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浙江省温州市乐清国际外国语学校高一数学下学期期末考试试卷(含解析)

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2014-2015学年浙江省温州市乐清国际外国语学校高一（下）期末数学试卷一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f（u）=u2+1，g（v）=v2+1B．f（x）=|x|，C．，g（x）=D．f（x）=×，g（x）=2．设全集为R，集合A={x|}，B={x|x2＞4}，则（C R B）∩A=( )A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}3．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是( )A．B．C．D．4．设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N为( )A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）5．已知集合M={1，2，3，4}，N={2，3，4}，则( )A．N∈MB．N⊆MC．N⊇MD．N=M6．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是( )A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，]D．C．{1，2}D．{0，1，2}9．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为( ) A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}10．已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则t的取值范围为( )A．B．C．D．二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11．若幂函数f（x）的图象过点，则f（9）=__________．12．在△ABC中，，则实数t的值为__________．13．已知，则的值为__________．14．若方程有3个不同实数解，则b的取值范围为__________．15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点（2，﹣），则函数f（x）=__________．三、解答题（75分）16．求过直线2x+3y+5=O和直线2x+5y+7=0的交点，且与直线x+3y=0平行的直线的方程，并求这两条平行线间的距离．17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求S n．18．（14分）已知数列{a n}的首项a1=，，其中n∈N+．（Ⅰ）求证：数列{}为等比数列；（Ⅱ）记S n=，若S n＜100，求最大的正整数n．19．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量=（4，﹣1），=（cos2，cos2A），且．（1）求角A的大小；（2）若a=，试判断b×c取得最大值时△ABC形状．21．（13分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．2014-2015学年浙江省温州市乐清国际外国语学校高一（下）期末数学试卷一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f（u）=u2+1，g（v）=v2+1B．f（x）=|x|，C．，g（x）=D．f（x）=×，g（x）=考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：常规题型．分析：根据判断两函数相同的方法：定义域和对应关系相同．解答：解：B选项，两函数的定义域分别为R和∪故选C点评：此题属于以其他不等式与一元二次不等式的解法为平台，考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是( )A．B．C．D．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先此类题目考虑用排除法，根据周期可以排除A，根据对称性可排除B，根据对称轴取最值排除D．即可得到答案C正确．解答：解：首先由最小正周期是π，可以排除A；又因为，不是最值，可以排除排除D；B中，当x∈时，0≤2x+≤π，单调递减，所以排除B；因此C正确．故选C．点评：此题主要考查函数的周期性，对称轴，单调区间的应用，在三角函数的学习中，对于三角函数的性质非常重要，要注意记忆和理解，在应用中也极其广泛，值得注意．4．设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N为( )A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）考点：交集及其运算；二次函数的性质．专题：集合．分析：由f（x）与g（x）解析式，根据M与N中的不等式分别求出x的范围，确定出M与N，找出两集合的交集即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g （x）＜2}，∴M={x|g（x）＞3或g（x）＜1}={x|3x﹣2＞3或3x﹣2＜1}={x|x＞log35或x＜1}，N={x|3x ﹣2＜2}={x|3x＜4}={x|x＜log34}，∴M∩N={x|x＞log35或x＜1}∩{x|x＜log34}={x|x＜1}．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，以及对数、指数的运算性质，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．已知集合M={1，2，3，4}，N={2，3，4}，则( )A．N∈MB．N⊆MC．N⊇MD．N=M考点：集合的包含关系判断及应用．专题：证明题．分析：由子集的定义即可判断出答案．解答：解：∵2∈M，3∈M，4∈M，∴{2，3，4}⊆M，即N⊆M．故选B．点评：正确理解集合之间的关系是解题的关键．6．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是( )A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，]D．．故选：C．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．7．函数是( )A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数解析式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出函数的最小正周期，根据正弦函数为奇函数，即可得到正确的选项．解答：解：y=﹣sin2xcos2x=﹣sin4x，∵ω=4，∴T==，又正弦函数为奇函数，则函数为周期是的奇函数．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦，正弦函数的奇偶性，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．8．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，，则A∩B=( )A．（0，2）B．C．{1，2}D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出两集合中其他不等式的解集，确定出两集合，然后求出两集合的交集即可．解答：解：由集合A中的不等式|x|≤2，解得：﹣2≤x≤2，所以集合A=，由集合B中的不等式≤2，解得：0≤x≤4，又x∈Z，所以集合B={0，1，2，3，4}，则A∩B={0，1，2}．故选D点评：解得本题的关键是确定出两集合，方法是求出两集合中其他不等式的解集．学生容易出错的地方是忽略负数没有平方根这个条件，没有找全集合B中的元素．9．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为( ) A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角差的正弦函数化简函数f（x）=sinx﹣cosx为一个角的一个三角函数的形式，根据f（x）≥1，求出x的范围即可．解答：解：函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），因为f（x）≥1，所以2sin（x﹣）≥1，所以，所以f（x）≥1，则x的取值范围为：{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}故选：B点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型．