三维设计高考数学人教版理科大一轮复习课时检测1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案详析)

高考真题备选题库第1章 集合与常用逻辑用语第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件考点一 命题及其关系1．（2013陕西，5分）设z 是复数， 则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0，故选项A 为真，同理选项B 为真；而选项C 为假，选项D 为真． 答案：C2．（2013天津，5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③.答案：C3．（2013四川，5分）设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点．在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段 AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A ，C ，B 三点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，C (c,0)，B (b,0)，0＜c ＜b ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |.因为0＜c ＜b ，所以当x ＝c 时，(|MA |＋|MB |＋|MC |)min ＝b ，此时M (c,0)，也就是M 点与C 点重合，故①正确；对于②，设△ABC 中∠C 为直角，以C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，并设点A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，M (x ，y )为平面内任意一点，AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，则|MA |＋|MB |＋|MC |＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＋ x 2＋y 2，当x ＝a 2，y ＝b 2时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝32 a 2＋b 2，而当x ＝0，y ＝0时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝a ＋b ，因为94(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝5a 2＋5b 2－8ab 4≥12ab ＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A ，B ，C ，D 四点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)，0＜b ＜c ＜d ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋(x －d )2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |＋|x －d |，因为0＜b ＜c ＜d ，所以当x ∈[b ，c ]时，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |取得最小值，此时M (x,0)，x ∈[b ，c ]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A ，C 的中位点为线段AC 之间的任意一点，B ，D 的中位点为线段BD 之间的任意一点，所以A ，B ，C ，D 的中位点为线段AC 与线段BD 的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④.答案：①④4．（2012湖南，5分）命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 答案：C5．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为( )A ．存在四边相等的四边形不是正方形B ．z 1，z 2∈C ，z 1＋z 2为实数的充分必要条件是z 1，z 2互为共轭复数C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 至少有一个大于1D ．对于任意n ∈N ＋，C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n 都是偶数解析：空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A 为真命题；令z 1＝1＋b i ，z 2＝3－b i(b ∈R )，显然z 1＋z 2＝4∈R ，但z 1，z 2不互为共轭复数，B 为假命题；假设x ，y 都不大于1，则x ＋y >2不成立，故与题设条件“x ＋y >2”矛盾，假设不成立，故C 为真命题；C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n 为偶数，故D 为真命题．排除A ，C ，D ，选B.答案：B6．（2011新课标全国，5分）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈(π3，π]，反之也成立． 答案：A7．（2011陕西，5分）设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b|B ．若a ＝－b ，则|a|≠|b|C ．若|a|≠|b|，则a ≠－bD ．若|a|＝|b |，则a ＝－b解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a ＝－b .”答案：D8．（2010天津，5分）命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．答案：B考点二 充分条件与必要条件1．（2013山东，5分）给定两个命题p ，q .若綈 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈 q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查命题、逻辑联结词及充分、必要条件等基础知识，考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q ⇒綈p 等价于p ⇒綈q ，綈p ⇒/ q 等价于綈q ⇒/ p ，故p 是綈q 的充分而不必要条件．答案： A2．（2013安徽，5分）“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f (x )在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，本题不难求解．f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a<0，也就是a ≤0，故“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.答案： C3．（2013福建，5分）已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．答案： A4．（2013浙江，5分）已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )，且当φ＝π2时，f (x )为奇函数． 答案： B5．（2013北京，5分）“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．答案： A6．（2012陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数a ＋b i＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件． 答案：B7．（2011福建，5分）若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若“a ＝2”，则“(a －1)(a －2)＝0”，即a ＝2⇒(a －1)·(a －2)＝0.若“(a －1)(a －2)＝0”，则“a ＝2或a ＝1”；故(a －1)(a －2)＝0不一定能推出a ＝2.答案：A8．（2011湖南，5分）设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝－1.故是充分不必要条件． 答案：A9．（2010辽宁，5分）已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 解析：设函数f (x )＝12ax 2－bx ， ∴f ′(x )＝ax －b ，由已知可得f ′(x 0)＝ax 0－b ＝0，又因为a >0，所以可知x 0是函数f (x )的极小值点，也是最小值点．