有效应力原理例题

适用性: (1) 距离集中力作用点不宜太近，否则超过弹性范围；
(2) 工程上，小范围分布的竖向荷载可简化成集中力，
此时，只要应力计算点到荷载分布区域超过一定范围，
误差可忽略。
多个竖向集中力作用下地基中附加应力（叠加法）
第19页/共49页
§3-3地基中的附加应 力 不规则分布竖向集中力作用下地基中附加应力
M (F G)e
e —— 偏心距
W ——与弯矩M对应的截面抵抗矩，此处：
W bl 2 6
偏心荷载作用下基底压力的三种分布形式：
a) e<L/6 (梯形分布)
第11页/共49页
§3-2 基底压力
b) e=L/6 三角形分布
c) e>l/6时，理论上将出现拉应力，而实际不可能，因此，基底压力 重新调整。调整后，只出现沿基础局部（而非整个基础底面）的压 应力 基础底面最大压应力计算的依据：
概念：建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上
的应力。→地基发生变形→建筑物沉降
计算：采用弹性力学理论解答
假定 地基土是均质、各向同性的半无限空间线弹性
体。
思路 竖向集中力作用下
各种分布荷载作用
下
叠加原理
第16页/共49页
§3-3地基中的附加应 力 3.3.1布辛奈斯克(Boussinesq,1885)解
§3-4 有效应力原理
● 四大定律： 1 压缩定律（d e = - a d p） 2 Coulomb强度定律 3 Dachy定律 ( v = k i ) 4 有效应力原理
构成了整个土力学学科的结构体系。
第32页/共49页
§3-4 有效应力原理
● 有效应力原理
描述总应力、有效应力和孔隙压力三者之间的关系的理论原理 当土体承受力系时，作用于任一平面上的总应力是由土骨架所发挥的有效应力

1.92
13.0 15.5 8.5
漂砾粘土
10
9.5
2.08
9.5 10.5 8.5
漂砾粘土
19
10.7
2.02
10.7 12.4 26.0
残积粘土
20
27.5
1.51
27.5 31.5 20.0
残积粘土
44
23.0
1.57
23.0 25.0
注
试样直径为 100mm，高 200mm，以标准击实功能击实。
A A u(1 a) A
或
u( 1 a )
(1-16)
接触面积 a 难以测定，不过其值很小，可以忽略不计，故式(1-16)可以写成：
u
以式(1-14)、式(1-15)代入式(1-17)，得：
(1-17)
h2 ( w ) h2
u hw w (h1 h2 ) w
1
(1-14)
h1
hw h2 2 a a ( a) 3 3 b b b b 6 5 4
· A
· A
· A
( b)
· A
(c)
图 1-17 沉积土内的应力 (a) 沉积土层；(b)完全饱和；(c)部分饱和 1— 水位；2—土体单元；3—土颗粒； 4—孔隙水；5—孔隙气；6—孔隙水
A f 值。
6
三轴试验原理与应用技术
表 1-7
孔隙压力系数 B 和 A f （不排水剪测得）
孔隙压 力系数
粘粒含量 土 类 <0.002mm (%)
最优含水率 w (%)
最大干密度
试验时含 水率 w (%) 6.8
孔隙压 力系数 B 0.06 0.26 0.90 0.02 0.23 0.46 0.04 0.26 0.54 0.03 0.27 0.69 0.05 0.05 0.14 0.03 0.16 0.36

