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高考数学复习 专题一 第二讲 数形结合思想课件

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高三数学专题二 数形结合的思想方法课件

高三数学专题二 数形结合的思想方法课件

程不可解，不能独立求解每一个方程，把两个方程联系起
来，思考解题方法. ［解析］ 两个方程都可以变形：lgx=3－x, 10x=3－x， 设f(x)=10x,则f －1(x)=lgx，y=3－x， 且 x1，x2分别为两函数f(x)=10x, y= 3－x的图象交点的横坐标， 返回目录 f
－1(x)=lgx的图象与
种意识和能力.
［答案］ D
返回目录
模拟训练
4. 已知 f(x) 是定义在 ( － 3,3) 上的奇函数 , 当 0<x<3 时 , f(x) 的图象如图所示，那么不等式 f(x)cosx<0 的解 集是
(
)
π π A.( 3, ) (0,1) ( ,3) 2 2 π π B.( ,1) (0,1) ( ,3) 2 2 C.( 3,1) (0,1) (1,3) π D.( 3, ) (0,1) (1,3) 2
坐标、等式或不等式等；“形”是数学研究中的图形形式，泛
指表示量与之对应的图形、几何意义等 . 数形结合，是把同一 数学问题在数量关系和空间形式这两个方面结合起来思考问题， 由形思数，由数思形，互相联想，达到互相转化并使问题得以 解决的数学思想. “数”和“形”是数学的两个最基本的研究对象，但在数 学早期发展史上，人们对数与形的研究是相对独立和隔离的， 从中发展出相对独立的代数学和几何学，直到解析几何学的建 立，通过坐标系才使数与形这两个对象完到直线①的距离为d， 则d
|1 4 t | 5 5 , 即5－t=±5.
∴tmin=0,tmax=10.
∴x－2y的最大值为10，故选D. ［点评］ 令t=f(x,y)，从而构造出t的几何意义，这是解
决某些代数式问题的常用方法 .有许多的数学问题，从叙述过

高考数学第 2 讲 数形结合思想26页文档

高考数学第 2 讲 数形结合思想26页文档
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自形结合思想
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。

高三数学《数形结合》专题讲座课件

高三数学《数形结合》专题讲座课件

1．转换数与形的三条途径：
① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度 来考虑。 ③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究， 提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形， 使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式 的本质特征。 ③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一 特 征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想， 适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量
由双曲线的图象和
3 |x+1|-|x-1| 2
3 知 x 4
【例13】函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[０,２π]的图 象与直线y=k有且仅有２个不同的交点,则k的取值 范围是_____.
例[14]。关于x的方程 +a=x有两个不 相等的实数根，试求实数a的取值范围.
| 1 x2 |
【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为 P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与有向线 段PQ延长相交，求实数m的取值范围.
x m y 1
斜率函数模型
yb xa
【例2】求y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2的最大 (小)值.
θ,α∈R
【例11】已知f(x)是Ｒ上的偶函数,且在[０,+∞)上是减函 数,f(a)＝０(a>0),那么不等式xf(x)<0的解集是（ ）. Ａ. ｛x|0<x<a｝ Ｂ. ｛x|-a<x<0或x>a｝ Ｃ. ｛x|-a<x<a｝ Ｄ. ｛x|x<-a或0<x<a｝

数形结合 PPT课件

数形结合 PPT课件
4、用三角解决几何问题
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形

2018届高考数学文二轮复习课件：1.2 数形结合思想 精品

2018届高考数学文二轮复习课件：1.2 数形结合思想 精品

应用 2 利用数形结合思想解决最值问题
[典例 2] (2016·武汉模拟)已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)
＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，设 H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，
g(x)}(max{p，q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小
可见二者图象的交点正好在它们的顶点处．如图 1 所示，
因此 H1(x)，H2(x)的图象分别如图 2，图 3 所示(图中实线部分)． 可见，A＝H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4， B＝H2(x)max＝g(a－2)＝12－4a.从而 A－B＝－16. [答案] B
[反思领悟] (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质 结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．
解析：作出 y＝|x－2a|和 y＝12x＋a－1 的简图，依题意知应有 2a≤2 －2a，故 a≤12.
答案：－∞，21
[思路点拨] 本题利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调 性，再结合 f(－1)＝0 可作出函数的图象，利用图象即可求出 x 的取值 范围．
[自主解答] 设 y＝g(x)＝fxx(x≠0)，则 g′(x)＝xf′xx2－fx， 当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为 减函数，且 g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数， ∴g(x)的图象的示意图如图所示． 当 x>0 时，由 f(x)>0， 得 g(x)>0，由图知 0<x<1， 当 x<0 时，由 f(x)>0， 得 g(x)<0，由图知 x<－1， ∴使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选 A. [答案] A

