河北省张家口一中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷含解析

2018-2019学年河北省张家口市第一中学高一下学期开学考试数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，集合{}{}20,1,2,3,4,|20A B x x x ==->，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}0,3,42．已知集合{|1}A x x =<， 2{|0}B x x x =-≤，则A B ⋂（ ） A ．{|11}x x -≤≤ B ．{|01}x x ≤≤ C ．{|01}x x <≤ D ．{|01}x x ≤<3．已知函数是上的偶函数，则A ．5B ．-5C ．7D ．-7 4．下列说法正确的是（ ）A ．小于090的角是锐角B ．钝角是第二象限的角C ．第二象限的角大于第一象限的角D ．若角α与角β的终边相同，则αβ= 5．将函数2sin (0)6y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右移23π个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．12 D ．146．已知平面向量()()1,2,1,1a b ==-，则向量1433a b -=（ ） A ．()2,1-- B ．()2,1- C ．()1,0- D ．()1,2-7．函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（ ）A ．2π=xB ．4π=xC ．2π=x D ．4π-=x 8．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度 9．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点55sin,cos 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ） A ．3-B ．12-C ．12D ．310．已知函数22cos 3sin 266f xx xππ，则其最大值为（ ）A. 3B.3C.13D.2311．若直角坐标系内、两点满足：（1）点、都在图象上；（2）点、关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”．已知函数，则的“和谐点对”有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个12．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是A ．(3.5，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(4.5，＋∞)第II 卷（非选择题，共90分）二、 填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年河北省张家口市第一中学高一4月月考数学试题一、单选题1．设集合，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】因为集合,∴.故选C.2．等于A．B．C．D．【答案】D【解析】利用诱导公式化简即可求出值．【详解】解：sin240°＝sin（180°+60°）＝sin60°．故选：D．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面ABC，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意两两垂直，因此可把此三棱锥补成以为棱的长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，球的直径为，即，所以，故选D．4．如图，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为( )A．B．1 C．D．【答案】A【解析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×22．故选：A．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．5．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【答案】D【解析】解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D6．已如向量，且与互相垂直，则A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，，因为，所以，则，即，故选7．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为A．16 B．9 C．5 D．4【答案】A【解析】根据题意，由等差中项的定义分析可得1，进而分析可得a+9b＝（a+9b）（）＝10，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则21；则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；当且仅当，即=时取到等号，∴a+9b的最小值为16；故选：A．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到1．8．函数的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】D【解析】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=ln t，∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=ln t为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选：D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.9．等比数列中，，，则与的等比中项是A．B．4 C．D．【答案】A【解析】利用等比数列{a n}的性质可得，即可得出．【详解】设与的等比中项是x．由等比数列的性质可得，．∴a4与a8的等比中项故选：A．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．10．在中，若，则的形状是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】试题分析：根据正弦定理变形可知：，则，又因为为三角形内角，所以，因此为钝角三角【考点】1、正、余弦定理；2、三角形形状的判定.11．下列点不是函数的图象的一个对称中心的是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据正切函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：对于函数f（x）＝tan（2x）的图象，令2x，求得xπ，k∈Z，可得该函数的图象的对称中心为（π，0），k∈Z．结合所给的选项，A、C、D都满足，故选：B．【点睛】本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．12．已知向量与向量夹角为，且，，则A．B．C．1 D．2【答案】C【解析】，可得0，代入解出即可．【详解】解：∵，∴3﹣20，解得1．故选：C．【点睛】本题考查平面向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．若关于x的不等式的解集是，则______．【解析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a，b即可．【详解】关于x的不等式ax2+x+b＞0的解集是（-1，2），∴-1，2是方程ax2+x+b=0的两个根，∴-1+2=-，-1×2=，解得a=-1，b=2；∴a+b=-1+2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．14．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．【答案】36π【解析】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r=3.球O的表面积为： .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是_______.【答案】【解析】因为，，因此，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．16．