二、基底压力的分布规律
1、弹性地基上的柔性基础(EI=0) 土坝(堤)、路基、油罐等薄板基础 机场跑道。可认为土坝底部的接触 压力分布与土坝的外形轮廓相同其大小等于各点以 上的土柱重量
§4.3 基底压力
2、弹性地基上的刚性基础(EI=) 砂土地基：由于颗粒间无粘聚力 基底压力呈抛物线分布
粘土地基：由于颗粒间有粘聚力 基础边缘能承受压力，荷载较小 时呈马鞍形分布，随着荷载增加 基底压力类似于抛物线分布
的应力与应变的基本关系出发来研究。 当应力很小时，土的应力·应变关系曲线 就不是一根直线，亦即土的变形具有明 显的非线性特征。
§4.1 概述
一、应力—应变关系假设
线弹性体
目前在计算地基中的应力时， 常假设土体为连续体、线弹性 及均质各向同性体。
实际上土是各向异性的、弹塑 性体
二、地基中的几种应力状态
2.按土体中骨架和孔隙的应力承担原理或应力传递方 式可分为有效应力和孔隙应力。
有效应力由土骨架传递或承担的应力。只有当土骨架传递或承 担应力后土体颗粒才会产生变形。同时增加了土体的强度 孔隙应力：由土中孔隙流体水和气体传递或承担的应力。
3.总应力： 总应力=有效应力+孔隙应力
研究地基的应力和变形，必须从土
验算土体的稳定性
土中应力按引起原因可分为：自重应力和附加应力
土中应力按传递方式可分为：有效应力和孔隙应力
土中应力：指土体在自身重力、建筑物和构筑物荷载，以及其 他因素（土中水的渗流、地震等）作用下，土中产生的应力。
1按引起的原因分为自重应力和附加应力
自重应力：由土体自身重量所产生的应力。由土粒骨架承担 附加应力：由外荷载（静或动）引起的土中应力。使土体彻底 产生变形和强度变化的主要原因。

24
§5.1 土的有效应力原理
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 2.附加应力作用情况
(1) 侧限应力状态及一维渗流固结
▪ 实践背景：大面积均布荷载 p
p
饱和压缩层 不透水岩层
σz=p
侧限应力状态
25
§5.1 土的有效应力原理
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 2.附加应力作用情况
(1) 侧限应力状态及一维渗流固结
1 3
体积V
孔隙流体的体积变化
V1 Cf uA nV
3(1 2) Cs E
土骨架的体积变化 暂时假定土骨架为线弹性体
uA
V2 v V (1 2 3 )V
总应力增量 有效附加应力
应变增量
轴向 1 3 1 3 uA [(1 3 uA ) 2(uA )]/ E
侧向
0
uA
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1.自重应力情况
(1) 静水条件 毛细饱和区
总应力 － 孔隙水压力 ＝ 有效应力
H
毛细饱
和区 sat hc
ht
hw
whc -
H whc
H satht
+
whw H satht whw 20
§5.1 土的有效应力原理
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1.自重应力情况
u
u w (H h) satH w (H h)
H wh 渗透压力: wh
22
§5.1 土的有效应力原理
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1.自重应力情况
取土骨架为隔离体
向上渗流: Δh
向下渗流:
H
粘土层 γsat
H wh

特点：一般自重应力不产生地基变形（新填土除 外）；而附加应力是产生地基变形的主要原因。
整理ppt
3
概述
有效应力：由土骨架传递或承担的应力
孔隙应力：由土中孔隙水承担的应力 静孔隙应力与超孔隙应力
自重应力：由土体自身重量所产生的应力
附加应力：由外荷载(建筑荷载、车辆荷载、 土中水的渗流力、地震作用等)的作用，在土
整理ppt
均匀 E
1
E2<E
1 50
3.4 有效应力原理
wF2 1ER z2321R 1
整理ppt
34
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛奈斯克课题
z
3F
2
z3 R5
R 2r2z2x2y2z2
z3 2 FR z3 523 [1(r/1z)2]5/2
F z2
3
1
2[1(r/z)2]5/2
集中力作用下的 地基竖向应力系数
整理ppt
z
F z2
查表3.1
a.矩形面积内
z (c Ac Bc Cc D )p
BA
C
h
b.矩形面积外
a
z (c be gc a hf gc c he gc d i ) fp gi
D ig df
整理ppt
b
c e42
c.矩形面积边缘线上
z (cIcI)Ip
d.矩形面积边缘线外侧
z (c I cI IcI II cI )p V
dPpdxdy dz 32dPR z35 23p R z35dxdy
z0 b0 ldzz(p,m ,n)
m=l/b, n=z/b
c F(bl ,bz)F(m,n)
dP