由最小值定义可知选项C 正确．答案：C10．（2010陕西，5分）对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a n ＋1>|a n |⇒a n ＋1>a n ⇒{a n }为递增数列，但{a n }为递增数列⇒a n ＋1>a n 推不出a n ＋1>|a n |，故“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B11．(2009·安徽，5分)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ， q ：a >b 且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＝1, q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析： ⎭⎬⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d (不等式的性质)， 反之不成立，例如：8＋2>6＋3，a ＝8，b ＝2，c ＝6，d ＝3.a >b 但c <d ，∴p 是q 的必要不充分条件．答案：A12．(2009·浙江，5分)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a >0，b >0时显然有a ＋b >0且ab >0，充分性成立；反之，若a ＋b >0且ab >0，则a ，b 同号且同正，即a >0，b >0.必要性成立．答案：C13．（2011陕西，5分）设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案：3或4。

课时限时检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】 B2．(2014·广州市培正中学模拟)“a＝1”是“(a－1)(a－2)＝0”成立的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 A3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为( )A．①②B．②③C．①③D．③④【答案】 C4．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 A5．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”是“0≤a≤1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 A6．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )A．a＜5 B．a≤5C．a＞5 D．a≥5【答案】 A二、填空题(每小题共5分，共15分)7．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【答案】 28．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.【答案】3或49．若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．【答案】[3，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【解】(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题，证明如下：∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．(12分)设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝3x－1的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0.且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．【解】 依题意，得A ＝{x |x 2－x －2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 3x －1≥0＝(0,3]， ∴A ∩B ＝(2,3]．设集合C ＝{x |2x ＋p ≤0}，则x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－p 2. ∵α是β的充分条件，∴(A ∩B )⊆C .则需满足3≤－p 2⇒p ≤－6. ∴实数p 的取值范围是(－∞，－6]．12．(13分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【证明】 必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.充分性：若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，∴(ax －c )(x －1)＝0，∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考点要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1或y 2≤1C ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1D ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1且y 2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是“若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1”．思维升华 判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是()A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数答案D解析命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数”．(2)命题p ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆否命题为真命题，则a 的取值范围是________． 答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B 解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9， 故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是() A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x≥1得0<x ≤2， 依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧ a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a ≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x＋2＝4x＋2，即x＝0时等号成立，因为x>0，所以x＋4x＋2>2，所以“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是a≤2.7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是() A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎨⎧ m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1. 9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎨⎧ Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a ·b >0”为真命题；④直线l 与平面α内的两条直线垂直是直线l 与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎨⎧ 1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有 x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x，设f (x )＝x ＋4x(1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， ∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133， 因此函数f (x )＝x ＋4x(1<x <3)的值域为[4,5)， ∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。