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是______写出所有正确命题的序号若，，则或；若，，，，则；若，，则；若，，，则【答案】【解析】利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【详解】解：①若m∥α，且m∥n，分两种情况：n在α内或不在，则m∥α或m⊂α故正确；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，m，n相交，则α∥β，故不正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；④由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，因为m⊥α，所以m⊥γ，故正确．故答案为：①④．【点睛】本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题．三、解答题17．如图，在三棱锥中，，，，，D 为线段AC的中点，E为线段PC上一点．求证：；求证：平面平面PAC；当平面BDE时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【详解】分析：（1）因为所以平面，又因为平面，所以；（2）由等腰三角形的性质可得，由（1）知，，所以平面，从而平面平面；（3）先证明，结合（1）可得平面，从而可得三棱锥的体积为，进而可得结果.详解：（1）因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PA⊥BD.（2）因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.由（1）知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以平面BDE⊥平面PAC.（3）因为PA∥平面BDE，平面PAC平面BDE=DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE=PA=l，BD=DC=.由（1）知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC,所以三棱锥E-BCD 的体积V=BD·DC·DE=. 点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 18．已知等差数列的前n 项和满足，．求的通项公式；求．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式解方程组即可求{a n }的通项公式； （2）易得表示首项为1且公差为﹣3的等差数列的前n +1项和，由求和公式可得． 【详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，则的通项公式；（2）为等差数列，以1为首项，以为公差的等差数列，.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及等差数列的求和公式，考查学生的计算能力．19．如图，在四棱锥P ABCD -中， AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===， 90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）6+【解析】试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥， CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且,2AD PO ==，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥， CD PD ⊥． 由于AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知， AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得AD =， 2PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==， AD BC == PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅ 21sin6062BC +︒=+． 20．中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且判断的形状；若，点D 为AB 边的中点，，求的面积．【答案】（1）直角三角形或等腰三角形；（2）．【解析】试题分析：（1）要判断三角形的形状，可先得出三角形的边的关系或角的关系，已知条件中有边有角，观察已知等式，利用正弦定理化边为角，再由三角函数恒等变形公式变形得，因此有或，这里不能约分；（2）由，知，要求三角形面积，就要求边长，为此设设，则，利用余弦定理表示出后可求得，从而得三边长，最终求得面积．试题解析：（1）由得：即：即：故，为直角三角形或等腰三角形（2）若，则，设，则在中，故【考点】三角形判状的判断，正弦定理，余弦定理，三角形面积． 21．在四棱锥中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ，，E ，F 是线段BC ，AB 的中点．1证明：；2在线段PA 上确定点G ，使得平面PED ，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由P A⊥平面ABCD先证明DE⊥P A．连接AE，由勾股定理证明DE⊥AE，通过证明DE⊥平面P AE，即可得证PE⊥ED．（2）过点F作FH∥ED交AD于点H，再过点H作HG∥DP交P A于点G，通过证明平面平面平面PED，然后证明平面PED，．【详解】解：1证明：由平面ABCD，得连接AE，因为，所以由勾股定理可得．所以平面P AE，因此2过点F作交AD于点H，则平面PED，且有．再过点H作交P A于点G，则平面PED，且．由面面平行的判定定理可得平面平面PED，进而由面面平行的性质得到平面PED，从而确定G点位置【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．22．如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即利用线线垂直进行论证，而线线垂直的寻找与论证往往需要利用平几条件，如本题需利用勾股定理经计算得出线垂直（2）一般可利用空间向量的数量积求二面角的大小，首先根据题意建立恰当的直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，再根据向量数量积求出两个法向量的夹角的余弦值，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角的余弦值.试题解析：(1)由已知得，,又由得，故∥，因此，从而⊥.由得.由∥得.所以,.于是,故.又,而,所以平面.如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取于是，设二面角的大小为，.因此二面角的正弦值是.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。

张家口市第一中学2019年开学检测高一数学试卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，集合{}{}20,1,2,3,4,|20A B x x x ==->，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}0,3,42．已知集合{|1}A x x =<， 2{|0}B x x x =-≤，则A B ⋂（ ）A ．{|11}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤<3．已知函数是上的偶函数，则A ．5B ．-5C ．7D ．-74．下列说法正确的是（ ）A ．小于090的角是锐角B ．钝角是第二象限的角C ．第二象限的角大于第一象限的角D ．若角α与角β的终边相同，则αβ=5．将函数2sin (0)6y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右移23π个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为A ．2B ．1C ．12D ．146．已知平面向量()()1,2,1,1a b ==-，则向量1433a b -=（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,0-D ．()1,2-7．函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（ ）A ．2π=xB ．4π=xC ．