A 是一个反映土体剪胀性强弱的指标，其大小 与土性有关。 A不是常数，随加载过程而变化
有效应力原理
§4.5 有效应力原理
附加应力情况
问题: 能否对孔压系数 A 作进一步的解释？
纯剪应力状态
弹性体在承受纯
剪荷载时不发生 体积应变
有效应力原理
§4.5 有效应力原理
附加应力情况
问题: 能否对孔压系数 A 作进一步的解释？
压力水中，施加轴向力，应力状态明确；变形量测简单 可控制排水条件；可完整的描述试样受力、变形和破坏的
全过程；可进行不同应力路径的试验
三轴：同“单轴”对应，表明土样在三个方向受
力
常规：同“真”对应，表明土样在两个方向受到
相同压力（室压力）的作用，并非真正的三轴应
力
有效应力原理
§4.6 常规三轴压缩试验
Hc
H1+satHc
u=-wHc
(-) 毛细饱
和区
H
s at
H2
(-)
A
σ=σ-u u=wH2 H1 satH
(+)
u=wH2
有效应力原理
自重应力情况
稳定渗流条件：
Δh
H
粘土层 sat
砂层(承压水)
向上渗流
Δ
H sat
h
砂层（排水）
向下渗流
有效应力原理
自重应力情况
稳定渗流条件：向上渗流
Δh
为隔离体
u = w(H+h)
• 有效应力：自重应力+渗透力
H
自重应力: sz H
sat
渗透应力:
jz
J A
jV A
jH
wh

z p
Z 为了模拟饱和土体受到连续均布荷载作用后，在土中 所产生的孔隙水压力以及u与σ′随时间t的变化规律， 1925年太沙基最早提出了一个渗压模型，如图3-24所示。
通过模拟侧限状态下饱和土体的渗流固结过程，可以 得到如下的两点认识：
（1）整个渗流固结过程中u和σ′都是随时间t而不断变 化着的，即u=f(t)，σ′=f(t)。渗流固结过程实质上就是 土中两种不同应力形态的转化过程。
推导：
若单位断面积A—A上颗粒接触点面积为a，则孔隙水 压力作用面积为1-a。则有：
u1 a
又a很小，可忽略不计，故： u 上式即为太沙基提出的饱和土体有效应力原理。它是 研究土体固结和强度的重要理论基础。 饱和土体有效应力原理的要点:
1．饱和土体内任一平面上受到的总应力等于有效应力加孔 隙水压力之和；
2．土的变形（压缩）与强度的变化都仅取决于有效应力的 变化。
二、饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 （一）自重应力作用下的两种应力
h2
图3-22a为处于水下的饱和土层，在地面下h2深处的A点， 由于水体和土体自重对地面以下A点处作用的垂向总应 力σ为：
式中：γw--水的重度，kN/m3；γsat--土的饱和重度，kN/m3。 A点处由孔隙水传递的静水压力，即孔隙水压力为：
在渗流产生的渗透力的作用下，其有效应力与渗流作用 的方向有关。当自上而下渗流时，将使有效应力增加，因
而对土体的稳定性有利。反之，若向上渗流则有效应力减 小，对土体的稳定性不利，若使得有效应力减少至0，即 可能发生所谓的流砂和管涌现象，造成地基或边坡的失稳。
三、附加应力作用下孔隙水压力和有效应力的计算
解：1）地下水位以上无 毛细饱和区时的σ、u、σ′ 分布值见下表。σ、u、σ′ 沿深度的分布如下图中实线 所示。

