内蒙古赤峰市2020届高三5.20模拟考试试题理科数学试题及答案

2020届内蒙古赤峰市高三（5月份）高考数学（理科）模拟试题一、单选题1．AQI是表示空气质量的参数，AQI的数值越小，表明空气质量越好，当AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日的AQI数值的统计数据，图中点A表示3月1日的AQI数值为201.则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是3月9日C．这12天AQI数值的中位数是90.5D．从3月4日到9日，空气质量越来越好2．如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（）A．不是棱台B．不是圆台C．不是棱锥D．是棱柱3．若1z=，则复数1zz+在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有（）A．24B．28C．32D．365．“α是第一象限角”是“α是锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 6．已知数列{a n }是正项等差数列，若c n =a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n 1+2+3+⋯n ，则数列{c n }也为等差数列．已知数列{b n }是正项等比数列，类比上述结论可得A ．若{d n }满足d n =b 1+2b 2+3b 3+⋯+nb n 1+2+3+⋯n ，则{d n }也是等比数列 B ．若{d n }满足d n =b 1⋅2b 2⋅3b 3⋅⋯⋅nb n1⋅2⋅3⋅⋯⋅n ，则{d n }也是等比数列C ．若{d n }满足d n =[b 1⋅(2b 2)⋅(3b 3)⋅⋯⋅(nb n )]11+2+⋯+n ，则{d n }也是等比数列D ．若{d n }满足d n =[b 1⋅b 22⋅b 33⋅⋯⋅b n n ]11+2+⋯+n ，则{d n }也是等比数列 7．抛物线22y px =(0)p >的焦点与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点F 重合，且相交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线于另一点C ，且与双曲线的一条渐近线平行，若1||||2AF FC =，则双曲线的离心率为（ ）A ．23 B ．2 C ．2 D ．38． 5.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )9．设全集{}9U x N x =∈≤，集合{}{}2,5,8,9,1,4,6,7,9A B ==,则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,4,6B ．{}1,4,7C ．{}1,4,9D ．{}1,4,6,710．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则47S =（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．205911．已知()2cos f x x x =+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．()()2,0,3-∞+∞ D ．(]2,003⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若30FP FQ +=,则OPQ ∆的面积为( )ABCD ．二、填空题13．已知数列{}n a 的首项12a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=，又11010112017b b =，则21a =__．14．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.16．函数f(x)的定义域为D ，若存在闭区间[a,b]⊆D ，使得函数f(x)满足：①f(x)在[a,b]内是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间[a,b]为y =f(x)的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有________（填序号）.①f(x)=x 2(x ≥0)；②f(x)=e x (x ∈R)；③f(x)=4xx 2+1(x ≥0)；④f(x)=log a (a x −18)(a >0,a ≠1)三、解答题17．在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，AB =2BC ，点Q 为AE 的中点.（1）求证：AC //平面DQF ；（2）若∠ABC =60°，AC ⊥FB ，求BC 与平面DQF 所成角的正弦值.18．已知函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()|2|f x x x +>-的解集；（2）设函数()(3)y f x f x =+-的最小值为m ，已知222a b c m ++=，求ab bc +的最大值.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点是12F F 、，左右顶点是12A A 、，过2F 的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且1F PQ ∆的周长是，直线1A P 与2A Q 交于点M .(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线1A P 与2A Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：2PF PN 是定值．20．已知()21()ax f x x e a R =+-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为方程1f x 的两个相异的实根，求证：122x x a+>. 21．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为,222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，曲线1C的参数方程为,2sin x a y a ⎧=⎪⎨=⎪⎩(a 为参数)，曲线2C的极坐标方程为[)0,2)ρθπ=∈.（1）求曲线1C 和2C 的公共点的极坐标；（2）若P 为曲线1C 上的一个动点，求P 到直线l 的距离的最大值.22．某研究机构追踪40名小学毕业生随年限与数学水平学习的情况.统计了年限与等级考试的平均成绩，如下列数据：（1）已知y 与x 满足线性关系，试求年限x 与等级考试成绩y 的线性回归直线方程y bx a =+.（其中1221n i ii n i i x y nxy b xnx ==-=-∑∑,a y bx =-）（2）如果对40名学生“是否对数学学习感兴趣”进行调查，初中生和高中生对数学的喜欢程度如下联表（其中学习年限2年或3年的为初中阶段，年限为4年或5年或6年的为高中阶段）根据上表计算2K ，并说明是否有99%的把握认为“喜欢数学与学习年限有关”（其中()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）23．设函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）求函数()y f x =的单调递增区间及对称中心；（3）函数()y f x =可以由cos y x =经过怎样的变换得到.【答案与解析】1．C根据图表逐项判断可得正确的选项.由图表可得从第6天到第11天，每天AQI的数值不大于100，其余各日AQI的数值均大于100，故A正确.因为第9天的AQI的数值为67，是诸值中唯一的最小值，故B正确.12天的AQI的数值，由大到小为：201,144,138，135,111,104,95,92,85,77,72,67，故中位数为104+9598.52=，故C错误.从3月4日到9日，AQI的数值逐渐减小，故空气质量越来越好，故D正确.故选：C.本题考查数据统计图表的理解与应用，考查了学生数据处理能力和数据分析能力，本题属于容易题. 2．C利用几何体的定义解题.A.根据棱台的定义可知几何体不是棱台，所以A是正确的；B.根据圆台的定义可知几何体不是圆台，所以B是正确的；C.根据棱锥的定义可知几何体是棱锥，所以C是错误的；D. 根据棱柱的定义可知几何体是棱柱，所以D是正确的.故答案为C本题主要考查棱锥、棱柱、圆台、棱台的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．D因为1141133zz-+=+=+=，所以复数1zz+在复平面上对应的点在第四象限，选D.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i abcd R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi ab R+∈的实部为a、虚部为b点为(,)a b、共轭为.-a bi4．