10．已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则t的取值范围为( )A．B．C．D．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：法1：利用排除法进行判断，法2：根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论．解答：解：法一：排除法．当t=0时，结论成立，排除C；当t=﹣1时，f（0）不是最小值，排除A、B，选D．法二：直接法．由于当x＞0时，f（x）=x++t在x=1时取得最小值为2+t，由题意当x≤0时，f（x）=（x﹣t）2，若t≥0，此时最小值为f（0）=t2，故t2≤t+2，即t2﹣t﹣2≤0，解得﹣1≤t≤2，此时0≤t≤2，若t＜0，则f（t）＜f（0），条件不成立，选D．点评：本题主要考查函数最值的应用，根据分段函数的性质，结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11．若幂函数f（x）的图象过点，则f（9）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用幂函数的定义，用待定系数法设出f（x）的解析式，即可求出f（x），将x=9代入即可得．解答：解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（），∴，解得．∴f（x）=，∴f（9）==，故答案为：．点评：本题考察了幂函数的概念、解析式，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．属于基础题．12．在△ABC中，，则实数t的值为5．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：根据向量坐标的减法运算，得到向量的坐标，再结合向量与互相垂直，列出关于t的方程并解之，即得t的值．解答：解：∵∴=又∵∠C=90°，即∴=2（2﹣t）+3×2=0，解之得t=5故答案为：5点评：本题在两个向量互相垂直的情况下，求未知数t的值，着重考查了向量的坐标运算和两个向量垂直的充要条件的知识，属于基础题．13．已知，则的值为．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解答：解：由于已知，则=﹣cos（α﹣+）=﹣cos（α+）=，故答案为：．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．14．若方程有3个不同实数解，则b的取值范围为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：构造f（x）=，通过函数的导数求出函数的极值，然后利用三个不等实根，可得b的取值范围．解答：解：假设f（x）=，则f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）∴函数在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上单调增，在（﹣1，3）上单调减∴f（﹣1）=为极大值，f（3）=﹣9为极小值所以即﹣9＜b＜时，函数f（x）=与函数f（x）=b有三个交点，方程有3个不等实根故答案为：．点评：本题以方程为载体，考查方程根问题，考查函数与方程的联系，解题的关键是构造函数，利用导数求函数的极值．15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点（2，﹣），则函数f（x）=f（x）=sin（x+）．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由题意可得=2，∴ω=，函数f（x）=sin（x+φ）．再把点（2，﹣）代入函数的解析式可得sin（π+φ）=﹣sinφ=﹣，∴sinφ=．再由，﹣≤φ≤，可得φ=，∴f（x）=sin（x+），故答案为：f（x）=sin（x+）．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于中档题．三、解答题（75分）16．求过直线2x+3y+5=O和直线2x+5y+7=0的交点，且与直线x+3y=0平行的直线的方程，并求这两条平行线间的距离．考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：联解直线方程，得两条直线交于点（﹣1，﹣1），再设所求平行线x+3y+c=0，代入点的坐标解出c=4，即可求出平行直线的方程．再利用平行线间的距离公式，即可算出这两条平行线间的距离．解答：解：由，联解得x=y=﹣1所以两条直线的交点为（﹣1，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分设所求平行线x+3y+c=0，∵点（﹣1，﹣1）在直线上，∴﹣1﹣3+c=0，可得c=4，∴所求直线的方程为x+3y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分两条平行线间的距离为d==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分点评：本题求经过两条直线的交点，并且与已知直线平行的直线方程，着重考查了直线的方程、直线的位置关系等知识，属于基础题．17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求S n．考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，从而．（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，从而．解答：解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，从而（Ⅱ）由已知可得故a1=4从而点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．18．（14分）已知数列{a n}的首项a1=，，其中n∈N+．（Ⅰ）求证：数列{}为等比数列；（Ⅱ）记S n=，若S n＜100，求最大的正整数n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用数列递推式，变形可得，从而可证数列{}为等比数列；（Ⅱ）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n．解答：（Ⅰ）证明：∵，∴，∵，∴∈N+），∴数列{}为等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可求得，∴=，若S n＜100，则n+1﹣，∴n max=99．点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．19．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．解答：解：（I）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）∴设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于找到线面之间的平行、垂直关系，并且对建立坐标系也有一定的帮助，利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法．20．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量=（4，﹣1），=（cos2，cos2A），且．（1）求角A的大小；（2）若a=，试判断b×c取得最大值时△ABC形状．考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题；向量法．分析：（1）利用已知计算，然后令它等于，可求A的值．（2）利用余弦定理，求得bc的关系，再用基本不等式和最大值，判定三角形的形状．解答：解：（1）由==﹣2cos2A+2cosA+3又因为．所以解得∵＜A＜π，∴（2）在△ABC中a2=b2+c2﹣2bccosA且a=，∴（）2=b2+c2﹣bc．∵b2+c2≥2b c，∴3≥2bc﹣bc即bc≤3当且仅当 b=c=时，bc取得最大值，又由（1）知A=60°∴B=C=60°故 bc取得最大值时，△ABC为等边三角形．点评：本题考查平面向量数量积，余弦定理，三角函数的基本关系式，是中档题．21．（13分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．考点：圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．解答：解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，即x2﹣y2=2.=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．点评：此题主要考查圆的标准方程的求法，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．。

