2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文
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2013数学建模——古塔的变形
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：5339所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。
因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。
古塔的变形研究
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：ａ ｎ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｐ ａ ｇ ｏ ｄ ａ；Ｍ ａ ｈｅ ｔ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ； ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍｔ ｉ ｏ ｎ； ｔ ｉ ｌ ｔ ｅ ｄ ｄ ｅ ｆ ｏ ｍ ａ ｒ ｉ ｔ ｏ ｎ； ｂ ｅ ｎ ｔ ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｔ ｗｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｄ ｅ ｆ ｏ ｍ ａ ｒ ｉ ｔ ｏ ｎ； ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ；
ｉ ｆ ｔ ｉｎ ｔ ｇ
中 国是 一个 有着 ５ ０ ０ ０年 悠久 历史 的文 明古 国 ，
源远 流长 的历史 使 中 国继 承 了一 份 十分 宝 贵 的世 界 根据 几何 知 识 ， 这 个 中心 点 就 是 平 面 中一 点 到 文化 和 自然 遗 产 。 由于 长 时 间 承受 自重 、 风 力 和 地 因此 建 震等作 用影 响 ， 古 塔会 产生 各 种 变形 ， 如倾斜、 弯曲、 这有 限个 点 距 离 的 平方 和 的唯 一 最 小值 点 ， 立模 型如 下 ： 扭 曲等 。为保 护 古塔 ， 文 物 部 门 需 适 时对 古塔 进 行
关 键 词 ：古塔 ； 数 学建 模 ； 变形 ； 倾斜 ； 弯曲 ； 扭 曲； 最 小二 乘 法 ； 拟 合 中图分类 号：０ ２ ９ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ： ２ ０ ９ ５— ５ ３ ８ ３ （ ２ ０ １ ４ ） Ｏ ２～ ０ ０ ６ ３— ０ ２
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ０ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｄｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ０ ｆ ａ ｎ Ａｎ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ Ｐ ａ ｇ ｏ ｄ ａ
ｍ ｉ ｎ ｔ ＝ ∑（ ０ ０ ＋ ｎ １ ＋ 口 ２ 一 ）
基于古塔变形问题的数学模型_大学生数学建模竞赛
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外地任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关地问题.我们知道，抄袭别人地成果是违反竞赛章程和参赛规则地，如果引用别人地成果或其他公开地资料（包括网上查到地资料），必须按照规定地参考文献地表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛地公正、公平性.如有违反竞赛章程和参赛规则地行为，我们将受到严肃处理.我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们地论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）.我们参赛选择地题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们地参赛报名号为（如果赛区设置报名号地话）： Y4904 所属学校（请填写完整地全名）：杨凌职业技术学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 李策2. 