB，∴OD＝12AC＝4.10．3611．4 3 [解析] ∵∠BAC＋∠BOC＝180°，2∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝120°，∠BAC＝60°.过点O作OD⊥BC于点D，则∠BOD＝12∠BOC＝60°.∵OB＝4，∴OD＝2，∴BD＝OB2－OD2＝42－22＝2 3，∴BC＝2BD＝4 3.12．4 3 [解析] 如图，连结OB，OC，OD，BD，BD交OC于点P，∴∠BOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD ＝120°，BC ︵＝CD ︵， ∴OC ⊥BD . ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝30°. ∵OB ＝4，∴PB ＝OB ·cos ∠OBD ＝32OB ＝2 3， ∴BD ＝2PB ＝4 3.13．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝4 2. ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠DCA ＝∠BCD ， ∴AD ︵＝BD ︵， ∴AD ＝BD ，∴在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝3 2，∴四边形ADBC 的面积＝S △ABC ＋S △ABD ＝12AC ·BC ＋12AD ·BD ＝12×2×4 2＋12×32×3 2＝9＋4 2.故四边形ADBC的面积是9＋4 2.14．解：(1)证明：连结CD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∴∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.(2)∵∠BAC＝90°，∴BC是圆的直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，∴BC＝BD2＋CD2＝4 2.∴△ABC的外接圆半径为2 2.15．解：(1)如图①，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O 于点B ，F ，C ，E ，连结AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，AF ，则正六边形ABCDEF 即为所求．(2)四边形BCEF 是矩形．证明：如图②，连结OE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝DE ＝DC ＝FE ＝BC ，∴AB ︵＝AF ︵＝DE ︵＝DC ︵，∴BF ︵＝CE ︵，∴BF ＝CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形．∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠DEF ＝∠EDC ＝120°.∵DE ＝DC ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEF ＝∠DEF －∠DEC ＝90°，∴平行四边形BCEF 是矩形．16．解：(1)如图①，连结OA ，OD .∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝12∠AOD＝45°.(2)如图②，连结CF，CE，CA，过点D作DH⊥AE于点H.∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.∵∠CFA＝∠AEC＝90°，∠AED＝∠BFC＝45°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°.又∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝AE2＋CE2＝17，∴AD＝22AC＝342.∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝EH，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2＋DH2，∴344＝(4－x)2＋x2，解得x＝32或x＝52，∴DE＝2DH＝3 22或5 22.。

圆的基本性质一、选择题1、下面三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等的圆心角所对的弧相等。

其中是真命题的是 （ ）A.①②；B. ①③；C. ②③；D. ①②③。

2、已知⊙O 的半径为5cm ，P 为该圆内一点，且OP=1cm ，则过点P 的弦中，最短的弦长为（ ）A 、8cm ；B 、6cm ；C 、； D 、。

3.如图1，CD 是O 的直径，A B ，是O 上的两点，若20ABD ∠=，则ADC ∠的度数为（ ）A ．40B ．50 C ．60 D ．70图1 图2 图34、如图2，点A 、B 、D 、C 是⊙O 上的四个点，且∠BOC=110°，则∠BAC 的度数是（ ）A.110°B.70°C.100°D.55°5、如图3，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A 、45 ；B 、60 ；C 、75 ；D 、90。

6、如图4，AD 平分∠BAC ，则图中相似三角形有（ ）A 、2对；B 、3对；C 、4对；D 、5对。

图4D二、精心填一填（每小题3分，共24分）7、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E。

若______,则CE=DE（只须填上一个适合的条件即可）。

8、已知AB、CD为⊙O的两条弦，圆心O到它们的距离分别为OM、ON，如果AB>CD，那么OM____ON。

（填“>、=、<”中的一种）9、在⊙O中，AB是直径，CD是弦，若AB⊥CD于E，且AE=2，EB=8，则CD=__________．10、△ABC的三边长分别是AB=4cm，AC=2cm，，以点C为圆心，CA为半径画圆交边AB于另一点D，设AD的中点为E，则CE=_______。