最新高考文科数学复习 数学思想方法 第2课时 数形结合的思想 PPT课件

最新高考文科数学复习 数学思想方法 第2课时 数形结合的思想 PPT课件

解析：由f x 1 f x 1， 得f x f x 2 ，知函数 是周期为2的函数，因此根 据偶函数的性质首先作出f x 在 1,1 上的图象， 然后根据周期性作出f x 在1,3 上的图象，再作 1 x 出y ( ) 的图象． 10 1 x 由图象易知，函数f x 与y ( ) 的图象在 0,3内 10 1 x 有4个交点，因此方程f x ( ) 在x 0,3 上解 10 的个数是4，故选D.
数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直 观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维 结合起来，在解决代数问题时，想到它的图 形，从而启发思维，找到解题之路；或者在 研究图形时，利用代数的性质，解决几何的 问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转 化，化难为易，化抽象为直观．这种处理数 学问题的方法，称之为数形结合的思想方法．
数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而 且也是一种重要的思维方法，因此，它在中 学数学中占有重要的地位．在高考中，充分 利用选择题、填空题的题型特点(这两类题型 只须写出结果而无需写出解答过程)，为考查 数形结合的思想提供了方便，能突出考查学 生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何 图形问题来解决的意识，解答题中对数形结 合思想的考查则以由“形”到“数”的转化为主．
专题一
数 学 思 想 方 法
“数”和“形”是数学中两个最古老、最基 本的问题，是数学大厦的两块基石，数学的 所有问题都是围绕数和形的提炼、演变、发 展而展开的“数”和“形”是数学中两个最 基本的概念，它们既是对立的，又是统一的， 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、 大小、位置密切相关的数量关系；反之，数 量关系又常常可以通过几何图形做出直观地 反映和描述．
变式题：若曲线C：y 2 x 1与直线l： y kx b没有公共点，则k、b分别应满足的 条件是 .

高中数学课件《数形结合》课件

高中数学课件《数形结合》课件

y=2x y=4-x y= log2x y=2x y=4-x
B
y= log2 x
A
A(α,4- α) y=x
y=4-x
B(β,4- β) 而A，B关于直线y x对称
4 , 4
二.与不等式有关的问题
例1
不等式
≥ k x + k(其中k为常数)的
解集不为空集，则 k 的取值范围是
Ａ (- ， ]Ｂ [0 , ]Ｃ[0 , ] Ｄ(- , ]
范围为 A．(2,3]
B．[4，＋∞)
(C)
C．(1,2]
D．[2,4)
解析：设 y1＝(x－1)2，y2＝logax，则 y1 的图 像为如图所示的抛物线．要使对一切 x∈(1,2)， y1<y2 恒成立，显然 a>1，并且只需当 x＝2 时， logax≥1，即 a≤2，所以 1<a≤2.
三.与函数有关的问题
[思维流程]
[解析] (1)在同一坐标系中，分别作出 y＝ log2(－x)，y＝x＋1 的图像，由图可知，x 的取 值范围是(－1,0)．
(2)作出 y＝|x－2a|和 y＝12x＋a－1 的简图，依题意知应有 2a≤2－2a， 故 a≤12.
[答案] (1)(－1,0) (2)－∞，12
练1 当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax 恒成立，则 a 的取值
高三数学第二轮专题复习
“数形结合”思想 在高中数学中的应用
数形结合思想
复习目标
数学：数量关系、空间形式 数形结合：以形助数、以数解形 复杂问题简单化、抽象问题具体化
数形结合思想应用
（一）与方程有关的问题 （二）与不等式有关的问题 （三）与函数有关的问题 （四）与解几有关的问题

