简谐振动与频谱分析

考虑傅里叶级数前三项的影响
用复数形式表示傅里叶级数
a0 x(t ) (an cosn1t bn sin n1t ) 2 n1 1 in1t in1t cos n t e e 1 根据欧拉公式： 2 i in1t sin n1t e e in1t 2 a0 an ibn in1t an ibn in1t x(t ) e e 2 n1 2 2 n 1
x A sin t B sin 2t
有阻尼的衰减振动 矩形脉冲函数
x(t ) Ae
nt
sin(d t )
0 t t0 t 取其余值
x0 x(t ) 0
非周期的一般振动不能应用傅里叶级数来作谱分析
一个一般函数可以用傅里叶积分表示，只要 它是分段单调连续，而且是绝对可积的，即：



x(t ) dt 收敛
非周期振动函数
1 x(t ) lim T 2
n
X

n ( n ) e
i nt

Xn
T 2
T 2
xT (t )eint dt
当 T 时， d ,
n , 得到:
X ( ) x(t )ei t dt
第一章 简谐振动与频谱分析
振动理论与测试技术
80学时
讲课教师
殷祥超
中国矿业大学理学院 力学与工程科学系
二00三年八月
第一章 简谐振动与频谱分析
§1.1简谐振动的表示方法 一、简谐振动的三角函数表示法
x(t ) A sin( t )
1 T f
2
2 f
简谐函数
特点：（1）简谐振动是等幅振动。（2）是最简单的周期振动。


一个非周期振动可以表示成无穷简谐振动的叠 加，这些简谐振动的频率不是离散分布，而是连 续分布。
X ( ) 是 的复数函数 X ( ) 也称为 x(t ) 的频谱函数。
例1-3 求图示单个矩形脉冲的傅里叶积分，并作出频谱图。
解： 0 x(t ) x0 0 t t1 2
n1t1 sin x0 in1t 2 x(t ) e dt n n
矩形脉冲傅里叶谱图
相邻两条谱线之间的距离为 1 2 T ，如果脉冲宽度 不变，而周期 T 变得越来越大，谱线就会变得越来越密集。
§1.3 非周期振动的频谱分析方法
两个频率比为无理数的简谐振动进行合成，其 合成的结果就是一种非周期的一般振动。
矩形波的傅氏级数为:
P(t ) bn sin n1t
n 1
1 sin n1t n1,3,5 n
1 1 (sin 1t sin 31t sin 51t ) 3 5 4 P0
4 P0

矩形波的振幅频谱图
4 P0 Pn n
基频的谐波分量 占主要地位，它的幅 值最大。 在基频分量上迭 加上三阶谐波分量得 到的波形已逐渐接近 矩形波。 若再迭加上五阶 谐波分量，已近似 于矩形波。 所以，用有限项谐 波分量的迭加来近似 周期振动，这将使分 析简化。

1 x(t ) 2



X ( )e d
i t
傅立叶积分
傅立叶变换
x(t ) F [ X ( )]
-1
X ( ) F[ x(t )]
傅立叶逆变换
若用频率
f
代替
，则表示为：
傅立叶变换对
x(t ) X ( f )ei 2 f t df


X ( f ) x(t )ei 2 f t dt
傅 立 叶 系 数
a0 x(t ) cn sin(n1t n ) 2 n1
cn a b ,
2 n 2 n
an n arctg bn
幅频谱图
平均值；
a0 2 表示周期振动的
谐振动振幅；
cn 是频率为 n1的简
为相位角。
相频谱图
n
频谱分析
频域分析
周期函数的频谱图
矩形脉冲
解： X 1 n T

t1 2
t1 2
x0 e
in1t
dt
t1 2
因为 T
2
1
x0 1 in1t Xn e T in1
n0时
1 X0 T
x0 n1t1 sin t1 2 n 2

t1 2 t1
x 0 t1 x0 n1t1 x0 dt lim sin 2 n 0 n T 2
复数旋转矢量
A A cos( t ) iA sin( t )
i 1
A F Aei
复振幅
Ae
i ( t )
Ae e
i i t
AF e
i t
x Im[A] Im[AFei t ] Im[Aei ei t ]
Im[Ae
例1-1已知矩形波如图所示，试作出谐波分析。
解：图示矩形波为周期性方波
P0 P(t ) P 0
计算傅氏系数：
T 0t 2 T t T 2
矩形波
T T 2 2 a0 P0 dt T P0 dt 0 T 0 2
T T 2 2 an P0 cosn1t dt T P0 cosn1t dt 0 T0 2
x(t ) x(t nT )
二、简谐振动的矢量表示法
旋转矢量
旋转矢量
任意简谐振动可以用一个旋转矢量A来表示。 旋转矢量A在铅垂轴上的投影表示简谐振动，旋转矢 量A的模就是简谐振动的振幅，它的旋转角速度就是简谐 振动的圆频率。 速度、加速度也可以用旋转矢量表示。
三、简谐振动的复数表示法
复数旋转矢量
t1 t t 1 2 2 t1 t 2
x(t )的频谱函数为：
X ( ) x(t )e


i t

2 x0

sin
t1
2
dt
t1 2 t 1 2
x 0 e i t dt
单个矩形脉冲
x(t ) 的傅立叶积分为： 1 2 x0 t1 i t x(t ) sin e d 2 2
计算出频谱函数的值为： X ( )
2 x0

sin
t1
2
t1 x0
sin
t1
2Байду номын сангаас
t1
2
单个矩形脉冲的频谱图
非周期振动频谱图的谱线是连续分布而不是离散分布。
矩形脉冲傅里叶谱图
相邻两条谱线之间的距离为 1 2 T ，如果脉冲宽度 不变，而周期T变得越来越大，谱线就会变得越来越密集。
an是n的偶函数，bn是n的奇函数，即：
an an
bn bn
例1-2 图示的矩形脉冲在一个周期内可以表示为：
0 x(t ) x0 0 T t1 t 其中T为周期，t1为脉冲 2 2 宽度。求x(t)的复数形式的 t1 t1 t 傅里叶级数展开式，并画出 2 2 t1 T t1=T/3时的频谱图。 t 2 2
Ae
2
三种表示方法各有特点： 三角函数 表示法形式简单，比较直观； 矢量表示法 几何意义十分明确； 复数表示法 便于分析计算。
§1.2周期振动的频谱分析方法
x(t ) x(t nT ) n 1,2,3
a0 x(t ) (an cosn1t bn sin n1t ) 2 n1 2 T a0 x(t )dt 基频： T 2 2 T an x(t ) cos n1tdt 1 T T 2 T bn x(t ) sin n1tdt T 可取 0 ，或 T / 2
作业：
1-1，1-3，1-4，1-6，1-7，1-8
i ( t )
] A sin( t )
以后若不加说明，即表示省略虚部符号 Im ，即
x AF e
i t
Ae
i t
i t
i i t
Ae
i ( t )
i AF e x
2
i Ae
i ( t )
i ( t )
AF e x