B第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,有114312C C=种，第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,有114312C C =种，第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,有14C =4种， 根据分类计数原理可得，12+12+4种，故选：B.5．B根据逻辑条件的定义判断. α是锐角，则α是第一象限角，但α是第一象限角，不一定是锐角，如94πα， 故“α是第一象限角”是“α是锐角”的必要不充分条件.故选：B本题主要考查逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 6．D试题分析：根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方，，原来的除法为开方，，故答案为D ．考点：类比推理． 7．D由题意可得,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率b k a =-，设()11,A x y ，()22,C x y 表示出直线AC ，联立直线方程与抛物线方程，消去x ，列出韦达定理，由1||||2AF FC =得1212y y =-，即可得到,a b 的关系，求出离心率. 解：由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AC 的斜率b k a =-，设()11,A x y ，()22,C x y 2b p y x a ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭联立得222b p y x a y px ⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2220pa y y p b +-= 122pa y y b ∴+=-，212y y p =- 1||||2AF FC =。

注意事项：宁城县高三年级统一考试(2020. 5.10) 数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60 分）1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（每小题5 分，共12 小题，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R，集合A={-1,0,1,2,3}，B={x|x 2}，则A (C U B)=(A){-1,0,1}(B){-1, 0,1, 2} (C){x | x < 2} (D){x | -1 x < 2}2.若复数z =i ⋅ (a -i) 满足z ≥ 2 ，则实数a 的取值范围是(A) [ 3,+∞)(B) [-1,1] (C) (-∞, 3] [ 3,+∞)(D) (-∞, -1] [1, +∞)3.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是(A) (B) (C) (D)4.2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1 月21 日至3 月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错．误．的是(A)2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势(B)随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数(C)2 月10 日至2 月14 日新增确诊人数波动最大(D)我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2 月12 日左右达到峰值5. 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = ０，向量a , b 的夹角为120 ，且| b |= 2 | a | ，则向量a 与c 的夹角为(A) 60︒ (B) 90︒ (C ）120︒ (D ）150︒ 6. 已知△OAB ，O 为坐标原点，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2），则△OAB 的面积是(A) x x - y y(B) x y -x y (C) 1 x x - y y (D) 1 x y - x y 1 2 1 2 1 2 2 12 1 2 1 2 2 1 2 2 17. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为400 公里.已知月球的直径为3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为(A) 1（B) 3 （C) 1 （D ) 125 40 8 48. 将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则 （）（A ）（B ）（C ）（D ）9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点 A (1,0)作 x 轴的垂线与曲线 y = e x相交于点 B ，过 B 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 C （如图）， 然后向矩形OABC 内投入 M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线 y = e x 上方的有 N 粒( N ＜M ) ，则无理数e 的估计值是 （A ） MN (B) MM - N(C ）M - NN(D ）N M - N10.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为线段 CD 和 A 1B 1 上的动点，且满足CE = A 1F ，则四边形 D 1FBE 所围成的图形（如图阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(A ) 最小值32(B )有最大值 52(C ) 为定值 3（D ）为定值 211.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C 的右支相交于P，若，则双曲线C 渐近线方程为(A)(B) （C) （D)12.若函数与的零点分别为α,β，若α-β< 1 ，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）宁城县高三年级统一考试(2020.5.10)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题～第23 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）x — y+1 ≤ 0y+113.若实数x，y 满足 x> 0y ≤ 2，则的取值范围是．x14.某天小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行;小张说：B，C，D，E 都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C 就行;小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为．15.设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且b = 6, c = 4, A = 2B ，则a = ．16.直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC = 90︒, AA = 2 ，设其外接球的球心为O ，已知1 1 1 1三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为．三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17.（本题满分 12 分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若从数列中依次取出第1 项，笫2 项，第4 项，第8 项，…，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和.18.（本题满分 12 分）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500, 52 )（单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：X ~N(μ,σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ- 2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈0.9544 ，P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈ 0.9974 .2k 19.（本题满分 12 分）如图三棱柱中，，，.（1） 证明：； （2） 若，且，求二面角的余弦值.20．