[第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题． ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④ D ．①②③2．已知命题p ：若x >0，y >0，则xy >0，则p 的否命题是( ) A ．若x >0，y >0，则xy ≤0 B ．若x ≤0，y ≤0，则xy ≤0C ．若x ，y 至少有一个不大于0，则xy <0D ．若x ，y 至少有一个小于或等于0，则xy ≤03．设命题p ：sin αtan α＝cos α，命题q ：sin α＝cos α，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2013·唐山模拟] 设a ，b ∈R ，则“a >1且0<b <1”是“a －b >0且a b>1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件能力提升5．[2013·商丘模拟] 直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <16．[2013·山东卷] 设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a，b，c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．4 B．2 C．1 D．08．[2013·石家庄模拟] 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，则λ<－4是向量m＝λa ＋b与向量n＝(3，－1)夹角为钝角的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件9．[2013·东北三省四市联考] 等比数列{a n}的首项为a，公比为q，其前n项和为S n，则数列{S n}为递增数列的充分必要条件是________．10．设p：xx－2<0，q：0<x<m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是________．11．若“∀x∈R，ax2＋2ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．12．(13分)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．难点突破13．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．课时作业(二)【基础热身】 1．D [解析] ①的逆命题为：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；命题③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题．命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．2．D [解析] 否命题应在否定条件的同时否定结论，而原命题中的条件是“且”的关系，所以条件的否定形式是“x ≤0或y ≤0”．3．B [解析] 命题p 成立时sin 2α＝cos 2α，得sin α＝±cos α，由此可得p 是q 的必要不充分条件．4．A [解析] 显然a >b >0，故a >1且0<b <1⇒a －b >0且a b >1；反之，a －b >0且a b>1⇒a >b 且a －b b >0⇒a >b 且b >0，推不出a >1且0<b <1.故“a >1且0<b <1”是“a －b >0且ab>1”的充分不必要条件． 【能力提升】5．C [解析] 圆心坐标为(1，0)，半径为2，直线x －y ＋m ＝0与圆有两个不同交点的充要条件是|1＋m |2<2，即－3<m <1，充分不必要条件的m 的范围是这个范围的真子集，故只能是选项C 中的范围．6．A [解析] 因为函数f (x )＝a x 在R 上是减函数，所以0<a <1，由函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数可得2－a >0，即a <2.所以若0<a <1，则a <2，而若a <2推不出0<a <1.所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．7．B [解析] 原命题是一个假命题，因为当c ＝0时，不等式的两边同乘上一个0得到的是一个等式；原命题的逆命题是一个真命题，因为当ac 2>bc 2时，一定有c 2≠0，所以必有c 2>0，两端同除一个正数，不等式方向不变，即若ac 2>bc 2，则a >b 成立．根据命题的等价关系，四个命题中有2个真命题．8．A [解析] m ＝(λ＋2，2λ＋3)，m ，n 的夹角为钝角的充要条件是m ·n <0且m ≠μn (μ<0)．m ·n <0，即3(λ＋2)－(2λ＋3)<0，即λ<－3；若m ＝μn ，则λ＋2＝3μ，2λ＋3＝－μ，解得μ＝17，故m ＝μn (μ<0)不可能，所以，m ，n 的夹角为钝角的充要条件是λ<－3，λ<－4是m ，n 的夹角为钝角的充分不必要条件．9．a >0且q >0 [解析] 由S n ＋1>S n 得，当q ＝1时，S n ＋1－S n ＝a >0；当q ≠1时，S n ＋1－S n ＝aq n>0，即a >0，1≠q >0.综合可得数列{S n }为递增数列的充分必要条件是a >0且q >0.10．(2，＋∞) [解析] 命题p 成立时，0<x <2，命题p 是q 成立的充分不必要条件，说明(0，2)是(0，m )的真子集，故m >2，即m 的取值范围是(2，＋∞)．11．[0，1) [解析] 问题等价于对任意实数x ，不等式ax 2＋2ax ＋1>0恒成立．当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，只能是a >0且Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.故a 的取值范围是[0，1)．12．解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12>1，f （1）>0，即k <－2.所以使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件为k <－2.【难点突破】13．解：假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝（4a ）2－4（－4a ＋3）<0，Δ2＝（a －1）2－4a 2<0，Δ3＝（2a ）2－4（－2a ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，得－32<a <－1，∴根据题意知a ≤－32或a ≥－1.。

课时跟踪检测(五十九) 最值、范围、证明问题(分A 、B 卷，共2页)A 卷：夯基保分1．已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是它的一个焦点，又点A (1，2)在该椭圆上．(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．3．如图，曲线M：y2＝x与曲线N：(x－4)2＋2y2＝m2(m＞0)相交于A，B，C，D四点．(1)求m的取值范围；(2)求四边形ABCD的面积的最大值及面积最大时对角线AC与BD的交点坐标．B 卷：增分提能1．(2015·淄博模拟)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求2F P ·2F Q 的取值范围．2．(2015·温州十校联考)如图，过x 轴上动点A (a,0)引抛物线y ＝x 2＋1的两条切线AP ，AQ .切线斜率分别为k 1和k 2，切点分别为P ，Q .(1)求证：k 1·k 2为定值，并且直线PQ 过定点；(2)记S 为面积，当S △APQ |PQ |最小时，求AP ·AQ 的值．答案A 卷：夯基保分1．解：(1)由已知得抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1(a >2)． 将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1， 整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)，故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 则Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0，∴0≤m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44， 得|BC |＝3|x 1－x 2|＝3·16－2m 22. 