路开3. 李延枫指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：张涛（论文纸质版与电子版中地以上信息必须一致，只是电子版中无需签名.以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格.）日期： 2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于古塔变形问题地数学模型摘要本文主要通过建立数学模型来探讨古塔地变形情况以及未来地变形趋势.首先通过建立解读几何模型确定古塔各层地中心坐标，然后利用Matlab软件进行多项式拟合得到各层中心坐标地曲线方程，最后借助此曲线方程计算得倾斜、弯曲、扭曲等各个变形量，并绘制出各层地位移沉降折线图，通过这些图形地变化趋势并结合各个变形量之间地关系，我们预测出古塔未来地变形趋势.针对问题一：我们根据题中给出地数据和条件，结合对古塔实际观测点，通过Matlab绘图软件确定古塔形状为八角形，从而建立起解读几何模型，并用Excel电子表格计算每层八点坐标地平均值，进而确定各次测量地古塔各层中心坐标.针对问题二：首先由问题一中所计算出地各层中心坐标，对于各个测量年份而言，将三维曲线转换为二维曲线，利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式（曲线）拟合，根据拟合出地曲线，取得该曲线地xyz三个旋转角度，即倾斜（z轴与xy平面地夹角），弯曲（曲线地曲率），扭曲（绕z轴地旋转角度）等，记为α、K、β.针对问题三：利用题中所给数据，绘制各测量年份地各层位移沉降折线图，观察其倾斜趋势，并进行预测；结合问题二中曲线曲率和扭曲角度，联系测量年份，分别利用多项式拟合得到各自与测量年份地关系式，进而更好地预测出弯曲、扭曲地变形趋势.最后，综合分析各个变形量地趋势，并对模型进行评价推广.关键词：中心坐标 matlab软件多项式拟合一．问题重述古塔是一种在亚洲常见地，有着特定地形式和风格地东方传统建筑，是中国五千年文明史地载体之一，为祖国城市山林增光添彩，矗立在大江南北地古塔，被誉为中国古代杰出地高层建筑.[1]古塔由于长时间经过各种自然环境地影响，必然会产生变形.文物部门为了更好地保护古塔，必须对其进行适时地观测，确定各种变形量，根据变形量，预测古塔地变形趋势，最后制定必要地保护措施.因此，根据上述信息，我们讨论以下问题：1、建立数学模型，研究古塔各层中心位置地通用方法，并列表确定各次测量地古塔各层中心坐标.2、分析古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况.3、综合各种变形情况，分析古塔未来地变形趋势.二．问题分析本文研究地是古塔地变形问题.题中古塔地变形主要包括倾斜、弯曲、扭曲.首先，根据题中给出地数据和条件，确定各次测量地古塔各层中心坐标；然后对各个测量年份依次分析，将三维曲线转换为二维曲线，利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式（曲线）拟合，根据拟合出地曲线，计算倾斜、弯曲、扭曲三个变形量地大小关系；最后绘制各测量年份地各层位移沉降折线图，并分别利用多项式拟合得到各自与测量年份地关系式，从而更好地预测古塔未来地变形趋势.三．模型建设1．假设每层各个点都在同一平面内；2．假设古塔在各种自然环境作用下，不发生破坏；3. 假设倾斜只受地基地沉降影响，忽略其他因素.四．符号说明五．模型建立与求解5.1关于问题一地模型建立与求解：根据题中给出地数据和条件，我们利用Matlab 绘图软件可以得出题中地古塔为八角形古塔:假设每层各个点都在同一个平面内，根据简单地解读几何地方法确定各次测量地古塔各层中心坐标.可得中心坐标（x,y,z ）地通用公式：x=887654321x x x x x x x x +++++++y=887654321y y y y y y y y +++++++z=887654321z z z z z z z z +++++++根据上式，用Excel 电子表格计算每层八点坐标地平均值,确定各次测量地古塔各层中心坐标.如表1如下：5.2关于问题二地模型建立与求解：根据问题一，我们得出各次测量地古塔各层中心坐标),,(z y x ，如图1所示：图1由图1，可以看出图中后两点偏差较大，所以拟合时将其忽略.由于中心坐标为三维坐标，所以不能将各层中心坐标进行三维多项式拟合.[2]首先，我们要将三维转换成二维进行计算，令A=22y x +,进而让三维坐标),,(z y x 转换成二维坐标),(z A ；分别作Aoz 面地投影，然后将各层二维坐标进行多项式拟合.