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2013届人教版中考数学复习解题指导：第31讲 正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题

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中考总复习数学31- 第一部分 第31讲 统计

中考总复习数学31- 第一部分 第31讲 统计
(3)统计表:一般涉及求频数和频率(百分比).
第31讲
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统计— 考点梳理
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3.频数和频率
频数
(2)频率=
.
数据总个数
(1)频数:各组中数据的个数.
(3)各组的频率之和为
1
.
4.样本估计总体
用样本估计总体时,样本容量越大,通过样本对总体的估计也就
越精确 .
基本思想:利用样本的特征(平均数、方差等)估计总体的特征(平均数、方差
1
2
3
4
第31讲
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统计— 题型突破
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2.(原创题)某篮球队10名队员的年龄结构如下表,已知该队队员年龄的
中位数是21.5,则篮球队的年龄的众数为( D )
A.20
年龄/岁
19
20
21
22
24
26
人数/名
1
1
m
n
2
1
B.22
C.24
D.21
1
2
3
4
第31讲
统计— 题型突破
返回题型清单
计算调查的样本容量:综合观察统计图(表),或得到某组的频数,或得到某
组的频数及该组对应的频率(百分比),利用样本容量=各组频数之和或样
某组的频数
本容量=
计算即可.
该组的频率
(1)条形统计图:一般涉及补图,也就是求未知组的频数.
(2)扇形统计图:一般涉及补图,也就是求未知组的百分比或其所占圆心角
的度数.
解析:在这次抽样调查中,共调查的学生数为60÷20%=300(名).
(2)C类所对应扇形的圆心角的度数是
全条形统计图;

人教版九年级上册数学正多边形和圆圆锥的侧面积和全面积精品课件PPT

人教版九年级上册数学正多边形和圆圆锥的侧面积和全面积精品课件PPT
300 300
800 800
人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
800
300
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人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
你会计算圆锥展开图中的圆心角的度数吗？
圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍， 则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数 是多少度？
（1）l = 2，r =1 则 h=__3___ (2) h =3, r=4 则 l =__5___
(3) l = 10, h = 8 则r=___6_
2. 如图所示的扇形中，半R=10，
hl
r
圆心角 θ=144°用这个扇形围 成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r; r=4
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1) 2 21
l ro
扇形
人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
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圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,
求这个烟囱帽的面积（ π 取3.14，结果保留2个有效数字）
l h
r
解：∵l=80，h=38.7 ∴r= l2 h2 802 38.72 70 ∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）
2
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
2031.45 40.81 1445m2
人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
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中考数学复习满分突破(全国通用)：正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算(解析版)

中考数学复习满分突破(全国通用)：正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算(解析版)
专题 30 正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积
【考查题型】
有关的计算
【知识要点】 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 【解题思路】 1.正边形半径、边心距和12 边长构成直角三角形。 2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。 正多边形的对称性： 1）正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。 2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多 边的中心。 【小结】正 n 变形的内角为 �−2�×180°，外角为36�00，中心角为36�00 内角和为（ n-2 ）×180°。 【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值 第一种 正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，在 Rt△BOD 中，OD:BD:OB=1: 3 : 2 (图一)
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 变式 1-4．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，正六边形 ABCDEF 和正五边形 AHIJK 内接于 O ，且 有公共顶点 A，则 BOH 的度数为______度．
【答案】12 【分析】连接 AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答． 【详解】连接 AO，如图，
与
AD
交于点
O，易证△COD
为等边三角形，从而

正多边形、扇形、圆锥复习

正多边形、扇形、圆锥复习

正多边形、扇形、圆锥【知识点】一、正多边形与圆二、弧长及扇形的面积1、弧长公式 ；2、扇形面积公式 .三、圆锥的侧面积和全面积:圆锥侧面积计算公式 .【正多边形与圆】 1．（2010台湾） 如图(十六)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH ，若△ADE 的面积为 10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何？ (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 。