又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3， 故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m 2－2m 24≤142·2m 2＋－2m 22＝2， 当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时取等号．当m ＝±2时，满足0≤m 2<8.故直线l 的方程为y ＝2x ±2.2．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为e ＝12， 所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 23＝1， 消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2. 所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝－32时等号成立； 当k ＞0时，3k ＋4k ≥43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝32时等号成立． 所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，312. 3．解：(1)联立曲线M ，N ，消去y 可得(x －4)2＋2x －m 2＝0，即x 2－6x ＋16－m 2＝0，根据条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝36－－m 2＞0，x 1＋x 2＝6＞0，x 1x 2＝16－m 2＞0，解得7＜m ＜4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 2＞x 1，y 1＞0，y 2＞0，则S ABCD ＝(y 1＋y 2)(x 2－x 1)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)＝ x 1＋x 2＋2x 1x 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝ 6＋216－m 2·36－－m 2.令t ＝16－m 2，则t ∈(0,3)， S ABCD ＝6＋2t ·36－4t 2＝22－t 3－3t 2＋9t ＋27，设f (t )＝－t 3－3t 2＋9t ＋27，令f ′(t )＝－3t 2－6t ＋9＝－3(t 2＋2t －3)＝－3(t －1)(t ＋3)＝0，可得当t ∈(0,3)时，f (t )的最大值为f (1)＝32，从而S ABCD 的最大值为16.令16－m 2＝1，得m 2＝15.联立曲线M ，N 的方程，消去y 并整理得 x 2－6x ＋1＝0，解得x 1＝3－22，x 2＝3＋22，所以A (3－22，2－1)，C (3＋22，－2－1)， k AC ＝－2－－2－＋22－－22＝－12， 则直线AC 的方程为y －(2－1)＝－12[x －(3－22)] 当y ＝0时，x ＝1，由对称性可知AC 与BD 的交点在x 轴上，即对角线AC 与BD 的交点坐标为(1,0)．B 卷：增分提能1．解：(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1.因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1. 故a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12， 此时P (－ 2 ，0)，Q (2，0)，又F 2(1,0)，得2F P ·2F Q ＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2m .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0， 则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m. 此时，直线PQ 斜率为k 1＝－4m ，PQ 的直线方程为y －m ＝－4m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.即y ＝－4mx －m . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1. 于是2F P ·2F Q ＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m )＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝m 2－－16m 232m 2＋1＋＋16m 2m 2－32m 2＋1＋m 2＋1 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78. 令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则2F P ·2F Q ＝1932－5132t. 又1<t <29，所以－1<2F P ·2F Q <125232. 综上，2F P ·2F Q 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125232. 2．解：(1)证明：法一：设过A 点的直线为y ＝k (x －a )，与抛物线联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －a ，y ＝x 2＋1， 整理得x 2－kx ＋ka ＋1＝0，Δ＝k 2－4ak －4＝0， 所以k 1＋k 2＝4a ，k 1·k 2＝－4为定值．抛物线方程y ＝x 2＋1，求导得y ′＝2x ， 设切点P ，Q 的坐标分别为(x p ，y p )，(x q ，y q )， 则k 1＝2x p ，k 2＝2x q ，所以x p ＋x q ＝k 12＋k 22＝2a ，x p x q ＝k 12·k 22＝－1. 直线PQ 的方程：y －y p ＝y p －y q x p －x q (x －x p )， 由y p ＝x 2p ＋1，y q ＝x 2q ＋1，得到y ＝(x p ＋x q )x －x p x q ＋1，整理可得y ＝2xa ＋2，所以直线PQ 过定点(0,2)． 法二：设切点P ，Q 的坐标分别为(x p ，y p )，(x q ，y q )． 求导得y ′＝2x ，所以l AP ：y ＝2x p (x －a )， 又P (x p ，y p )在直线上，即y p ＝2x p (x p －a )， 由P (x p ，y p )在抛物线上得y p ＝x 2p ＋1，整理可得y p ＝2x p a ＋2，同理y q ＝2x q a ＋2，所以l QP ：y ＝2xa ＋2，所以直线PQ 过定点(0,2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2xa ＋2，y ＝x 2＋1， 可得x 2－2xa －1＝0，所以x p x q ＝－1，x p ＋x q ＝2a ， 所以k 1·k 2＝2x p ×2x q ＝－4为定值．(2)设A 到PQ 的距离为d .S △APQ ＝|PQ |×d 2， 所以S △APQ | PQ |＝d 2＝2a 2＋224a 2＋1＝a 2＋14a 2＋1， 设t ＝4a 2＋1≥1，所以S △APQ |PQ |＝t 2＋34t ＝14(t ＋3t )≥32， 当且仅当t ＝3时取等号，即a ＝±22. 因为AQ ·AP ＝(x p －a ，y p )·(x q －a ，y q )＝x p x q －a (x p ＋x q )＋a 2＋y p y q ， y p y q ＝(2x p a ＋2)(2x q a ＋2) ＝4a 2x p x q ＋4＋4a (x p ＋x q ) ＝4a 2＋4， 所以AQ ·AP ＝3a 2＋3＝92.。

一、重视教材习题的母题功能你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．教材这样练《人教A 版·必修4》P119 B 组第1题第(4)小题．已知D ，E ，F 分别是△ABC的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则①EF ＝12c －12b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0中正确的等式的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12ADC ．BC D.12BC教材这样练《人教A 版·选修2－1》P69例4.斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3教材这样练《人教B版·必修5》P30练习A. 写出下面数列{a n}的前5项：1．a1＝2，a n＝12a n－1(n＝2,3,4，…)；2．a1＝3，a n＝a n－1＋2(n＝2,3,4，…)；3．a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n＝2,3,4，…)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝11－a n，a8＝2，则a1＝________.