拟合程序见附录，拟合图像如图2所示：通过拟合得到：z= 21794.387 A 3-50411386.903A 2+38867927591.030A-9989249763219.082倾斜(z 轴与xy 平面地夹角)：对z 求一阶导z '=65383.161A 2-100822773.806A+38867927591.030=tan(α)α=arctan(65383.161A 2-100822773.806A+38867927591.030)弯曲（曲线地曲率）：对z 求二阶导z ''=130766.322A-100822773.806=1k 2/32,,,)1(y y + [3]=2/322])1.0303886792759+806A 100822773.- 65383.161A (1[806100822773.-A 130766.322+扭曲（绕z 轴地旋转角度）:我们先做出古塔俯视图（即xoy 面地曲线），如图3所示：图3据观察可得出，前10个点基本在同一条直线上，受扭曲地影响较小，所以我们用这10个点可以拟合出一条直线函数作为不受扭曲地参照直线，再连接第一层塔心和塔尖地塔心得到另一条直线，两条直线所成地夹角即为扭曲角度.1986年前十组中心坐标拟合图如图4图4前10点拟合图方程：y= -0.6425x+886.7750同时，我们可以求出连接第一层塔心和塔尖地塔心所得到地另一条直线地方程： >> x=[566.6648,567.2473]。
关于古塔变形研究的数学模型
・１ ５ ４ ・ ’
唐 纪芳， 张子卫
关于古塔变形研究的数学模型
数 据 都缺 失 了． 我们 将 ２ ０ ０ ９年 和 ２ ０ １ １年该 层 的 同
３ ． ２问题 的求 解
个观测点的数据差值 除 以年份差作为每年的变 化差值 ，然后计算 出 １ ９ ８ ６ 年和 １ ９ ９ ６ 年 的补充数 据． 然后， 各层 底面中心应 该在各层 ８个观 测点的
已经变化位置， 但中心应该在各层底面各顶点的
重心附近 ， 因此我们先根据 《 图论》 中的知识得 出 空 间有 限个 点 的 中心 的定 义 ，再 运用 ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ软 件编程在各层底部 各顶 点的重心 附近搜寻 中心 位置． （ ２ ） 空间个 点 Ａ ； （ ＝ ｌ ， ２ ， …， ｎ ） 的中心 Ｏ的 定义． 若空间一点 Ｏ满足 ｍ ｉ ｎ ｛ ｍ ａ ｘ ｛ Ｏ Ａ ｝ ｝ （ ｉ ＝ Ｉ ， ２ ，
了明确的定义 ， 并运用 数学软件进 行 了相应计算 ， 对 古塔 的各个测试 时间的变形 程度 给 出了具体量化结论 ， 并建立 了古塔 变形
的数学模型预测其变形趋势， 给文物管理部门提出了有关古塔保护的建议．
关键词 ： 古塔 变形 ； 各层 中心 点； 倾斜度 ； 弯 曲度 ； 扭 曲度 ； 变形预测 中图分类号： ０ ２ ９ 文献标识码 ： Ａ 文章编号： １ ６ ７ ２ — ２ ０ ９ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ １ ５ ５ — ０ ５
…
（ １ ） 给 出确定古塔 各层 中心位置 的通 用方
法， 并列表给出各次测量的古塔各层 中心坐标． （ ２ ） 分析 该塔 倾斜 、 弯 曲、 扭 曲等 变形 情况 ． （ ３ ） 分析该塔的变形趋势． ２模型 假设 （ １ ） 假设附件 １ 中的数据是 以同样的方式对 同样 的 ８ 个点进行了 ４次观测． （ ２ ） 假 设古塔最初 建筑 时是正八边形 ， 而它 的中心就是重心． （ ３ ） 假设塔尖就是一个点． （ ４ ） 假设底层不考虑弯曲和扭 曲程度． （ ５ ） 假设各层 的倾斜 、 弯 曲和扭 曲均是 以第 １ 层为基础作 比较．
唐 纪芳， 张子卫
关于古塔变形研究的数学模型
数 据 都缺 失 了． 我们 将 ２ ０ ０ ９年 和 ２ ０ １ １年该 层 的 同
３ ． ２问题 的求 解
个观测点的数据差值 除 以年份差作为每年的变 化差值 ，然后计算 出 １ ９ ８ ６ 年和 １ ９ ９ ６ 年 的补充数 据． 然后， 各层 底面中心应 该在各层 ８个观 测点的
已经变化位置， 但中心应该在各层底面各顶点的
重心附近 ， 因此我们先根据 《 图论》 中的知识得 出 空 间有 限个 点 的 中心 的定 义 ，再 运用 ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ软 件编程在各层底部 各顶 点的重心 附近搜寻 中心 位置． （ ２ ） 空间个 点 Ａ ； （ ＝ ｌ ， ２ ， …， ｎ ） 的中心 Ｏ的 定义． 若空间一点 Ｏ满足 ｍ ｉ ｎ ｛ ｍ ａ ｘ ｛ Ｏ Ａ ｝ ｝ （ ｉ ＝ Ｉ ， ２ ，