2．（2010 山东济南） 如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ）A ．32 cmB ．3cmC ．332 cm D ．1cm 3．（2010宁夏回族自治区）如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是 米．4、同圆中，内接正四边形与正六边形面积之比是 ．5．（2010四川乐山）正六边形ABCDEF 的边长为2cm ，点P 为这个正六边形内部的一个动点，则点P 到这个正六边形各边的距离之和为__________cm ．D A B ACDE FG H 图(1)【扇形的弧长、面积】 6．（2010四川 巴中）如图6所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则 图中阴影部分的面积为。

7．（2010 广西钦州市）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2 m 长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（A ）6πm 2 （B ）5πm 2 （C ）4πm 2 （D ）3πm 2 8．（2010 嵊州市）如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为 。

9．（2010云南昆明）如图，在△ABC 中，AB = AC ，AB = 8，BC = 12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A．64π- B ．1632π- C．16π-D．16π-10．（2010天门、潜江、仙桃）如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作弧BC 1，交斜边AC 于点C 1，AB B C ⊥11于点B 1，设弧BC 1，11B C ，B 1B 围成的阴影部分的面积为S 1，然后以A 为圆心，AB 1为半径作弧B 1C 2，交斜边AC 于点C 2，AB B C ⊥22于点B 2，设弧B 1C 2，22B C ，B 2B 1围成的阴影部分的面积为S 2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S 3= .图6第7题第9题图【圆锥的侧面积】1．（2010 福建德化）已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长为6cm ，则侧面积为________cm 2．（结果保留π） 2．（2010 福建晋江）已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是 . 3．（2010江苏无锡）已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．20cm 2B ．20πcm 2C ．10πcm 2D ．5πcm 24．（2010甘肃兰州） 现有一个圆心角为90，半径为cm 8的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为A ． cm 4B ．cm 3C ．cm 2D ．cm 15．（2010山东济宁）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cmB．cmC ．8cmD．6．（2010山东威海）一个圆锥的底面半径为6㎝，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为A ．9㎝B ．12㎝C ．15㎝D ．18㎝ 7．（2010 山东莱芜）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为A ．2.5B ．5C ．10D ．15 8．（2010年贵州毕节）已知圆锥的母线长是5cm ，侧面积是15πcm 2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）A ．1.5cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm 【答案】B. 9．（2010浙江湖州）如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，若把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（ ） A ．6π B ．9π C ．12π D ．15π（第9题）剪去10．（2010江苏宿迁）如图，∆ABC 是一个圆锥的左视图，其中AB =AC =5，BC =8，则这个圆锥的侧面积是A π12B ．π16C ．π20D ．π3611．（2010湖北黄石）如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC ，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（ ） A.13 B. 63 C. 33 D. 43 12．（2010 湖北孝感）如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程 是 （ ）A ．8B ．210C ．215D ．22013．(6分)聪明好学的小云查阅有关资料发现：用不过圆锥顶点平行于一条母线的平面截圆锥所得的截面为抛物面，即图9中①，曲线CFD 为抛物线的一部分，圆锥体SAB 的母线长为10，侧面积为50π，圆锥的截面CFD 交母线SB 于F ，交底面⊙P 于C 、D ，A B ⊥CD 于O ，OF ∥SA 且O F ⊥CD ，OP ＝4。

初三数学专题复习-第31课时 弧长及扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积

初三数学专题复习-第31课时 弧长及扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积

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有关概念：(1)正多边形的中心：正多边形的 外接圆的圆心 叫做这个正多边形的 中心； (2)正多边形的半径：正多边形的 外接圆的半径 叫做这个正多边形的半径； (3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形的中心角； (4)正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的 距离 叫做正多边形的边心距， 也是正多边形内切圆的半径．
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6．圆柱的侧面展开图 展开图：圆柱的侧面展开图是一个 矩形 ，这个 矩形 的一边长等于圆柱的高， 另一边的长等于底面圆的周长． 公 式：如图，圆柱的高为 h，底面圆的半径为 R.
(1)S 圆柱侧＝2πRh； (2)S 圆柱全＝2πRh＋2πR2.
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7．圆锥的侧面展开图 展开图：沿着圆锥的一条母线把圆锥的侧面展开，得到一个 扇形 ，它的弧长等 于圆锥底面圆的周长，它的半径等于圆锥的 母线 长． 公 式：如图，圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 R. (1)S 圆锥侧＝12l·2πR＝πRl； (2)S 圆锥全＝πRl＋πR2＝πR(l＋R)． 注 意：不要把圆锥的母线长误当成圆锥的高．
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中考再现
1．[2019·长沙]一个扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是( C )
A．2π
B.4π
C．12π
D.24π
【解析】 根据扇形的面积公式，S＝120×36π0×62＝12π.故选 C.
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2．[2019·衡阳]如图，已知圆的半径是 6，则圆内接正三角形的边长是 6 3 .
︵︵
∴BC＝BD，故①正确． ∵∠A＝30°， ∴∠COB＝60°. ∴S 扇形 OBC＝36600·π·A2B2＝227π.故②错误．

