高三数学教案 数形结合思想

高三数学教学计划高三数学教学计划一一、指导思想。

研究新教材，了解新的信息，更新观念，探求新的教学模式，加强教改力度，注重团结协作，面向全体学生，因材施教，激发学生的数学学习兴趣，培养学生的数学素质，全力促进教学效果的提高。

二、学生基本情况。

新的学期里，本人任教高三10、11班两个文科班的数学课，这些学生大部分基础知识薄弱，没有自主学习的习惯，自制能力差，上课注意力不集中，容易走神，课后独立完成作业能力差，懒惰思想严重，因此整个高三的复习任务相当艰巨。

三、工作措施。

1、认真学习《考试说明》，研究高考试题，提高复习课的效率。

《考试说明》是命题的依据，备考的依据。

高考试题是《考试说明》的具体体现。

因此要认真研究近年来的考试试题，从而加深对《考试说明》的理解，及时把握高考新动向，理解高考对教学的导向，以利于我们准确地把握教学的重、难点，有针对性地选配例题，优化教学设计，提高我们的复习质量。

2、教学进度。

按照高三数学组学年教学计划进行，结合本班实际情况，进行第一轮高三总复习，预计在2月底3月初完成。

配合学校举行的月考，并及时进行教学反思。

3、了解学生。

通过课堂展示、学生交流互动、批改作业、评阅试卷、课堂板书以及课堂上学生情态的变化等途径，深入的了解学生的情况，及时的观察、发现、捕捉有关学生的信息调节教法，让教师的教最大程度上服务于学生。

对于基础较薄弱的学生，应多鼓励、多指导学法，增强他们学下去的信心和勇气。

4、精心备课。

精心的备好每一节课，努力提高课堂效率，平常多去听同科教师的课，向老教师学习经验和好的教学方法，努力提高自己的任教能力。

5、优化练习。

提高练习的有效性：知识的巩固，技能的熟练，能力的提高都需要通过适当而有效的练习才能实现。

练习题要精选，题量要适度，注意题目的典型性和层次性，以适应不同层次的学生;对练习要全批全改，做好学生的错题统计，对于错的较多的题目，找出错的原因。

练习的讲评是高三数学教学的一个重要的环节，不该讲的就不讲，该点拨的要点拨，该讲的内容一定要讲透;对于典型问题，要让学生展示讲解，充分暴露学生的思维过程，加强教学的针对性。

数形结合思想教学设计一、考情分析在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。

因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。

1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

高中数学数形结合教案
主题：数学与数形结合
教学目标：
1. 能够熟练掌握常见数形的性质和相关计算方法；
2. 能够运用数学知识解决实际问题；
3. 能够灵活运用数形结合的思维方式解决各类问题。