11、半径为10cm的圆内有两条平行弦，长度分别为12cm、16cm，则这两条平所弦间的距离为_______cm。

圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）第1题图第2题图第4题图A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'2．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）A．(−3，3)B．(−3，0)C．(3，3)D．(−23，0)4．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD 的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）A．2−1B．2+1C．4−2D．22−25．△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B=∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF 与⊙O的位置关系：甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切；第5题图第6题图第7题图下列判断正确的是（ ）A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对6．如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心O 2，若O 1O 2=2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在边BC 上．结论Ⅰ：若⊙O 的半径为2，P 是边BC 的中点，则PE 的长为13；结论Ⅱ：连接PF ．若S △PEF =32，则EF 的长为π3，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（ ）A ．只有结论Ⅰ对B ．只有结论Ⅱ对C ．结论Ⅰ、Ⅱ都对D ．结论Ⅰ、Ⅱ都不对8．已知等腰直角三角形OAC ，∠OAC ＝90°，以O 为圆心，OA 为半径的圆交OC 于点F ，过点F 作AC的垂线交⊙O 于点E ，交AC 于点B.连结AE ，交OC 于点D ，若OD ＝1+22，则AB 的长为（ ）第8题图 第9题图 第10题图A ．2B ．22C ．2+1D ．2+29．如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC 于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB =3，则阴影部分周长的最小值为（ ）A ．62+π2B ．22+π3C ．62+π3D ．2+2π310．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC ，BD 相交于点P ，连结AD ，OD ．已知OD ⊥AC 于点E ，AB ＝2．下列结论其中正确的是（ ）①∠DBC +∠ADO ＝90°；②AD 2+AC 2＝4；③若AC ＝BD ，则DE ＝OE ；④若点P 为BD 的中点，则DE ＝2OE ．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为 ．第11题图 第12题图 第13题图12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．以点A 为圆心，AD 长为半径作弧交AB 于点E ，再以AB为直径作半圆，与DE 交于点F ，则图中阴影部分的面积为 ．13．如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，点C 为⊙O 上一动点，过点C 作CB ⊥l ，垂足为B ，已知⊙O 的半径为6，则BC +43AB 的最大值为　　．14．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的面积为2π，MN =1，则（1）⊙O 的直径长为 ；（2）△AMN 周长的最小值是 ．第14题图 第15题图 第16题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的点，连接CD ，AC ，OD ，且AB =4，OD ∥AC ，设CD =x,AC =y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ．16．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①∠ABD ＝∠DAC ；②AF ＝FG ；③当DG ＝2，GB ＝3时，FG =142；④当BD =2AD ，AB ＝6时，△DFG 的面积是3，上述结论中，正确结论的序号有　　．三、综合题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）17．如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．（1）求证：∠ABE=∠C；（2）若AC平分∠OAE，求AFFC的值18．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO=∠ABD；（2）若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．20．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.①求∠E的度数(用含α的代数式表示).②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.22．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC 于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）求证：点B在⊙M上．（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．（3）当点D到移动到使∠CMG=30°时，求证：A E2+C F2=E F2．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD 、∠EBC 分别是△EBC 和△ABF 的一个外角，∠EBC=∠A+∠F ，∠BCD=∠E+∠EBC ，∴∠BCD=∠E+∠A+∠F ，∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，解之：∠A=41°.故答案为：C. 2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵OC ⊥AB ，且AB =43，∴∠ADO=90°，且AD =12AB =23，∵sin ∠AOC=sin60°=AD AO，∴AO =ADsin60°=2332=4，∵OP=5＞AO=4，∴点P 在圆O 外部.故答案为：C. 3．