人教版中考数学考点聚焦《第31讲：图形的相似》课件

人教版中考数学考点聚焦《第31讲：图形的相似》课件

6．相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平 分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
7．射影定理：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， 则有下列结论．
(1)AC 2＝AD·AB； (2)BC 2＝BD·AB； (3)CD 2＝AD·BD； (4)AC 2∶BC 2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.
命题点5：相似三角形的应用 5．(2017·天水)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯 的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为__5__米．
相似三角形的性质及判定
【例 1】 (1)(2017·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，
则下列等式一定成立的是( D )
【探索研究】 (2)若点 O 是 AC 上任意一点(不与 A，C 重合)，求证：AMMB·BNNC·OCOA＝1； 【拓展应用】 (3)如图②，点 P 是△ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC， AC，AB 于点 D，E，F，若ABFF＝13，BCDD＝12，求ACEE的值．
解：(1)过点 A 作 AG∥MN 交 BN 延长线于点 G，∴∠G＝∠BNM，又∠B ＝∠B，∴△ABG∽△MBN，∴BBGN＝MABB，∴BBGN－1＝MABB－1，∴BGB－NBN ＝ABM－BMB，即NBNG＝AMMB，同理，在△ACG 和△OCN 中，NCNG＝ACOO，∴ACOO ＝NCNG，∵O 为 AC 中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN，∴CBNN＝NBNG＝ABMM＝31
命题点 1：比例的性质 1．(2017·兰州)已知 2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( A ) A.xy＝32 B.3x＝y2 C.xy＝23 D.x2＝y3

中考数学总复习 第六章 圆 第31课 有关圆的计算课件


2．弧长、扇形的面积 (1)如果弧长为 l，圆心角为 n°，圆的半径为 r，那么弧长的计算公式为 l
nπr ＝___1_8_0___．
(2)由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇
nπr2 形的圆心角为 n°，所在圆半径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 S＝__3_6_0__ 或 S
变式训练 1 (2015·恩施州) 如图，半径为 5 的半圆的初始状态是直径平 行于桌面上的直线 b，然后把半圆沿直线 b 进行无滑动滚动，使半圆的直径 与直线 b 重合为止，则圆心 O 运动路径的长度等于________．
(变式训练 1 题图)
解析 由解图可知，圆心先向前走 OO1 的长度即41圆的周长，然后沿着 O︵1O2旋转41圆的周长，
．
4．阴影部分的面积
(1)规则图形：按规则图形的面积公式去求．
(2)不规则图形：采用“转化”的数学思想方法，把不规则图形的面积采
用“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形的面积．
基础落实
1．若扇形的半径为 6，圆心角为 60°，则此扇形的弧长是( B )
A. 3π
B. 6π
C. 9π
D. 12π
2．如图，一个圆心角为 90°的扇形，半径 OA＝2，那么图中阴影部分
的面积为( C )
A. π
B. 2π－2
C. π－2
D. π－1
,
(第 2 题图)
(第 3 题图)
3．如图，矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝2，把矩形 ABCD 绕 AB 所在直
线旋转一周所得圆柱的侧面积为( B )
1 ＝___2_l_r_ ．
注：公式中的 n 表示 1°的圆心角的倍数，所以不带单位． 3．圆柱和圆锥 (1)圆柱的侧面展开图是__矩__形_ ，这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长__ c， 宽是圆柱的__母__线_ .如果圆柱的底面半径是 r，则 S 圆柱侧＝cl＝2πrl，S 圆柱全＝2πrl ＋2πr2.