了明确的定义 ， 并运用 数学软件进 行 了相应计算 ， 对 古塔 的各个测试 时间的变形 程度 给 出了具体量化结论 ， 并建立 了古塔 变形
的数学模型预测其变形趋势， 给文物管理部门提出了有关古塔保护的建议．
关键词 ： 古塔 变形 ； 各层 中心 点； 倾斜度 ； 弯 曲度 ； 扭 曲度 ； 变形预测 中图分类号： ０ ２ ９ 文献标识码 ： Ａ 文章编号： １ ６ ７ ２ — ２ ０ ９ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ １ ５ ５ — ０ ５
…
（ １ ） 给 出确定古塔 各层 中心位置 的通 用方
法， 并列表给出各次测量的古塔各层 中心坐标． （ ２ ） 分析 该塔 倾斜 、 弯 曲、 扭 曲等 变形 情况 ． （ ３ ） 分析该塔的变形趋势． ２模型 假设 （ １ ） 假设附件 １ 中的数据是 以同样的方式对 同样 的 ８ 个点进行了 ４次观测． （ ２ ） 假 设古塔最初 建筑 时是正八边形 ， 而它 的中心就是重心． （ ３ ） 假设塔尖就是一个点． （ ４ ） 假设底层不考虑弯曲和扭 曲程度． （ ５ ） 假设各层 的倾斜 、 弯 曲和扭 曲均是 以第 １ 层为基础作 比较．
2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文
2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：长春工业大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 武太彬2. 贾光辉3. 牛文正指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：李纯净（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2013 年 9 月_16_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1问题的重述与分析由于许多外在原因，古塔会产生各种变形，倾斜，弯曲，扭曲等。
为了了解各种变形量，测绘公司先后于1986年7月，1996年8月，2009年3月和2011年3月对该塔进行了四次观测。
古塔的变形情况及趋势研究
古塔的变形情况及趋势研究作者：王飞章茜来源：《价值工程》2014年第13期摘要：依据2013年全国大学生数学建模竞赛C题所给的古塔各层中观测点坐标的信息，运用基于最小二乘法的椭圆拟合算法结合MATLAB软件，列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
利用古塔各层中心坐标，并将问题进行转化，采用初等数学模型研究古塔的倾斜程度、弯曲程度、扭曲程度，最后建立灰色预测模型GM（1，1），对上述引起古塔变形的三个因素进行拟合、预测，分析古塔的变形趋势。
Abstract： According to coordinates of points observed for each layer of ancient pagoda in problem C of Chinese Undergraduate Mathematical Contest in Modeling（2013）， this article lists the measured coordinates of the center of each layer in old pagoda by using ellipse fitting method which based on least-square principle and MATLAB. The problem is transformed by using the coordinates of the center of old pagoda in each layer， when the tilting degree， bending degree，twisting degree of old pagoda can be studied through primary mathematics model. Finally， the paper establishes the gray prediction model GM（1，1）， summarizes and predicts the three factors which caused the deformation of old pagoda， and analyzes its trend.关键词：古塔变形；中心坐标；倾斜角；灰色预测模型GM（1，1）Key words： deformation of old pagoda；central coordinate；inclination；the gray prediction model GM （1，1）中图分类号：TU196；O242.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）13-0212-030 引言目前现存数量不多的古塔是一种古代高层建筑，标志着古代人们征服自然的胜利。