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浙江省温州市高一下学期数学期末考试试卷

浙江省温州市高一下学期数学期末考试试卷

浙江省温州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分）直线x=﹣1的倾斜角为________．2. （1分） (2016高一下·安徽期末) 若不等式x2+2ax+1≥0对于一切x∈（0， ]成立，则a的最小值是________．3. （1分） (2019高一下·广东期中) 三棱锥的底面的顶点在球的面上，顶点为球心，，球心到的距离为，则球的体积为________.4. （1分） (2019高一下·梅河口月考) 现给出以下四个命题：①已知中，角A，B，C的对边为a，b，c，当，，时，满足条件的三角形共有1个；②已知中，角A，B，C的对边为a，b，c，若三角形，这个三角形的最大角是；③设是两条不同的直线，，是两个不同的平面,若，，则；④设是两条不同的直线，，是两个不同的平面,若，，则其中正确的序号是________（写出所有正确说法的序号）.5. （2分） (2019高一下·宁波期末) 若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线l的方程是________，此时的弦长为________6. （1分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝12，则该数列的前4项和为________．7. （1分）(2019·恩施模拟) 在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的周长为________．8. （2分） (2016高三上·金华期中) 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形则此三棱锥的体积为：________ cm3 ，此三棱锥的外接球表面积为：________ cm2 ．9. （1分） (2017高三上·山西开学考) 设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为________．10. （1分） (2020高二上·舟山期末) 已知圆C：，过点的直线l交圆于A、B两点，当时，l所在的直线方程是________11. （1分） (2019高二下·上海期末) 在长方体中，，，，那么顶点到平面的距离为________．12. （1分） (2016高三上·无锡期中) 已知正实数a，b 满足a+3b=7，则 + 的最小值为________．13. （1分）一条光线经点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从B反射到直线l：x﹣y+3=0上的一点C，后又从C点反射回A点，求直线BC的方程________．14. （1分） (2017高一下·安平期末) 若数列{an}满足，则a2017=________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2019高三上·广东月考) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足 .（1）求角B的大小；（2）若，，求的面积.16. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥底面ABCD，且∠ABC= ．（1）求证：B1C1∥平面BCD1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面BCD1 ．17. （10分） (2019高三上·天津月考) 已知数列的前项和是，且 .数列是公差不等于的等差数列，且满足：，，，成等比数列.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （5分） (2017高二下·陕西期中) 求直线l1：（t为参数）和直线l2：x﹣y﹣2 =0的交点P的坐标，及点P与Q（1，﹣5）的距离．19. （10分）(2018·长宁模拟) 一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽．（1）设，试将表示为的函数；（2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义．20. （15分） (2017高二上·中山月考) 已知为数列的前项和且满足，在数列中满足，（）（1）求数列的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列的通项公式为，设，令为的前项的和，求．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共60分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。

浙江省温州市部分民办学校高一下学期期末联考试题(数学).doc

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yO6π 2 512π第二学期温州市部分民办学校期末联考高一数学试题卷（满分1考试时间：100分钟）第I 卷(共40分)一、选择题（本题共10小题，每题4分，共计40分） 1.若0240的终边上有一点),,4(a P -，则a 的值是（ ）A 34B 34-C 34±D 3 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 3、若21,e e 是夹角为60°的两个单位向量,212123,2e e e e +-=+= 则=⋅( )A 、2B 、7C 、72-D 、27-4.已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于( ) A. 17 B. 7 C. 17- D. 7-5.等比数列{}n a 中，已知29-=a ，则此数列前17项之积为( ).A 162 .B 162- .C 172 .D 172-6.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><( ).A.1()2sin()26f x x π=+B.1()2sin()26f x x π=-C. ()2sin(2)6f x x π=+D. ()2sin(2)6f x x π=-7．已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为 （ ） A ．2 B. 0 C. 21D. －28、在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围 （ ）（A ）（B ）)2 （C ） ()0,2 （D ）)29、关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ≥－1D ． a ＞0或－1＜a ＜010.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 ( )（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱第II 卷（非选择题 共80分）二、填空题：（本题共7小题，每题4分，共计28分） 11.5sin()6-π= . 12．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =__________ 13. 若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = . 14、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于__________15、如图，函数y=2sin(x π+ϕ),x ∈R,(其中0≤ϕ≤2π)的图 象与y 轴交于点（0，1）. 设P 是图象上的最高点，M 、 N 是图象与x 轴的交点， PM ⋅=__________. 16．111(2)(4)(2)242n n ++++++＝ ． 17.若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤；≤； ③ 222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥三、解答题：（本题共4小题，共计52分。

2022-2023学年浙江省温州市高一(下)期末数学试卷(A卷)【答案版】

2022-2023学年浙江省温州市高一(下)期末数学试卷(A卷)【答案版】

