2009届二模普陀区高考数学理

2009年浙江省台州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合P ={y|y ≥0}，P ∩Q =Q ，则集合Q 不可能是（ ） A {y|y =x 2} B {y|y =2x } C {y|y =lgx} D ⌀2. 在(√x 23−1x 2)8的展开式中，常数项为（ ）A −28B −70C 70D 283. 已知两条不同的直线m ，l 与三个不同的平面α，β，γ，满足l =β∩γ，l // α，m ⊂α，m ⊥γ，那么必有（ ）A α⊥γ，m ⊥lB α⊥γ，m // βC m // β，m ⊥lD α // β，α⊥γ 4. 在等比数列{a n }中，a n >0，a 2=1−a 1，a 4=9−a 3，则a 4+a 5=( ) A 16 B 27 C 36 D 815. 已知a ，b ，c 均为实数，则“b 2−4ac ≤0”是“关于x 一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为⌀”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 6. 在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O ）和一个定点F （F 在圆外）．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使M 与点F 重合，得到折痕CD ．设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为（ ）A 双曲线B 椭圆C 圆D 抛物线7. 若对∀a ∈(−∞, 0)，∃x 0∈R ，使acosx 0≤a 成立，则cos(x 0−π6)=( ) A 12B −12C √32D −√328.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60∘的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A 2√3B 4√3C 8D 49. 将三个分别标有A ，B ，C 的小球随机地放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，则第1号盒子内有球的不同放法的总数为（ ） A 27 B 37 C 64 D 8110. 已知向量a →，b →，c →满足|a →|=1，|a →−b →|=|b →|，(a →−c →)⋅(b →−c →)=0．若对每一确定的b →，|c →|的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意b →，m −n 的最小值是（ ） A 14 B 12 C 34 D 1二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 已知复数z =1+i1−i ，则z 2=________．12. 某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/ℎ，否则视为违规扣分．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为________辆． 13. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且过点P(n, a n )和Q(n +3, a n+3)(n ∈N ∗)的直线的斜率是4，若S 1=3，则S 6=________．14. 某个缺水地区为了提倡居民节约用水和控制用水浪费现象，实行了水费的分段计价，其计价的流程如图所示．其中输入为居民每月的用水量（单位：吨），输出为相应的水费（单位：元）．已知某户居民某月用水量为x(x >20)吨，则该户居民用水超过20吨的部分应缴纳的水费为________．15. 已知向量a →=(m,n)，b →=(1,−1)，其中m ，n 为连续两次投掷骰子得到的点数，则a →，b →的夹角能成为直角三角形的内角的概率是________．16. 若f(x)是定义在R 上的奇函数，且当0<x ≤1时，f(x)=21−x ；当x >1时，f(x)=f(x −1)．则函数y =f(x)−12x 的零点有________个．17. 已知点Q ∈{(x,y)|{x 2+y 2<8x +6y3x +4y >24}，如果直线l:ax +y +2=0经过点Q ，那么实数a 的取值范围是________．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx +3cos 2x ． （1）求函数f(x)的单调增区间；（2）已知f(α)=3，且α∈(0, π)，求α的值．19. 一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求：（1）恰好摸到2个“心”字球的概率；（2）摸球次数X的概率分布列和数学期望．20. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为B点，且AB=AC=A1B=2．（1）分别求出AA1与底面ABC，棱BC所成的角；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP=√14，并求出二面角P−AB−A1的平面角的余弦值．21. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．（I）求椭圆C的方程；（II）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．试求点H的轨迹方程．22. 已知函数f(x)=px−px −lnx，g(x)=lnx−Px(1+e2−2eP2)，其中无理数e=2.17828…．（1）若P=0，求证：f(x)>1−x；（2）若在其定义域内f(x)是单调函数，求P的取值范围；（3）对于区间(1, 2)中的任意常数P，是否存在x0>0，使f(x0)≤g(x0)成立？若存在，求出符合条件的一个x0；否则说明理由．2009年浙江省台州市高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. B5. B6. A7. C8. D9. B10. B11. −112. 11013. 7814. 25x−50015. 71216. 7 17. (−∞,−14)18. 解：（1）f(x)=√3sin2x +cos2x +2=2sin(2x +π6)+2．由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ； 得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ；．∴ 函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)． （2）由f(α)=3，得2sin(2α+π6)+2=3．∴ sin(2α+π6)=12．∴ 2α+π6=π6+2k 1π，或2α+π6=5π6+2k 2π(k 1, k 2∈Z)，即α=k 1π或α=π3+k 2π(k 1, k 2∈Z)．∵ α∈(0, π)， ∴ α=π3．19. （1）解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形： 开心心，心开心，心心开，心心乐． 则恰好摸到2个“心”字球的概率： P =510×310×310×3+310×310×210=1531000．…（2）解：X =1，2，3， 则 P(X =1)=C 21C 101=15，P(X =2)=C 81C 101⋅C 21C 101=425，P(X =3)=1−P(X =1)−P(X =2)=1625．…故取球次数X 的分布列为EX =15×1+425×2+1625×3=6125．…20.解：（1）因为A 1在底面ABC 上的射影恰为B 点，所以A 1B ⊥底面ABC ．所以∠A 1AB 就是AA 1与底面ABC 所成的角． 因AB =A 1B =2，A 1B ⊥AB ，故 ∠A 1AB =π4，即AA 1与底面ABC 所成的角是π4．…如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(0, 2, 2)，B 1(0, 4, 2)，AA 1→=(0,2,2)，BC →=B 1C 1→=(2,−2,0)． 则cos <AA 1→，BC →>|AA 1→|⋅|BC →|˙=√8⋅√8=−12， 故AA 1与棱BC 所成的角是π3．…（2）设B 1P →=λB 1C 1→=(2λ,−2λ,0)，则P(2λ, 4−2λ, 2)． 于是AP =√4λ2+(4−2λ)2+4=√14⇒λ=12（λ=32舍去），则P 为棱B 1C 1的中点，其坐标为P(1, 3, 2)．… 设平面P −AB −A 1的法向量为n 1→=(x,y,z)，则{n 1→⋅AB →=0˙⇒{x +3y +2z =02y =0⇒{x =−2z y =0， 故n 1→=(−2,0,1)．…而平面ABA 1的法向量是n 2→=(1,0,0)， 则cos <n 1→，n 2→>|n 1→|⋅|n 2→|˙=√5=−2√55， 故二面角P −AB −A 1的平面角的余弦值是2√55．… 21. 解：(I)由题意知：e =c a=12，a −c =1，a 2=b 2+c 2，解得a =2，b 2=3．故椭圆的方程为x 24+y 23=1．（II ）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，（1）若l ⊥x 轴，可设H(x 0, 0)，因OA ⊥OB ，则A(x 0, ±x 0)．由x 024+x 023=1，得x 02=127，即H(±√127，0)．若l ⊥y 轴，可设H(0, y 0)，同理可得H(0,±√127)． （2）当直线l 的斜率存在且不为0时，设l:y =kx +m ，由{y =kx +mx 24+y 23=1，消去y 得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0．则x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2−12k23+4k2．由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=0．故4m2−123+4k2+3m2−12k23+4k2=0，即7m2=12(k2+1)（记为①）．由OH⊥AB，可知直线OH的方程为y=−1k x．联立方程组{y=kx+my=−1kx，得{k=−xym=x2y+y（记为②）．