2013全国大学生数学建模山西赛区山西财经大学华商第43队论文----C题-古塔变形
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：山西财经大学华商学院参赛队员(打印并签名) ：1. 胡珺怡2. 赵萌3. 陈茜指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张培强日期： 2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形分析摘要本文针对古塔的变形这，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震，飓风的影响，古塔会产生各种变形，为保护古塔，文物部门需要对古塔进行观测，了解古塔的变形情况。
因为当3个观测点位于一个圆周上时，可以用图解或解析的方法确定圆心的位置；当观测点数大于3时，可以用最小二乘进行曲线拟合，计算出圆心的坐标。
本文用最小二乘法进行曲线的拟合，得到古塔各层中心点坐标。
使用线性回归，曲线拟合法，梯度下降法得到各层中心所在的直线方程。
对直线进行投影，利用曲率对古塔的变形、弯曲、扭曲进行了研究。
通过对问题一所给数据的处理分析，用matlab对其中已知数据的作图发现所给的数据呈圆形，从而建立圆形塔模型，画出相应图形。
发现题设所给的数据所画的图形拟合程度极高。
2013数学建模——古塔的变形
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：5339所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。
因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。
2013高社杯全国大学生数学建模竞赛C题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形摘要：本文研究的古塔的变形问题，通过对问题背景及附件资料进行深入地分析，采用数据拟合、求平均值等方法整理出具有科学性的分析数据。
通过对建筑物位移监测数据处理方法的研究, 采用自回归模型对位移监测数据进行处理, 根据建立的模型对具体建筑物的监测点的位移变化量进行预报。
经过计算分析, 根据位移量之间变化的关系而建立的自回归预测模型具备较高的拟合及预测精度,运用三维坐标系和数学软件将古塔的模型以空间模型的形式表现出来，直观且科学，对于研究古塔的变形具有较高的科学性和说服性。
再通过三维坐标之间的回归和三维坐标与时间的回归而分析出古塔的倾斜，弯曲，扭曲等变形状况，通过数学软件的计算及列表列图的方法将结果直观体现，通过大量的计算与分析，运用几何和代数方法将古塔的变形量以数学的方式说明。
对于分析古塔变形趋势中，运用了位移差和位移残差平方公式等量及与时间的关系来说明其变形趋势。
2013年全国大学生数学建模竞赛国家一等奖论文 C题古塔的变形
（ i 1, 2, ,13 ， j 1, 2, ,8 ， k 1, 2,3, 4 ） ；
( xi* (k ), yi* (k ), z i* (k )) ：第 k 次测量时第 i 层中心点坐标（ i 1, 2, ,13 ， k 1, 2,3, 4 ） ； ( x j (k ), y j (k ), z j (k )) ：第 k 次测量时塔尖第 j 个观测点的观测坐标
2 j 1
8
寻找与各层观测点最接近的平面方程。 (2)模型求解 该问题为无条件极值问题，函数
f ( Ai (k ), Bi (k ), Ci (k )) Ai (k ) xij (k ) Bi (k ) yij (k ) Ci (k ) zij (k )
j 1
8
2
取得极小值的必要条件是三个偏导数应满足：
（ j 1, 2, , 4 ， k 1, 2,3, 4 ）
( x* (k ), y* (k ), z* (k )) ：第 k 次测量时塔尖的中心点坐标（ k 1, 2,3, 4 ） dij (k ) ：第 k 次测量时第 i 层第 j 个观测点与该层中心点的距离
2