【答案】D【解析】【解答】解：过B 作BH ⊥y 轴于H ，在Rt△ABH中，∠AHB=90°,∠BAH=180°−120°=60°,AB=OA=2，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=1，OH=OA+AH=3，由勾股定理得BH=AB2−AH2=3，∴B(3,3)，由题意，可得：B1(−3,3),B2(−23,0),B3(−3,−3),B4(3,−3),B5(23,0),B6(3,3),⋯，6次一个循环，∵2024÷6=337……2，∴第2024次旋转后，点B的坐标为(−23,0)，故答案为：D．4．【答案】A【解析】【解答】解：连接CO，如图，由三角形两边之差小于第三边，当C、O、E共线时，OE最小，设⏜AC的弧度为x，则⏜BC的弧度为180°-x，∵∠CAB=∠CAD，∴⏜CD的弧度为180°-x，由折叠知：⏜AEC=⏜AC=x，⏜AD=x-(180°-x）=2x-180°，∵点E为弧AD的中点，∴⏜AE=12⏜AD=x-90°，∴⏜CE=⏜AC-⏜AE=90°，∴⏜CE所对圆心角为90°，∵直径AB=2，∴ CE=2，∴OE= CE-OC=2−1.故答案为：A.5．【答案】C【解析】【解答】解：甲：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，∴EF⊥AB，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线；乙：作直径AM，连接CM，如图所示：即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠AMC，∵AM是⊙O的直径，∴∠MCA=90°，∴∠MAC+∠AMC=90°，∴∠EAC+∠MAC=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．故答案为：C 6．【答案】D7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CE 、OB 、OC ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BCD =∠CDE =(6−2)⋅180°6=120°，CD =DE ，∠BOC =360°6=60°，OB =OC ，∴∠DCE =∠DEC =12(180°−∠CDE)=30°，△OBC 是等边三角形，∴CH =EH =12CE =CD ⋅cos ∠DCE =3，∠PCE =∠BCD−∠DCE =90°，EF =BC =OB =OC =CD =2，∴CE =23，∵P 是边BC 的中点，∴CP =BP =12BC =1，∴PE =PC 2+CE 2=12+(23)2=13，故结论Ⅰ正确；设点N 是边BC 的中点，连接NO 并延长交EF 于点M ，连接OE 、OF ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴NM ⊥EF ，NM ⊥BC ，FM =EM =12EF =12a ，∠EOF =360°6=60°，EF ∥BC ，∴S △NEF =S △PEF =32，由Ⅰ的解答过程可知，CH=EH=12CE=CD⋅cos∠DCE=32a，∠NCE=∠BCD−∠DCE=90°，EF=BC=OB=OC=a，∴CE=3a，四边形NCEM是矩形，∴MN=CE=3a，∴12EF⋅MN=12×a×3a=32，∴a=1，∴EF的长为60π×1180=π3，故Ⅱ正确，故答案为：C.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：设⊙O的半径为R∵∠OAC = 90°，OA=AC=R∴∠O=∠C=45°∴∠E=12∠O==22.5°在Rt△0AC中，由勾股定理得：OC = OA2+AC2=2R∵OD=2∴CD=OC-OD=2R−2∵EB⊥AC，∠C =45°∴△BFC为等腰直角三角形，∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°在Rt△ABE中，∠E =22.5°，∠ABE = 90°∴∠CAE =90°-∠E=67.5°∴∠CAE = ∠ADC∴AC=CD，即R= 2R−2，解得：r=2+2，即OA=2+2∵OH⊥AEOH是AE的垂直平分线∴AH = EH∴∠EAH= ∠E= 22.5°∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°∴△ABH为等腰直角三角形∴AB =BH∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°∴OH⊥AE，∠EAH=22.5°∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°∴AH =OA=2+2，在Rt△ABH中，AB = BH，AH=2+2由勾股定理得：A B2+B H2=A H2即2A B2=（2+2）2∴AB=2+1故答案为：2+1.9．【答案】A【解析】【解答】解：由于CD是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可作点D关于OB对称的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，则OC=OD′，CE+DE=CD′，此时CE+DE为最小值连接OD′，∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠BOD =∠COD =12∠BOC =30°，∴∠BOD =∠BOD ′=30°，∠COD ′=90°，在Rt △COD ′中，CD ′=OC 2+OD ′2=2OC =2OB =32，CD =30π×3180=12π，阴影部分周长的最小值为12π+32=62+π2．故答案为：A ．10．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ACB =90°，∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴∠DBC =∠BDO ，∵∠BDO +∠ADO =90°，∴∠DBC +∠ADO =90°，①正确；∵∠ACB =90°，∴B C 2+A C 2=A B 2=4，AB =2，根据条件无法得到BC =AD ，②错误；∵AC =BD ，∴⏜AD =⏜BD ，∴⏜AD =⏜BC ，∵OD ⊥AC ，∴⏜AD =⏜CD ，∴⏜AD=⏜BC=⏜CD，∴∠AOD=13×180°=60°，∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形∵AE⊥OD，∴DE=OE，③正确；若点P为BD的中点，则PD=PB，∵∠PED=∠BCP=90°，∠EPD=∠CPB，∴△EPD≅△CPB(AAS)，∴DE=BC，∵OD⊥AC，O为AB的中点，∴BC=2OE，∴DE=2OE，④正确；故答案为：B.11．【答案】212．