将②代入①，化简得x2+y2=127．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为x2+y2=127．22. 解：（1）证明：当p=0时，f(x)=−lnx．令m(x)=lnx−x+1，则m′(x)=1x −1=1−xx．若0<x<1，m′(x)>0，m(x)递增；若x>1，m′(x)<0，m(x)递减，则x=1是m(x)的极（最）大值点．于是m(x)≤m(1)=0，即lnx−x+1≤0．故当p=0时，有f(x)≥1−x；（2）解：对f(x)=px−px−lnx求导，得f′(x)=p+px2−1x=px2−x+px2．①若p=0，f′(x)=−1x<0，则f(x)在(0, +∞)上单调递减，故p=0合题意．②若p>0，ℎ(x)=px2−x+p=p(x−12p )2+p−14p≥p−14p．则必须p−14p≥0，f′(x)≥0，故当p≥12时，f(x)在(0, +∞)上单调递增．③若p<0，ℎ(x)的对称轴x=12p<0，则必须ℎ(0)≤0，f′(x)≤0，故当p<0时，f(x)在(0, +∞)上单调递减．综合上述，p的取值范围是(−∞,0]∪[12，+∞)；（3）解：令F(x)=f(x)−g(x)=px−2lnx+e 2−2e px．则问题等价于找一个x0>0使F(x)≤0成立，故只需满足函数的最小值F(x)min≤0即可．因F′(x)=p−2x −e2−2epx2=(px−e)(px−2+e)px2=px2(x−ep)(x−2−ep)，而x>0,1<p<2,ep >2p>0，2−ep<0，故当0<x<ep时，F′(x)<0，F(x)递减；当x>ep时，F′(x)>0，F(x)递增．于是，F(x)min=F(ep)=e−2+2lnp+e−2=2e+2lnp−4>0．与上述要求F(x)min≤0相矛盾，故不存在符合条件的x0．。

上海市普陀区2015届高三数学二模试题 理（含解析）一、填空题（共14题，每题4分，满分56分） 1．不等式01xx>-的解集为 . 【答案】{}10|<<x x 【解析】 试题分析：由()()10010101<<⇒<-⇒>-⇒>-x x x x x xx ，所以不等式01xx >-的解集为{}10|<<x x . 考点：不等式. 2.若1m ii i+=+（i 为虚数单位），则实数m = . 【答案】-1考点：复数的运算. 3.若函数()()sin sin022xxf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω= .【答案】2 【解析】试题分析：()x xxxxx f ωωωωπωsin 212cos2sin2sin2sin==+=，因为函数的最小正周期为π，所以2=ω.考点：三角函数的性质.4.集合{}{}21,4,R A x y x B x y x x ==-==∈，则A B I . 【答案】{}10|≤≤x x 【解析】试题分析：因为{}{}1|1|≤=-==x x x y x A ，{}{}0|,4|2≥=∈==x x R x x y x B ,所以{}10|≤≤=⋂x x B A . 考点：集合的基本运算.5.若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 .【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ考点：三角函数的性质. 6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-u u u r u u u r，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 .【答案】12822=+y x 【解析】试题分析：由题意可得：34665cos 65=⇒-===•ac ac FB OF ππ， 且b a 2=又因为222c b a +=，所以2,822==b a ，所以椭圆的方程为12822=+y x . 考点：椭圆的性质.7.函数())11f x x x =-≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = 1 . 【答案】1 【解析】试题分析：因为函数()2g x x ax =+是偶函数，所以0=a ，所以()1011=-=f .考点：函数的性质.8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为 1，则球的表面积为 . 【答案】4π 【解析】试题分析：由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧⨯⨯=⨯⨯⨯=球圆锥球圆锥r r r r 22234131ππ，所以1=球r ，所以球的表面积为4π. 考点：向量的应用.9．已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB = 2 .【答案】2 【解析】试题分析：由题意可知：直线l 和曲线Γ的普通方程为01=+-y x 和122=+y x ，所以圆心()0,0到直线的距离2211122=+=d ，所以2221222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB . 考点：圆的性质.10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.203【解析】试题分析：由题意可得：ο120,320,320=∠==CAD AD AC ，所以由余弦定理可得：91200213203202320320120cos 222222=⨯⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=•-+=οAD AC AD AC CD 所以3320=CD . 考点：正、余弦定理.11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ，则E ξ= （结果用最简分数作答）. 【答案】76 【解析】试题分析：由题意可得：()()()712,741,720======ξξξp p p ， 所以()76712741720=⨯+⨯+⨯=ξE . 考点：随机变量的期望、方差.12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r则326a b c +-=r r r .【答案】5 【解析】试题分析：由题意可知：•-•-•+++=-+36241236492322225=，所以523=-+b a .考点：向量的运算.13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12π+ . 【答案】12π+ 【解析】试题分析：由题意可设ααsin cos 1i z +=，bi a z +=2，,11,11≤≤-≤≤-b a 所以()()i b a z ααsin cos +++=，令ααsin ,cos +=+=b y a x ，所以()()122=-+-b y a x ，所以z 在复平面上对应的点组成的图形如图所示：所以z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为ππ+=⨯+121122. 考点：复数的运算、几何意义.14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(21N -=-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 .【答案】4- 【解析】试题分析：令()021213=+-+x x N 得()21213-=+x x N ，令Z k x ∈=-212 则412+=k x ，所以143213+++=+k k x ，所以原方程等价于1432-=⎪⎭⎫⎝⎛+k N ， 即14322-≤+<-k ，所以27211-≤<-k ，所以4,5-=-=k k ，相应的x 值为47,49--，所以函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为4-.考点：函数性质的应用.二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ） A.若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥α C. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b D.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b 【答案】D 【解析】试题分析：A:若//a b ，//a α，则//b α 或α⊂b ；B ：若a ⊥b ， b ⊥α，则α⊂a 或α//a ；C ：若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b 或b a ⊥或b a ,异面.考点：空间元素的位置关系.16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 【答案】A 【解析】试题解析：若直线与抛物线相切则直线与抛物线只有一个公共点；当直线平行于对称轴时也有一个交点，所以应选A 考点：充分必要条件. 17．在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项 【答案】B 【解析】试题解析：在*22)()n n N x∈的展开通式为2512r n rr n r xC T -+=，若第五项的系数与第三项的系数分别为442n C 、222n C ，所以442n C 3:562:22=n C ，所以10=n ，展开式中的常数项是第3项.考点：二项式定理.18．已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；② 2,12,22,2m a a a m +++=L ；③1,,12nn m n m a a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】试题解析：由题意可得：每一行都是以1为公差的等差数列，且第一列的前7个数为3253,1627,813,47,23,2,1，所以85358136,5=+=a ；()132,22,21,2++++=+++m a a a m ΛΛ()232122m m m m +=++=；对于③可以检验，当1,1==m n 时⎪⎭⎫⎝⎛-+=211,11,2a a不成立； 由()()2122,,1,1,2,,1,1,2,,1,2-=--⇒--=-⇒+=++++++++ji j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i a a a a a a a a a a a ，所以{}j i ji a a,,1-+是以1为首项以21-为公比的等比数列，所以1,,121-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-i j i j i a a ，所以j a n jn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--=-1,21132即m a n m n +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1,21132，所以33221132lim lim 1,mm a n n mn n +=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+∞→+∞→ 考点：数列的性质.