（ i 1, 2, ,13 ， j 1, 2, ,8 ， k 1, 2,3, 4 ） ；
d 。 H
弯曲：当杆件受到与杆轴线垂直的外力或在轴线平面内的力偶作用时，杆的轴线由 原来的直线变成弯曲，这种变形叫弯曲变形。在本文中，我们利用古塔各层中心位置所 在空间曲线的曲率定义了古塔的弯曲率 K 。 扭曲：建筑产生的非竖向变形。由于扭曲为非竖向的变形，讨论古塔扭曲时只需考 虑水平方向的坐标变化，即 x, y 坐标的水平旋转，因此我们用古塔水平旋转角度的扭曲 度 来描述。 4.2 缺失数据的预处理： 第十三层的缺失数据：由于在第一次和第二次的观测数据中，第十三层缺少一个点 的观测数据，使得在寻找第十三层中心点时产生较大误差。因此，我们结合十二层与十 一层第 5 个观测点坐标的相对变化情况，对第十三层的缺失数据进行了合理地赋值。 根 据对古塔各观测点散点图观察可见， 古塔相邻两层的对应观测点坐标之间具有类似的关 系。 通过计算可得第一次测量中第十二层第 5 个观测点相对于第十一层第 5 个点的坐标 变化值为 (0.055, 0.173, 4.271) ，从而由第十二层第 5 个观测点坐标加上相对变化值可将 第十三层的缺失数据赋值为 (567.984,519.588,52.984) 。同理可将第二次测量中第十三层 的缺失数据赋值为 (567.99,519.5816,52.983) 。 塔尖的数据：在后两次测量中，塔尖仅有一个观测数据。由于塔尖各点坐标变化很 小，所以对于只有一个测量点的塔尖数据，我们将其近似处理为塔尖中心点坐标。
( xi* (k ), yi* (k ), z i* (k )) ：第 k 次测量时第 i 层中心点坐标（ i 1, 2, ,13 ， k 1, 2,3, 4 ） ； ( x j (k ), y j (k ), z j (k )) ：第 k 次测量时塔尖第 j 个观测点的观测坐标
2 j 1
8
寻找与各层观测点最接近的平面方程。 (2)模型求解 该问题为无条件极值问题，函数
f ( Ai (k ), Bi (k ), Ci (k )) Ai (k ) xij (k ) Bi (k ) yij (k ) Ci (k ) zij (k )
j 1
8
2
取得极小值的必要条件是三个偏导数应满足：
（ j 1, 2, , 4 ， k 1, 2,3, 4 ）
( x* (k ), y* (k ), z* (k )) ：第 k 次测量时塔尖的中心点坐标（ k 1, 2,3, 4 ） dij (k ) ：第 k 次测量时第 i 层第 j 个观测点与该层中心点的距离
2
（ i 1, 2, ,13 ， j 1, 2, ,8 ， k 1, 2,3, 4 ） ；
d 。 H
弯曲：当杆件受到与杆轴线垂直的外力或在轴线平面内的力偶作用时，杆的轴线由 原来的直线变成弯曲，这种变形叫弯曲变形。在本文中，我们利用古塔各层中心位置所 在空间曲线的曲率定义了古塔的弯曲率 K 。 扭曲：建筑产生的非竖向变形。由于扭曲为非竖向的变形，讨论古塔扭曲时只需考 虑水平方向的坐标变化，即 x, y 坐标的水平旋转，因此我们用古塔水平旋转角度的扭曲 度 来描述。 4.2 缺失数据的预处理： 第十三层的缺失数据：由于在第一次和第二次的观测数据中，第十三层缺少一个点 的观测数据，使得在寻找第十三层中心点时产生较大误差。因此，我们结合十二层与十 一层第 5 个观测点坐标的相对变化情况，对第十三层的缺失数据进行了合理地赋值。 根 据对古塔各观测点散点图观察可见， 古塔相邻两层的对应观测点坐标之间具有类似的关 系。 通过计算可得第一次测量中第十二层第 5 个观测点相对于第十一层第 5 个点的坐标 变化值为 (0.055, 0.173, 4.271) ，从而由第十二层第 5 个观测点坐标加上相对变化值可将 第十三层的缺失数据赋值为 (567.984,519.588,52.984) 。同理可将第二次测量中第十三层 的缺失数据赋值为 (567.99,519.5816,52.983) 。 塔尖的数据：在后两次测量中，塔尖仅有一个观测数据。由于塔尖各点坐标变化很 小，所以对于只有一个测量点的塔尖数据，我们将其近似处理为塔尖中心点坐标。
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2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2013 年 9 月_16_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：古塔的变形摘要本文对古塔的变形问题建立数学模型，它实质上是一个空间解析几何问题。