教学重点：
1. 数形的性质和计算方法；
2. 数学与数形结合的思维方式。

教学内容：
1. 基础数形的性质和计算方法；
2. 数形结合的应用实例。

教学步骤：
第一步：引入
通过展示一些常见的数形，引导学生思考数形之间的联系和应用。

第二步：学习数形的性质和计算方法
1. 讲解常见数形（如矩形、三角形、圆等）的性质和计算方法；
2. 练习相关计算题目，巩固学生对数形的理解和应用能力。

第三步：数形结合的思维方式
1. 介绍数形结合的思维方式，引导学生掌握解决问题的方法；
2. 指导学生运用数形结合的思维方式解决实际问题。

第四步：综合练习
组织学生进行综合练习，检验他们的数形结合能力。

第五步：总结与反思
总结本节课的学习内容，鼓励学生积极思考数形结合的应用领域，并提出问题和建议。

教学方式：
1. 教师讲解与学生练习相结合；
2. 个别指导与小组合作相结合。

教学工具：
1. 黑板和彩色粉笔；
2. 教科书和练习册；
3. 数学工具箱。

教学评价：
通过课堂练习和作业评估学生的学习情况，检查学生对数形结合的理解和应用能力。

高三数学上册教案5篇（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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数形结合思想的应用方法解读1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．应用数形结合的思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手： ①函数与函数图象．②不等式与函数图象．③曲线与方程．④参数本身的几何意义．⑤代数式的结构特点．⑥概念自身的几何意义．⑦可行域与目标函数最值．⑧向量的两重性．典例分析一、数形结合思想在方程与不等式中的应用例1、设关于θ的方程√3cosθ+sinθ+a =0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α+β的值．解：(1)原式可化为sin (θ＋π3)＝－a 2，作出函数y =sin (x +π3)(x ∈(0,2π))的图象．由图知方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是{−1<−a 2<1−a 2≠√32 ,即 −2<a <−√3 或 −√3<a <2 .(2)由图知：当 −√<a <2，即 −a 2∈(−1,√32) 时，直线y =−a 2与三角函数y =sin (x +π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为76π，∴ α+β2=7π6，∵α+β=73π . 当−2<a <−√3 ，即−a 2∈(√32,1 ) 时，直线y =−a 2与三角函数y =sin (x +π3)的图象交于A 、B ，由对称性知，α+β2=π6，∵α+β=π3， 综上所述，α+β=π3 或 α+β=73π .归纳拓展 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．课堂练习1、设有函数f (x )=a +√−x 2−4x 和g (x )=43x +1，已知x ∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a 的取值范围．解:f(x)≤g(x)，即a +2−4x ≤43x +1，变形得√−x 2−4x ≤43x +1−a ，令y =√−x 2−4x ，①y =43x +1−a ②①变形得(x +2)2+y 2=4(y ≥0)，即表示以(−2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1−a 的平行直线系． 设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为：y =43x +b(b ＞0)，则圆心(−2,0)到AT 的距离为d =|−8+3b |5，由|−8+3b |5=2得，b =6或−23(舍去)．∴当1－a ≥6即a ≤−5时，f(x)≤g(x) ．二、数形结合思想在求代数式或参数范围的应用例2、已知实系数一元二次方程x 2+ax +2b =0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1) 点(a,b)对应的区域的面积；(2) b−2a−1的取值范围；(3) (a －1)2+(b －2)2的值域．解:(1)方程x 2+ax +2b =0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y =f (x )=x 2+ax +2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内．由此可得不等式组{f (0)>0,f (1)<0,f (2)>0⇒{b >0, a +2b +1<0,a +b +2>0由{a +2b +1=0,a +b +2=0解得A(−3,1)． 由{a +b +2=0,b =0解得B(−2,0)． 由{a +2b +1=0b =0解得C(−1,0)．∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．△ABC 的面积为S △ABC ＝12×BC ×ℎ=12 (ℎ为A 到Oa 轴的距离)．(2)b−2a−1的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率．∵k AD =2−11+3=14，k CD =2−01+1=1，由图可知k AD <b−2a−1<k CD ，∴14<b−2a−1<1，即b−2a−1∈(14,1)． (3)∵(a －1)2+(b －2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方， ∴(a －1)2+(b －2)2∈(8,17)．归纳拓展 b−n a−m 型表示坐标平面上两点(a,b)，(m,n)连线的斜率，√(a －m)2+(b －n)2表示这两点间的距离，解决此类问题时，一定要注意观察，联想数与形的对应类型，就能自然地运用数形结合的思想方法．课堂练习2、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=3(y ≥0)，m =y+1x+3，b =2x +y .(1)求m 的取值范围；(2)求证：b ∈[−2√3,√15]．(1)解:m 可看作过半圆x 2+y 2=3(y ≥0)上的点M(x,y)和定点A(−3,−1)的直线的斜率．由图可知k 1≤m ≤k 2(k 1，k 2分别为直线AM 1，AM 2的斜率)，k 1＝13＋3＝3－36， 圆心到切线k 2x −y +3k 2－1＝0的距离为d = |3k 2－1|k 22＋1＝3，k 2= 3±216(舍去负值)， ∴3－36≤m ≤3＋216. (2)证明:b 可看作斜率为−2，过半圆x 2+y 2=3(y ≥0)上一点P(x,y)的直线在y 轴上的截距．由图可知n 2≤b ≤n 1，P 2C 有方程为y =−2(x +√3)，令x ＝0，y =n 2=−2√3 ，∵圆心到切线P 1B ：2x +y +c =0的距离d = |c |5＝3，∴c =±15，n 1= 15，∴－23≤b ≤15.课后作业1、已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c)·(b －c)＝0，则|c|的最大值为________．解析:如图，设OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −c ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c . 由题意知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2 .2、已知直线l 1：4x −3y +6=0和直线l 2：x =−1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为________．解析:记抛物线y 2=4x 的焦点为F ，则F(1,0)，注意到直线l2：x =−1是抛物线y 2=4x 的准线，于是抛物线y 2=4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于PF ，问题即转化为求抛物线y 2=4x 上的动点P 到直线l 1：4x −3y +6=0的距离与它到焦点F(1,0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1,0)到直线l 1：4x −3y +6=0的距离，即等于|4×1－3×0＋6|5＝2.3、已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx .(1)若函数y =f(x)在x =2处有极值−6，求y =f(x)的单调递减区间；(2)若y =f(x)的导数f /(x)对x ∈[－1,1]都有f /(x)≤2，求b a−1的范围． 解:(1)f /(x )=3x 2+2ax +b ，依题意有{f /(2)=0f (2)=−6 ,即⎩⎨⎧ 12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎨⎧ a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13<x <2. ∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2.(2)由⎩⎨⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2，得⎩⎨⎧ 2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎨⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0，得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝－1. ∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线斜率． ∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2， 即b a －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．。