2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z ∈C ，i 为虚数单位，若z •i ＝1﹣i ，则z ＝（ ） A ．1﹣iB ．﹣1﹣iC ．﹣1+iD ．i2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，A ＝45°，B ＝60°，则a ＝（ ） A ．2√63B ．2C ．2√2D ．43．直线a ，b 互相平行的一个充分条件是（ ） A ．a ，b 都平行于同一个平面B ．a ，b 与同一个平面所成角相等C ．a ，b 都垂直于同一个平面D ．a 平行于b 所在平面4．在四边形ABCD 中，已知OA →+OC →=OB →+OD →，则四边形ABCD 为（ ） A ．矩形 B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形5．某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．下列正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则能满足AB ∥平面MNP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A ＝“第二次摸出的球是红球”，事件B ＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C ＝“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=25，则下列结论中错误的是（ ） A ．P(B)=25B ．P （C ）＝1﹣P （A ） C ．P(A ∪B)=45D ．P(A ∩B)=1108．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝6，AD ＝8，E 为棱AD 上一点，且AE ＝6，平面A 1BE 上一动点Q 满足AQ →⋅EQ →=0，设P 是该长方体外接球上一点，则P ，Q 两点间距离的最大值是（ ）A ．√34+2√6B ．√34+√22C ．√34+√11D ．√34+√6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知复数z ，其共轭复数为z ，下列结论正确的是（ ） A ．z ⋅z =|z|2B ．z 2=|z|2C ．z +z =0D ．|z|+|z|≥|z +z|10．国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（ ）A ．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差B ．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差C ．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数D ．郑州月平均气温的第一四分位数为1011．平面向量a →，b →，c →满足|a →|=1，|b →|=2，a →与b →夹角为π3，且|a →−c →|=|b →−c →|，则下列结论正确的是（ ）A ．|c →|的最小值为√32B ．|a →−c →|+|c →|的最小值为22C ．|a →−c →|+|b →−c →|的最大值为√3D ．c →⋅(b →−c →)的最大值为112．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝4，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将△ABF 沿直线BF 进行翻折，将△CDE 沿直线DE 进行翻折的过程中，则（ ）A ．直线AB 与直线CD 可能垂直 B ．直线AF 与CE 所成角可能为60°C ．直线AF 与平面CDE 可能垂直D ．平面ABF 与平面CDE 可能垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，由A ，B 两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M ＝“电路是通路”包含的样本点个数为 ．14．已知平面向量a →=(2，0)，b →=(1，1)，则b →=(1，1)在a →方向上的投影向量的模为 ． 15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为 ．16．如图，四边形ABCD 为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足AO ＝3OC ，AD 的中点为E ，BE ＝3，则筝形ABCD 的面积取到最大值时，AB 边长为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）关于x 的一元二次方程x 2+（a +1）x +4＝0（a ∈R ）有两个根x 1，x 2，其中x 1=1+√3i ． （1）求a 的值；（2）设x 1，x 2在复平面内所对应的点分别为A ，B ，求线段AB 的长度． 18．（12分）在菱形ABCD 中，AE →=13AD →，BF →=23BC →，记AB →=a →，AD →=b →． （1）用a →，b →表示EF →；（2）若BD →⋅EF →=AB →⋅DA →，求cos A 的值．19．（12分）如图，正方形ABCD 是圆柱OO 1的轴截面，EF 是圆柱的母线，圆柱OO 1的体积为16π． （1）求圆柱OO 1的表面积；（2）若∠ABF ＝30°，求点F 到平面BDE 的距离．20．（12分）现行国家标准GB 2762﹣2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg /kg ，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg /kg ），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，已知b cos C ﹣c cos B ＝2a ．（1）若c ＝a ，求B 的大小；（2）若c ≤2a ，过B 作AB 的垂线交AC 于D ，求BC⋅BD S的取值范围．22．（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3，AD ＝4，点E 是边AD 上的动点，沿BE 将△ABE 翻折至△A 'BE ，使二面角A '﹣BE ﹣C 为直二面角． （1）当AE ＝3时，求证：A 'B ⊥CE ；（2）当线段A 'C 的长度最小时，求二面角C ﹣A 'B ﹣E 的正弦值．2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z ∈C ，i 为虚数单位，若z •i ＝1﹣i ，则z ＝（ ） A ．1﹣iB ．﹣1﹣iC ．﹣1+iD ．i解：z =1−i i =−i+i 2−i 2=−1−i1=−1−i ．故选：B ．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，A ＝45°，B ＝60°，则a ＝（ ） A ．2√63B ．2C ．2√2D ．4解：因为b ＝2，A ＝45°，B ＝60°， 由正弦定理可得，a sinA=b sinB，则a =bsinA sinB =2×√22√32=2√63．故选：A ．3．直线a ，b 互相平行的一个充分条件是（ ） A ．a ，b 都平行于同一个平面 B ．a ，b 与同一个平面所成角相等 C ．a ，b 都垂直于同一个平面D ．a 平行于b 所在平面解：当a ，b 都平行于同一个平面时，两直线可能异面，A 错误； 当a ，b 与同一个平面所成角相等时，直线a ，b 可能相交，B 错误； 当a ，b 都垂直于同一个平面时，直线a ，b 一定平行，C 正确； 当a 平行于b 所在平面时，a ，b 也可能异面，D 错误． 故选：C ．4．在四边形ABCD 中，已知OA →+OC →=OB →+OD →，则四边形ABCD 为（ ） A ．矩形 B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形解：∵OA →+OC →=OB →+OD →， ∴OA →−OB →=OD →−OC →，∴BA →=CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形． 故选：D ．5．某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：设这五个数为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则(x 1−3)2+(x 2−3)2+(x 3−3)2+(x 4−3)2+(x 5−3)2=2． 因为(x i −3)2，i =1，2，3，4，5为正整数， 所以这五个数必有3个3，另外两个为2或4．又x 1+x 2+x 3+x 4+x 5＝15，所以这五个数为3，3，3，2，4， 点数2出现的次数为1． 故选：B ．6．