2π=xD ．4π-=x 8．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ） A ．向左平移个长度单位 B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度9．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点55sin ,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ．．12- C ．12 D10．已知函数()22cos 266f x x x ππ骣骣琪琪=--+琪琪桫桫，则其最大值为（ ）A.2 C.1-2-11．若直角坐标系内、两点满足：（1）点、都在图象上；（2）点、关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”．已知函数，则的“和谐点对”有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个12．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是 A ．(3.5，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(4.5，＋∞)第II 卷（非选择题，共90分）二、 填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省张家口市2019版高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共18分)1. （1分） (2016高二上·苏州期中) 直线 x﹣y+a=0的倾斜角为________．2. （1分）(2018·河北模拟) 已知满足，则的取值范围是________．3. （2分）在=“向北走20km”，=“向西走15km”，则 =________，的夹角的余弦值=________．4. （1分）圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是________．5. （1分）由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所确定的圆中，面积最大的圆的标准方程是________6. （1分）点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d1 ， d2 ，d3 ，则d1+d2+d3的取值范围是________7. （1分）若，则函数的值域为________．8. （3分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a=________ ；若l1⊥l2 ，则a=________ ；若l1∥l2 ，则两平行直线间的距离为________9. （1分）过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.10. （1分）直线经过一定点，则该定点的坐标是________．11. （1分）(2017·武汉模拟) 若直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，则m的值为________．12. （1分） (2017高一下·鞍山期末) 点（0，2）关于直线l：x+y﹣1=0的对称点的坐标为________．13. （1分）命题：“ ”，命题：“ ”，若“ ”为真命题，则实数的取值范围是________.14. （2分）(2019·宁波模拟) 加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展。

张家口第一中学第二学期期末考试衔接班数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线50x -=的倾斜角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D. 133.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. 12πB. 323π C. 8π D. 4π 4.直线:1l y x =+上的点到圆22:2440C x y x y ++++=上点的最近距离为（ ） A. B.2- C. 1 D. 15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y += 6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若////m n αα，，则//m nB. 若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC. 若m n n m αβα=⊂⊥I ，，，则n β⊥D. 若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥7.椭圆221169x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ） A. 932- B. 932 C. 964 D. 9168.若曲线22111x y k k+=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A. 1k > B. 1k <- C. 11k -<< D. 10k -<<或01k <<9.设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A. 12B. 210.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=|DE |=C 的焦点到准线的距离为 ( )A. 8B. 6C. 4D. 211.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A. 814π B. 16π C. 9π D. 274π 12.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=o ，则C 的离心率为__________．14.过点()1,4-且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是________.15.过抛物线28y x =焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则11AF BF+=________. 16.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点若5AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为________.三、解答题 17.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA =AD ．（Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ；（Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ．18.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u v u u u u v . （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 19.如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（1）证明：//MN 平面P AB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的余弦值.20.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，∠BAC =90°，AC =AB =AA 1，E 是BC 的中点． （1）求证：AE ⊥B 1C ；（2）求异面直线AE 与A 1C 所成角的大小；（3）若G 为C 1C 中点，求二面角C -AG -E 的正切值．21.已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y ＝kx ＋b 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，试问点O 到直线AB 的距离是否为定值，证明你的结论．22.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.。

