2017版高考数学一轮总复习第14章不等式选讲模拟创新题文

知识点14：不等式选讲 1、 设,,R x y z ∈，且1x y z ++=.(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2、 已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1).当1a =时，求不等式()0f x <的解集；(2).若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.3、已知,,a b c 为正数，且满足1abc =.证明：(1)222111a b c a b c++≤++； (2)333()()()24a b b c c a +++≥++4、设函数()52f x x a x =-+--(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围.5、设函数()211f x x x =++-(1)画出()y f x =的图象；(2)当[0)x ∈+∞，时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 6、已知()|1||1|f x x ax =+--.(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.7、已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-.(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[11]-，，求a 的取值范围.8、已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤.9、已知函数()|1||2|f x x x =+--.(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求实数m 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++- 2223[(1)(1)(1)]x y z ≤-++++， 故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+-- 2223[(2)(1)()]x y z a ≤-+-+-， 故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥， 当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +． 由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．2答案及解析：答案：(1)当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.(2)因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.3答案及解析：答案：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++. 所以222111a b c a b c ++≤++.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯24=.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.4答案及解析：答案：(1)当 1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤. (2)()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥.而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立.故()1f x ≤等价于|2|4a +≥.由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-⋃+∞.5答案及解析：答案：(1)13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩， ()y f x =的图象如图所示，(2)由(1)中可得：3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +取最小值. a b ∴+的最小值为5.6答案及解析：答案：(1)当1a =时，()11f x x x =+--，即2,1()2,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，故不等式()1f x >的解集为1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. (2)当(0,1)x ∈时，11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时11ax -<成立. 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时，11ax -≥. 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤. 综上，a 的取值范围为(]0,2.7答案及解析：答案：(1)当1a =时， ()()f x g x ≥，化为2411x x x x -++≥++-，当1x <-时， 2411x x x x -++≥--+-，即2340x x --≤，14x -≤≤，无解；当11x -≤≤时，2411x x x x -++≥++-，即220x x --≤，12x -≤≤，∴11x -≤≤； 当1x >时，2411x x x x -++≥++-，即240x x +-≤，1122x --+≤≤，∴112x <≤， 综上所述， ()()f x g x ≥解集为|1x x ⎧⎪-<≤⎨⎪⎪⎩⎭. (2)由(1)知，当11x -≤≤，则242x ax -++≥，即220x ax --≤，x ≤≤ ∵()()f x g x ≥的解集包含[11]-，，∴121a ≤-≥⎧⎪⎪ ， ∴11a a ≤≥-⎧⎨⎩，∴11a -≤≤，∴a 的取值范围是[11]-，.8答案及解析：答案：(1) 556556()()a b a b a ab a b b ++=+++ 3325533()2a b ab a b a b =+++-242242(2)ab b a b a =+-+22222()ab b a =+-4≥.(2)因为()3322333a b a a b ab b +=+++ ()23ab a b =++()()2324a b a b +≤++()3324a b +=+，所以()38a b +≤，因此2a b +≤.9答案及解析：答案：（1）①当1x ≤-时，13)2()1()(≤-=+++-=x x x f 无解； ②当12x -<<时，12)2(1)(-=+++=x x x x f ，由112≥-x ，可得1≥x ，∴12x << ③当2x ≥时，3)2(1)(=--+=x x x f ，Θ13>，∴2≥x . 综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.（2）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥， 成立，即 2max [()]f x x x m -+≥，设2()()g x f x x x =-+，由(1)知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩ 当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-其开口向下，对称轴112x =>-()(1)1135g x g ∴≤-=---=-当12x -<<时，2()31g x x x =-+-其开口向下，对称轴为32x =3995()()12424g x g ∴≤=-+-=当2x ≥时，2()3g x x x =-++， 其开口向下，对称轴为12x =，∴()(2)4231g x g ≤=-++=，综上 max 5()4g x =，∴m 的取值范围为 5(,]4-∞.。