三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19．已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.【答案】（1）21；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 【解析】试题分析：(1)利用降幂公式化简得到()ϕω+=x A y cos 的形式，根据直线x a =是函数()y f x =的图像的对称轴得到a 的值，然后代入即可求值.（2）利用正弦函数的单调性，求在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π的单调性，只需把ϕω+x 看作一个整体代入x y sin =相应的单调区间，根据单调性求出函数的值域，注意先把ω化为正数,这是容易出错的地方. 试题解析：（1）()21cos2cos 2xf x x +==，其对称轴为Z k k x ∈=,2π，因为直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈， 又因为()13sin 22g x x =+，所以()()()1312sin 2=22g a g k k ππ==+ 即()122g a =. (2)由（1）得()()()162sin 12sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=πx x x x g x f x h 1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦Q所以()h x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 考点：三角函数的性质.20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使得1//BF 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）32arcsin ；（2）略. 【解析】试题分析：(1)通过作辅助线找出直线与平面所成的角，然后把该角放在三角形中利用正余 弦定理求出角的三角函数值即可得到角的大小.(2)这类问题可先假设存在，然后根据题意估 计点的位置，然后再进行严格的证明.（3）若是能将空间位置关系转化为向量运算也可建系运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）如图（a ）所示，取1AA 的中点M ，连结BM EM ,．因为E 是1DD 的中点，四边形11A ADD 为正方形，所以AD EM //． 又在正方体1111D C B A ABCD -中，⊥AD 平面11A ABB ，所以⊥EM 平面11A ABB ，从而BM 为直线BE 在平面11A ABB 上的射影，EBM ∠为BE 和平面11A ABB 所成的角．设正方体的棱长为2，则2==AD EM ，3122222=++=BE ．于是，在BEM Rt ∆中，32sin ==∠BE EM EBM 即直线BE 和平面11A ABB 所成的角为32arcsin ．（II ）在棱11D C 上存在点F ，使//1F B 平面BE A 1．事实上，如图（b ）所示，分别取11D C 和CD 的中点G F ,，连结FG CD BG EG ,,,1．因BC C B D A ////1111，且BC D A =11，所以四边形11BCD A 为平行四边形， 因此B A C D 11//．又G E ,分别为D D 1，CD 的中点， 所以C D EG 1//，从而B A EG 1//这说明E G B A ,,,1共面．所以⊂BG 平面BG A 1．因四边形11CDD C 与11BCC B 皆为正方形，G F ,分别为11D C 和CD 的中点，所以B B C C FG 11////,且B B C C FG 11==，因此四边形BGF B 1为平行四边形，所以BG F B //1．而⊄F B 1平面BE A 1，⊂BG 平面BE A 1，故//1F B 平面BE A 1． 考点：直线与平面所成的角、直线与平面平行的判定. 21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]0,2内有解，求实数m 的取值范围；【答案】（1）23x =；（2）92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：(1)根据条件求出函数()2x f x =的反函数，然后代入11()(1)1f x f x ----=列出方 程即可求出x 的值.(2)整理方程()(1)0f x f x m +--=为x xm 222+=，若在区间[]0,2内有解，则m 的取值为x x222+在区间[]0,2内的取值范围. 试题解析： （1）由题意可得：()x x f 21log =-，所以 ()2log 1log 11log log 2222=-⇒=--xxx x 所以3221=⇒=-x x x . （2）由()(1)0f x f x m +--=可得：xxm 222+=， 令[]4,12∈=xt ，所以tt m 2+=， 当()2,1∈t 时，函数为减函数；当()4,2∈t 时，函数为增函数，所以函数的最小值为2，最大值为29，所以实数m 的取值范围92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点：反函数及函数的性质.22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =u u r ，()()21,0d k k =->u u r，点P 在AOB∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ； （1）若1k =，31,22P⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MON S k=V ，当P 变化时，求动点T 轨迹方程；【答案】（12；（2）1122k =或；（3）22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：(1)根据条件写出直线OA 的方程以及直线PM 的方程，联立方程即可得到点M 的坐标进而可求出OM 的值.(2)根据条件表示出直线OA 的方程以及直线PM 的方程，联立 方程即可得到点M ，进而求出OM ，再利用点到直线的距离公式求出PM 表示面积即可求 出k 的值；（3）根据条件1MON S k=V 列出方程，即可得到动点T 轨迹方程. 试题解析：（1）由题意可得：直线OA 的方程为x y =，直线PM 的方程为02=-+y x ， 所以点M 的坐标为()1,1，所以21122=+=OM .（2）由题意可得：直线OA 的方程为kx y =，直线PM 的方程为02=--+k ky x ，所以点M 的坐标为()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++12,1222k k k k k ，所以11222+++=k k k OM ， 点()2,1P 到直线kx y =的距离为1122+-=k k d ，所以⨯=∆21OMP s 11222+++k k k 1122+-⨯k k 56=,所以1122k =或（3）设()()()1122,,,,,M x kx N x kx T x y -，120,00x x k >>>，， 设直线OA 的倾斜角为α，则22tan ,sin21kk k αα==+，根据题意得 ()12112222x x x y x x k x x k y y x x OM x k ON x +⎧=⎪⎪⎧=+-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎪=⎪⎩ 代入11sin22MON S OM ON k α∆==化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.考点：直线的方程以及直线的综合问题.23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-L ，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2n T n -=；（2）11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）(],0-∞.【解析】试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键 在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;(2)等比数列基本量的求解是等比数列的 一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其 需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整 体代换的思想简化运算过程；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不 要把两者的性质搞混了.试题解析：（1）由题意可得：12+-=n b n ，所以数列{}n b 的前n 项和()22211n n n T n -=-+-=.(2)由tan 2tan 2n n n n n n a a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan n n n S θ=，当2n ≥时，111112tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-==， 因为tan 2n n na θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02n πθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数.当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n a S a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴===⎪⎝⎭Q 所以数列{}n θ是等比数列，首项为4π，公比为12，其通项公式为11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22n n n a n π+=∈，它是个单调递减的数列， 所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=-123111122222n n n c a a a a nS =-+-+-++-=-L对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，所以()min n m c ≤. 由111110222n n n n n c c n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}n c 是单调递增的，n c 最小值为10c =，()min 0n m c ≤= 因此，实数m 的取值范围是(],0-∞.考点：(1)等差数列的通项公式，（2）等比数列的判断；（3）判断数列的单调性.。

