2017届高三数学一轮复习第十四篇不等式选讲第2节证明不等式的基本方法基丛点练理

证明:要证 a+b+c≥ 3 ,由于 a,b,c>0,因此只需证明(a+b+c)2≥3. 即证 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,而 ab+bc+ca=1, 故需证明 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 即证 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
而这可以由 ab+bc+ca≤ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 =a2+b2+c2(当且仅当
2
【例 2】 已知函数 f(x)= 1 x2 ,设 a、b∈R,且 a≠b, 求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
证明:法一 |f(a)-f(b)|<|a-b| | 1 a2 - 1+b2 |<|a-b| ( 1 a2 - 1+b2 )2<(a-b)2
2+a2+b2-2 1 a2 1+b2 <a2+b2-2ab
求证: a + b + c ≥ 3 ( a + b + c ).
bc ac ab
证明: a + b + c = a b c .又知 a+b+c≥ 3 . bc ac ab abc
因此要证原不等式成立,只需证明 1 ≥ a + b + c ,
abc
即证 a bc +b ac +c ab ≤1,即证 a bc +b ac +c ab ≤ab+bc+ca,

[变式训练]
已知 a＞b＞c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac＜ 3a.

考点 2 综合法证明不等式(讲练互动) 【例 1】 (2017·全国卷Ⅱ)已知实数 a>0，b>0，且 a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 证明：(1)因为 a＞0，b＞0，且 a3＋b3＝2. 则 (a＋ b)(a5 ＋ b5) ＝ a6＋ ab5 ＋ a5b＋ b6 ＝ (a3＋ b3)2 － 2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4－2a2b2＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2 ≥4.

【例 2】 (2016·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝x－12＋ x＋12，M 为不等式 f(x)＜2 的解集．
(1)求 M； (2)证明：当 a，b∈M 时，|a＋b|＜|1＋ab|.
－2x，x≤－12， (1)解：f(x)＝1，－12＜x＜12，

因为 a≥b＞0，所以 a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故 2a3－b3≥2ab2－a2b， 即 M≥N. 答案：(1)A (2)M≥N

3．典题体验
(1)已知 a，b∈R，则使不等式|a＋b|<|a|＋|b|一定成

(2)综合法与分析法． ①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、 性质等，经过一系列的_推__理__论__证__而得出命题成立．综合 法又叫顺推证法或由因导果法． ②分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 _充__分__条__件__，直到将待征不等式归结为一个已成立的不等 式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果 索因”的证明方法．

(2)证明：由(1)知，当 a，b∈M 时，－1＜a＜1，－1 ＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－ 1)(1－b2)＜0，