高一衔接班四月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.等于A. B. C. D.3.已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面ABC，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.4.如图，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为( )A. B. 1 C. D.5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直6.已如向量，且与互相垂直，则A. B. C. D.7.已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为A. 16B. 9C. 5D. 48.函数的单调递增区间是A. B.C. D.9.等比数列中，，，则与的等比中项是A. B. 4 C. D.10.在中，若，则的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定11.下列点不是函数的图象的一个对称中心的是A. B. C. D.12.已知向量与向量夹角为，且，，则A. B. C. 1 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若关于x的不等式的解集是，则______．14.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．15.如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是_______.16.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是______写出所有正确命题的序号若，，则或；若，，，，则；若，，则；若，，，则三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．求证：；求证：平面平面P AC；当平面BDE时，求三棱锥的体积．18.已知等差数列的前n项和满足，．求的通项公式；求．19.如图，在四棱锥中，，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．20.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且判断的形状；若，点D为AB边的中点，，求的面积．21.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，E，F是线段BC，AB的中点．1证明：；2在线段P A上确定点G，使得平面PED，请说明理由．22.如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.。

河北省张家口市第一中学2018-2019学年高一4月月考数学试题（衔接班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−3x+2<0}，B={x|1<x<3}，则()A. A=BB. A⊇BC. A⊆BD. A∩B=⌀【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−3x+2<0}=(1,2)，B={x|1<x<3}，∴A⊆B．故选：C．化简集合A，即可得出集合A，B的关系．本题考不等式的解法，考查集合的关系，比较基础．2.sin240∘等于()A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】D【解析】解：根据诱导公式sin(180∘+α)=−sinα得：sin240∘=sin(180∘+60∘)=−sin60∘=−√32．故选：D．由诱导公式sin(180∘+α)=−sinα和特殊角的三角函数值求出即可．此题考查了学生利用诱导公式sin(180∘+α)=−sinα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．3.已知三棱锥S−ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为()A. 64πB. 68πC. 72πD. 100π【答案】D【解析】解：如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R=OS=√OE2+SE2=√CD2+SE2∵CD=12AB=4，SE=3，∴R=5棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π，故选：D．直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R=OS=√OE2+SE2=√CD2+SE2即可求出半径．本题考查了球的内接三棱锥，解题的关键是找到数量关系，求出球半径，属于中档题．4.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积()A. 2√2B. 1C. √2D. 2(1+√2)【答案】A【解析】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=√2，对应原图形平行四边形的高为：2√2，所以原图形的面积为：1×2√2=2√2．故选：A．由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为()A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直【答案】D【解析】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB//CE；∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60∘；∴AB，CD异面但不垂直．故选：D．根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断AB，CD的位置关系．考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图．6.已知向量a⃗=(1,1,0)，b⃗ =(−1,0,1)，且k a⃗+b⃗ 与a⃗互相垂直，则k=()A. 13B. 12C. −13D. −12【答案】B【解析】解：∵向量a ⃗ =(1,1,0)，b ⃗ =(−1,0,1)，∴k a ⃗ +b ⃗ =(k −1,k ，1)；又k a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 互相垂直， ∴(k a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0， 即(k −1)×1+k =0， 解得k =12．故选：B ．根据k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 互相垂直，(k a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，列出方程求出k 的值．本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．7. 已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a +9b 的最小值为( )A. 16B. 9C. 5D. 4【答案】A【解析】解：根据题意，a >0，b >0，且1a ，12，1b 成等差数列， 则1a +1b =2×12=1；则a +9b =(a +9b)(1a+1b)=10+9b a+a b≥10+2√9b a×a b=16；即则a +9b 的最小值为16； 故选：A ．根据题意，由等差中项的定义分析可得1a +1b =2×12=1，进而分析可得a +9b =(a +9b)(1a+1b)=10+9b a+a b，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到1a +1b =1．8. 函数f(x)=ln(x 2−2x −8)的单调递增区间是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (4,+∞) 【答案】D【解析】解：由x 2−2x −8>0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =x 2−2x −8，则y =lnt ，∵x ∈(−∞,−2)时，t =x 2−2x −8为减函数； x ∈(4,+∞)时，t =x 2−2x −8为增函数； y =lnt 为增函数，故函数f(x)=ln(x 2−2x −8)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选：D ．由x 2−2x −8>0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =x 2−2x −8，则y =lnt ，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．