2009学年度第一学期普陀区（理科）高三年级质量调研数学试卷2009学年度第一学期普陀区高三年级质量调研?数学试卷???一、填空题本大题共有??小题，每题填对得?分，填错或不填在正确的位置一律得零分?????函数y?cos3x，x?R的最小正周期是????????????2n2?1???lim????????????? ???n??1?3?5???(2n?1)???抛物线y2?8x?0的焦点坐标为??????????????????方程log3(x?1)?log3(x?1)?1?log3(x?9)的解为???????????????????已知cos(???)??1???，????,0?，则????????????????3?2?13???无穷等比数列?an?的首项为?，公比q??，则?an?的各项和S???????????????已知f(x)?2x?x，则f?1(6)????????????????????函数y?2cos2x?sin2x，x?R的最大值是?????????????????如图，OABC是边长为1的正方形，?AC是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的体积为?????????????? C B O 第9题图开始 A x2y2??1的左、右焦点．若点P在椭????设F1，F2分别是椭圆94圆上，且PF1?PF2?25，则向量PF1与向量PF2的夹角的大小为?????????????．???1?N?2否N?100???在数列?an?中，a1?2,an?1?an?lg?1?＝????????????????右图所给出的是用来求解：???1?*?，则ann?是N?N?1打印A?2?第12题图结束1??1??1??1??的程序框图?则在框图的空格1?1?1??1???2??2??2?2?234100????????处应填入的语句为???????????；空格处应填入的语句为??????????????????对任意的x1?0?x2，若函数?y f(x)?ax?x1?bx?x2的大致图像为如图所示的一条折线，试写出a、b应满足的条件????????????????????????????设关于x的方程x1 O x2 x 1?2x?a 的解集为A?若x?2第13题A?R????则实数a的取值范围是??????????????????????二、选择题本大题共有?题，每题选对得?分??????????已知平面向量a??3,1?，b??x,?3?，且a?b，则x?????????????3；?????????????1；??????????????；??????????????????? ????集合A???1,0,1?，B?yy?3,x?A，则A?B??????????x???????．?0?；???????．?1?；???????? ?．?0,1?；??????????．??1,0,1??? x?ay?2a?2与直线l2：ax?y?a?1不重合，则l1∥l2的充要条件是????若直线l1：????a??1；????????a?x1；????? ????a?1；????????????a?1或a??1???2????对于方程2?sinx?1?0，下列说法错误的是????????????????????．．???该方程没有大于?的实数解；???????????????????该方程有无数个实数解；????该方程在?0,???内有且只有一个实数解；????????若x0是该方程的实数解，则x0?1??三、解答题??????设函数f(x)?lg(x?x?2)的定义域为集合A，函数g(x)?23?1的定义域为集合xB．已知?：x?A?B，?：x满足2x?p?0，且?是?的充分条件，求实数p的取值范围??????????π，斜边AB?4，D是AB的中点．现将6Rt△AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥体，点C为圆锥体底面圆周上的一如图，在Rt△AOB中，?OAB?点，且?BOC?90???求异面直线AO与CD所成角的大小；?若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离??????????????某隧道长????米，最高限速为v0，一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长??米，相邻两车之间的距离与车速v的平方成正比，比例系数为k，自第一辆车车头进入隧道至第??辆车车尾离开隧道时所用时间为t??求函数t?f(v)的解析式，并写出定义域；?求车队通过隧道时间t的最小值，并求出此时车速v的大小??????????已知数列?an?中，a1?0，an?1?C 第20题图O B D A 1*，n?N??2?an求证：??1??是等差数列；并求数列?an?的通项公式；??an?1?假设对于任意的正整数m、n，都有|bn?bm|??，则称该数列为“?域收敛数2?4?*列”??试判断??数列bn?an????，n?N是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理3?5???????????如图，已知圆C:x2?y2?r2与x轴负半轴的交点为A??点A出发的射线l的斜率为k??射线l与圆C相交于另一点B.?当r?1时，试用k 表示点B的坐标；?当r?1时，求证：“射线l的斜率k为有理数”是“点 A O x y B nB为单位圆C上的有理点”的充要条件；?p第23题图定义：实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”???当k为有理数且0?k?1时，试证明：一定能构造偶数个“整勾股双曲线”?规定：实．．．轴长和虚轴长都对应相等的双曲线为同一个双曲线?，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成??说明你的理并请尝试给出构造方法???。

普陀区高考数学二模试卷含答案精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2016年普陀区高考数学二模试卷含答案一 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分； 1.、若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A _______2.、若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为____3、（理）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα________ （文）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα________4.、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f _______5.、在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为_________6、若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为_______7、（理）设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_______ （文）设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为_______8、（理）在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为______（文）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为________9、（理）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE _________ （文）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是__________（结果用最简分数表示）10、若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x ________11、某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为_______2cm （损耗忽略不计） 12.、如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AP AB M ⋅=2（10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M ________13、设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________14.