（本题满分 12 分）已知抛物线G : y 2 = 2 px ( p > 0) 过点M (1, -2) ， A , B 是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段 AB 为直径的圆恒过点M .（I ） 当点 A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程； （I I ）求证：直线 AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.21. （本题满分 12 分）己知函数 f (x ) = lnx - kx 2( k ∈ R ).（1） 讨论函数 f (x ) 的单调性；（2） 若函数 f (x ) 有两个零点x 1 ， x 2 ，求k 的取值范围，并证明 x 1 + x 2 > 2 .四、选做题请考生在 22,23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x࿀y 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C᠂:x2 ၠ y2 — x ࿀ 0，C2:x2 ၠ y2 — 2y ࿀ 0.（1）以过原点的直线的倾斜角8为参数，写出曲线C᠂的参数方程；（2）直线过原点，且与曲线C᠂，C2分别交于A，B 两点（A，B 不是原点）. 求|AB|的最大值.23.（本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲已知f (x) = 2 | x +1| + | 2x -1| .(I)若 f (x) > f (1) ,求实数x 的取值范围；(II) f (x) ≥ 1+1(m>0, n>0 )对任意的x ∈R 都成立，求证：m +n ≥4. m n 315 数学试题（理科）参考答案一、选择题: ACDDBDBC ADCB二、填空题: 13、[3,+∞) ； 14、D ； 15、 2 ；16、16π. 三、解答题:5. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，则 ， ----------- 2 分解得 ， .∴ .----------------------4 分（Ⅱ）由题意知 ， ------------ 6 分∴-------------------------------------8 分.-----------------12 分6. 解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知X N (500, 52 ) 。

2020年内蒙古自治区赤峰市平庄矿务局古山矿中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.参考答案：A略2. 已知锐角满足：，，则A．B．C．D．参考答案：C略3. 如图，程序框图所进行的求和运算是（）A．1+2+22+23+24+25B．2+22+23+24+25C．1+2+22+23+24D．2+22+23+24参考答案：D4. 函数在点处的切线方程为，则等于（）A． B． C． D．参考答案：A略5. 抛物线（）的焦点为，其准线经过双曲线的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C.D．参考答案：D6. 执行如图2所示的程序图，若输入n的值为6，则输出s的值为A． B．C． D．参考答案：C7. 已知集合，，则（）A． B． C．D．参考答案：A8. 集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9. 设F1，F2是双曲线C的两焦点，点M在双曲线上，且∠MF2F1=，若|F1F2|=8，|F2M|=，则双曲线C的实轴长为（）A． 2B．4C．2D．4参考答案：D10. 已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则关于的不等式的解集为______________参考答案：略12. 已知i是虚数单位，若复数，则m=______________．参考答案：113. 已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.参考答案：略14. 已知函数，则，则a的取值范围是。

2020年内蒙古自治区赤峰市平庄矿务局古山矿中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数y=f（x）的导函数为f′（x），且，则=( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．【解答】解：∵，∴f′（x）=2f′（）x+cosx，∴f′（）=2f′（）×+cos，解得f′（）=，故选：A【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．2. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A．1 B．3C． 4 D．8参考答案：C3. 若，则“成立”是“成立”的（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件参考答案：C4. 设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}参考答案：D5. 函数的部分图象大致是（）参考答案：D为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当时，，排除B ；当时，，排除C ；故选D.6. “直线与平面内无数条直线平行”是“直线//平面”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C7. 已知x∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(x＋i)为纯虚数，则x的值等于() A．－ B．－2 C．2 D．参考答案：B8. 1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有( )A．450 B．460 C．480 D．500参考答案：C略9. 已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）参考答案：D10. 设为等差数列，公差d=-2，S n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A.18B. 22C. 20D.24参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设分别为椭圆:的左右顶点,为右焦点,为在点处的切线,为上异于的一点,直线交于,为中点,有如下结论:①平分;②与椭圆相切;③平分;④使得的点不存在.其中正确结论的序号是_____________.参考答案：①②略12. （15）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，p为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的洁面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。

2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答案无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，集合，则 A ． B ． C ． D ． 2.已知复数在复平面上对应的点为，则 A. B. C. D.是纯虚数3．已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是A ．24B ．8C ．D ．4.设的三个内角所对的边分别为，如果 ，且外接圆的半径为A ． 1 B．4 5.展开式中项的系数为 A ．30 B ．40 C. 60 D ．1206.已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是A ．B ． C. D ．7．已知向量的取值范围是{}6,5,4,3,2,1=U {}3,5,1=A {}Z x x x x B ∈≤--=,0)4)(2(|()U C A B =U {}1,6{}6{}63，{}1,3z (21)Z -，12=-+z i ||5=z z 2i =--2-z (3,2)a =-r )1,(-=y x a r b r ,x y yx23+3835ABC ∆AB C 、、a b c 、、()()3a b c b c a bc +++-=a =ABC ∆5(2)x y z ++22x y z [1,25]a a --()f x [0,25]a -()f x 2()f x x a =+||()x f x a =-()af x x =()log (||2)a f x x =+,5==+A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆的左右焦点分别为，以O 为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为 A ． B ． C ． D ． 9已知，，则的值为 A ． B ． C ． D ． 10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是 一个等边三角形，则这个几何体的体积为 A ．