9.等比数列{a n}中，a1=18，q=2，则a4与a8的等比中项是()A. ±4B. 4C. ±14D. 14【答案】A【解析】解：设a4与a8的等比中项是x．由等比数列{a n}的性质可得a62=a4a8，∴x=±a6．∴a4与a8的等比中项x=±a6=±18×25=±4．故选：A．利用等比数列{a n}的性质可得a62=a4a8，即可得出．本题考查了等比中项的求法，属于基础题．10.在△ABC中，若sin2A−sin2B>sin2C，则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】解：在△ABC中，若sin2A−sin2B>sin2C，则由正弦定理可得a2−b2>c2，即b2+c2<a2，再由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc<0，即有A为钝角，则三角形ABC为钝角三角形．故选：C．运用正弦定理可得b2+c2<a2，再由余弦定理，可得cosA<0，即可判断三角形的形状．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．11.下列点不是函数f(x)=tan(2x+π3)的图象的一个对称中心的是()A. (−2π3,0) B. (2π3,0) C. (π12,0) D. (−π6,0)【答案】B【解析】解：对于函数f(x)=tan(2x+π3)的图象，令2x+π3=kπ2，求得x=kπ4−π6=3k−212π，k∈Z，可得该函数的图象的对称中心为(3k−212π,0)，k∈Z．结合所给的选项，A、C、D都满足，故选：B．根据正切函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．12.已知向量a⃗与向量b⃗ 夹角为π6，且|a⃗|=√3，a⃗⊥(a⃗−2b⃗ )，则|b⃗ |=()A. √3B. 2√3C. 1D. 2【答案】C【解析】解：∵a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，∴a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b⃗ =3−2√3|b ⃗ |×cos π6=0， 解得|b ⃗ |=1． 故选：C ．a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，可得a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b⃗ =0，代入解出即可． 本题查克拉向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若关于x 的不等式ax 2+x +b >0的解集是(−1,2)，则a +b =______． 【答案】1【解析】解：关于x 的不等式ax 2+x +b >0的解集是(−1,2)， ∴−1，2是方程ax 2+x +b =0的两个根， ∴−1+2=−1a ，−1×2=ba，解得a =−1，b =2；∴a +b =−1+2=1． 故答案为：1．根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a ，b 即可．本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．14. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S −ABC 的体积为9，则球O 的表面积为______． 【答案】36π【解析】解：三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S −ABC 的体积为9，可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得13×12×2r ×r ×r =9，解得r =3．球O 的表面积为：4πr 2=36π． 故答案为：36π．判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______．【答案】78【解析】解：∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−1， BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =9DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=58，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=138， 又∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=78， 故答案为：78由已知可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知求出DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=58，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=138，可得答案． 本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．16. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面.在下列命题中，正确的是______(写出所有正确命题的序号)①若m//n ，n//α，则m//α或m ⊂α；②若m//α，n//α，m ⊂β，n ⊂β，则α//β； ③若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；④若α//β，β//γ，m ⊥α，则m ⊥γ 【答案】①④【解析】解：①∵若m//α，且m//n ，分两种情况：n 在α内或不在，则m//α或m ⊂α故正确； ②若m//α，n//α，m ⊂β，n ⊂β，m ，n 相交，则α//β，故不正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α//β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；④由平行的传递性知若α//β，β//γ，则γ//α，因为m ⊥α，所以m ⊥γ，故正确． 故答案为：①④．利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． (1)求证：PA ⊥BD ；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA//平面BDE时，求三棱锥E−BCD的体积．【答案】解：(1)证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；(2)证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；(3)PA//平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA//DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=12PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=12S△ABC=12×12×2×2=1，则三棱锥E−BCD的体积为13DE⋅S△BDC=13×1×1=13．【解析】(1)运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；(2)要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由(1)运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；(3)由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．18.已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=−5．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1+a4+a7+⋯+a3n+1．【答案】解：(1)由等差数列的性质可得{3a1+3d=05a1+5×4d2=−5，解得a1=1，d=−1，则{a n}的通项公式a n=1−(n−1)=2−n；(2)∵{a n}为等差数列，∴a1+a4+a7+⋯+a3n+1以1为首项，以−3为公差的等差数列，∵13(3n+1−1)+1=n+1∴a1+a4+a7+⋯+a3n+1=n+1+(n+1)(n+1−1)×(−3)2=(n+1)(2−3n)2【解析】(1)根据等差数列的前n项和公式解方程组即可求{a n}的通项公式；(2)易得a1+a4+a7+⋯+a3n+1表示首项为1且公差为−3的等差数列的前n+1项和，由求和公式可得．