首先建立空间解析几何模型，并利用这个模型对问题1进行求解，然后对模型进行数据处理和图形分析，精确地给出了中心位置坐标；之后对于问题2，在问题1的基础上我们计算出中心坐标的拟合直线，计算出曲率的值；最后对于问题3，运用AR自回归模型给出古塔的变形趋势。
在问题1中，通过分析这四年古塔的每一层中的8 个离散点，运用MATLAB 数学软件建立观测数据模拟图，依据此图作出每一层相应散点的投影平面，经过计算基本近似正八边形，得出正八边形的中心，并运用空间直线拟合模型，求出古塔的一条轴心拟合直线；并且运用空间平面拟合模型，求出每一层的8个散点拟合的平面，那么直线与每一平面相交的点，即为每一层的中心坐标，以所求第一层中心坐标为例，1986年第一层中心坐标为(566.6616,522.6994,1.9738)，1996年第一层中心坐标为(566.662,522.6992,2.0117)，2009年第一层中心坐标为(566.6588,522.7012,1.7033)，2011年第一层中心坐标(566.6587,522.7012,1.7018)，其它（算上塔尖）14层见正文表5。
在问题2中，首先运用MATLAB软件画出每一年的俯视图，即各年的平面图，可以看出这四年的古塔是逐渐倾斜和弯曲的，且在第五层开始发生了扭曲。
建立曲率数学模型，运用软件求解出相应的曲率值18.27。
在问题3中，首先建立带季节项的AR自回归模型，运用问题2中所求的曲率作为自变量，代入到模型中，运用时间序列分析的统计软件SPSS，得出古塔变形的趋势，即随年代的增长，古塔的倾斜和弯曲将更加严重，且在第五层由于空间中心的改变，将更加扭曲。
在本文最后，对模型的优缺点及改进之处进行分析。
关键词：空间解析几何最小二乘法拟合曲率AR预测模型MATLAB7.0软件1问题的重述与分析由于许多外在原因，古塔会产生各种变形，倾斜，弯曲，扭曲等。
为了了解各种变形量，测绘公司先后于1986年7月，1996年8月，2009年3月和2011年3月对该塔进行了四次观测。
讨论3个问题，问题1，给出确定古塔各层中心位置的通用方法，列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
本文首先对古塔的变形情况进行分析，可以获取位置信息，且只有四次的观测数据信息。
建立适当的坐标系，先研究一层塔的八个点的投影所得的八个点的坐标点，然后再确定各中心的坐标，从而找到各层的中心点，可以拟合成一条直线。
并且运用空间拟合平面模型，求出每一层的8个散点拟合的平面，那么直线与每一平面相交的点，即为每一层的中心坐标[1,2]。
问题2，分析该塔倾斜，弯曲，扭曲等变形情况。
首先运用MATLAB 软件画出每一年的俯视图，即各年的平面图，可以看出四年的古塔是倾斜还是弯曲或是扭曲，建立相应的数学模型。
问题3，分析该塔的变形趋势。
首先建立带季节项的AR 自回归模型，运用问题2中所求的结果作为自变量，代入到模型中，得出古塔变形的趋势。
2 基本假设1. 观测的数据准确；2. 以古塔的地面为水平面；3. 假设人在观测时是围绕塔的中心进行八个不同的方面进行大量的测量；4. 两点的距离作到小数点后百分位即为等长，后面忽略；5. 不考虑异常点；3 符号说明0:x 已知每个点的横坐标； 0:y 已知每个点的纵坐标； 0:z 已知每个点的竖坐标；,,,:a b c d 直线方程的待估系数；,,:m n p 空间直线的对应,,x y z 的方向向量；,a b θθ：分别是边12a a -和边12b b -由其原始位置旋转的角度；W T : 变化率；4 模型的建立与求解4.1 问题1的求解首先根据已知每一年数据中的每一层的8个散点坐标(,,)i j k x y z 运用MATLAB 软件，得到如下每年观测数据的模拟图。
5625645665685705205251986年观测数据模拟图图1 1986年观测数据模拟图5625645665685705205251996年数据观测数据模拟图图2 1996年观测数据模拟图5625645665685705725185205225245262009年观测数据模拟图图3 2009年观测数据模拟图5625645665685705725185205225245262011年观测数据模拟图图4 2011年观测数据模拟图由图1到图4的模拟图可以直观地看到，四次测量古塔的显著变化，相同坐标上塔的上部越来越小，把图2和图3叠加到一个图。
5655705205255300204060古塔扭曲变化对比图图5 古塔扭曲变化对比图图5中，红线代表1996年的塔图，黄线代表2009年的塔图。
两个塔图叠加在一起对比更加显明，而在第五层出现扭曲，从第五层往上越来越小，到2011年成了一个点的塔尖。
经过以上的图形分析，本文以空间解析几何为背景，运用最小二乘拟合理论给出空间直线与平面的拟合。
下面建立空间内曲线的最小二乘问题，以空间直线为例研究曲线拟合的方法。