一. 有效应力原理的基本概念
2. 饱和土的有效应力原理
变形的原因
颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’有关
接触点处应力过大而破碎—与 σ’有关
强度的成因
凝聚力和摩擦—与σ’有关
试想： 海底与土粒间的接触压
孔隙水压力的作用
力哪一种情况下大？
它在各个方向相等，只能使土颗粒本身受
1m
到等向压力，由于颗粒本身压缩模量很大，
§5.1 土的有效应力原理
一. 有效应力原理的基本概念
1. 饱和土中的应力形态 A
A： 土单元的断面积
a-a断面通过土颗粒 的接触点
As： 颗粒接触点的面积
A AS Aw
Aw： 孔隙水的断面积
a
a
u：孔隙水压力
a-a断面竖向力平衡：
A Psv uAw
Psv Aw u
AA
PS
PSV
(1) 静水条件 地下水位
H 1
1. 自重应力情况
σ’=σ-u =γH1+γsatH2-γwH2 =γH1+(γsat-γw)H2 =γH1+γ’H2
sat H 2
σ’=σ-u u=γwH2
H1 satH2
u=γwH2
地下水位下降引起σ’ 增大的部分
地下水位下降会引起 σ’增大，土会产生 压缩，这是城市抽水 引起地面沉降的主要 原因之一。
土的有效应力原理
南京工业大学 交通学院 孔玉侠
§5.1 土的有效应力原理
一.有效应力原理的基本概念
1. 饱和土中的应力形态 2. 饱和土的有效应力原理 3. 有效应力原理的意义
二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算
1. 自重应力情况 2. 附加应力情况

A
B
量筒A和量筒B底部都受到了相同压力σ的作用，但产生两种 不同的效果，反映了土体中存在两种不同性质的压力，即： （1）有效应力；（2）孔隙水压力
现取作用于饱和试样截面中任一点总应力来分析。
A： 土单元的断面积 As： 颗粒接触点的面积 Aw： 孔隙水的断面积
A AS Aw
外荷载 总应力 A
u H
w(H1+H2+h)
2


wh
➢ 与自上向下渗流情况相比，孔隙压力增加了2wh，而有 效应力相应减少了2wh 。若不断增加向上渗流的水位差h， 直到aa平面的孔隙水压力与总应力相等，即有效应力为零，
则由上式得到
w
h H2
wi

j
流土的临界条件
1、课后思考题不要求，应能自己组织 出答案。 2、习题3.2、3.5、3.10
H
• a-a平面有效应力： = -u
sat H2
a
=( wH1+ satH2)-w(H1+H2) a
γwH1 a
=(sat-w)H2=H2
wH1 satH2 wH w H2
可见：静水条件下的孔隙水压力为所研究平面上单位面积的水
柱重，它与水深成正比，呈三角形分布，而有效应力为所研究平
饱和土的有效应力原理
二、在静水条件下土的孔隙水压力和有效应力
浸没在水下的饱和土体(海洋土)，设浸没水深为H1，土的饱 和重度为 ，则土面下深度为H2的a-a平面的总应力为 • 总应力：单位土柱和水柱
的总重量
σ=wH1+ satH2
• 孔隙水压力：净水压强
Hw
H1
γwH1
u= wHw= w(H1+H2)

应取浮重度代替。
Z γ2
H2
(2)若地下水位以下存在不透水层，在不透水层顶面处的 自重应力等于全部上覆的水、土总重。
γ3 H3
n
∑ σ cz = γ i hi + γ whw i =1
γ1 (γ1 < γ2) γ2
γ′2
自重应力的分布规律
(1)自重应力随深度增加而线性增大。 (2)自重应力在土层分界面处和地下
2 饱和土体所承受的总应力为有效应力和空隙水压力之和
σ =σ′+μ
σ′=σ −μ
2
孔隙流体
三相体系
土＝ 固体颗粒骨架 + 孔隙水 + 孔隙气体
有效应力：由土颗粒传递的粒间应力，σs 孔隙应力：由土中水和气传递的应力，μw μa
有效应力+孔隙应力=总应力σ
有效应力原理的推导：
由平衡条件：
σA = σ s As + ua Aa + uw Aw
K0——土的静止侧压力系数
*当地基中存在地下水时：
用土的有效重度（浮重度）代替天然重度。
σ cz = γ ' z
土中任一点的自重应力实际上是土体的有效自重应力。
5
2） 成层土的自重应力
n
∑ σ cz = γ 1h1 + γ 2h2 + " γ nhn =
γ ihi
γ1
H1
i=1
注意：(1)若有地下水存在，则地下水位以下各层土的重度
9
2.基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载
基础抗弯刚度EI=0 → M=0； 基础变形能完全适应地基表面的变形; 基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。