B ．C ．D ．11.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为A ．3B ．C ．D ．112.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数 A.有极小值，没有极大值 B.有极大值，没有极小值 C.至少有两个极小值和一个极大值 D.至少有一个极小值和两个极大值第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知满足不等式组,则的最小值是 ．14．甲、乙、丙三个同学在看三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是，是；乙说：不是，是；丙说：不是，是.比赛结果表明，他们的话有]5,0[]25,5[]7,25[]10,5[22221(0)x y a b a b+=>>12F F 、12F F P OP 313-213-222325tan 1tan =+αα)2,4(ππα∈)42sin(πα-1027-102102-1027()1100F -，()2100F ，M 120MF MF =⋅u u u u r u u u u r122MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 1312y kx =()y f x =()g x kx m =+()F x =()g x ()f x -,x y 2211≥-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩y x x y 4z y x =-c b a ,,.b c b a c b一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是 . 15．已知三棱锥的外接球的球心为，平面 ，则球心到平面的距离为 .16如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成 的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列中，，其前n 项的和为，且满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当时，.18（本小题满分12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.重庆2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表:（Ⅰ）现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计ABC P -O ⊥PA ABC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，1PA =O PBC 31)(,b a b a >=a b{}n a 11a =n S 2221n n n S a S =-2()n ≥1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n ≥1231113 (232)n S S S S n ++++<X ),(2σμN 每分钟 跳绳个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185,+) 得分 17181920∞总体的期望和方差,已知样本方差(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型:（ⅰ）预估全年级恰好有名学生时，正式测试每分钟跳个以上的人数；（结果 四舍五入到整数）（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.附：若随机变量服从正态分布，则，19．（本小题满分12分）如图，已知与分别是边长为1与 2的正三角形，，四边形为直角梯 形，且，，点为的 重心，为中点，平面，为 线段上靠近点的三等分点． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值．20.（本小题满分12分）如图，是圆：内一个定点， 是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点．（1）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值．1692≈S 2000182ξξX ),(2σμN 6826.0)(=+<<-σμσμX P )22(σμσμ+<<-X P .9974.0)33(9544.0=+<<-=σμσμX P ，DEF △ABC △AC DF ∥BCDE DE BC ∥BC CD ⊥G ABC △N AB AG ⊥BCDE M AF F GM ∥DFN M BC D --47MN CD ()10N ,M ()22116x y ++=P NP MP Q P Q E ()01G ,l E A B A O D ABD △S21．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值. （Ⅱ）若设求证：有两个不同的零点，且 .（为自然对数的底数）请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆和圆的极坐标方程；（2）过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集 （Ⅱ）若证明()ln ().au x x a R x=-∈)(x u 0=y a ,21e a e <<+,ln |)(|)(xxx u x f -=()f x 12,x x 21x x e -<e xOy 1C 1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩t 2C 1C O 12||3C C =x 1C 2C O 1l 2l 2C O A D 1C O C B 12l l ⊥ABCD )()(R x x x f ∈=4)1()1(≤++-x f x f ;M ,,M b a ∈.4)()(2:+≤+ab f b a f2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题参考答案一、选择题：13．-5 14．C 15. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，， 当时，从而.18．（12分）解：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，……………… 3分 （Ⅱ）（个）………… 5分 又所以正式测试时， （ⅰ）（人） ……………… 7分 （ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即662n ≥21221nn n n S S S S --=-112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111(1)221n n n S S =+-⨯=-121n S n ∴=-∴2n ≥11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=-----123111*********...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-L ;16502921001121626=+=C C C C P 18508.02101.020030.019034.018012.017006.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X ,13,1692≈≈s S 182,13,195=-∴==σμσμ,8413.026826.011)182(=--=>∴ξP 16836.168220008413.0≈=⨯∴,125.0)5.01()0(),5.0,3(~303=-⋅==∴C P B ξξ的分布列为…12分19.（1）解：在中，连延长交于，因为点为的重心所以，且为中点，又， 所以，所以；··········2分 又为中点，所以，又， 所以，所以，，，四点共面，··········4分 又平面，平面， 所以平面．