人教版中考数学专题课件：正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题


图 25－3
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正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
解 析
设正方形 BGFE 的边长是 x，根据几何图
形面积的和差关系，图中阴影部分面积＝S 扇形 BAC＋S△CEF 90²π ³42 1 1 2 ＋S 正方形 BGFE－S△AGF＝ ＋ (4－x)x＋x － (4＋ 360 2 2 x)x＝4π .
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正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
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正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
容易将扇形的弧长公式与扇形的面积公式相混淆而导致 解题错误．
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正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
探究三
计算扇形面积
命题角度： 1．已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积； 2．已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．
正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
考 点 聚 焦
考点1
正多 边形 和圆 的关系 正多 边形 和圆 的有 关概 念
正多边形和圆
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一 些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正 多边形的外接圆． 一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的________. 中心 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的________. 半径 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________. 中心角 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 ________ 边心距 ，也是正多边形内切圆的半径.
皖考解读
考点聚焦

中考数学复习满分突破正多边形与圆与弧长公式扇形面积圆锥侧面积有关的计算

中考数学复习满分突破正多边形与圆与弧长公式扇形面
积圆锥侧面积有关的计算
一、正多边形与圆的关系
正多边形是指所有边和角都相等的多边形。

一个正多边形可以画出一个内接圆，该圆的圆心即为正多边形的中心，且圆心与多边形的各个顶点连线都与多边形的一条边垂直。

正多边形的内角和公式为：
内角和=(n-2)×180°，其中n为正多边形的边数。

正多边形的外角和公式为：
外角和=360°，且每个外角的度数为360°/n，其中n为正多边形的边数。

1.弧长公式
弧长可以理解为一段圆周的长度。

弧长公式为：
弧长=弧度×半径，其中弧度=角度×π/180。

2.弧度制度数转换式
角度=弧度×180/π。

三、扇形面积的计算
扇形是由一条弧和两条半径组成的图形。

扇形面积公式为：
扇形面积=(弧长×半径)/2，其中弧长单位为弧度。

四、圆锥侧面积的计算
圆锥的侧面是由圆锥的母线、底面圆弧以及连接底面圆弧与顶点的三角形组成的。

圆锥侧面积公式为：
圆锥侧面积=弧长×母线/2，其中弧长单位为弧度，母线为连接圆锥顶点和底面圆圆心的线段长度。

以上是正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算的相关知识点。

希望对你的中考数学复习有所帮助。

计算这些相关内容时，记得要熟记公式，并且注意单位的转换。

祝你取得满意的成绩！。

正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题


思考：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º。
(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗? (2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？ (3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面 积吗？
A
C
B
（1）以BC为轴旋转一周所得的圆锥
B
B
C
A
C
A
以AC为轴旋转一周所得的圆锥 A
图 32－4
·新课标
第32讲 │ 归类示例
[解析] 点 A 从开始滚动到结束，转过了两个 120 度的角，其 120 半径都是 2， 所以 A 点从开始到结束所走过的路线长是 2× ×2π 180 8 ＝ π. 3
·新课标
第32讲 │ 归类示例
[2010· 台州] 如图 32－5，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠C＝ 60° ，菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋 转 60° 叫一次操作， 则经过 36 次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径
D B D B
A
动画
C
A
C
