完全平方公式和平方差公式ppt课件

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平方差公式课件PPT

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等式，用于表示两个数的平方差与这两个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围和条件
平方差公式的代数表示和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$

平方差公式与完全平方公式PPT教学课件

宋陵文官石像
宋陵武将石像
宋朝设置“中书门下”
元世祖忽必烈
忽必烈建立元朝后，废除三省，实行一省制，只设中书省。中书省的长官为左、右丞相和平章政事，是元代的宰相。六部也归入中书省。
丞相制度的废除
朱元璋
朱元璋明孝陵神道石兽（位于南京）
南京皇城午朝门
南京皇城午朝门，即午门，是传达圣旨的地方，也是对大臣施“廷杖”的地方。原有城楼已毁。
自秦始置丞相，不旋踵而亡。汉唐宋因之，虽有贤相，然其间所用者，多有小人，专权乱政。今我朝罢丞相，设五府、六部、都察院、通政司、大理寺等衙门，分理天下庶务，彼此颉颃，不敢相压。事皆朝廷总之，所以稳当。以后子孙做皇帝时，并不许立丞相。
——《皇明祖训》
明朝中央集权表
明朝之中央机构分布图
明朝的内阁与清朝的军机处
总面积=a2+
ab+ab+b2.
法二求
a
b
图1—6
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋完全平方公式的证明
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2 ;
=( 4a2 – 12ab + 9b2 )
例2、利用乘法公式计算：
(1) ( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
解：( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )

9.4-2完全平方公式(教学课件)

第一数被平方时未添括号; 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2 少乘了一个2 第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2 ; 应改为: (2a −2• 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 少了第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 丢了一项) 应改为: (2a 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数平方未添括号未添括号, 第一数与第二数乘积的2 错了符号; 第一数与第二数乘积的2倍错了符号; 这一项错了符号错了符号; 第二数的平方这一项错了符号; 应改为: −2• 应改为: (−a−1)2＝(−a)2−2•(−a )•1+12;
实践与探索计算 (1) (x+y)2 =(x+y) (x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2 (3) (2m-n)2 =(2m-n)(2m-n) =4m2-2mn-2mn+n2 =4m2-4mn+n2 你能发现什么吗? 你能发现什么吗
(2) (4+y)2 = (4+y)(4+y) = 16+4y+4y +y2 = 16+8y +y2 (4) (2a-3)2 = (2a-3)(2a-3) = 4a2-6a-6a+9 = 4a2-12a+9
你能说明(a+b) 的正确性吗? 你能说明(a+b)2=a2+2ab+b2的正确性吗? 解: (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 ∴ (a+b)2=a2+2ab+b2

完全平方公式与平方差公式-----完全平方公式课件数学沪科版七年级下册

=2002-2×200×3+32
=10000+400+4
=40 000-1 200+9
=10 404.
=38 809.
例5
计算：(x + y + z)2.
解：原式 = [x + (y + z)]2
= x2 + 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2
=16x²+20xy+20xy+25y²
=16x²+40xy+25y².
−
1
)(
2
− )
1
= ²
4
−
1

2
1

2
1
= ²
4
− + ².
−
²
+
例2.若x2+(m-3)x+16是完全平方式,则m的值为( C )
A.11或-7
B.13或-7
C.11或-5
D.13或-5
解析：x2+(m-3)x+16可以写成x2+(m-3)x+4²或x2+(m-3)x+(-4)²的情势.
(a - b)² = a² - 2 a b + b²
=9a²-12ab+4b².
例1 用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
解：(1)(2x-3)(2x-3)
=4x²-6x-6x+9
=4x²-12x+9.
(2)(4x+5y)2;

沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时,完全平方公式)课件

+(

=
)2
（4）原式=（2a）2-2·2a·5+52

2
y +y+
=4a2-20a+25

注意每一项系数
例2.运用完全平方公式计算:
（1）(-2s+t)2
解:
（2） (-2x-1)2
（1）(-2s+t)2= (t-2s)²
= t² -2·2s·t +(2s)2
=t2-4st+4s2
=(2x+1)2
2
2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
( a b) a 2ab b
2
2
2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不
丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
巩固练习
（1） ( 2a
3)
2
（2）
1
(3
t)2
3
（3）
(b 3)
思考：（1）完全平方展开有几项？
2
（4）
( 2 a 3 y ) 2
（5）
(0.5m 0.2n) 2
（6）
(1 3x)(3x 1)
（2）每一项的符号特征？
相信你能行
课堂练习：
1、计算：
(1)(a
2
1 2
沪科版数学七年级下
8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时
完全平方公式
知识回顾
1、多项式乘以多项式的根据是什么？
——分配率
2、如何进行多项式与多项式乘法运算？
(m+b)(n+a)= mn
+ ma + bn + ba

完全平方公式与平方差公式(第1课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)

解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
二完全平方公式的运用
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
完全平方公式：
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2
(a－b)2=a2－ 2ab + b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍.
公式的结构特征：
首平方，尾平方，首尾二倍在中央，符号看前方.
【例2】用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p)2；
（2） (2x－7y)2；（3） (－2a－5)2.
用语言叙述为：两项和的平方,等于这两个项的平方和加上它们的积的2倍.
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
议一议
【例1】计算：(a－b)2．
解：(a－b)2 ＝ [a+(－b)]2
＝ a 2 + 2 a (－b) + (－b) 2 ＝a2－ 2ab＋ b2.
(a－b)2=a2－2ab＋b2
也称为完全平方公式.
公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
想一想: 你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗?ba ab 图1b ab a 图2
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab

平方差公式和完全平方公式复习和拓展08431ppt课件

.
3.在横线上添上适当的代数式，使等式成立
(1)a2 b2 (ab)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (ab)2 _2_ab___ (3)(ab)2 (ab)2 _4_a_b____
.
4.公式变形的应用：(a+b)2 = a2+b2+2ab (a-b)2 = a2+b2-2ab
（ 1）已知 a b 1, ab 2,
边成立。
(1) (2)
((4 xm _2_ b12a__ 2 _2 )_1x2)m 6 2b a x4m (2__ ba14 __ 2 __)_
(3)
1
(6 _a _0_.5b)2
a 326a6b_14 b_2 _
_
(4) (7xy)24x92(1_4x_ y _y2 _)
.
4、计算
1997 1992719981996
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n).
m2 .
n2
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍乘积在中央
.
完全平方公式的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
1 1 a a2
a2
2 1 a2
a12 a
a2
2a
11 aa2
a2
1 2a2
.
能力提高
5. x
1 x
m, 则x 2

1 x2
_m__2_;2

【数学课件】平方差公式与完全平方公式(一)

(a b)(a b) a2 b2
练一练 (a b)(a b) a2 b2
阅读算式，按要求填写下面的表格
算式
与平方差公式中a 对应的项
与平方差
公式中b
对应的项
写成“a2-b2”
的形式
(x+5)(x-5)
x
(2-3x)(2+3x)
2
5
x2 52
3x 22 3x2
(2) (3 x)(3 x) 9 x2 32 x2
(3) (2m n)(2m n) 4m2 n2
(2m)2 n2
比较等号两边的式子，等号的左边有什么特征？等号的右边有什么特征？
大胆猜想
(a b)(a b) __a_2___b__2 __ 平
方
差
两数和两数差两数平方差
公式
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式
平方差公式的特征：（1）等号左边是两个数(字母)的和乘以这两个数(字母)的差. （2）等号右边是这两个数(字母)的平方差.
快速计算: 例2 用平方差公式计算: (1) 103×97 =(100+3)(100- 3)=100²- 3²
=10000-9=9991
(2)59.8×60.2=(60- 0.2)(60+0.2)
=60²- 0.2² =3600-0.04 =3599.96
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能

沪科版数学七下8.3完全平方公式与平方差公式(共2课时)精品课件

(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = m2 + 4m + 4 . (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = p2－2p + 1 .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = m2－4m + 4 .
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？ (a＋b)2 = a2 + 2ab + b2 .
完全平方公式的运用
思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？
(1) 1022；
(2) 992.
解：原式 = (100 + 2)2 解：原式 = (100－1)2
= 10000 + 400 + 4
= 10000 － 200 + 1
= 10404.
= 9801.
例4 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
b
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 a
(a + bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 = a2 + 2ab + b2
a
新课讲授
完全平方公式计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = p2 + 2p + 1 .
沪科版数学七下课件
第8章整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
(共2课时)
沪科版数学七下课件
第1课时完全平方公式

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3 完全平方公式推论与证明
3 完全平方公式推论与证明
3 完全平方公式推论与证明（公式特点）
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
积为二次三项式。
另一项是两数的两倍，且与乘式中间的符号相连
积中两项为两数的平方和
a、b可代表数字、单项式、多项式
3 平方差公式推论与证明
同样一块边长为a试验田、如果一边长增加b，一边长减少b，可否表示出其面积？
S总=（a+b）（a-b） =a2-ab+ab-b2 =a2-b2
4 应用总结
解题步骤分3步
准确计算
代准数式
记清公式
5 总结回顾
1 2 3 4 5
完全平方公式与平方差公式的推导完全平方公式与平方差公式的差异两公式的结果差异
2 例题导入
2 例题导入
一边长为a米的正方形试验田，因需要将其边长增加b米。形成四块试验田，以种植不同的新品种。问现在正方形试验田的总面积是多少？能否用不同的形式表示出其总面积？
2 例题导入
直接求：
S总=(a+b)2
猜想？
(a-b)2=a2-2ab+b2
间接求：
S总=a2+ab+ab+b2 结论：
(a+b)2=S总=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
3 推论与证明
3 完全平方公式推论与证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
能用多项式的乘法法则证明其成立吗？
推证 (a+b)2=（a+b）（a+b）
=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2=（a-b）（a-b） =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
平方差和完全平方公式
参评教师：唐烨宇
CONTENTS
1 课题简介
2 例题引入
3
推导及证明
4 应用
5 总结回顾
1 课题简介
1 课题简介
情感目标
渗透建模识、解决问题的能力和创新能力
过程与方法 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力； 2．重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力；
计算过程中各项雨露均沾，不抛弃不忘记
相亲相爱一家人——整体平方注意括号的使用
家庭作业：点拨训练第一课时
感谢聆听
参评教师：唐烨宇
知识与技能
1．理解公式的推导过程，了解公式的几何背景 2．会应用公式进行简单的计算
1 课题简介
1．体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质； 2．会运用公式进行简单的计算
1．完全平方公式的推导及其几何解释； 2．完全平方公式结构特点及其应用； 3．从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平方．