··········5分（2）由题意，平面，所以，平面平面，且交线为， 因为，所以平面，又四边形为直角梯形，，，所以，所以平面 因为，，所以平面平面， 又与分别是边长为1与2的正三角形，故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，··········7分 因为，所以，，， 设平面的法向量，则，取，··········8分平面的法向量，··········9分;125.05.0)3(,375.0)5.01(5.0)2(,375.0)5.01(5.0)1(333223213=⋅===-⋅⋅===-⋅⋅==C P C P C P ξξξ∴ξ.5.15.03)(=⨯=X E ABC △AG BC O G ABC △23AG AO =O BC 23AM AF =u u u u r u u u r 23AG AM AO AF ==GM OF ∥N AB NO AC ∥AC DF ∥NO DF ∥O D F N OF ⊂DFN GM ⊄DFN GM ∥DFN AG ⊥BCDE AO BC ⊥ABC ⊥BCDE BC BC CD ⊥CD ⊥ABC BCDE 2BC =1DE =OE CD ∥OE ⊥ABC AC DF ∥DE BC ∥//ABC DEF DEF △ABC △O OC x OE y OA z CD m =()1,0,0C ()1,,0Dm (A 1,,22F m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0B-1,0,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭23AM AF =u u u u r u u ur 12,33m M ⎛ ⎝⎭()2,0,0BC =u u ur 42,33m BM ⎛= ⎝⎭u u u u r MBC (),,a b c =n 0BC BM ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u u r nn ()m =-n BCD ()0,0,1=υ所以二面角的余弦值， ，··········10分 又， ；直线与．··········12分 20.解（1）由题意得， 根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，·········2分，，，轨迹方程为．·········4分 （2）由题意知（为点到直线的距离），设的方程为，联立方程得， 消去得，设，，则，，·········6分 则，·········8分 又·········9分，·········10分 ，由，得，，，易证在递增，， M BC D --cos θ⋅⋅==n n υυ273m =+21m =523,,63m MN ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ()0,,0CD m =u u u r cos ,MN CD <>=u u u u r u u u rNM CD NM CD⋅=⋅u u u u r u u u ru u u ur u u u r 227774m =+MN CD 2742QM QN QM QP MP MN +=+==>=Q E M N 2a ∴=3c =1b ∴=∴22143x y +=1222ABD ABO S S AB d d AB ==⨯⨯⋅=△△d O l l 1y kx =+221 143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2234880kxkx ++-=()11A x y ,()22B x y ,122834k x x k -+=+122834x x k -=+()22221212261211434k k AB k x x x x k++=++-=+21d k=+22461234ABDk S d AB k+∴==+△212k t +=20k ≥1t ≥246461212ABD t S t t t∴==++△1t ≥12y t t =+()1+∞,123t t∴+≥，面积的最大值．·········12分 21（12分）解：（Ⅰ）设切点 又切点在函数上，即……………… 4分（Ⅱ）证明:不妨设，，所以在上单调递减，又， 所以必存在，使得，即. ……………… 6分 ①当时， 所以在区间上单调递减， 注意到， 所以函数在区间上存在零点，且. ……………… 9分 ②当时, 所以在区间上单调递增， 又， 且， 所以在区间上必存在零点，且. 综上，有两个不同的零点、，且.22．解：（Ⅰ）由圆的参数方程（为参数），得，-----------1分 所以，ABD S ≤△ABD ∴△S 3)0,(0x P ,)('2x x a x u -+=Θ.,00200x a x x a k -=∴=-+=∴)(x u ,0)(0=∴x u ,1ln 0ln 000-=⇒=-x x x a.1,10ea e x -=∴=∴12x x <Θ21()0a u x x x'=--<()u x (0,)+∞()10,(2)ln 202a au e u e e e e=->=-<0(,2)x e e ∈0()0u x =,ln 00x x a=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<--=∴00,ln ln 0,ln ln )(x x x xx a x x x x x x x ax f 00x x <≤222211ln ln (1)1(1)()0a x x x a x x a f x x x x x x ---+---+'=---=≤<()f x 0(0,]x 1()10a f e e e =-->0000000ln ln ()ln 0x x af x x x x x =--=-<()f x 0(0,]x 1x 10e x x <<0x x >22211ln ln (1)()0a x x x a f x x x x x-++-'=+-=>()f x 0(,)x +∞0ln ln ln )(0000000<-=--=x x x x x a x x f ln 21ln 241411(2)ln 2ln 21ln 20222252522a e f e e e e e e e e e=-->--->->->g ()f x 0(,2)x e 2x 022x x e <<()f x 1x 2x 21212x x x x e e e -=-<-=1C 1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩t 22(1)1x y ++=1(1,0)C -11r =又因为圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离， 可得，，则圆的方程为---------3分所以由得圆的极坐标方程为， 圆的极坐标方程为--------------5分（Ⅱ）由已知设，则由 可得，， 由（Ⅰ）得， 所以------8分 所以当时，即时，有最大值9-----------------10分23.（10分） 解：（Ⅰ） 由 ……………… 5分（Ⅱ）法一：要证，只需证，即证， 只需证，即证 由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证. 法二：，要证只需证，即证由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证. ……………… 10分2C 1C O 12||3C C =1(2,0)C 22r =2C 22(2)4x y -+=cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩1C 2cos ρθ=-2C 4cos ρθ=1A(,)ρθ12l l ⊥2B(,)2πρθ+3C(,)ρθπ+43D(,)2ρθπ+12344cos 2cos()2sin 22cos()2cos 34cos()4sin 2ρθπρθθρθπθρθπθ=⎧⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=+=⎪⎩132411()()18sin cos 9sin 222ABCD S AC BD ρρρρθθθ=⋅=++==四边形sin 21θ=4πθ=ABCD S 四边形⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=++-1,211,21,211x x x x x x x ];2,2[411-=⇒≤++-M x x 42+≤+ab b a ()()2244+≤+ab b a ()168484222++≤++ab ab b ab a ab ab 88≤Θ()1644222+≤+ab b a ()()04422≥--b a ,2,2≤≤b a ：b a b a +≥+Θ∴42+≤+ab b a 422+≤+ab b a ()()022≥--b a ,2,2≤≤b a ：。

2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则AB =（ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1C ．[]1,2D ．()3,2-【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得A B .【详解】由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C【解析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =>，320x y +=可化为32y x =-，32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.6．已知115232,5,log 2a b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】由11522,511a b =>=>，而3log 21c =<，即可得到,a c b c >>.在比较10a 和10b ，即可,a b 大小关系，进而求得a bc ，，的大小关系. 【详解】11522,511a b =>=>，3log 21c =< ∴,a c b c >>又1052=32a =，1025,=25b =∴1010a b >，即a b >综上所述，c b a << 故选：B. 【点睛】本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.8．