下列正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则能满足AB ∥平面MNP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：对于A ：连接MB ，NC ，由图可知，AB 与平面MNP 相交，故不满足AB ∥平面MNP ，故A 错误；对于B ：如图所示，G ，H ，F ，E 分别是所在棱的中点，连接NH ，NG ，GF ，FM ，EM 则平面MNP 和平面NGFMPH 为同一平面，因为AB ∥EM ，因为EM 与平面NGFMPH 相交，所以不满足AB ∥平面MNP ，故B 错误；对于C ：连接AD ，交MN 与点O ，连接PO ，因为O ，P 分别为AD ，BD 中点， 所以PO ∥AB ，由线面平行的判定定理可知，AB ∥平面MNP ，故C 正确；对于D ：D ，F ，E 分别是所在棱的中点，连接DN ，NF ，FM ，ME ，PE ，DP ，AC ， 平面DNFMEP 与平面MNP 为同一平面，取AC 的中点为O ，连接MO ，由中位线定理可知，AB ∥MO ， 因为MO 与平面MNP 相交，所以不满足AB ∥平面MNP ，故D 错误；故选：C ．7．在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A ＝“第二次摸出的球是红球”，事件B ＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C ＝“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=25，则下列结论中错误的是（ ） A ．P(B)=25B ．P （C ）＝1﹣P （A ） C ．P(A ∪B)=45D ．P(A ∩B)=110解：依题意，事件A ，C 对立，P （A ）+P （C ）＝1，故B 正确；设盒子中有m 个红球，5﹣m 个黄球，P(A)=m 5⋅m−14+5−m 5⋅m 4=4m 20=25⇒m =2 P(A ∩B)=25⋅14=110，P(B)=25⋅14+35⋅24=25，故AD 正确；P(A ∪B)=P(A)+P(B)−P(A ∩B)=710，故C 错误． 故选：C ．8．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝6，AD ＝8，E 为棱AD 上一点，且AE ＝6，平面A 1BE 上一动点Q 满足AQ →⋅EQ →=0，设P 是该长方体外接球上一点，则P ，Q 两点间距离的最大值是（ ）A ．√34+2√6B ．√34+√22C ．√34+√11D ．√34+√6解：以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设Q （x ，y ，z ），长方体外接球球心记为O ，则O （3，4，3），A （6，8，0），B （0，8，0），E （6，2，0），A 1（6，8，6）， ∴EQ →=(x −6，y −2，z)，AQ →=(x −6，y −8，z)，EB →=(−6，6，0)， EA 1→=(0，6，6)，OQ →=(x −3，y −4，z −3)． ∵EQ →⋅AQ →=0，∴（x ﹣6）2+（y ﹣2）（y ﹣8）+z 2＝0，①又动点Q 在面A 1BE 上，所以可设EQ →=λEB →+μEA 1→， 则{x −6=−6λy −2=6λ+6μz =6μ，即{x =6−6λy =2+6λ+6μz =6μ，②将②代入①中整理得2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，③在三棱锥A ﹣A 1BE 中，AE ＝AB ＝AA 1＝6且AE ，AB ，AA 1两两互相垂直， 所以三棱锥A ﹣A 1BE 为正三棱锥且底边BE =6√2， 当AQ ⊥面A 1BE 时，|AQ →|最小，在正三棱锥A ﹣A 1BE 中，由等体积法有13×12×6×6×6=13×12×6√2×6√2×sinπ3×|AQ →|，解得|AC →|=2√3，又|EQ →|=√(x −6)2+(y −2)2+z 2，先代入②再代入③有|EQ|=√36(2λ2+2μ2+2λμ)=6√λ+μ， 则6√λ+μ=2√6，此时λ+μ有最大值，解得(λ+μ)max =23．当点Q 与点E 重合时，满足EQ →⋅AQ →=0，|AQ →|最大，此时（λ+μ）min ＝0， 则λ+μ∈[0，23]，点Q 到外接球球心距离为|OQ →|=√(x −3)2+(y −4)2+(z −3)2，④ 将②代入④中整理得|OQ →|=√36(2λ2+2μ2+2λμ)−60(λ+μ)+22， 又2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，所以|OQ →|=√−24(λ+μ)+22， 因为λ+μ∈[0，23]，所以当λ+μ＝0时，|OQ →|max =√22，因为长方体外接球半径为12√62+82+62=√34，所以P ，Q 两点间距离的最大值为√34+√22． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知复数z ，其共轭复数为z ，下列结论正确的是（ ） A ．z ⋅z =|z|2B ．z 2=|z|2C ．z +z =0D ．|z|+|z|≥|z +z|解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ，对于A ，z ⋅z =（a +bi ）•（a ﹣bi ）＝a 2+b 2，|z|2=(√a 2+b 2)2=a 2+b 2，则z ⋅z =|z|2，故选项A 正确； 对于B ，z 2＝（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ，|z|2=(√a 2+b 2)2=a 2+b 2，则z 2≠|z|2，故选项B 不正确； 对于C ，z +z =(a +bi)+(a −bi)=2a ≠0，故选项C 错误；对于D ，|z|+|z|=2√a 2+b 2，|z +z|=2|a|，因为2√a 2+b 2≥2√a 2=2|a|，当且仅当b ＝0时等号成立，所以|z|+|z|≥|z +z|，故选项D 正确． 故选：AD ．10．国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（ ）A ．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差B ．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差C ．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数D ．郑州月平均气温的第一四分位数为10解：对于A ，昆明月平均气温的极差为21.6﹣9.3＝12.3， 郑州月平均气温的极差为28.9﹣2.9＝26＞12.3，故A 正确；对于B ，由折线图可知，昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中， 所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差，故B 错误； 对于C ，昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列：9.3，10.5，12.4，12.4，16.5，16.8，19，20.4，21.2，21.3，21.5，21.6， 则昆明月平均气温的中位数为16.8+192=17.9，郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列：2.9，5.7，8.7，11.3，11.9，15.2，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9， 则郑州的月平均气温的中位数为15.2+16.52=15.85＜17.9，郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数，故C 正确； 对于D ，因为12×14=3，所以郑州月平均气温的第一四分位数为8.7+11.32=10，故D 正确．故选：ACD ．11．平面向量a →，b →，c →满足|a →|=1，|b →|=2，a →与b →夹角为π3，且|a →−c →|=|b →−c →|，则下列结论正确的是（ ）A ．|c →|的最小值为√32B ．|a →−c →|+|c →|的最小值为22C ．|a →−c →|+|b →−c →|的最大值为√3 D ．