教材这样练《人教A版·必修5》P14例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.教材这样练《人教A版·必修1》P39B 组第3题．已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．二、重视经典题目的发散思维本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：(一)经典“题根”的发散茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．示例：利用基本不等式求最值(二)考查角度的发散高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小若本题条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________. 本题的条件变为：已知a ＞0，b＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________. 本题的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b的最小值为________.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1,则1a ＋1b的最小值为________．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1, ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.[答案] 4已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．本题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________.利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.角度三：解函数不等式 ⇑角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 由单调性求参数范[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合对应学生用书P5基础盘查一元素与集合(一)循纲忆知1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(二)小题查验1．判断正误(1)一个集合中可以找到两个相同的元素( )(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合( )(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A( )(4)零不属于自然数集( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：(1)由小于8的所有素数组成的集合；(2)不等式4x－5<3的解集．答案：(1){2,3,5,7} (2){x|x<2}基础盘查二集合间的基本关系(一)循纲忆知1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．(二)小题查验1．判断正误(1)若A＝B，则A⊆B( )(2)若A B，则A⊆B且A≠B( )(3)N*N Z( )(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．答案：{a}，{b}，{a，b}，∅基础盘查三集合的基本运算(一)循纲忆知1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．(二)小题查验1．判断正误(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C( )(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素( )(3)并集定义中的“或”能改为“和”()(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝________.答案：{2,4}3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________________.答案：{x|x≤2或x≥10}对应学生用书P6考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图． 2．常见数集及其表示符号自然数集用N 表示，正整数集用N *或N ＋表示，整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示．[提醒] 解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[题组练透]1．(2015·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．2．现有三个实数的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可以表示为{a 2，a ＋b,0}，则a2 015＋b2 015＝________.解析：由已知，得b a＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＝－1.答案：－13．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )； (2)真子集：若集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则A B (或B A )；(3)性质：∅⊆A ；A ⊆A ；A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B . [提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[典题例析]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 2．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014＜0}，B ＝{x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．解析：由x 2－2 015x ＋2 014＜0，解得1＜x ＜2 014，故A ＝{x |1＜x ＜2 014}． 而B ＝{x |x ＜m }，由于A ⊆B ，如图所示，则m ≥2 014.答案：[2 014，＋∞)[类题通法](1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．(2)当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况！[演练冲关]1．(2015·中原名校联盟一模)设A ＝{1,4,2x }，若B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝________. 解析：由B ⊆A ，则x 2＝4或x 2＝2x .当x 2＝4时，x ＝±2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x 2＝2x 时，x ＝0或x ＝2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x ＝－2或x ＝0.答案：0或－22．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1， 则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. 答案：(－∞，4]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．集合的并、交、补运算： 并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }； 交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }；补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }；U 为全集，∁U A 表示集合A 相对于全集U 的补集． 2．集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .[提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．[一题多变][典型母题]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝ .[解析] y ＝x 2－2x ＝x －2－1≥－1，y ＝－x 2＋2x ＋6＝－x －2＋7≤7，∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， 故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}. [答案] {y |－1≤y ≤7}[题点发散1] 若集合A 变为A ＝{x |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，其他条件不变，求A ∩B . 解：因A 中元素是函数自变量，则A ＝R ， 而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．[题点发散2] 若集合A 、B 中元素都为整数，求A ∩B . 解：A ∩B ⊆{y |－1≤y ≤7}，又因为y ∈Z ， 故A ∩B ＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．[题点发散3] 若集合A 、B 不变，试求∁R A ∪∁R B . 解：∵A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， ∴∁R A ＝{y |y ＜－1}，∁R B ＝{y |y ＞7}， 故∁R A ∪∁R B ＝{y |y ＜－1或y ＞7}．[题点发散4] 若集合A 、B 变为：A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，求A ∩B .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ＋6⇒x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1.于是，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}．[类题通法]解集合运算问题应注意以下三点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．考点四 集合的新定义问题(重点保分型考点——师生共研)[典题例析]1．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x，x >0}，则A B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.2.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B 由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知a ja i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B.[类题通法]解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．[演练冲关]1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.2．对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *}的元素有________个．解析：m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M 的元素共有15个．答案：15对应A 本课时跟踪检测一一、选择题1．(2015·广州测试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2．(2014·江西高考)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁RB )＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)解析：选C 由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}，∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 3．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B.4．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)解析：选D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]， 所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.5．(2015·西安一模)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C.6．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一‘类’，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．二、填空题7．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x |x 3－4x ＝0}，若A ＝B ，则m ＝________. 解析：由题知B ＝{0，－2,2}，A ＝{0，m,2}，若A ＝B ，则m ＝－2. 答案：－28．(2014·重庆高考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：由题意，得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A ＝{4,6,7,9,10}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}．答案：{7,9}9．(2015·昆明二模)若集合A ＝{x |x 2－9x ＜0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈N *，则A ∩B中元素的个数为________．解析：解不等式x 2－9x ＜0可得0＜x ＜9，所以A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.答案：310．(2015·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2] 三、解答题11．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 所以a ＝5或a ＝－3.(2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4,9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3.12．(2015·福州一模)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件对应学生用书P8基础盘查一 四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)“x 2＋2x －3<0”是命题( ) (2)“sin 45°＝1”是真命题( )(3)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材习题)已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为____________________________________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0基础盘查二充分条件与必要条件(一)循纲忆知理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(二)小题查验1．判断正误(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件( )(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立( )(3)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立( )答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要对应学生用书P8考点一命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[提醒] 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．[题组练透]1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④[类题通法]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．充分条件与必要条件的相关概念(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件．2．从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．