高考数学二轮复习数学思想领航二数形结合思想课件文

高考数学二轮复习数学思想领航二数形结合思想课件文

所
√
有实数解之和为 A.－7 C.－3
B.－6 D.－1
解析 答案
方法二 几何意义数形沟通法
模型解法 几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几 何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到 解决代数问题的目的.此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图 形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题.破解此类题的关键点： ①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义. ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题. ③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论.
左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转
化法与函数解析式的关系.
思维升华 解析 答案
跟踪演练1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，
当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在－52，12 上的
解析 答案
方法三 圆锥曲线数形沟通法
模型解法 圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有 一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快 速解决某些相应的问题.破解此类题的关键点： ①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、 直线等. ②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥 曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解. ③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论.
二、数形结合思想
方法一 函数图象数形沟通法 方法二 几何意义数形沟通法 方法三 圆锥曲线数形沟通法
以形助数(数题形解)
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(2)通过转化构造“数题形解”：
许多代数结构都有着相应的几何意义，据此，可以将数与
形进行巧妙地转化．例如，将a(a>0)与距离互化；将a2与面积互
化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与
余弦定理沟通；将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三
(2)若讨论x≥2a或x<2a解比较麻烦，可作出函数y1＝|x－2a|
与y2＝12x＋a－1的大致图像，利用数形结合思想求解．
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[解析] (1)在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)， y＝x＋1的图像，由图可知，x的取值范围是(－1,0)．
(2)作出y＝|x－2a|和y＝
1 2
x＋a－1的简图，依题意知应有
2a≤2－2a，故a≤12.
[答案] (1)(－1,0) (2)－∞ppt精，选12
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解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨 论，导致运算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系， 那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决.
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2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范
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4
(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面， 其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观 性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的， 比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于 数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为 手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的 几何性质．
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6
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的 点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的 对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概 念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含 有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平 面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．
边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与
直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数
结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体
的)．另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正
是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解
题捷径．
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利用数形结合讨论方程的解或图像交点
[例1]
(1)(2012·北京高考)函数f(x)＝x
1 2
－12x的零点的个数
为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)(2012·天津高考)已知函数y＝|xx2－－11|的图像与函数y＝kx－2
的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
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1
[思路点拨] (1)将函数的零点转化为两个函数y1＝x 2 与y2＝
围为
()
A．(2,3]
B．[4，＋∞)
C．(1,2]
D．[2,4)
解析：选 C 设y1＝(x－1)2，y2＝logax，则
y1的图像为如右图所示的抛物线．要使对
一切x∈(1,2)，y1<y2恒成立，显然a>1，并
且只需当x＝2时，logax≥1，所以a≤2，
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利用数形结合解不等式或求参数问题
[例2] (1)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
(2)若不等式|x－2a|≥
1 2
x＋a－1对x∈R恒成立，a的取值范围
是________．
[思路点拨] (1)无法直接求解该不等式，可作出函数y1＝ log2(－x)和y2＝x＋1的图像，采用数形结合思想求解．
思想方法概述
角度一
专
第
应用角度例析 角度二
题
二
角度三
一
讲
通法归纳领悟
专题专项训练
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1
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2
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3
1．数形结合的含义 (1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过 数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有 助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的 有机结合．
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12
1．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，
lg x，x>0， f(x)＝1－x2，函数g(x)＝0，x＝0，
－1x，x<0，
则函数h(x)＝f(x)－
g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是
A．5
B．7
C．8
D．10
()
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解析：选 C 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同 一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像，结合图像 得，当x∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.
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2．数形结合的途径 (1)通过坐标系“形题数解”： 借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数 化．这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也 是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题 数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是 因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．
图2
[答案] (1)B (2)(0,1)∪(p1p,t4精)选
11
(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题 转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要 注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解.
(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数 形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.
12x图像的交点问题求解．
(2)在同一坐标内画出两个函数的图像，利用数形结合求解．
[解析] (1)在同一平面直角坐标系内作
出y1＝x
1 2
与y2＝12x的图像如图1所示，易知，
两函数图像只有一个交点．因此函数f(x)＝
x
1 2
－12x只有1个零点．
图1
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10Biblioteka (2)根据绝对值的意义， y＝|xx2－－11|＝x－＋x1－，1x，>－1或1≤x<x－<11.， 在直角坐标系中作出该函数的图像，如图2中实线所示．根据 图像可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．