c →⋅(b →−c →)的最大值为1解：不妨设a →=(1，0)， 由于|b →|=2，a →与b →夹角为π3，则b →=(1，√3)或b →=(1，−√3)，设c →=(x ，y)，则|(1−x ，−y)|=|(1−x ，√3−y)|或|(1−x ，−y)|=|(1−x ，−√3−y)|， 所以(1−x)2+(−y)2=(1−x)2+(√3−y)2或(1−x)2+(−y)2=(1−x)2+(−√3−y)2， 解得y =√32或y =−√32， 则c →=(x ，√32)或c →=(x ，−√32)，对于A ，|c →|=√x 2+34≥√34=√32，选项A 正确；对于B ，当c →=(x ，√32)时，设a →=OA →，c →=OC →，作点O 关于直线y =√32对称的点O 1，如图，则|a →−c →|+|c →|=|CA →|+|OC →|=|CA →|+|O 1C →|≥|O 1A →|=√(√3)2+12=2；当c →=(x ，−√32)时，设a →=OA →，c →=OC →，作点O 关于直线y =−√32对称的点O 2，如图，则|a →−c →|+|c →|=|CA →|+|OC →|=|CA →|+|O 2C →|≥|O 2A →|=√(√3)2+12=2，选项B 错误； 对于C ，当c →=(x ，√32)时，设a →=OA →，c →=OC →，b →=OB →=(1，√3)，如图，则|a →−c →|+|b →−c →|=|CA →|+|CB →|，由于点C 在直线y =√32上运动，则|CA →|+|CB →|无最大值， 同理当c →=(x ，−√32)，此时b →=(1，−√3)时，|CA →|+|CB →|也无最大值，选项C 错误；对于D ，当c →=(x ，√32)时，b →=(1，√3)，则c →⋅(b →−c →)=(x ，√32)⋅(1−x ，√32)=−x 2+x +34=−(x −12)2+1≥1； 当c →=(x ，−√32)时，b →=(1，−√3)，则c →⋅(b →−c →)=(x ，−√32)⋅(1−x ，−√32)=−x 2+x +34=−(x −12)2+1≥1，选项D 正确． 故选：AD ．12．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝4，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将△ABF 沿直线BF 进行翻折，将△CDE 沿直线DE 进行翻折的过程中，则（ ）A ．直线AB 与直线CD 可能垂直 B ．直线AF 与CE 所成角可能为60°C ．直线AF 与平面CDE 可能垂直D ．平面ABF 与平面CDE 可能垂直解：如图，将△ABF 沿直线BF 进行翻折，得到以BF 为轴，线段AF 绕BF 旋转形成的一个圆锥，点A 在圆锥的底面圆周上，同理将△CDE 沿直线DE 进行翻折的过程中，点C 也在相应的圆锥的底面圆周上，对于A，如图，在长方形ABCD中，AB∥CD，CD旋转形成的圆锥的轴截面张角∠CDC′最大，由AB＝1，AD＝4，则CE＝2，tan∠EDC=ECCD=2＞1，所以∠EDC＞45°，则∠CDC′＞90°，假设△ABF不作旋转，CD在旋转过程中可以与旋转前的初始位置CD垂直，即CD在旋转过程中可以与AB垂直，故选项A正确．对于B，由选项A同理可得tan∠DEC=CDEC=12＜√33，则∠DEC＜30°，轴截面张角∠CEC′＜60°，则直线AF与CE所成角不可能为60°，故选项B错误；对于C，若直线AF与平面CDE垂直，则直线AF与CE垂直，由选项B可知，∠CEC′＜60°，直线AF不可能与CE垂直，所以直线AF与平面CDE不可能垂直，故选项C错误；对于D，易知当平面ABF不作旋转，平面CDE旋转到与平面BEDF垂直时，平面ABF与平面CDE垂直，故选项D正确．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M＝“电路是通路”包含的样本点个数为3．解：设元件正常为1，失效为0，由A，B两个元件组成并联电路，则至少有一个元件正常，故事件M包含的样本点为（1，1），（1，0），（0，1）共3个．故答案为：3．14．已知平面向量a →=(2，0)，b →=(1，1)，则b →=(1，1)在a →方向上的投影向量的模为 1 ． 解：b →=(1，1)在a →方向上的投影向量的模为||b →|cos〈a →，b →〉|=|a →⋅b →|a →||=|2×1+0×1|√2+0=1． 故答案为：1．15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66．解：如图所示：将多面体放置于正方体中，连接MC ，设MC 的中点为E ，连接EF ，CF ， 因为M ，C 分别为中点，所以MC ∥NF ，且ME =NF =12MC ， 则四边形MEFN 为平行四边形， 所以MN ∥EF ，所以直线MN 与平面ABCD 所成角即为直线EF 与平面ABCD 所成角， 又MC ⊥平面ABCD ，所以直线EF 与平面ABCD 所成角即为∠EFC ， 设正方体的棱长为2，则EC =1，CF =√22+12=√5，EF =√EC 2+CF 2=√6， 所以sin ∠EFC =ECEF =16=√66，即直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66． 故答案为：√66．16．如图，四边形ABCD 为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足AO ＝3OC ，AD 的中点为E ，BE ＝3，则筝形ABCD 的面积取到最大值时，AB 边长为 2√5 ．解：以点O 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系． 设BD ＝2a ，AC ＝4t （a ＞0，t ＞0），则A(0，−3t)，B(a ，0)，C(0，t)，D(−a ，0)，E(−a 2，−32t)． 因为BE →=(−32a ，−32t)，所以94(a 2+t 2)=9，即a 2+t 2＝4≥2at ，当且仅当a =t =√2时，取等号． 筝形ABCD 的面积为2a ×12×4t =4at ≤8 即当a =t =√2时，筝形ABCD 的面积最大． 此时AB 边长为√a 2+9t 2=√20=2√5． 故答案为：2√5．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）关于x 的一元二次方程x 2+（a +1）x +4＝0（a ∈R ）有两个根x 1，x 2，其中x 1=1+√3i ． （1）求a 的值；（2）设x 1，x 2在复平面内所对应的点分别为A ，B ，求线段AB 的长度． 解：（1）因为关于x 的一元二次方程x 2+（a +1）x +4＝0有两个复数根x 1，x 2，所以复数x 1，x 2互为共轭复数， 则x 2=1−√3i ，所以x 1+x 2＝2＝﹣（a +1），解得a ＝﹣3；（2）因为x 1，x 2在复平面内所对应的点分别为A ，B ， 所以A(1，√3)，B(1，−√3)， 所以线段AB 的长度为2√3．18．（12分）在菱形ABCD 中，AE →=13AD →，BF →=23BC →，记AB →=a →，AD →=b →．（1）用a →，b →表示EF →；（2）若BD →⋅EF →=AB →⋅DA →，求cos A 的值．解：（1）如图，∵在菱形ABCD 中，AE →=13AD →，BF →=23BC →，记AB →=a →，AD →=b →，∴EF →=EA →+AB →+BF →=−13b →+a →+23b →=a →+13b →；（2）∵BD →⋅EF →=AB →⋅DA →， ∴(AD →−AB →)⋅(a →+13b →)=a →⋅(−b →)，∴(b →−a →)⋅(a →+13b →)=−a →⋅b →，∴23a →⋅b →−a →2+13b →2=−a →⋅b →，又|a →|=|b →|， ∴53a →⋅b →=a →2−13b →2=23a →2，∴a →⋅b →=25a →2，∴cos A ＝cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=25．19．（12分）如图，正方形ABCD 是圆柱OO 1的轴截面，EF 是圆柱的母线，圆柱OO 1的体积为16π． （1）求圆柱OO 1的表面积；（2）若∠ABF ＝30°，求点F 到平面BDE 的距离．解：（1）设圆柱OO1的底面半径为r，则πr2×2r＝16π，解得r＝2．则圆柱OO1的表面积为2πr2+2πr×2r＝6πr2＝24π．（2）连接AF，因为AF⊥BF，AF∥DE，所以DE⊥BF，设点F到平面BDE的距离为h，易知DE⊥EF，DE⊥EF，EF，BF⊂平面BEF，EF∩BF＝F，所以DE⊥平面BEF，因为EB⊂平面BEF，所以DE⊥EB，所以BF=AB⋅cos30°=√3r，DE=AB⋅sin30°=r，EF＝2r，BE=√4r2+3r2=√7r，因为V D﹣BEF＝V F﹣BDE，所以13×12×2r×√3r×r=13×12×r×√7r×ℎ．即2√3r3=√7r2⋅ℎ，解得ℎ=237=4√217．20．（12分）现行国家标准GB2762﹣2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．解：（1）由0.4×（0.35+a +0.8+a +0.25+0.1）＝1，解得a ＝0.5．则这200条鱼汞含量的样本平均数为 0.4×（0.2×0.35+0.6×0.5+1.0×0.8+1.4×0.5+1.8×0.25+2.2×0.1）＝1.016．（2）样本中汞含量在[1.0，2.4]内的频率为1﹣0.4×（0.35+0.5）﹣0.2×0.8＝0.5． 则估计进口的这批鱼中共有0.5×2000＝1000条鱼汞含量超标． （3）由题意可知，样本中汞含量在[1.0，2.4]内的频率为12，则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为1−12×12=34， 顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为12，则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为34×(1−12)+(1−34)×12=12．