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【详解】()f x 的定义域为R .由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于3132sin cos ,sin cos 66624442f f ππππππ⎛⎫⎛⎫-=+=-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不是单调递增函数，所以②错误.当0x ≥时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=±=±≤ ⎪⎝⎭，且存在4x π=，使sin cos 444f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 所以当0x ≥时，()f x ≤由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时()f x ≤， 所以()f x，所以③错误.依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或，所以令sin cos 0x x +=，解得74x π=，令sin cos 0x x -=，解得54=x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A． B ．1CD ．2【答案】D【解析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A，12⎛- ⎝⎭B，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.10．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以20,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈.故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.11．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D ．1310【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F ---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为11824261342213A E AF A E AF⋅-==⨯⋅故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x fx -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e ⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞.故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()b a a -⊥，则a 与b 的夹角为____________. 【答案】3π（或写成60︒） 【解析】设a 与b 的夹角为θ，通过()b a a -⊥，可得()=0b a a -⋅，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.【详解】设a 与b 的夹角为θ()b a a -⊥可得()=0b a a -⋅，∴()2=0a b a⋅-故2cos =0a b a θ⋅⋅-，将2b a =代入可得 得到1cos 2θ=， 于是a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513B C ==，1b =，则a =__________.【答案】5639【解析】先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于412cos ,cos 513B C ==，所以35sin ,sin 513B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365=⨯+⨯=.由正弦定理得56sin 56653sin sin sin 395a b b A a A B B ⋅=⇒===.故答案为：5639【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 【答案】536【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22426C C ⨯=种.当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有225310330C C ⨯=⨯=种.当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有226415690C C ⨯=⨯=种.当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22752110210C C ⨯=⨯=种.当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22862815420C C ⨯=⨯=种.当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22973621756C C ⨯=⨯=种.所以该验证码的中间数字是7的概率为210210563090210420756151236==+++++. 故答案为：536【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.三、双空题16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且有21BD CD AB BD CD ⊥===，，，则此鳖臑的外接球O （A B C D 、、、均在球O 表面上）的直径为__________；过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值为__________. 【答案】3 π【解析】判断出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值. 【详解】根据已知条件画出鳖臑A BCD -，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，且3AC ==.过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值的是以BD 为直径的圆，面积为22BD ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1). 3 (2). π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.四、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，45AB AD ADC AD ⊥∠=︒，，∥22BC AD AB ==，，ADP △为等边三角形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ； （2）点F 在线段CD 上，且32CF FD =，求平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（24183【解析】（1）根据等边三角形的性质证得PE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥底面ABCD ，由此证得PE BC ⊥，结合CE BC ⊥证得BC ⊥平面PCE ，由此证得：平面PBC ⊥平面PCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面PBF 和平面PAD 的法向量，计算出平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PAD △为等边三角形，E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥ ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD =，∴PE ⊥底面ABCD BC ⊂，平面ABCD ，∴PE BC ⊥ 又由题意可知ABCE 为正方形，CE BC ⊥ 又PEEC E =，∴BC ⊥平面PCEBC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCE（2）如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,00,1,01,1,01,0,0E A B C --，，，，()0,1,0D ，(0,0,3)P ，由已知35CF CD =，得23,,055F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23(1,1,3),,,355PB PF ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭设平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，则30233055n PB x y z n PF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令3z =，则249,55x y ==， ∴249,,355n ⎛⎫= ⎪⎝⎭由（1）知平面PAD 的法向量可取为()1,0,0m =∴2222441835|cos ,|249(3)55m n <>==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴平面PAD 与平面PBF 4183. