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函数的表达方法
表达函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.结合其意义,优点与不足,分别说明如下. (1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法.用解析式表示函数的优点是简明扼要,规范准确.已学利用函数的解析式,求自变量x=a时对应的函数值,还可利用函数的解析式,列表,描点,画函数的图象,进而研究函数的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或推导函数的性质(如对称性,增减性等),探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y的对应值需要逐个计算,有时比较繁杂. (2)通过列表给出y与x的对应数值,表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生. (3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法.用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化,点的对称,最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的,局部的,观察或由图象确定的函数值往往不够准确. 由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用,扬长避短,优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;最后是画出函数的图象.。
一次函数的一般表达形式一、函数1. 函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x 的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x 叫自变量。
2. 函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式或函数关系式。
3. 函数的表示方法：常用的有解析式法和图象法。
4. 函数值：自变量x对应的函数值叫做函数值。
二、函数的三种表达方式1. 解析式法：用等式表示两个变量间的函数关系，如y＝kx＋b。
这种表示法最为普遍，人们经常用这种形式来讨论函数问题。
2. 列表法：用列表的方法来表示两个变量之间的函数关系，如上表；或者列出x在某一范围内的函数值，从中得知函数的增减性等。
3. 图象法：用图象来表示两个变量之间的函数关系。
从图象可以看出函数的大致情况，便于对函数进行分析，作出判断。
三、正比例函数的表示方法1. 用解析式表示：y＝kx（k为常数，k≠0）。
如y＝4x。
2. 用图象表示：图象是一条直线。
它经过原点（0，0），斜向右上（或左下），倾斜角为α（α＝kπ），图上每一点（x，y）满足函数关系y＝kx。
当k>0时，直线落在第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线落在第二、四象限，y随x的增大而减小。
3. 用列表表示：表中列举了一组x与y的对应值，这种列表法也可从图象上直接看出函数的增减性。
四、一次函数的表示方法1. 一次函数的解析式形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）。
特别地当b＝0时，y＝kx（k为常数，k≠0），称y是x的正比例函数。
2. 图象是一条直线。
直线通过原点时，截距为0。
直线上任一点（x，y）满足函数关系y＝kx＋b。
当k>0时，直线y＝kx＋b在第一、三象限；当k<0时，直线在第二、四象限。
3. 列表法：表中列举了一组x与y的对应值，从表中可以知道当x增大时，y的变化情况。
五、二次函数的表示方法1. 解析式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a ≠0）。
函数的表示方法一：函数的三种表示方法：（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）；如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等．优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变 求解解析式的常用方法有：换元法，代入法，待定系数法等（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）；如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等． 优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）．如：优点：直观形象地表示自变量的变化．（4）.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着 ，这样的函数通常叫做 。
二：【典例示范】例1. 画出函数y=|x|=⎩⎨⎧<-≥.0,0x xx x 的图象. 例2. 作出分段函数21++-=x x y 的图像． 例3. 求解函数值①．在函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x =，则x 的值为 ．②．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则{[(1)]}f f f -= ．③． 已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出：则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是④．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x = ．例4 求下列函数的解析式：（1）．设函数3,(1)()62,(1)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，()21g x x =-， 求①3(2),(())2f f f 的值；②试求)]([x g f 和[()]g f x 解析式(2)已知：f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )＝a .x 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．变式1 已知f (2x ＋1)＝x 2＋1，求f (x )的解析式． 三 课堂练习1. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ） A 1 B 1或32 C 1，32或 D2．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为______3.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__ ________；4.已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x5.已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式．6.已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
函数的三种表示方法
表示方法有列表法、图象法、解析式法。
用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。
用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。
用图像的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。
扩展资料
1、解析式法
用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。
并不是所有函数都有解析式，对于类似气温随时间变化的函数是没有解析式的。
优点：能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；
缺点：求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。
2、列表法
用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。
意义，第一，在已知函数部分性质的情况下，通过表中的数据比较函数的增减性；第二，通过数据进行函数的拟和或者求函数。
优点：通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；
缺点：只能列出部分对应值，难以反映函数的'全貌。
3、图像法
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
这种表示函数关系的方法叫做图象法。
所有函数都有图像，但并不是所有图像都有函数，比如圆的方程，因为函数要满足一一对应性。
在解决线性问题的时候，准确的函数图像可能可以直接让你看出答案。
优点：通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点：从图象观察得到的数量关系是近似的。
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~。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
指数函数指数函数的一般形式为(0,1)a且y x a a=>≠（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
奇偶性1．定义：一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言，②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2．奇偶函数图像的特征：定理：奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y 轴或轴对称图形。
初高中函数知识点总结大全正比例函数形如y=kx （k为常数，k≠0）形式，y是x的正比例函数。
1.定义域:R(实数集)2.值域:R(实数集)3.奇偶性:奇函数4.单调性:当k>0时，图像位于第一、三象限，y随x的增大而增大(单调递增);当k<0时，图像位于第二、四象限，y随x的增大而减小(单调递减)。
一次函数一、定义及定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k ≠0）一次函数及正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。
☆A及B成正比例A=kB(k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值及对应的x的变化值成正比例，比值为k，即：y=kx+b （k 为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法及图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以做出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像及x 轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数及y轴交点的坐标总是（0，b)，及x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b及函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