选修４—５不等式选讲第２课时不等式证明的基本方法（对应学生用书（理）２00～２0２页）考情分析考点新知证明不等式的基本方法．１了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法.２能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式.１．设a、b∈R＋，试比较错误!与错误!的大小．解：∵ （错误!）２—错误!错误!＝错误!≥0，∴错误!≥错误!.２．若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝１，求错误!＋错误!＋错误!的最大值．解：（１·错误!＋１·错误!＋１·错误!）２≤（１２＋１２＋１２）（a＋b＋c）＝３，即错误!＋错误!＋错误!的最大值为错误!.３．设a、b、m∈R＋，且错误!<错误!，求证：a＞Ｂ．证明：由错误!<错误!，得错误!—错误!＝错误!＜0．因为a、b、m∈R＋，所以b—a＜0，即b＜Ａ．４．若a、b∈R＋，且a≠b，M＝错误!＋错误!，N＝错误!＋错误!，求M与N的大小关系．解：∵ a≠b，∴错误!＋错误!>２错误!，错误!＋错误!>２错误!，∴错误!＋错误!＋错误!＋错误!>２错误!＋２错误!，即错误!＋错误!>错误!＋错误!，即M>N.５．用数学归纳法证明不等式错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!（n>１，n∈N*）的过程中，用n＝k ＋１时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式Ａ．解：当n＝k时，左边＝错误!＋错误!＋…＋错误!，n＝k＋１时，左边＝错误!＋错误!＋…＋错误!，故左边增加的式子是错误!＋错误!—错误!，即A＝错误!.１．不等式证明的常用方法（１）比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．（２）综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．（３）分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．２．不等式证明的其他方法和技巧（１）反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．（２）放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C１≥C２≥…≥C n≥B，利用传递性达到证明的目的．（３）数学归纳法[备课札记]题型１用比较法证明不等式例１求证：a２＋b２≥ab＋a＋b—１．证明：∵ （a２＋b２）—（ab＋a＋b—１）＝a２＋b２—ab—a—b＋１＝错误!（２a２＋２b２—２ab—２a—２b＋２）＝错误![（a２—２ab＋b２）＋（a２—２a＋１）＋（b２—２b＋１）]＝错误![（a—b）２＋（a—１）２＋（b—１）２]≥0．∴a２＋b２≥ab＋a＋b—１．错误!已知a>0，b>0，求证：错误!＋错误!≥错误!＋错误!.证明：（证法１）∵ 错误!—（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥0，∴原不等式成立．（证法２）由于错误!＝错误!＝错误!＝错误!—１≥错误!—１＝１．又a>0，b>0，错误!>0，∴错误!＋错误!≥错误!＋错误!.题型２用分析法、综合法证明不等式例２已知x、y、z均为正数，求证：错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!.证明：（证法１：综合法）因为x、y、z都是正数，所以错误!＋错误!＝错误!错误!≥错误!.同理可得错误!＋错误!≥错误!，错误!＋错误!≥错误!.将上述三个不等式两边分别相加，并除以２，得错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!.（证法２：分析法）因为x、y、z均为正数，要证错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!.只要证错误!≥错误!，只要证x２＋y２＋z２≥yz＋zx＋xy，只要证（x—y）２＋（y—z）２＋（z—x）２≥0，而（x—y）２＋（y—z）２＋（z—x）２≥0显然成立，所以原不等式成立．错误!已知a>0，求证：错误!—错误!≥a＋错误!—２．证明：要证错误!—错误!≥a＋错误!—２，只需证错误!＋２≥a＋错误!＋错误!，只需证a２＋错误!＋４＋４错误!≥a２＋错误!＋２＋２错误!错误!＋２，即证２错误!≥错误!错误!，只需证４错误!≥２错误!，即证a２＋错误!≥２，此式显然成立．∴原不等式成立．题型３均值不等式与柯西不等式的应用例３求证：错误!≥错误!.证明：∵ （１２＋１２＋１２）（a２＋b２＋c２）≥（a＋b＋c）２，∴错误!≥错误!，即错误!≥错误!.错误!若实数x、y、z满足x＋２y＋３z＝a（a为常数），求x２＋y２＋z２的最小值．解：∵ （１２＋２２＋３２）（x２＋y２＋z２）≥（x＋２y＋３z）２＝a２，即１４（x２＋y２＋z２）≥a２，∴x２＋y２＋z２≥错误!，即x２＋y２＋z２的最小值为错误!.错误!用数学归纳法证明：当n是不小于５的自然数时，总有２n>n２成立．证明：（１）当n＝５时，２５>５２，结论成立．（２）假设当n＝k（k∈N，k≥５）时，结论成立，即有２k>k２，那么当n＝k＋１时，左边＝２k＋１＝２·２k>２·k２＝（k＋１）２＋（k２—２k—１）＝（k＋１）２＋（k—１—错误!）（k—１＋错误!）>（k＋１）２＝右边.∴也就是说，当n＝k＋１时，结论成立．∴由（１）、（２）可知，不等式２n>n２对n∈N，n≥５时恒成立．例４求函数y＝错误!＋错误!的最大值．解：∵y２＝（错误!＋错误!·错误!）２≤[１２＋（错误!）２]（１—x＋２＋x）＝３×３，∴y≤３，当且仅当错误!＝错误!时取“＝”号，即当x＝0时，y max＝３．错误!（２0１１·湖南改编）设x、y∈R，求错误!错误!的最小值．解：由柯西不等式，得错误!错误!≥（１＋２）２＝9．∴ 错误!错误!的最小值为9．１．（２0１３·陕西）已知a、b、m、n均为正数，且a＋b＝１，mn＝２，求（am＋bn）（bm ＋an）的最小值．解：利用柯西不等式求解，（am＋bn）（an＋bm）≥（错误!＋错误!）２＝mn·（a＋b）２＝２·１＝２，且仅当错误!＝错误!m＝n时取最小值２．２．（２0１３·湖北）设x、y、z∈R，且满足x２＋y２＋z２＝１，x＋２y＋３z＝错误!，求x＋y＋z 的值．解：由柯西不等式可知（x＋２y＋３z）２＝１４≤（x２＋y２＋z２）·（１２＋２２＋３２），因为x２＋y２＋z２＝１，所以当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取等号．