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥.（1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；（2）求数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）见解析（2）112231n n S +=-+ 【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到113n nn n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【详解】（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-11*,2,3n nn n a b n N n a b ---∈≥=-所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，()()1111113,22nn n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，∴()()11134311231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭∴1111111241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111122431231n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 19．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望()Eξ附表及公式：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.【答案】（1）见解析，没有（2）见解析，17 6【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）先判断出ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生中喜欢古典文学的人数为n ，则m n ξ=+.且2,3,4ξ=1211222132431(2)(1,1)3C C C C P P m n C C ξ======； 21111222221222323243431(3)(2,1)(1,2)2C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=； 22222324131(4)(2,2)6C C C P P m n C C ξ======. 所以ξ的分布列为则11117()2343266E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值. 【答案】（1）24x y =（2）见解析，最小值为4【解析】（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程. （2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值. 【详解】（1）依题意d =1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由24x y =，即214y x =，得12y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+- ∵21114y x =，∴112xy x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上，1112x t y -=-①，同理，2212xt y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12xt y -=-.即直线:12tAB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2PF k t=-，得PF AB ⊥于是1||||2PAB S PF AB =⋅△，而||PF把直线12t y x =+代入24x y =中消去x 得()22210y t y -++=21224AB y y t=++=+，即：(()3222114422S t t =+=+当0t =时，PABS 最小，且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.21．已知函数()ln f x x =.（1）设2()()f x g x x =，求函数()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点. （2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1ae -+上不单调，证明：111a a a +>+.【答案】（1）(x ∈为增区间；)x ∈+∞为减区间.见解析（2）见解析【解析】（1）先求得()g x 的定义域，然后利用导数求得()g x 的单调区间，结合零点存在性定理判断出()g x 有唯一零点.（2）求得()h x 的导函数()'h x ，结合()h x 在区间()1,1ae -+上不单调，证得1ln a e a a -+->，通过证明111ln 1a e a a a -+>+-+，证得111a a a +>+成立. 【详解】（1）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，由312ln ()0xg x x-'=>，解得(x ∈为增区间；由312ln ()0xg x x -'=<解得)x ∈+∞为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵2110,02g e g e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以函数在区间(内有零点，∵,()0x g x →+∞→，函数在区间)+∞上没有零点， 故函数只有一个零点.（2）证明：函数()(1)ln(1)x x h x e af x e a x =--=--，则 (1)(),111x xa x e ah x e x x x --'=-=>--当0a ≤时，()0h x '>，不符合题意； 当0a >时，令()(1),1x m x e x a x =-->，则()0xm x xe '=>，所以()m x 在(1,)+∞上单调增函数，而()10m <，又∵()h x 区间()1,1a e -+上不单调，所以存在()01,1a x e -∈+，使得()h x '在()1,1ae -+上有一个零点0x ，即()00h x '=，所以()00m x =，且()()11010a ee am e ee a e a m x ααα---+-+-+=⋅-=->=，即1a e e a α--+>两边取自然对数，得1ln a a e a --+>即1ln a e a a -+->， 要证111a a a +>+，即证111ln 1a e a a a -+>+-+， 先证明：1(0)x e x x >+>，令()1x n x e x =--，则()10x n x e '=-> ∴()n x 在(0,)+∞上单调递增，即()()00n x n >=，∴()10xe x x >+>①在①中令x a =，∴111111aaa e a e e a a ->+⇒<⇒<++ 令1ln x a=∴1ln1ln 1ae a >+，即111ln 11ln a a a a>+⇒>-即111ln 1a e a a a -+>+-+，∴111a a a +>+. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且PA 的最大值为，求a 的值.【答案】（1）()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1a =或1a =-【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C 与l 的交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为20x y a +-=，故C 上任意一点(2cos )P αα，根据点到直线距离公式求得P 到直线l 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案. 【详解】 （1）22123sin ρθ=+，∴2223sin 12ρρθ+=.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得223412x y +=，曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.