、已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1 中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21 ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤ 211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i ），则称数组()k j j j ,,21为从n 个元素中选出k个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k n C ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C ______ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a // 16、过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在17、若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的( )条件（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要18、对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（ ）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f（B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分）（文）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点；证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） （理）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π （文）已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值；21、（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x ；（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？ （2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围；22、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k d =的直线l 与Γ只有一个公共点M ；（1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k ，求22OP ON +的值；23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）；（1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a an b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++ 21；2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}12. ⎪⎭⎫ ⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5.286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】52 10．4. 11.π9. 12. 180 13． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内 由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分 取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分 由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC 所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分 【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与 底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=,()2,0,11-=BC ……7分设()z y x ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC n BD ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分 所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分 由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以721sin sin ==a A bB 由于a b <，所以772cos =B …………12分()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分展开并整理得，05002≤-x x ……5分 解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分 当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分 令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分 故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,35M .……4分（2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨=+14522y x ……5分消去y 得()()0451054222=-+++m kmx x k ……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分 点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk km k km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++k k ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分 （3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨==+kxy 54145，可得224525kx +=……13分 设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分 同理2ON ()22222245120k k y x ++=+=……15分22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分 当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分 所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分 由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分（2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a an b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分 故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分 于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b =-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分 k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分 （3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c cc c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=--- ……12分()()km k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=-- …………14分m c c c +++ 21()[]m mm m m m C C C C m132111--+-+-=…………16分 ()()[]mC C C C m mm m m m m 1111210=-+-+--=故m c c c +++ 21m1=.……18分。

