12.02正项级数

正项级数定义正项级数定义是在数学中用来表示一系列数值的抽象术语。

它可以帮助我们快速找出并计算这些数值之和，而不必将每个数值都考虑在内。

正项级数定义是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。

首先，让我们来看一下正项级数定义的标准形式：Sn=a1+a2+a3+…+anS代表的是正项级数的总和，n代表的是正项级数中的数量。

a1、a2、a3等等，代表的是每个正项级数的值。

要确定正项级数的总和，需要先确定每个正项级数的值，然后将所有正项级数的值相加，即可得出总和。

比如，让我们来看一个例子：Sn=3+6+9+12+15+…+99在这个例子中，n=97（即有97个正项级数），a1=3，a2=6，a3=9，a4=12，a5=15，……，a97=99（即每个正项级数的值）。

因此，我们可以将所有正项级数的值相加，得出总和：Sn=3+6+9+12+15+…+99=3+6(1+2+3+4+5)+6(6+7+8+9)=3+6*45+6*30=3+270+180=45 3正项级数的定义也可以写成更具体的形式，比如：Sn=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+…+(a+(n-1)d)其中，a代表的是正项级数的初始值，d代表的是正项级数之间的差值，n代表的是正项级数的数量。

比如，让我们来看一个例子：Sn=2+(2+3)+(2+6)+(2+9)+…+(2+(97-1)*3)=2+5(1+2+3+…+32)=2+5*496=2482正项级数定义的另一个重要特点是可以利用等差数列的公式来计算总和，大大简化了计算的过程。

比如，让我们来看一个例子：Sn=3+6+9+12+…+99由于这是一个等差数列，所以我们可以使用等差数列的公式来计算总和：Sn=n/2[2a+(n-1)d] =97/2[2*3+(97-1)*3]=97/2*294=14076由此可见，正项级数定义在计算正项级数总和时非常有用，可以大大简化计算的过程。

§2 正 项 级 数一 正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数．而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数．因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性．定理12-2-1 正项级数∑∞=1n n u收敛⇔部分和数列{}n S 有界．证明：由于对n ∀，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有∑∞=1n n u收敛⇔{}n S 收敛⇔{}n S 有界．定理12-2-2（比较原则） 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对N n >∀都有 n n v u ≤，则 （1）若级数∑∞=1n n v收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛；（2）若级数∑∞=1n n u发散，则级数∑∞=1n n v 也发散．证明：由定义及定理12-2-1即可得．例1 考察∑∞=+-1211n n n 的收敛性． 解：由于当2≥n 时，有222)1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞=-22)1(1n n 收敛，故∑∞=+-1211n n n 收敛． 推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞=1n n u和∑∞=1n n v 是两个正项级数，若l v u nn n =∞→lim，则 （1） 当+∞<<l 0时，级数∑∞=1n n u、∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散；（2）当0=l 且级数∑∞=1n n v收敛时，级数∑∞=1n n u 也收敛； （3）当+∞=l 且∑∞=1n n v发散时，级数∑∞=1n n u 也发散．证明：由比较原则即可得．例2 讨论级数∑-n n 21 的收敛性． 解：利用级数∑n 21的收敛性，由推论可知级数∑-n n 21收敛． 例3 由级数∑n 1的发散性，可知级数∑n 1sin 是发散的． 二 比式判别法和根式判别法定理12-2-3 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数)1,0(∈q ：（1） 若对0N n >∀，有 q u u nn ≤+1，则级数∑n u 收敛 ； （2） 若对0N n >∀，有11≥+n n u u ，则级数∑n u 发散． 证明：（1）不妨设对一切n ，有q u u nn ≤+1成立，于是，有 q u u ≤12， ,23q u u ≤， ,1q u u n n ≤-． 故 112312--≤⋅⋅⋅n n n q u u u u u u ， 即 11-≤n n q u u ，由于，当)1,0(∈q 时，级数 ∑∞=-11n n q收敛，由比较原则，可知级数∑n u 收敛．(2) 因此时0lim ≠∞→n n u ，故级数∑n u 发散．推论（比式判别法的极限形式）设∑nu 为正项级数，且 q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当1<q 时，级数∑n u 收敛；（2） 当1>q （可为∞+）时，级数∑n u 发散； （3） 当1=q 时，级数∑nu 可能收敛，也可能发散．如：∑n 1，∑21n ． 证明：由比式判别法和极限定义即可得．例4讨论级数+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)]1(41[951)]1(32[852951852515212n n 的收敛性．例5 讨论级数)0(1>∑-x nx n 的收敛性．定理12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法） 设∑n u 为正项级数，且存在某个正整 数0N 及正常数l ，（1）若对0N n >∀，有1<≤l u n n ， 则级数∑n u 收敛； （2）若对0N n >∀，有1≥n n u ， 则级数∑n u 发散． 证明：由比较判别法即可得．推论（根式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且l u n n n =∞→lim ， 则 （1）当1<l 时，级数∑n u 收敛；（2）当1>l （可为∞+）时，级数∑n u 发散； （3）当1=q 时，级数∑nu 可能收敛，也可能发散．如：∑n 1，∑21n ． 例6 讨论级数 ∑-+n n2)1(2的敛散性． 解：由上推论即得．说明：因 ⇒=+∞→q u u nn n 1lim q u n n n =∞→lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效．但反之不能，如例6．三 积分判别法特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性． 定理12-9 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散．证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在[1，A]上可积，从而有⎰--≤≤nn n f dx x f n f 1)1()()(， ,3,2=n依次相加，得 ∑⎰∑∑-====-≤≤11122)()1()()(m n m m n m n n f n f dx x f n f 若反常积分收敛，则对m ∀，有⎰⎰∑+∞=+≤+≤=111)()1()()1()(dx x f f dx x f f n f S m m n m ． 于是，知 级数∑)(n f 收敛．反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有 ∑∑⎰=≤=≤-=-S n f n f S dx x f m n m m )()()(1111．又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有S S dx x f n A <≤≤⎰1)(0, 1+≤≤n A n ． 故知，反常积分⎰+∞1)(dx x f 收敛．同理可证它们同时发散．例7 讨论下列级数（1） ∑∞=11n p n ，（2）∑∞=2)(ln 1n p n n ， （3） ∑∞=3)ln )(ln (ln 1n p n n n 的敛散性．作业：P16 1， 2（2）（4）（6）,3， 5， 9。