《高中数学教学中渗透数形结合思想方法的实践研究》数学课题结题报告常州市武进区礼嘉中学数学课题组顾海燕、庄晓燕一、研究背景：1.研究背景：数形结合作为数学教学中非常重要的思想萌芽于古希腊，欧几里德就著有《几何原本》，后到十七世纪笛卡尔建立平面直角坐标系并发表了《几何学》。

后来费马用代数方法研究古希腊的几何学，发表著作《平面与立体轨迹引论》，自此后，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。

我国的数形结合开始于公元前十五世纪的甲骨文记载，在其中就有了“规”和“矩”二字的存在。

规是用来画圆的，矩是用来画方的。

汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理。

中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机地配合起来，在实践中获得良好的效果。

近代来，我国著名的数学家就说过：“数缺形式少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

”2.研究意义：通过数形结合，首先是我们对几何图形性质的讨论更广泛，更深入了，其次是为代数课提供了几何直观。

由于代数借用的几何的术语，运用了与几何的类比而获得新的生命力，如线性代数正是借用几何学中的空间，线性等概念与类比的方法把自己充实起来而迅速发展的。

代数方法便于精细计算，几何图形直观形象，数形结合，相互促进，使我们加深了对数低关系与空间形式的认识。

正如拉格朗日所说“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。

”而且数形结合从方法角度能给人们以重要的启示。

在平面上把点与数，曲线与方程之间建立一一对应的思考方法，启发数学家们把一个个函数视为点，而把某类函数的全体视为“空间”。

数形结合也是数学学科分支建立的内驱力。

可以说，从知识论和方法论的角度看，数形结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了人们思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。

高三数学一轮复习 7.2 数形结合思想学案专题七：思想方法专题第二讲数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化错解分析 考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解 ∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a 解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］ 例2已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证22222c o sb a +=-βα 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β, sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而 ｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β) 又∵单位圆的圆心到直线l 的距离22||ba c d +=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 b a c d +==---2224)cos(221βα∴22222cos ba c +=-βα 例3曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析 方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线答案 （43,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围 解法一 由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立 ⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方 如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)解法二 由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1) 学生巩固练习1 方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 以上均不对2 已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4 已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是5 设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β（1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值6 设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B≠∅，求a 的最大值与最小值 参考答案1 解析 在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案 B2 解析 a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示 答案 A3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )点A的几何图形是椭圆，点B 表示直线 考虑用点到直线的距离公式求解 答案227 4 解析 解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得 答a ＞35 解 ①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点， 故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan 332=+βα， 故tan(α+β)=36 解 ∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆 如图所示∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+2。

高中数学数形结合性质教案
一、目标：
1. 掌握数学与几何图形结合的相关性质；
2. 学会运用相关性质解决实际问题；
3. 提高数学思维能力和逻辑推理能力。

二、教学内容：
1. 数学与几何图形的关系；
2. 数形结合性质的应用。

三、教学重点和难点：
1. 认识数学与几何图形的关系；
2. 运用数形结合性质解决问题。

四、教学方法：
1. 讲授和示范结合；
2. 练习和讨论结合。

五、教学流程：
1. 引入：通过展示一些具有数学特征的几何图形，引导学生发现数学与几何图形的联系；
2. 讲解：介绍数形结合的基本概念和性质，并举例说明；
3. 练习：让学生进行相关练习，巩固所学知识；
4. 拓展：给学生一些实际问题，引导他们运用所学知识解决问题；
5. 总结：总结数学与几何图形结合的性质，并强调应用。