2008-2009学年度第二学期普陀区初三质量调研数学试卷2009.4（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：所有答案务必按照规定在答题纸上完成，写在试卷上不给分题 号 一 二 三 四 总 分得 分一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．下列运算正确的是……………………………………………………………………（ ）.(A) 221-=-； (B) 632)(mn mn = ； (C) 39±= ；(D) 426m m m =÷ . 2. 在49，a 9，25xy ，92+a ，23+x ，1.0中，是最简二次根式的个数是（ ）. (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4. 3．下列语句错误的是……………………………………………………………………（ ）.（A ）如果m 、n 为实数，那么m （n a ）=（mn ）a；（B ）如果m 、n 为实数，那么（m +n ）a =m a +n a；（C ）如果m 、n 为实数，那么m （a +b ）=m a+ m b ；（D ）如果k =0或0=a ，那么k a =0．4．顺次连结菱形的各边中点所得到的四边形是………………………………………（ ）.(A) 平行四边形； (B)菱形； (C) 矩形； (D)正方形. 5．下列说法中正确的是…………………………………………………………………（ ）.(A) 每个命题都有逆命题； (B) 每个定理都有逆定理； (C) 真命题的逆命题是真命题； (D) 真命题的逆命题是假命题.6. 给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角. 利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是…（ ）. (A) ①②③； (B) ①②④； (C) ②③④； (D) ①③④.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．分解因式：652--x x = . 8．如果3=a ，那么a2= . 9．请你根据如图写出一个乘法公式：．a a bb（第9题）10．用科学计数法表示-0.00000628= . 11．已知方程3124-=+-x ax 的解为1=x ，那么a 2的值为 .12．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-3132,31x x 的解集是 ．13．从数字1、2、3中任取两个不同的数字组成一个两位数，那么这个两位数小于23的概率是 .14. 某市2008年的人均GDP 约为2006年的人均GDP 的1.21倍，如果该市每年的人均GDP 增长率相同，均为x ，那么可列出方程： __.15．已知点G 是△ABC 的重心，△ABC 的面积为182cm ，那么△AGC 的面积为 2cm . 16. 某人在斜坡上走了13米，上升了5米，那么这个斜坡的坡比i = . 17．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =8，如果以点C 为圆心作圆，使点A 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆C 半径r 的取值范围为 .18．已知圆1O 与圆2O 相切，圆1O 的半径长为3cm ，21O O =7cm ，那么圆2O 的半径长是 cm .三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分， 满分78分）19．计算：1)41(45cos 2)1(18-+︒---π.20．解方程：2)2(-x x +2-x x -6=0.各年级人数比例分布扇形统计图九年级30%八年级25%七年级25%六年级20%21．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD ，∠C =60°，AE ⊥BD 于点E ．（1） 求∠ABD 的度数； （2） 求证：BC=2CD ； （3） 如AE =1，求梯形ABCD 的面积．22. 2008年5月，某中学开展了向四川地震灾区某小学捐赠图书活动，全校共有1200名学生，每人都捐赠了一定数量的图书．已知各年级人数比例分布扇形统计图如图1所示，学校为了了解各年级捐赠情况，从各年级中随机抽查了部分学生，进行了捐赠情况的统计调查，绘制成如图2的频数分布直方图，根据以上信息解答下列问题： （1）学校人数最少的是 年级； （2）人均捐赠图书最多的是 年级； （3）估计九年级共捐图书 册； （4）全校大约共捐图书 册. 01234567六年级七年级八年级九年级年级人均捐赠(册)A B C D E第21题23．如图，双曲线xy 5=在第一象限的一支上有一 点C （1，5），过点C 的直线0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积.24. 已知：如图所示，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相 交于C 、D ，AB=CD . 求证：（1）PO 平分∠BPD ；（2）P A=PC ；（3） AE EC=.25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322-=经过 点A ，点D 是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD=∠OAB ，求点P 的坐标；(4) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴 上，写出点P 的坐标.O DC PA B第24题E BCD第25题AxyO2008学年度第二学期普陀区九年级质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(D) ； 2．(B) ； 3．(D)； 4．(C) ； 5．(A) ； 6．(A) .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. )1)(6(+-x x ； 8. 6； 9. 2222)(b ab a b a ++=+；10. 61028.6-⨯-； 11. -1； 12．12≤<-x ；13．21； 14．21.1)1(2=+x ； 15．6； 16．1∶2.4； 17．85<<r ； 18．4或10．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解: 原式=4222123+⨯--…………………………………………………………8′（各2分）=322+. …………………………………………………………………………………2′ 20．解：设y x x=-2，………………………………………………………………………………………1′ 方程转化为：062=-+y y . …………………………………………………………………2′解得：21=y ，32-=y .…………………………………………………………………………2′当21=y 时，22=-x x，解得：4=x .…………………………………………………………1′经检验：4=x 是此方程的解. ……………………………………1′当32-=y 时，32-=-x x，解得：23=x .…………………………………………………1′ 经检验：23=x 是此方程的解. …………………………………1′ 所以原方程的解是：41=x ，232=x . ………………………………………………………1′21．解：∵AD ∥BC ，………………………………………………………………………………………1′ ∴∠2=∠3．………………………………………………………………………………………1′ 又∵AB=AD ， ∴∠1=∠3． ……………………………………………………………………………………1′ ∴∠1=∠2．………………………………………………………………………………………1′ ∵四边形ABCD 是梯形， AB=DC ，∠C =60°， ∴∠1=∠2=30°． ………………………………………………………………………………1′ 即∠ABD =30°． ∴∠BDC=90°．…………………………………………………………………………………1′ ∴BC=2CD ．………………………………………………………………………………………1′ 又∵AE ⊥BD ，AE =1，………………………………………………………………………………1′ ∴AB=2，3=BE ． …………………………………………………………………………1′ ∴CD =2，32=BD ．∴3222113221⨯⨯+⨯⨯=ABCDS 梯形=33．…………………………………………1′AB CD E第21题 1 2 322．六，八，1080，5430． （2′，2′，2′，4′）23．解：（1）∵点C （1，5）在直线)0(>+-=k b kx y 上，∴b k +⋅-=15，∴5+=k b ，………………………………1′ ∴5++-=k kx y .…………………………1′ ∵点A （a ，0）在直线5++-=k kx y 上， ∴50++-=k ka .…………………………1′ ∴15+=ka .…………………………………1′ （2）∵直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9，设点D （9，y ），…………………………………………………………………………1′∴95=y . ∴点D（9，95）. ……………………………………………………………………………1′ 代入5++-=k kx y ， 可解得：95=k ，……………………………………………………………………………1′ 95095+-=x y . ………………………………………………………………1′可得：点A（10，），点B（，950）. …………………………………………………………2′ ∴BO C AO D AO B CO D S S S S ∆∆∆∆--==1950219510219501021⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ………………………………………1′=)1110(95021--⨯ =)1110(95021--⨯ AOCBDxy 第23题=9200……………………………………………………………………………1′=9222.24．证明：（1）分别取弧AB 、CD 的中点M 、N ，联接OM 、ON 交PB 于点F 、交PD 于点G ，………………………………………………1′ ∴OM ⊥PB ，ON ⊥PD ．……………………………………………………………………1′∵AB=CD ， ∴OF=OG ．……………………………………1′∴PO 平分∠BPD ．……………………………1′ （2）∵PO 平分∠BPD ，∴∠1=∠2．∵OF ⊥PB ，OG ⊥PD ，∴∠3=∠4． ∴PF= P G ．…………………………………1′∵AB=CD ，∴2ABAF =，2CDCG =．……………………………………………………………1′ ∴AF=CG ．………………………………………………………………………………1′∴P A=PC ． ………………………………………………………………………………1′(3) ∵AB=CD ，∴ AB CD=．…………………………………………………………………………1′∵OF ⊥PB ，OG ⊥PD ，∴12AM AB =， 12CNCD =． ∴ AM CN=．…………………………………………………………………………1′∵∠3=∠4，∴ MENE =．…………………………………………………………………………1′∴ AE CE=．…………………………………………………………………………1′21 O DC PA B 第24题 F G E 3 4 MN25．