21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，已知b cos C ﹣c cos B ＝2a ．（1）若c ＝a ，求B 的大小；（2）若c ≤2a ，过B 作AB 的垂线交AC 于D ，求BC⋅BD S的取值范围．解：（1）∵b cos C ﹣c cos B ＝2a ，由余弦定理得b ⋅a 2+b 2−c 22ab −c ⋅a 2+c 2−b 22ac=2a ， 化简得b 2﹣c 2＝2a 2，又c ＝a ，则b 2﹣a 2＝2a 2，即b =√3a ，则cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+a 2−3a 22a2=−12， 又B ∈（0，π），则B =2π3； （2）在Rt △ABD 中，BD ＝c tan A ， 则BC⋅BD S=a⋅ctanA12bcsinA =2acsinA bcsinAcosA=2ab⋅b 2+c 2−a 22bc=4ac b 2+c 2−a 2，又由（1）得b 2﹣c 2＝2a 2， 则BC⋅BD S=4ac b 2+c 2−a 2=4ac 2c 2+a 2=42c a +a c，∵c ≤2a ，∴ca≤2，又b ＜a +c ，b 2＝c 2+2a 2，则c 2+2a 2＜（a +c ）2，即a 2＜2ac ， ∴ca ＞12，∴12＜c a≤2，令t =c a，f(t)=2t +1t，t ∈(12，2]， ∴f （t ）在(12，√22)上单调递减，在(√22，2)上单调递增，∴f(t)min =f(√22)=2√2，又f(12)=3，f(2)=92，则f(t)max =f(2)=92， ∴2√2≤f(t)≤92，即89≤4f(t)≤√2，故BC⋅BD S的取值范围为[89，√2]．22．（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3，AD ＝4，点E 是边AD 上的动点，沿BE 将△ABE 翻折至△A 'BE ，使二面角A '﹣BE ﹣C 为直二面角． （1）当AE ＝3时，求证：A 'B ⊥CE ；（2）当线段A 'C 的长度最小时，求二面角C ﹣A 'B ﹣E 的正弦值．解：（1）证明：当AE ＝3时，ED ＝AD ﹣AE ＝4﹣3＝1， 又AB =√3，在Rt △BAE 中，BE 2＝BA 2+AE 2＝（√3）2+32＝12， 在Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2+ED 2＝（√3）2+12＝4， 所以BE 2+CE 2＝BC 2， 所以CE ⊥BE ，因为二面角A '﹣BE ﹣C 为直二面角， 所以面A ′BE ⊥面CBE ， 又面A ′BE ∩面CBE ＝BE ，由上知CE⊥BE，CE⊂面CBE，所以CE⊥面A′BE，又因为A′B⊂面A′BE，所以CE⊥A′B．（2）在图二中过点A′作A′M⊥BE，垂足为M，连接CM，因为二面角A'﹣BE﹣C为直二面角，所以面A′BE⊥面CBE，又面A′BE∩面CBE＝BE，由上知A′M⊥BE，所以A′M⊥面BCE，又因为MC⊂面BCE，所以A′M⊥MC，设A′E＝x，则ED＝4﹣x，BE=√BA′2+A′E2=√(√3)2+x2=√3+x2，所以A′G=A′B⋅A′EBE=√3⋅x√3+x2，CG=BC×CDBE=4×√3√3+x2，所以A′C=√A′G2+GC2=√(√3x√3+x2)2+(√3√3+x2)2=√3x2+483+x2=√3√x2+16x2+3=√3√1+13x2+3，因为0＜x≤4，所以当x＝4时，A′C长最短，在矩形ABCD中，过点C作CG⊥BD，垂足为G，再过点G作GH⊥AB，因为二面角A'﹣BE﹣C为直二面角，所以面A′BE⊥面CBE，又面A′BE∩面CBE＝BE，由上知CG⊥BD，所以CG⊥面BCE，由三垂线定理可得CH⊥A′B，所以二面角C﹣A'B﹣E的平面角为∠CHG，BD=√AB2+AD2=√(√3)2+(4)2=√19，CG=BC⋅CDBD =4√3√19，GD=√CD2−CG2=√(√3)2−(4√3√19)2=3√1919，所以BG＝BD﹣GD=√19−3√1919=16√1919，由△BHG∽△BAD得，BGBD =HGAD，即16√1919√19=HG4，所以HG=64 19，所以tan∠GHC=CGGH=4√3196419=√316，所以sin∠GHC=√777259．。

2021-2022学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统测试题 数学(B卷) Word版含答案

2021-2022学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统测试题 数学(B卷) Word版含答案

温州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（B 卷）选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()()1242A B -，，，，则AB =（） A. ()50，B. ()54-，C. ()34-，D. ()34-，【答案】C2. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3,83a c B π===,，则b =（）A. 6B. 7C.D.【答案】B3. 设R a ∈，若复数()()2i i a a +-是纯虚数 ( i 为虚数单位)，则=a （）A. 0B.C.D.【答案】A4. 已知两个平面αβ，，两条直线m l ，，满足m l αβ⊂⊂，，则下列命题正确的是（） A. 若//m β，则//m l B. 若m l ⊥，则m β⊥ C. 若//m l ，则//αβ D. 若m β⊥，则αβ⊥【答案】D5. 4月23日是世界读书日，中国新闻出版研究院每年发布全国国民阅读调查报告．下面是20122021-年我国成年国民阅读情况折线图，记平均图书阅读率和平均数字化阅读方式接触率分别是x 和y ，相应的标准差分别是1s 和2s ，则下列说法正确的是（）A. x y >，12s s >B. x y <，12s s >C. x y >，12s s <D. x y <，12s s <【答案】D6. 已知向量()1,0a =-，向量()1,2b =，则b 在a 上的投影向量是（）A. ()10， B. ()10-， C. 1255⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D. 1255⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A7. 奖金分配是《概率论》中的一道经典问题：甲、乙两人比赛，假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为12，先胜3局者将赢得全部奖金8万，但进行到甲胜0局，乙胜2局时，比赛因故不得不终止，为公平起见，甲应分配到（） A. 0 万 B. 1 万 C.43万 D. 4 万【答案】B8. 如图，在Rt ABC 中，点M 是斜边AB 的中点，点N 在边BC 上，且MN AB ⊥，MN =31CN =，则sin A =（）A.23B.33C.63D.73【答案】C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．9. 用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（） A. 长方体 B. 圆台C. 四棱台D. 正四面体【答案】ACD10. 疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A. 图中0.028a =B. 在4000份有效样本中，短视频观众年龄在2030岁的有1320人C. 估计短视频观众平均年龄为32岁D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 【答案】BCD11. 已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C '''，则B C ''的长可能是（）A. 22B. 26C. 522-D. 12【答案】AC12. 如图，已知ABC DEF △，△均为等边三角形，D E F ，，分别为BE CF AD ，，的中点，P 为DEF 内一点 (含边界)．AP xAB y AC =+，下列说法正确的是（）A. 延长BE 交AC 于M ，则13CM CA =B. 若0OD OE OF ++=，则O 为ABC 的重心C. 若12x y +=，则点P 的轨迹是一条线段D. x y +的最小值是13【答案】ABC非选择题部分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占28%，食品饮料类占20%，家居生活类占19%，美妆护肤类占9%，其他占24%．为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有_____________件 【答案】38014. 