当2a =-时，直线l 的普通方程为220x y ++=由22220143x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 故C上任意一点(2cos )P αα到l 的距离为d ==则||sin 45d PA ︒===当0a ≥时，||PA1a =；当0a <时，||PA=1a =-.综上所述，1a =或1a =- 【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 23．已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式()1f x ≤；（2）记函数()f x 的最大值为s ，若(),,0a b c s a b c ++=>，证明：2222223a b b c c a abc ++≥.【答案】（1）(],1-∞；（2）证明见解析第 21 页 共 21 页 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】（1）()12f x x x =+--3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩①当1x ≤-时，31-≤恒成立，∴1x ≤-；②当12x -<<时，211x -≤，即1x ≤，∴11x -<≤；③当2x ≥时，31≤显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为(],1-∞.（2）由（1）知max ()3f x s ==，于是3a b c ++=由基本不等式可得222222a b b c ab c +≥= （当且仅当a c =时取等号）222222b c c a abc +≥= （当且仅当b a =时取等号）222222c a a b a bc +≥=（当且仅当c b =时取等号）上述三式相加可得()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++（当且仅当a b c ==时取等号）3a b c ++=，∴2222223a b b c c a abc ++≥，故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x+2>0}，B={−3,−2,−1,0}，则(∁R A)∩B=()A. {−3,−2}B. {−3}C. {−2,−1,0}D. {−1,0}2.复数z=1−i2+i在复平面上对应的点的坐标为()A. (1,−3)B. (15,−35) C. (3,−3) D. (35,−35)3.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为()A. 23B. 12C. 15D. 254.已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(3)+f(4)+f(5)=()A. 2B. 0C. −2D. 45.在2010∼2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及新一代智能手机的规格升级，电动汽车及物联网等迎来新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为()①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013∼2014年；③这8年的增长率约为；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳．A. 1B. 2C. 3D. 46.x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A. x>3B. x<3C. x>1D. x<17.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|=4√2，|DE|=2√5，则C的焦点到准线的距离为()A. 2B. 4C. 6D. 88.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，O为坐标原点，点M，N是双曲线C上异于顶点的关于原点对称的两点，P是双曲线C上任意一点，PM，PN的斜率都存在，则k PM⋅k PN的值为()A. a2b2B. b2a2C. b2c2D. 以上答案都不对9.将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i行(从上向下)第j个(从左向右)的数表示为a ij(i,j∈N∗)，例如a32=10.若a ij=2020，则i−j=()A. 25B. 22C. 23D. 2110. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5=−5，S 9=−27，{b n }为等比数列，且b 3=a 3，b 5=a 5，则b 9的值为( )A. −9B. 9C. −27D. 2711. 设函数f (x )=x −e −x ，直线y =mx +n 是曲线y =f (x )的切线，则m +n 的最小值是( )A. −1eB. 1C. 1−1eD. 1+1e 3 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥BD ，AD =2，BD =4，点M 、N 分别为BD 、BC 的中点，将其沿对角线BD 折起成四面体QBCD ，使平面QBD ⊥平面BCD ，P 为QC 的中点．则点D 到平面QMN 的距离为( )．A. √63B. 2√33C. √32D. √64二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5=8，a 7=8，则a 1的值是______．15. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AD ，D 1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为____．16. 函数y =x +2sinx 在区间(0,2π)内的极大值是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c.已知sinAsinC =34，b 2=ac ．(1)求角B 的值；(2)若b =√3，求△ABC 的周长．18.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=3，BC=6，PB=3√3．(Ⅰ)若PC的中点为E，求证：DE//平面PAB；(Ⅱ)若∠PAB=60°，求直线DC与平面PAB所成角的余弦值．19.一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以X表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则X=3．(1)求三只黑猫挨在一起出笼的概率；(2)求X的分布列和数学期望．20.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A,B两点，交直线x=8于点M.判定直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+ax−2)(a>0)(I)当1<a<4时，函数f(x)在[2,4]上的最小值为ln32，求a；(Ⅱ)若存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，求a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3上，且点P到极点O的距离为4．(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−2，g(x)=|2x+a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤g(x)；(2)若f(x)≥g(x)在[6,8]上恒成立，求实数a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A={x|x>−2}；∴∁R A={x|x≤−2}；∴(∁R A)∩B={−3,−2}．故选：A．解出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．2.答案：B解析：解：由复数z=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i．∴复数z=1−i2+i 在复平面上对应的点的坐标为(15,−35).故选：B．直接由复数的除法运算化简复数z为a+bi(a,b∈R)的形式，求得实部和虚部，则复数z对应的点的坐标可求．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：本题考查了古典概型的计算与应用，属于基础题．从5种物质中任取2种，共有10种选法，根据相生相克的关系可知恰有5种选法具有相克的关系，即可得出结果．解：依题意，从5种物质中任取2种，设五种物质分别为A，B，C，D，E，则所有选法为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种选法，根据相生相克的关系可知恰有5种选法具有相克的关系，故取出的两种物质恰好是相克关系的概率为510=12，。