（1）证明：∵△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置， ∴△ACO ≌△CAB . ………………………………………………………………………1′∴AO=CB，CO=AB ，……………………………………………………………………1′∴四边形ABCO 是平行四边形. …………………………………………………………1′ （2）解：∵抛物线x ax y 322-=经过点A ，点A 的坐标为（2，0），……………………………………………………………………1′∴344=-a ，解得：3=a . …………………………………………………………1′∴x x y 3232-=.∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OA ∥CB .∵点C 的坐标为（1，33），………………………………………………………………1′ ∴点B的坐标为（3，33）. ………………………………………………………………1′把3=x 代入此函数解析式，得：333639332332=-=⨯-⨯=y .∴点B 的坐标满足此函数解析式，点B 在此抛物线上. …………………………………1′∴顶点D 的坐标为（1，-3）. ……………………………………………………………1′（3）联接BO ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ， 过点D 作DF ⊥x 轴于点F .tan ∠BOE =3，tan ∠DAF=3，∴tan ∠BOE=tan ∠DAF . ∴∠BOE=∠DAF . ………………1′ ∵∠APD=∠OAB ， ∴△APD ∽△OAB . ………………1′设点P 的坐标为（x ，0）， ∴OBADOA AP =，∴6222=-x ，解得：34=x .………………1′∴点P 的坐标为（34，0）.（4）)0,1(1P ，)0,1(2-P ，3(3,0)P ……………………………………………………………2′。

2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x＞且x≠4．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，故答案为：x＞且x≠4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．9．（4分）（2009•上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．（4分）（2009•上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．【专题】计算题．【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．【解答】解：三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB==，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积S==．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力．11．（4分）（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是k≤2．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合．【分析】要使不等式sinπx≥kx恒成立，设m=sinπx，n=kx，利用图象得到k的范围即可．【解答】解：设m=sinπx，n=kx，x∈[0，]．根据题意画图得：m≥n恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即πx=时相等，所以此时k==2，所以k≤2故答案为k≤2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．12．（4分）（2009•上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．13．（4分）（2009•上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】直线与圆．【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|x=3，3≤y＜4时，取最小值，∴在（3，3）处z取得最小值．故答案为（3，3）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．14．（4分）（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．【考点】旋转变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出函数（x∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可．【解答】解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象∴∠MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根⇒△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2，由此入手能够作出正确选择．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴“﹣2≤a≤2”是“﹣2＜a＜2”的必要不充分条件，故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）=P（E）•P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案．【解答】解：P（E∩F）=P（E）•P（F）=×=．故选B．【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（E∩F）=P（E）•P（F），P（E∪F）=P（E）+P（F）．17．（4分）（2009•上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】压轴题．【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=[（16﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x10﹣5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选：B．【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．18．（4分）（2009•上海）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||，得到S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SⅢ﹣S I为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案．【解答】解：由已知，得：S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECF﹣S扇形ECF=1﹣和S扇形ECF=，所以，S IV﹣S II为定值，即SⅢ﹣S I为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题．三、解答题（共5小题，满分78分）19．（14分）（2009•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．（16分）（2009•上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；探究型；数学模型法．【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．【解答】证明：（1）当x≥7时，而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科..（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．21．（16分）（2009•上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m 的距离．（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即∴直线l的方程∴直线l与m的距离．（2）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当时，．又双曲线C的渐近线为，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22．（16分）（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）先求出g﹣1（x）的解析式，换元可得g﹣1（x+1）的解析式，将此解析式与g （x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．（2）先求出f﹣1（x）的解析式，再求出f﹣1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f﹣1（x+2）的解析式，用两种方法得到的f﹣1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，可得ay0=f （x0）=af（ax0），，即，即满足条件．【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x＞0）的反函数是，∴，而g（x+1）=（x+1）2+1（x＞﹣1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x＞0）不满足“1和性质”．（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．∴，∴，而f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数，由“2和性质”定义可知，对（x∈R）恒成立．∴k=﹣1，b∈R，即所求一次函数f（x）=﹣x+b（b∈R）．（3）设a＞0，x0＞0，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，故，可得ay0=f（x0）=af（ax0），令ax0=x，则，∴，即．