从长度为3589，，，的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是_____________． 【答案】12##0.515. 如图，在四面体ABCD 中，22BD =2AC =，M 、N 分别为BC 、AD 的中点，1MN =，则异面直线AC 与BD 所成的角是_____________．【答案】45︒##4π 16. 已知平面向量,,a b c ，满足2a b a b ==-=，()()122a cbc --=，则c 的最小值是_____________． 【答案】712- 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知a 、b 是非零向量，()a ab ⊥-，且23a =、4b =． （1）求a 与b 的夹角θ； （2）求32a b -． 【答案】（1）6π（2）718. 已知复数1102i 3i z z z =-=+，，i 是虚数单位． （1）求复数0z ；（2）若复数i z x y =+，且22x y ≤≤，，当x y ，是整数时，求复数z 满足01z z -≤的概率．【答案】（1）1i + （2）1519. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是线段AD 的中点O E ，是PB 的中点．（1）求证：//OE 平面PCD ；（2）若二面角P BC A --的大小为45，三棱锥E ABC -的体积为23，求PB 的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）3 【小问1详解】取PC 的中点G ，连接DG ，EG ， 因为E 是PB 的中点． 所以EG //BC ，且12EG BC =， 因为底面ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是线段AD 的中点O ， 所以OD //BC 且12OD BC =， 所以EG //OD ，且EG =OD ， 所以四边形ODGE 为平行四边形， 所以OE //DG ，因为OE ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以//OE 平面PCD【小问2详解】取BC 中点Q ，连接PQ ，OQ ， 因为O 为AD 中点，所以OQ ⊥BC ，因为顶点P 在底面的射影是线段AD 的中点O ，所以PO ⊥底面ABCD ， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BC ， 因为PO OQ O =，所以BC ⊥平面OPQ ， 因为PQ ⊂平面OPQ ，所以BC ⊥PQ ， 所以∠PQO 为二面角P BC A --的平面角，所以∠PQO =45°，设正方形ABCD 的边长为x ，则PO =OQ =x ， 因为三棱锥E ABC -的体积为23，所以四棱锥P ABCD -的体积为83即21833x x ⋅=，解得：2x =， 由勾股定理得：2222PQ OP OQ =+=22183PB QP BQ =+=+=，20. 有标号为1234，，，质地相同的4 个小球，现有放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件A ：第一次取出的是1号球；事件B ：两次取出的球号码之和为 5 ． （1）求事件AB 的概率()P AB ；（2）试判断事件A 与事件B 是否相互独立，并说明理由；（3）若重复这样的操作64次，事件AB 是否可能出现6次，请说明理由． 【答案】（1）116（2）相互独立，理由见解析； （3）有可能，理由见解析 【小问1详解】解：记x 为第一次取出球的标号，y 为第二次取出球的标号，用数对(),x y 表示两次取球标号的情况，所以有()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4共16种，满足事件AB 的有()1,4共1种，所以()116P AB =； 【小问2详解】 解：由（1）可得()41164P A ==，()41164P B ==， 所以()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与事件B 相互独立； 【小问3详解】解：因为每次操作事件AB 可能发生，也可能不发生， 所以重复这样的操作64次，事件AB 发生的次数为064次中的一种，所以事件AB 有可能出现6次；21. 在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，b =且()sin b A B +=． （1）求角B 的值；（2）设D 是AC 的中点，在①512A π=；②a c +=BD =中任选一个，求ABC 的面积． 【答案】（1）3B π=（2）条件选择见解析，ABC的面积为3.【小问1详解】 解：因为()sin b A B +=，则sin b C c =，由正弦定理可得sin sin B C C =， B 、0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0C >，所以，sin 2B =，3B π∴=. 【小问2详解】 解：若选①，512A π=，3B π=，4C π∴=，由正弦定理sin sin c bC B=可得sin sin 2b Cc B ===5sin sinsin sin cos cos sin 124646464A πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以，11sin 3224ABC S bc A ==⨯=+△ 若选②，由余弦定理可得()222222122cos 3b a c ac B a c ac a c ac ==+-=+-=+-(23243ac ac =-=+，解得4ac =+，所以，(11sin 43222ABC S ac B ==⨯+⨯=+△ 若选③，D 为AC 的中点，则πADB CDB ∠+∠=，cos cos 0ADB CDB ∴∠+∠=，由余弦定理可得2222222202222b b BDc BD a b b BD BD ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⋅⋅⋅⋅，所以，()2222222222422222cos BD a c b a c a c ac B a c ac =+-=+-+-=++，即2220a c ac ++=+由余弦定理可得22222122cos b a c ac B a c ac ==+-=+-，即2212a c ac +-=，②联立①②可得443ac =+，所以，()113sin 44333222ABC S ac B ==⨯+⨯=+△. 22. 如图，在三棱台111ABC A B C -中，111222AC AC CC ===，，1AC CC ⊥，侧面11ACC A ⊥平面1ABC ．（1）求证：1A C ⊥面1ABC ； （2）若3AB BC BAC π∠⊥=，，求直线1AA 与平面ABC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析； （25【分析】（1）在四边形11ACC A 中，证明11A C AC ⊥，再利用面面垂直的性质推理作答. （2）连接1A B ，由（1）及已知证明AB ⊥平面1A BC ，再作出直线1AA 与平面ABC 所成的角，然后在直角三角形中计算作答. 【小问1详解】在三棱台111ABC A B C -中，11//A C AC ，而1AC CC ⊥，则111AC CC ⊥， 显然1111111tan tan 2AC CC ACC CAC CC AC∠====∠，则11111ACC CAC AC A ∠=∠=∠， 有11111190A CC AC C AC A AC C ∠+∠=∠+∠=，于是得11A C AC ⊥， 因侧面11ACC A ⊥平面1ABC ，侧面11ACC A 平面11ABC AC =，1AC ⊂平面11ACC A ， 所以1A C ⊥平面1ABC . 【小问2详解】由（1）知，1A C ⊥平面1ABC ，而AB平面1ABC ，则1AB A C ⊥，连1A B ，如图，因AB BC ⊥，1AC BC C =，1,A C BC ⊂平面1A BC ，则AB ⊥平面1A BC ，又AB 平面ABC ，因此，平面1A BC ⊥平面ABC ，在平面1A BC 内过点1A 作1A O BC ⊥于O ，而平面1A BC 平面ABC BC =，则有1A O ⊥平面ABC ，连AO ，从而得1A AO ∠是直线1AA 与平面ABC 所成的角，在直角梯形11ACC A 中，111222AC AC CC ===，，1AC CC ⊥，2211113AC AC CC =+=， 221111()3AA AC AC CC =-+=ABC 中，3AB BC BAC π∠⊥=，，则112AB AC ==，3BC = 由AB ⊥平面1A BC 可得1AB A B ⊥，则12A B =1A BC 中，底边1A B 上的高22115()22h BC A B =-=， 由1111122A BC S BC AO A B h =⋅=⋅得：153AO =在1Rt A AO △中，1115sin AO A AO A A ∠==， 所以直线1AA 与平面ABC 所成角5。