本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及等差数列的求和公式，考查学生的计算能力．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，且四棱锥P−ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】证明：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，∠BAP=∠CDP=90∘，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB//CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：(2)设PA=PD=AB= DC=a，取AD中点O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD=√a2+a2=√2a，PO=√22a，∵四棱锥P−ABCD的体积为83，由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，∴V P−ABCD=13×S四边形ABCD×PO=13×AB×AD×PO=13×a×√2a×√22a=13a3=83，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2√2，PO=√2，∴PB=PC=√4+4=2√2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×√PB2−(BC2)2=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×2√2×√8−2=6+2√3．【解析】(1)推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．(2)设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=√2a，PO=√22a，由四棱锥P−ABCD的体积为83，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(acosB+bcosA)cosC=2acos2C2−a(1)判断△ABC的形状；(2)若B=2π3，点D为AB边的中点，CD=√7，求△ABC的面积．【答案】解：(1)△ABC中，∵(acosB+bcosA)cosC=2acos2C2−a，∴由正弦定理可得(sinAcosB+sinBcosA)⋅cosC=sinA⋅(2cos2C2−1)，即sin(A+B)⋅cosC=sinA⋅cosC，即sinC⋅cosC=sinA⋅cosC，即cosC⋅(sinC−sinA)=0，∴cosC=0或sinC=sinA，∴C=π2，或C=A，故△ABC为直角三角形或等腰三角形．(2)若B=2π3，则△ABC为等腰三角形，则A=C=π6，BC=2BD=a，如图所示：∵点D为AB边的中点，CD=√7，△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cosB，即7=a2+(a2)2−2a⋅a2⋅cos2π3，∴a2=4，∴△ABC的面积S=12⋅a⋅a⋅sin2π3=√3．【解析】(1)由题意利用正弦定理、二倍角的余弦公式、诱导公式可得cosC⋅(sinC−sinA)=0，可得C=π2，或C=A，从而判断△ABC的形状．(2)若B=2π3，则△ABC为等腰三角形，则A=C=π6，BC=2BD=a，△BCD中，由余弦定理求得a2的值，可得△ABC的面积．本题主要考查正弦定理、余弦定理，二倍角的余弦公式、诱导公式，属于中档题．21.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点．(Ⅰ)证明：ED⊥PE；(Ⅱ)在线段PA上确定点G，使得FG//平面PED，请说明理由．【答案】(本题满分为12分)解：(Ⅰ)证明：由PA⊥平面ABCD，得DE⊥PA.连接AE，因为AD=2AB，所以由勾股定理可得DE⊥AE．所以DE⊥平面PAE，因此PE⊥ED.…(6分)(Ⅱ)过点F作FH//ED交AD于点H，则FH//平面PED，且有AH=14AD．再过点H作HG//DP交PA于点G，则HG//平面PED，且AG=14AP．由面面平行的判定定理可得平面GEH//平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG//平面PFD，从而确定G点位置.…(12分)【解析】(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD先证明DE⊥PA.连接AE，由勾股定理证明DE⊥AE，通过证明DE⊥平面PAE，即可得证PE⊥ED．(Ⅱ)过点F作FH//ED交AD于点H，再过点H作HG//DP交PA于点G，通过证明平面GEH//平面PFD，然后证明EG//平面PFD．本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．22.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=54，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=√10．(Ⅰ)证明：D′H ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求二面角B −D′A −C 的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明：∵ABCD 是菱形，∴AD =DC ，又AE =CF =54，∴DEEA =DFFC ，则EF//AC ，又由ABCD 是菱形，得AC ⊥BD ，则EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，则EF ⊥D′H ，∵AC =6，∴AO =3，又AB =5，AO ⊥OB ，∴OB =4，∴OH =AE AD ⋅OD =1，则DH =D′H =3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H ⊥OH ，又OH ∩EF =H ，∴D′H ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)解：以H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB =5，AC =6，∴B(5,0，0)，C(1,3，0)，D′(0,0，3)，A(1,−3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3,0),AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6,0)， 设平面ABD′的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−x +3y +3z =04x+3y=0，取x =3，得y =−4，z =5． ∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,5)．同理可求得平面AD′C 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,0,1)，设二面角二面角B −D′A −C 的平面角为θ，则|cosθ|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=|3×3+5×1|5√2×√10=7√525． ∴二面角B −D′A −C 的正弦值为sinθ=2√9525． 【解析】(Ⅰ)由底面ABCD 为菱形，可得AD =CD ，结合AE =CF 可得EF//AC ，再由ABCD 是菱形，得AC ⊥BD ，进一步得到EF ⊥BD ，由EF ⊥DH ，可得EF ⊥D′H ，然后求解直角三角形得D′H ⊥OH ，再由线面垂直的判定得D′H ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)以H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量n1⃗⃗⃗⃗ 、n2⃗⃗⃗⃗ ，设二面角二面角B−D′A−C的平面角为θ，求出|cosθ|.则二面角B−D′A−C的正弦值可求．本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．。