【答案】3+23π【解析】【解答】解：连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，∴AD=AE=AF=2，∵再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，∴AE=BE=2，AE=EF，∴AF=AE=EF=2，∴△AEF是等边三角形，∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=3∴S扇形FAE=60π×22360=23π，S弓形AF=60π×22360−12×23=23π−3，∴S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF=12×4π−23π−(23π−3)=3+23π故答案为：3+2 3π.13．【答案】83614．【答案】22；415．【答案】y=−12x2+416．【答案】①②③【解析】【解答】解：如图：连接DC，∵D是AC的中点，∴AD=DC，由圆周角定理的推论得：∠ABD=∠DAC，故①正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG，即②正确；在△ADG和△BDA，{∠ADG =∠BDA∠DAG =∠DBA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴AD BD =GDAD ，即：AD 2+3=2AD，解得：AD =10，由勾股定理得：AG =AD 2+DG 2=10+4=14，∵AF =FG ，∴FG =12AG =142，故③正确；如图：假设半圆的圆心为O ，连接OD ,CO ,CD ，∵BD =2AD ，AB =6，D 是AC 的中点，∴AD =DC =13AB ,∴∠AOD =∠DOC =60°，∵OA =OD =OC ，∴△AOD ,△ODC 是等边三角形，∴OA =AD =CD =OC =OD =6，∴四边形ADCO 是菱形，∴∠DAC =∠OAC =12∠DAO =30°，∵∠ADB =90°，∴tan ∠DAC =tan30°=DGAD ，即33=DG 6，解得：DG =23，∴S △ADG =12AD ⋅DG =12×6×23=63，∵AF =FG∴S △DFG =12S △ADG =33，故④错误．故答案为：①②③．17．【答案】（1）证明：∵OA ⊥BE ，∴AB=AE，∴∠ABE=∠C；（2）解：∵AC平分∠OAE，∴∠OAC=∠EAC，∵∠EAC=∠EBC，∴∠OAC=∠EBC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠EBC=∠C，∴BF=CF，由（1）∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠EBC，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°，∴∠ABE=30°，∴AF=12 BF，∴AF=12 CF，即AFCF=12．18．【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD ∴AB=AD∴∠ABD=∠C又∵OB=OC∴∠OBC=∠C∴∠CBO=∠ABD（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm∴直径AC=AE+CE=20cm∴OA=OB=10cm∴OE=OA-AE=10-4=6cm∵AC是直径，AC⊥BD∴BE=ED= BO2−OE2=8cm∴BD=2BE=16cm19．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AC＝CD，即点D为AC的中点；（2）解：OF⊥AC，∴AF＝12AC＝8，∵DF＝4，∴OF＝OD−DF＝OA−4，∵OA2＝AF2＋OF2，∴OA2＝82＋(OA−4)2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．20．【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°．∴∠ABE＋∠BAE＝90°．∴AD＋BC＝180°．∴AB＋CD＝180°．∵AC＝BD，∴AC＝BD．∴AC−AD=BD−AD．∴AB=CD．∴AB＝90°．∴∠ACB＝45°．（2）解：如图，连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H.∵∠BCD=60°, ∴∠BOD=120°.∵OH⊥BD,∴∠BOH=60°, BH=DH.在Rt△BHO中，∠BOH=60°,OB=10，∴OH=5,BH=53.∴BD=103=AC.∴S四边形ABCD=12×103×103=150.（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．∵OF⊥BC，∴BF＝CF，即点F是BC的中点．又∵点O是BM的中点，∴OF是△BCM的中位线．∴CM＝2OF．∵DM⊥BD，AC⊥BD，∴DM∥AC．∴AD＝CM．∴AD＝2OF．21．【答案】（1）证明：如图1，∵AB=CD，∴AB=CD，即AC+BC=BD+BC，∴AC =BD ，∴∠A =∠D ，∴AM =DM ；（2）解：①∠M =90°−12α°.理由如下：连接AC ，如图，∵BE =BC =α°，∴∠CAB =12α°，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC =90°，∴∠M =∠C =90°−12α°；②∵BE =BC =α°，∴∠CAB =∠EAB ，∵AB ⊥CD ，∴AC =AF ，∴∠ACF =∠AFC ，∵∠ACF =∠E ，∠AFC =∠DFE ，∴∠DFE =∠E ，∴DF =DE =7，∵AM =DM ，∴AM =MF +7，∵AM +MF =17，∴MF +7+MF =17，解得MF =5，∴AM =12，∴S △ADF =12×7×12=42.22．【答案】（1）证明：根据题意得CM=DM=12CD，∵∠ABC=90°，∴BM=12 CD，∴CM=DM=BM，∴点B在⊙M上．（2）解：连接DE，如图，∵CD⊥BE，CD为⊙M直径，∴BD=DE，∠ABC=∠DEC=90°，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴DE=AE，∴AD=2DE=2BD，∴AD+BD=AB=(2+1)BD，∴BC=(2+1)BD，∴BCBD=2+1．（3）证明：过点B作BN⊥BG，过点A作AN⊥AE，交BN于点N，连接DE，NE，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAC=∠BCA=45°，∴∠BAN=∠BCF=45°，∵M为CD的中点，∴MD =MB =MC ，∵∠CMG =∠MBC +∠MCB =30°，∴∠MDB =∠MBD =75°，∠MBC =∠MCB =15°，∠DCE =∠BCE−∠MCB =30°，∴∠EDC =∠EBC =60°，∴∠EBF =∠EBC−∠MBC =45°，∴∠EBF =∠EBN =45°，∴∠ABN =90°−∠ABF =∠CBF ，∵{∠ABN=∠CBFAB =BC ∠BAN =∠BCF ，∴△BAN≌△BCF(ASA)，∴AN =CF ，BN =BF ，∵{BN =BF∠NBE =∠FBE BE =BE ，∴△NBE≌△FBE(SAS)，∴NE =EF ，在Rt △AEN 中，N E 2=A N 2+A E 2，∴E F 2=C F 2+A E 2．。