分析: A,B两点之间的线 段最短，把圆柱展开，侧 面是长方形，线段AB就是 最短距离.
在Rt三 角 形 中 ，
D
B
解：
12 3 144 9 2
A 2 2 3 2 2 2 2 AB AD BD 12 2
·新课标
第32讲 │ 考点随堂练
4．已知100° 的圆心角所对的弧长为5π cm，则该圆的半径为 9 ______cm. 100×π×r nπr [解析]因为弧长l＝ ，所以可得到5π＝ ，解得r＝9. 180 180
5．如图32－3，秋千拉绳长3米，静止时 踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时， 秋千在最高处踩板离地面2米(左右对 称)，则该秋千所荡过的圆弧长为多少？ 图32－3 解： 由图形可知：EF＝2－0.5＝1.5，OF＝3－1.5＝1.5，所 1 以在Rt△OFB中，OF＝ OB，∴∠OBA＝30° .所以∠AOB＝ 2 120π×3 120° ，所以秋千所荡过的圆弧长l＝ ＝2π(米)． 180
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第31讲┃ 归类示例
解：(1)如图；
(2)由平移， 得 A1C1∥B1E∥AC， A1C1＝ B1E＝AC， ∴四边形 ACEB1、 四边形 A1C1EB1 都是平行四边形，∴线段 AC 扫过区域的面积为 S▱ACEB1＋S▱A1C1EB1＋S 扇形 C2A1B1＝ 45×π ×（2 2）2 4×2＋3×2＋ ＝14＋π . 360
nπ R2 360 n是圆心角度数，R是 (1)S扇形＝______(
半径)； 1 lR (2)S扇形＝______( l是弧长，R是半径) 2
弓形面积
S弓形＝S扇形±S△
第31讲┃ 考点聚焦 考点4 圆锥的侧面积与全面积
图形
第31讲┃ 考点聚焦
圆锥简介
(1)h是圆锥的高； (2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所 半径 得扇形的________ ； (3)r是底面半径； (4)圆锥的侧面展开图是半径等于________ 母线 长，弧长等于圆锥底面 __31讲┃ 考点聚焦 考点2 圆的周长与弧长公式
圆的周长
若圆的半径是R，则圆的周长C＝ ________ 2πR
若一条弧所对的圆心角是n°，半径 nπ R 是R，则弧长l＝________. 弧长公式 180 在应用公式时，n和180不再写单位
第31讲┃ 考点聚焦 考点3 扇形的面积公式
扇形面积
图31－2
第31讲┃ 归类示例
[解析] 根据含30°角的直角三角形三边的关系得到BC＝1， AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.点A先是以B点为旋转中心，顺 时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90° 到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次 落在直线l上时，点A所经过的路线的长．
第31讲┃ 归类示例
∵Rt△ABC 中，AC＝ 3，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°. ∵Rt△ABC 在直线 l 上无滑动地翻转，且点 A 第 3 次落在直线 l 上时，有 3 个 AA1 的长，2 个 A1A2 的长， 120π ×2 90π × 3 ∴点 A 经过的路线长＝ ×3＋ ×2＝(4＋ 3)π . 180 180
第31讲┃正多边形、扇形的面积、 圆锥的计算问题
第31讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 正多边形和圆
正多边形 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分 和圆的关 成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多 系 边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆 一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的 中心 ________ 半径 正多边形 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的________ 和圆的有 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 关概念 中心角 ________ 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正 边心距 多边形的________
解：(1)证明：∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD. π ×32 π ×12 (2)S 阴影＝S 扇形 AOB－S 扇形 COD＝ － ＝2π (cm2)． 4 4
第31讲┃ 归类示例
求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本 图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出 结果．
第31讲┃ 归类示例
[解析] ∵某小区将原来正方形地砖更换为如题图所示的正八边形植草砖， 正八边形与其内部小正方形的边长都为 a， ∴AB＝a，且∠CAB＝∠CBA＝45°， BC BC 2 2 ∴sin45°＝ ＝ ＝ ，∴AC＝BC＝ a， AB a 2 2 1 2 2 a2 ∴S△ABC＝ × a× a＝ . 2 2 2 4 a2 ∵正八边形周围是四个全等三角形，面积和为： ×4＝a2， 4 正八边形中间是边长为 a 的正方形， ∴阴影部分的面积为： a2＋a2＝2a2， 故选 A.
∵弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，