河北省张家口市第一中学2018-2019学年高一数学4月月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A. B. 或 C. D. 或2.已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为A. B. C. D.3.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A. B. C. D.4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b-c）sin B+c sin C=a sin A，则sin A=（）A. B. C. D.5.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，来折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺.A.B.C.D.6.数列2，22，222，2222，的一个通项公式a n是（）A. B. C. D.7.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A. B. 5 C. D.8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形9.数列{a n}的通项公式为，若{a n}是递减数列，则λ的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知a n=（n∈N*），则在数列{a n}的前30项中最大项和最小项分别是（）A. ，B. ，C. ，D.，11.已知平面上三点A，B，C，满足，，，则A. 48B.C. 100D.12.如图，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sin B等于（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.钝角△ABC中，若A=，|BC|=1，则2|AB|+3|AC|的最大值为______．14.数列的通项公式，则该数列的前8项之和等于______．15.在数列{a n}中，a n=（n+1）（）n，则数列{a n}中的最大项是第______项．16.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17、本体满分10分已知数列{a n}的通项公式为．（1）求a10．（2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由．（3）求证：0＜a n＜1．18、本体满分12分如图，已知扇形的圆心角，半径为，若点C是上一动点（不与点A，B重合）．（1）若弦，求的长；（2）求四边形OACB面积的最大值．19、本体满分12分设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n＋3，求{a n}的通项公式．20、本体满分12分在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cos A+cos C的最大值．21、本体满分12分在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cos B=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B-C）的值．22、本体满分12分如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米．（1）求线段MN的长度；（2）若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．答案和解析1.【答案】DCCBB 6.DCBCC DC13.【答案】14.【答案】2 15.【答案】6或7 16.【答案】-117.【答案】（1）解:根据题意可得．（2）解:令，即，解得n＝3，∴为数列{a n}中的项，为第3项．（3）证明：由题知，∵n∈N*，∴3n+1＞3，∴，∴，即0＜a n＜1．18.【答案】解：（1）在△OBC中，，由余弦定理，所以，于是的长为．（2）设，所以四边形的面积为S，则=由，所以，当时，四边形OACB的面积取得最大值．19.【答案】解：因为2S n＝3n＋3（n≥1），所以2＝3(n－1)＋3（n≥2），作差得a n＝3(n－1)（n≥2）．当n＝1，2a1＝31＋3，解得a1＝3，不满足上式，故.20.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2-b2=ac，∴cos B===，∴B=；（Ⅱ）由（I）得：C=-A，∴cos A+cos C=cos A+cos（-A）=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即cos A+cos C的最大值为1．21.【答案】解：（Ⅰ）∵•=2，cos B=，∴c•a cos B=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac cos B，即9=a2+c2-4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sin B===，由正弦定理=得：sin C=sin B=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cos C===，则cos（B-C）=cos B cos C+sin B sin C=×+×=．22.【答案】解：（1）在△AMN中，由余弦定理得，MN2=AM2+AN2-2AM•AN cos120°=，所以千米．（2）设∠PMN=α，因为∠MPN=60°，所以∠PNM=120°-α在△PMN中，由正弦定理得，．因为=，所以PM=4sin（1200-α），PN=4sinα因此PM+PN=4sin（1200-α）+4sinα===因为0°＜α＜120°，所以30°＜α+30°＜150°．所以当α+300=900，即α=600时，PM+PN取到最大值．答：两条观光线路距离之和的最大值为千米．。

一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 3．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 4．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π5．(0分)[ID ：12354]已知圆M:x 2+y 2−2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N:(x −1)2+(y −1)2=1的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π7．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为3SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ）A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π8．(0分)[ID ：12331]矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 9．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a 10．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④ 11．(0分)[ID ：12386]已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．2512．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1013．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切D ．相离 14．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2 15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12527]如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____17．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.18．(0分)[ID ：12513]如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）19．(0分)[ID ：12512]一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________20．(0分)[ID ：12483]已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。