2017届高三数学一轮复习 专题突破训练不等式1、（2015年全国I 卷）若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．2、（2014年全国I 卷）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-33、（2013年全国I 卷）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤3，－1≤x－y≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．4、（佛山市2015届高三二模）由不等式组22024010x y x y x --≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩确定的平面区域记为M ，若直线320x y a -+=与M 有公共点，则a 的最大值为（ ）A ．3-B ．1C ．2D ．45、（广州市2015届高三一模）若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C. (],1-∞-D. (),1-∞-6、（华南师大附中2015届高三三模）若y x , 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥+12122y x y x y x ,且向量)2,3(=→a ，),(y x b =→，则→→⋅b a 的取值范围是(***)A ．]5,45[B ．]5,27[C ．]4,45[D ．]4,27[7、（惠州市2015届高三4月模拟）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于 （ ）A ．7B ．8C ．11D ．108、（茂名市2015届高三二模）若,x y 满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩, 则2x y +的最小值为( )A. 0B. 4-C.4D. 39、（梅州市2015届高三一模）已知实数,x y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则x y +的最小值为A 、2B 、3C 、4D 、510、（深圳市2015届高三二模）若实数,x y 满足2221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为 ．11、（湛江市2015届高三二模）某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件2525x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该校招聘的教师最多是 名． 12、（潮州市2015届高三上期末）设z x y =+，其中实数x ，y 满足2006x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为（ ）A ．12B ．6C ．0D ．6-13、（东莞市2015届高三上期末）设变量 x , y 满足约束条件,则目标函数z ＝x －y （ ）A ．有最小值－3，最大值2B ．有最小值1，无最大值C ．有最大值2，无最小大值D ．既无最小值，也无最大值14、（惠州市2015届高三上期末）设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则yx 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．95D ．1 15、（汕头市2015届高三上期末）已知实数x ，y 满足不等式组242x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．716、（韶关市2015届高三上期末）设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．4-B ．4C ．3D ．3-17、（珠海市2015届高三上期末）若变量x ，y 满足约束条件2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，从可行域里任意取一点（x ，y ）则2x －y ＞0的概率为 A 、23B 、12C 、13D 、1418、（广州市2015届高三上期末）不等式2230x x --<的解集是19、（汕头市2015届高三上期末）已知函数()22f x mx nx =+-（0m >，0n >）的一个零点是2，则12m n+的最小值为 20、（韶关市2015届高三上期末）已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在不同的两项m a 和n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值是_______参考答案 1、【答案】4 【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.2、【答案】：B【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a 5或a3.但a5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a 3. 选B.3、3 [解析] 点(x ，y)是平面内平行线x ＝1，x ＝3与平行线x －y ＝－1，x －y ＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z ＝0，1，2，3，所以z ＝2x －y 的最大值为3. 4、D 5、A 6、A7、D 【解析】作出不等式组对应的平面图象如下图的阴影部分，2z x y =+表示斜率为2-的直线系，z 表示直线在y 轴上的截距，由图象可知当直线过B 点时z 取得最大值，最大值为24210z =⨯+=8、B 9、A 10、4511、10 12、A 13、B 14、B 15、B 16、B 17、B 18、()1,3- 19、8 20、32。

2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则 (a2 ＋ b2)(c2 ＋
2 2 ( ac ＋ bd ) d )≥
(当且仅当ad＝bc时，等号成立).
②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α· β| ， 等号当且仅当α，β共线时成立.
解 因为 6＝x＋2y＋3z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋9，
2 2 2
18 y z 所以 x ＋y ＋z ≥ 7 ，当且仅当 x＝2＝3
3 6 9 18 2 2 2 即 x＝7，y＝7，z＝7时，x ＋y ＋z 有最小值 7 .
思维升华
解析答案
跟踪训练3
x2 y2 已知大于 1 的正数 x， y， z 满足 x＋y＋z＝3 3.求证： ＋ x＋2y＋3z y＋2z＋3x z 3 ＋ ≥2. z＋2x＋3y
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
1 即 ab＋bc＋ca≤3.
解析答案
a2 b2 c2 (2) b ＋ c ＋ a ≥1.
证明 a2 b2 c2 因为 b ＋b≥2a， c ＋c≥2b， a ＋a≥2c，
a2 b2 c2 故 b ＋ c ＋ a ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
a b c 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
解析答案
1
2
3
4
5
6
1 1 ∴x＋y x＋y min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.
1
2
3
解析答案
返回
题型分类 深度剖析
题型一
用综合法与分析法证明不等式
1 (1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋ 2 2≥2y＋3； x －2xy＋y

第十四章选考内容不等式选讲一、2017年考试大纲(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式nx x n +>+11）（ （x 〉—1,x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

(7）会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值。

（8）了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法,放缩法。

二、真题汇编1。

【2016课标Ⅰ理24】已知函数f （x ）=｜x+1｜﹣｜2x ﹣3|． (Ⅰ）在图中画出y=f(x ）的图象；（Ⅱ）求不等式|f （x)|＞1的解集．2. 【2016课标Ⅱ理24】已知函数|21||21|)(++-=x x x f ，M 为不等式f （x ）＜2的解集．（Ⅰ)求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab ｜．3。

【2016课标Ⅲ理24】已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ．（Ⅰ）当a=2时,求不等式f （x ）≤6的解集;（Ⅱ)设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x∈R 时，f （x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．4。

【2015课标Ⅰ理24】 已知函数f(x ）=|x+1|﹣2|x ﹣a|，a ＞0．(Ⅰ)当a=1时,求不等式f（x）＞1的解集;（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．5. 【2015课标Ⅱ理24】设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；(2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d｜的充要条件．6。

【2014课标I理24】若a＞0，b＞0,且+=．(Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6?并说明理由．7.【2014课标Ⅱ理24】设函数f(x)=|x+|+｜x﹣a｜（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；(Ⅱ）若f（3）＜5,求a的取值范围．8.【2013课标Ⅰ理24】已知函数f（x）=｜2x﹣1|+｜2x+a｜，g（x）=x+3．(Ⅰ)当a=﹣2时，求不等式f(x)＜g（x)的解集;（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．9．【2013课标Ⅱ理24】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1,证明：(Ⅰ）（Ⅱ）．10。