已知空间直线的标准方程000x x y y z z X Y Z ---== 整理得直线射影式方程0000z-z +x =az+b y z-z +y =cz+d X x ZY Z⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（）（），其中a X Z =;00b x -z X Z =c Y Z =;00d y -z Y Z =； 这样直线可以看作是用这 2 个方程表示的平面相交的直线，所以可以分别对 2 个方程进行数据拟合。
设i i ˆˆx=az +b 表示按拟合方程x=az+b 求得的近似值。
一般地，它不同于实测值i x 两者之差m 2i i i=1Q [x -(az )]X b =+∑，同理可得m2i i i=1Q [-(cz )]X y d =+∑当Q 取最小值时,,,a b c d 的值即为方程的系数，即满足下列方程时Q 值最小Q Q Q Q 0,0,0,0y y X Xa b c d∂∂∂∂====∂∂∂∂ 有111122111111,m m m m i i i i i i i i m m m m m mi i i i i i i i i i i i i i bN a z x dN c z y b z a z x z d z c z y z ==========⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪+=+=⎪⎪⎩⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 令 12111m z z z F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(1) 方程组(1)可写成'',FF A FX FF B FY ==其中''''[3.4]11[];[x ...x ];[];[...].m m A a b X B c d Y y y ==== 根据m 组数据点解方程组就可以求得,,,a b c d 的值。
566.8567567.2522.4522.6522.81996年古塔各层中心点拟合直线分析图图6 1996年古塔各层中心点拟合直线分析图566.8567567.2522.4522.6522.82009年古塔各层中心点拟合函数分析图图7 2009年古塔各层中心点拟合函数分析图从图6，图7中可以得出：由1996年古塔各层中心点拟合直线与2009年古塔各层中心点拟合直线，方程为，由一次方程的系数k 看出1996年为0.0105,2009年为0.0112，可以得出古塔的中心发生了一次倾斜，且2009年比1986年倾斜角度变大。
运用附件中MATLAB 的程序经过调试，得到如下结果：1986年0.0104566.64110.0066522.7125x z y z =+⎧⎨=-+⎩1996年0.0105566.64110.0067522.7124x z y z =+⎧⎨=-+⎩2009年0.0112566.66430.0084522.7436x z y z =+⎧⎨=-+⎩2011年0.0112566.66420.0084522.7436x z y z =+⎧⎨=-+⎩接下来运用最小二乘法拟合求空间平面方程： 设空间平面方程为z ax by c =++，其中,,a b c 为待估参数。
设古塔的每层8个点，设点坐标{(,,),1,2,,8}i i i x y z i =，考虑到数据在,,x y z 三个方向均存在误差，得矩阵形式：()L A E x L E ∧+=+即1122,3881122,3881111,11n x y x y n x y v v x y v v x y A E v x y v v ∧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
12,1812,13,1,,n z z L n n z v z a v z x b L E c z v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦通常采用矩阵奇异值分解解算待定参数的整体最小二乘解。
12118(1)[]0T T m m A L U U V U V +-+∑⎡⎤⎡⎤==∑⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中1112111112121222111[],,[]0Tmm m m V V V U U U V V ∑⎡⎤==∑=⎢⎥∑⎣⎦则参数的整体最小二乘估计为：11222TLS x V V -=-残差矩阵为：1221222[][]TT L E E U V V ∧=∑[5,6]。