六、教学辅助工具：
1. 几何图形模型；
2. 教学PPT。

七、作业布置：
1. 完成课上练习题；
2. 完成一定数量的相关练习题目。

八、教学反馈：
1. 随堂检测学生对于数形结合性质的理解情况；
2. 收集学生作业，及时反馈学习成果。

九、教学评价：
通过学生的课堂表现和作业情况，评价教学效果，及时调整教学方向，提高教学质量。

高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料一、基础知识整合中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：“数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分离。

数形结合思想是一种重要的解题思想，是高考命题中主要考查的一个内容．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数,向量等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

八、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识；如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识；如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识；主要体现是解析几何。

数形结合一是一个数学思想方法；应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系；其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。

数形结合的思想；其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来；关键是代数问题与图形之间的相互转化。

Ⅰ、再现性题组：1. 设命题甲：0<x<5；命题乙：|x －2|<3；那么甲是乙的_____。

（90年全国文）2. 若log a 2<log b 2<0；则_____。

(92年全国理)A. 0<a<b<1B. 0<b<a<1C. a>b>1D. b>a>13. 如果|x|≤π4,那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是_____。

(89年全国文) A. 212- B. －212+ C. －1 D. 122- 4. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5；那么f(x)的[-7,-3]上是____。

(91年全国)A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－55. 设全集I ＝{(x,y)|x,y ∈R}；集合M ＝{(x,y)| y x --32＝1}；N ＝{(x,y)|y ≠x ＋1}；那么M N ∪等于_____。

(90年全国)A. φB. {(2,3)}C. (2,3)D. {(x,y)|y ＝x ＋16. 如果θ是第二象限的角；且满足cos θ2－sin θ2＝1-sin θ,那么θ2是_____。

7. 已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ；0≤θ≤2π}；F ＝{θ|tg θ<sin θ}；那么E ∩F 的区间是_____。

高中数学复习专题讲座数形结合思想【思想介绍】数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学，简单的说就是“数”与“形”。

“数”与“形”之间是有紧密联系的，既可以由“数”来研究“形”，也可以由“形”来研究“数”，这种“数”与“形”相互转化的数学思想即为数形结合思想。

它是数学中重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位。

数形结合的思想方法的应用可以分为两种情况：一是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合。

在解题时充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和直观形式巧妙结合，寻找合理的、简捷的途径解决问题。

正如著名数学家华罗庚所说“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。

”【考题展示】1.（2010年全国新课标卷理11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等， 且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是【答案】C(A) (1,10) (B) (5,6) (C ) (10,12) (D)(20,24)2.（2010年山东卷理16) 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线:1y x =-被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 .【答案】-3=0x y +3.（2010年陕西卷理20) 如图，椭圆1:2222=+by a x C 的顶点 为,,,,2121B B A A 焦点为12,F F ，711=B A ，112211222A B A B B F B F S S =（1）求椭圆C 的方程；（2）设n 是过原点的直线,l 是与n 垂直相交于P 点,与椭圆相交于A,B 两点的直线，1||=OP ，是否存在上述直线l 使1=•PB AP 成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

高三数学公开课教案数形结合 函数某某县第三中学教学目的：通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。

情感与技能目标：培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。

提高学生观察、分析问题能力和实践动手能力。

教学重点：“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。

教学难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。

教学手段：多媒体辅助教学数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。

“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

在高中阶段较多的是“以形助数”。

一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。

“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。

数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性. 一练习：1.（04某某）定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x ∈[0,2π]时,f(x)=sinx ，则f(53π)的值为（ D ）A. -12 B . 12C. -2D . 2 解析：依据偶函数与周期函数的特征，可以画出y=f(x)∴f(53π)=f(23π2.设函数f(x)= ，若f(x 0)>1，则x 0的取值X 围是（ D ） A. (－1，1) B.（－1，＋∞） C.（－∞，－2）∪（0，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）x⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0,0,1212x x x x3.( 05某某理16)设定义域为为R的函数|lg|1|| ()xf x-⎧=⎨⎩1x≠，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c= 0有7个不同的实数解的充要条件是(A)b<0且c>0；(B)b>0且c<0；(C)b<0且c=0；(D)b≥0且c=0。