综上所述，，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数．【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．23．（16分）（2009•上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．（1）若a n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a m+a m+1=a k？说明理由；（2）找出所有数列{a n}和{b n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项，请证明．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k﹣2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，由此入手能够导出有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．4m+2p+3+，由p、k∈N*，知p=3s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k﹣2m为整数，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，即a n a n+2=qa n+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n∈N×都成立，∴d2=qd2（i）若d=0，则a n=c≠0，∴b n=1，n∈N*．（ii）若d≠0，则q=1，∴b n=m（常数），即=m，则d=0，矛盾．综上所述，有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．，∴，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2﹣2×3s﹣3=（4﹣1）2s+2﹣2×（4﹣1）s﹣3≥0，由二项展开式可得整数M1、M2，使得（4﹣1）2s+2=4M1+1，2×（4﹣1）s=8M2+（﹣1）S2∴4m=4（M1﹣2M2）﹣（（﹣1）S+1）2，∴存在整数m满足要求．故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。

2009年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．真空题　（本大题满分56分）1．若复数z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数=__________________ .z 2．已知集合，，且|1A x x |B x x a ，A BR 则实数a 的取值范围是______________________ .3．若行列式中，元素4的代数余子式大于0，417 5 xx 38 9则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱的底面连长为2，高1111ABCDA B C D 为4，则异面直线与AD 所成角的大小是______________（结1BD 果用反三角函数表示）.6．函数的最小值是_____________________ .22cos sin 2yx x 7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望____________（结果用最简分数表示）.E 8.已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满1R 2R 3R 32132R R R 1S 2S 3S 足的等量关系是___________.9.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且1F 2F 1:2222by ax C a b P C .若的面积为9，则=____________.21PF PF 21F PF b 10.在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是031sin cos ________.11.当，不等式成立，则实数的取值范围是_______________.时10x kx x 2sin k 12．已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差x x x f tan sin )(n a 22，na .若，则当=____________是，.0d0)()()(2721a f a f a f k 0)(k a f 13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2013•普陀区二模）函数的定义域为[2，+∞）．函数的定义域为解：函数的定义域为2．（4分）（2013•普陀区二模）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a= ﹣2 ．根据且====3．（4分）（2013•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则= 3 ．，﹣，最后根据切化弦的思路，结合二倍角的正、余弦公式即可算出解：∵=（舍正）因此，==34．（4分）（2013•普陀区二模）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）= x2（x≥0）．a=，x≥0，5．（4分）（2013•普陀区二模）若，则= ﹣311．解：∵6．（4分）（2013•普陀区二模）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为 2 ．y==|x|+∴y==|x|+的最小值为7．（4分）（2013•普陀区二模）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．利用双曲线的焦距为解：∵双曲线，解得a=2∴双曲线的方程为故答案为：8．（4分）（2013•普陀区二模）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ= 0.4 ．1 2 3=1×+2×+3×，﹣9．（4分）（2013•普陀区二模）若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为π．解：由为参数且，其中得表示一段圆心角为，半径为=（2013•普陀区二模）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式10．（4分）的值为0 ．解：解方程组行列式11．（4分）（2013•普陀区二模）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C= ．a=cosC=，可得角，若+•cos=b，∴a=cosC= C=．12．（4分）（2013•普陀区二模）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为 3 ．的夹角为代入向量的数量积的定义=|||解：设中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM==|||13．（4分）（2013•普陀区二模）函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，a]上的值域为[﹣，2]，则a的取值范围是[0，] ．（﹣时，，当，，，a≤，从而可得的取值范围是：0≤a≤]14．（4分）（2013•普陀区二模）若a i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a i+1，j+1=a i+1，j+a i，j（i、j=1，2，…，n﹣1），则a3，n= ．=n n n n1+3=n+2故答案为：n n+2二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•普陀区二模）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（），得再由，得所以16．（5分）（2013•普陀区二模）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、21217．（5分）（2013•普陀区二模）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）四象限”，可得，解得18．（5分）（2013•普陀区二模）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）﹣（）为圆心，半径r=（﹣，，）=x﹣，x+））））y+y+=0，，）为圆心，半径为三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2013•普陀区二模）已知函数f（x）=Acos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．满足，求出即，且，得函数）由于且为锐角，所以20．（14分）（2013•普陀区二模）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．）的解析式，由方程可化为构造函数（，可解得﹣，则方程变为）方程可化为，，设函数21．（14分）（2013•普陀区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1 （1）求直线DB与平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱锥D﹣BCD1A1的体积．，，．是平面的法向量，则令．===由于，∴所成角的大小为；）得．的距离．．22．（16分）（2013•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．满足根与系数的关系得到，然后化简）∵椭圆方程为=3且点将直线与椭圆方程联列恒成立，根据根与系数的关系可得…（消去恒成立，根据根与系数的关系可得…（，，…（）式代入，可得的情况23．（18分）（2013•普陀区二模）对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*）．=2sin≤2（=+可求得﹣，，单调递增数列，且=（），，=2b=2=2sin≤2（=+=或（舍去），﹣=2﹣﹣，则﹣﹣+＞2×＞﹣=由于是单调递增数列，且（﹣。