此时y＝２x，z＝３x代入x＋２y＋３z＝错误!得x＝错误!，即y＝错误!，z＝错误!，所以x＋y＋z＝错误!.３．（２0１３·江苏）已知a≥b>0，求证：２a３—b３≥２ab２—a２Ｂ．证明：∵ ２a３—b３—２ab２＋a２b＝（２a３—２ab２）＋（a２b—b３）＝２a（a２—b２）＋b（a２—b２）＝（a２—b２）（２a＋b）＝（a＋b）（a—b）（２a＋b），又a≥b>0，∴a＋b>0，a—b≥0，２a＋b≥0，∴（a＋b）（a—b）（２a＋b）≥0，∴２a３—b３—２ab２＋a２b≥0，∴２a３—b３≥２ab２—a２Ｂ．４．（２0１３·新课标Ⅱ）设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝１．证明：（１）ab＋bc＋ca≤错误!；（２）错误!＋错误!＋错误!≥１．证明：（１）由a２＋b２≥２ab，b２＋c２≥２bc，c２＋a２≥２ca，得a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋cＡ．由题设得（a＋b＋c）２＝１，即a２＋b２＋c２＋２ab＋２bc＋２ca＝１．所以３（ab＋bc＋ca）≤１，即ab＋bc＋ca≤错误!.（２）因为错误!＋b≥２a，错误!＋c≥２b，错误!＋a≥２c，故错误!＋错误!＋错误!＋（a＋b＋c）≥２（a＋b＋c），即错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋Ｃ．所以错误!＋错误!＋错误!≥１．１．已知正数a、b、c满足abc＝１，求证：（a＋２）（b＋２）（c＋２）≥２7．证明：（a＋２）（b＋２）（c＋２）＝（a＋１＋１）（b＋１＋１）（c＋１＋１）≥３·错误!·３·错误!·３·错误!＝２7·错误!＝２7（当且仅当a＝b＝c＝１时等号成立）．２．已知函数f（x）＝m—|x—２|，m∈R，且f（x＋２）≥0的解集为[—１，１]．（１）求m的值；（２）若a，b，c∈R，且错误!＋错误!＋错误!＝m，求证：a＋２b＋３c≥9．解：（１）∵ f（x＋２）＝m—|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，—m≤x≤m，∴f（x＋２）≥0的解集是[—１，１]，故m＝１．（２）由（１）知错误!＋错误!＋错误!＝１，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋２b＋３c＝（a＋２b＋３c）错误!≥（错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!）２＝9．３．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝１（１）若２x２＋３y２＋6z２＝１，求x，y，z的值．（２）若２x２＋３y２＋tz２≥１恒成立，求正数t的取值范围．解：（１）∵ （２x２＋３y２＋6z２）（错误!＋错误!＋错误!）≥（x＋y＋z）２＝１，当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取“＝”．∴ ２x＝３y＝6z，又∵ x＋y＋z＝１，∴x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!.（２）∵ （２x２＋３y２＋tz２）错误!≥（x＋y＋z）２＝１，∴（２x２＋３y２＋tz２）min＝错误!.∵２x２＋３y２＋tz２≥１恒成立，∴错误!≥１．∴t≥6．４．（１）求函数y＝错误!＋错误!的最大值；（２）若函数y＝a错误!＋错误!最大值为２错误!，求正数a的值．解：（１）∵ （错误!＋错误!）２≤（１＋１）（x—１＋５—x）＝8, ∴错误!＋错误!≤２错误!. 当且仅当１·错误!＝１·错误!即x＝３时，y max＝２错误!.（２）（a错误!＋错误!）２＝错误!２≤（a２＋４）（x＋１＋错误!—x）＝错误!（a２＋４），由已知错误!（a２＋４）＝２0得a＝±２，又∵ a>0，∴a＝２．１．算术—几何平均不等式若a１，a２，…，a n∈R＋，n>１且n∈N*，则错误!叫做这n个正数的算术平均数，错误!叫做这n个正数的几何平均数．基本不等式：错误!≥错误!（n∈N*，a i∈R＋，１≤i≤n）．２．绝对值三角形不等式若a、b是实数，则||a|—|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.推论１：|a１＋a２＋…＋a n|≤|a１|＋|a２|＋…＋|a n|.推论２：如果a、b、c是实数，那么|a—c|≤|a—b|＋|b—c|，当且仅当（a—b）（b—c）≥0时，等号成立．３．柯西不等式若a、b、c、d为实数，则（a２＋b２）（c２＋d２）≥（ac＋bd）２.４．三角不等式设x１、y１、x２、y２∈R，则错误!＋错误!≥错误!.错误![备课札记]。

(理3)、作定差理法、与性作质商法:作差法是作差后与__比较,作商法是把两个_____作商后与__
比较.
结论
充分条件
已知条件或一个明显成立的事实
0
正数
1
2.基本不等式 (1)基本不等式判断大小的基本原则:积定_______,和定_______. (2)基本不等式使用的基本原则:_________和__最__小__. 积最大
第二节 证明不等式 的基本方法
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】
1.不等式的证明方法
(1)综合法:又叫顺推证法或由因导果法,方法是从__________________________
_______________等逐步推导出结论.
(2)分析法:又叫执果索因法,方法是从_____出发,逐已步知寻条找件结出论发成,利立用的定__义__、__公___, 直至所需条件为_____________________________.
提示:(1)×.不知道x的正负,不能直接用基本不等式. (2)×.作商比较法是商与1的大小比较. (3)√.综合法是从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等逐步推导出结论. (4)×.分析法是从结定三相等
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知x为实数,则1+x+ ≥3. ( ) (2)比较法最终要判断式子1的符号得出结论. ( ) (3)综合法是从原因推导到x结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理, 最后达到待证的结论. ( ) (4)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论 成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. ( )