[提醒] 充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[典题例析]1．(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD 中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．[类题通法]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．[提醒] 区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[演练冲关]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，∵AB ，∴p 是q 的充分不必要条件．2．(2015·石家庄第一次模拟)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.考点三 充分必要条件的应用(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变][典型母题]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3].[题点发散1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[题点发散2] 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P . ∴[－－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .对应B 本课时跟踪检测二一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2014·陕西高考)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.3．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．4．(2014·湖北高考)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是A ∩B ≠∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：选C 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．5．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.6．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.二、填空题7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围。

第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“若－1＜x ＜1，则x 2＜1”的逆否命题是( ) A ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 B ．若x 2<1，则－1<x <1 C ．若x 2>1，则x >1或x <－1 D ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－13．设a 1，a 2，b 1，b 2均不为0，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“关于x 的不等式a 1x ＋b 1>0与a 2x ＋b 2>0的解集相同”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4． “a ＝0”是“函数y ＝ln|x －a |为偶函数”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件5．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数6．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件二、填空题7．给出命题：已知实数a 、b 满足a ＋b ＝1，则ab ≤14.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．8．(2012·盐城模拟)已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和直线l 2：2x －(a －1)y ＋2＝ 0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.9．p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是q ：“a ·b >0”的________条件． 三、解答题10．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}， B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．11．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在求出p 的取值范围．12．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：A ∪B ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}，∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件． 答案：C2．解析：若原命题是“若p ，则q ”，则逆否命题为“若綈q 则綈p ”，故此命题的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”．答案：D3．解析：“不等式a 1x ＋b 1>0与a 2x ＋b 2>0的解集相同”⇒“a 1a 2＝b 1b 2”，但“a 1a 2＝b 1b 2”“不等式a 1x ＋b 1>0与a 2x ＋b 2>0的解集相同”，如：a 1＝1，b 1＝－1，a 2＝－1，b 2＝1.答案：C4．解析：当a ＝0时，函数y ＝ln|x |为偶函数；当函数y ＝ln|x －a |为偶函数时，有ln|－x －a |＝ln|x －a |，∴a ＝0.答案：A5．解析：否命题是既否定题设又否定结论． 答案：B6．解析：当a ＝1时，N ＝{1}，此时有N ⊆M ，则条件具有充分性；当N ⊆M 时，有a2＝1或a 2＝2得到a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－2，故不具有必要性，所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件．答案：A 二、填空题7．解析：∵a ＋b ＝1⇒1＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≥4ab ⇒ab ≤14.∴原命题为真，从而逆否命题为真；若ab ≤14，显然得不出a ＋b ＝1，故逆命题为假，因而否命题为假．答案：18．解析：l 1⊥l 2⇔2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案：139．解析：若向量a 与向量b 的夹角θ为锐角，则cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，即a ·b >0；由a ·b >0可得cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要 三、解答题10．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，⇒m ≥32.又集合{m |m ≥32}．关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．11．解：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，由4x ＋p <0得x <－p 4，故－p4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件． 12．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0，当a ＝1时，解得1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3. (2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 且p q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A B ，又B ＝(2,3]，当a >0时，A ＝(a,3a )；a <0时，A ＝(3a ，a )．所以当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是1<a ≤2.。