1 1 ∴OC＝ OA＝ ×6＝3(米)， 2 2 ∵∠AOB＝90°，CD∥OB， ∴CD⊥OA. 在 Rt△OCD 中， ∵OD＝6 米，OC＝3 米， ∴CD＝ OD2－OC2＝ 62－32＝3 3(米)． CD 3 3 3 ∵sin∠DOC＝ ＝ ＝ ， OD 6 2 ∴∠DOC＝60°. 60×π ×62 1 9 ∴S 阴影＝S 扇形 AOD－S△DOC＝ － ×3×3 3＝6π － 3(米 2)． 2 360 2
圆锥的 侧面积 圆锥的 全面积
S侧＝________
πra
S全＝S侧＋S底＝π ra＋π r2
第31讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 正多边形和圆 命题角度： 1. 正多边形和圆有关的概念； 2. 正多边形的有关计算．
例1 [2012·安徽] 为增加绿化面积，某小区将原来正方形 地砖更换为如图31－1所示的正八边形植草砖，更换后， 图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方 形的边长都为a，则阴影部分的面积为( A ) A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
第31讲┃ 归类示例 ► 类型之三 计算扇形面积
命题角度： 1. 已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积； 2. 已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积． 例3 [2012·泰州] 如图31－3，在边长为1个单位长度的小 正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形 的顶点上．将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单 位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90° 得到△A1B2C2. (1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
图31－6
第31讲┃ 归类示例
1 [解析] 先根据半径 OA 长是 6 米， C 是 OA 的中点可知 OC＝ OA＝3， 2 再在 Rt△OCD 中， 利用勾股定理求出 CD 的长， 根据锐角三角函数的定义 求出∠DOC 的度数，由 S 阴影＝S 扇形 AOD－S△DOC 即可得出结论．
第31讲┃ 归类示例
(2) 计算线段 AC在变换到 A1C2的过程中扫过区域的面积 ( 重 叠部分不重复计算) .
第31讲┃ 归类示例
图31－3 [解析] (1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及 △A1B2C2即可； (2)将△ABC向下平移4个单位，AC所扫过的面积是以4为底 ，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位，AC 所扫过的面积是从3为底，以2为高的平行四边形的面积； 当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫 过的面积是以A1为圆心，以2为半径，圆心角为90°的扇形 的面积，再减去重叠部分的面积．
第31讲┃ 归类示例
圆的内接正多边形的每条边所对的圆心角都相等， 并且所对圆心角的和是360°.
第31讲┃ 归类示例 ► 类型之二 计算弧长 命题角度： 1．已知圆心角和半径求弧长； 2．利用转化思想求弧长． 例2 [2012·广安]如图31－2，Rt△ABC的边BC位于直线 l上，AC＝√3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上 时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子 表示)．
图31－5
第31讲┃ 归类示例
[解析] 过 C 作 CO⊥AB，则 OC＝2, Rt△ABC 绕边 AB 所在 直 线 旋 转 一 周 ， 则 所 得 的 几 何 体 的 表 面 积 为 2×OC×AC π ＝ 2×2×2 2π ＝8 2π .
第31讲┃ 归类示例 ► 类型之五 用化归思想解决生活中的实际问题 命题角度： 1. 用化归思想解决生活中的实际问题； 2. 综合利用所学知识解决实际问题． 例5 [2012·山西] 如图31－6是某公园的一角， ∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点 D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是 ( C )
第31讲┃ 考点聚焦
(1)边长：an＝2Rn·sin 180°
n
180°
(2)周长：Pn＝n·an (3)边心距：rn＝Rn·cos 正多边形的 有关计算
n
1 (4)面积：Sn＝ an·rn·n 2 (5)内角度数为： （n－2）×180°
n
360°
(6)外角度数为：
n
360°
(7)中心角度数为：
第31讲┃ 归类示例
变式题 [2010·新疆] 圆心角都是90°的扇形 AOB与扇形COD如图31－4所示那样叠放在一起，连接 AC、BD. (1)求证：△AOC≌△BOD； (2)若AO＝3 cm，OC＝1 cm，求阴影部分的面积．
图31－4
第31讲┃ 归类示例
[解析] (1)把△AOC旋转到△BOD，可知这两个 三角形全等；(2)把阴影面积化为两个扇形面 积的差．
第31讲┃ 归类示例 ► 类型之四 和圆锥的侧面展开图有关的问题 命题角度： 1. 圆锥的母线长、底面半径等计算； 2. 圆锥的侧面展开图的相关计算． 例4 [2012·宁波]如图31－5，Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，AC＝BC＝2√2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转 一周，则所得的几何体的表面积为( D )