ZSOIL（Zero-Sum Of Intergranular Pressure）有效应力原理认为，岩土体中的任何一点，其零应力状态下的有效应力与该点上的应力大小相等，方向相反，且它们的净应力为零。

具体而言，在作用力平衡的情况下，应力分量和方向的组合使得每一点上为零应力的分量和方向的组合和相抵消，于是出现净的有效应力。

此外，当有效应力增大时，会引起工程结构的位移、开裂以及变形的加剧或失稳，导致岩土工程的变形和破坏。

因此，根据ZSOIL有效应力原理可以判断土体的承载能力以及是否会出现工程性破坏等。

接触点
饱和土有效应力原理
2
§3.2 有效应力原理
智者乐水 仁者乐山
饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部
分σ和u，并且： σ σ'u
土的变形与强度都只取决于有效应力
一般地， σ σ u
τσyxx
τ xy σy
τ xz τ yz
σx τ yx
τ xy σy
τ τ
xz yz
u
均与有关
是土体强度的成因：土 的凝聚力和粒间摩擦力
均与有关
有效应力原理的讨论
5
§3.2 有效应力原理
孔隙水压 力的作用
有效应力 的作用
简单实例
智者乐水 仁者乐山
讨论： 海底与土粒间的接触压力 哪一种情况下大？
1m σz=u=0.01MPa
104m
σz=u=100MPa
有效应力原理的讨论
6
§3.2 有效应力原理
12
§3.3 地基的自重应力计算 – 基本方法
竖直向总应力：等于单位面积上土 柱和水柱的总重量
σsz γi Hi
i取值：• 非饱和土用天然容重
• 饱和土用饱和容重sat • 纯水部分用水的容重w
智者乐水 仁者乐山
地面
1 H1
2 H2 地下水 z
3 H3 sy
sz sx
孔隙水压力：根据实际地下水条件，区分静水条件和 稳定渗流条件等情况进行计算
2. (1 n) n u
反映颗粒本身应力的大 小，两种情况计算得到 的有效应力相差巨大
课堂讨论：有效应力原理的不同形式
10
第三章：土体中的应力计算
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7

上图(a)表示在水位差作用下发生由上向下的渗流情况。此时在土 层表面b-b上的孔隙水应力与静水情况相同，仍等于γwh1，面a-a 平面上的孔隙水应力将因水头损失而减小，其值为
a-a平面上的总应力仍保持不变，等于
于是，根据有效应力原理，a-a平面上的有效应力为
与静水情况相比，当有向下渗流作用时，a-a平面上的总应力保持不 变，孔隙水应力减少了γwh。因而，证明了总应力不变的条件下孔 隙水应力的减少等于有效应力的等量增加。
2012年2月28日，上海松江区，工地的坍塌同时造成东西走 向的涞寅路路面出现50米长、5米宽、2米深的路面塌陷。
• 2012年2月28日，上海市松江区一工业园区内发 生大面积坍塌。所幸疏散工作及时，并未造成人 员伤亡。
• 2012年2月28日，上海市松江区一工业园区内发生大面积坍塌。 所幸疏散工作及时，并未造成人员伤亡。
纪 70 年代至今大约沉降了
2.4 米 。 （ 《 广 州 日 报 》 2011年10月24日）
西安地面沉降严重
• 2012年2月26日，益阳市岳家桥镇稻田里因塌陷形成的大坑。
图为2月26日，益阳市岳家桥镇被截流的河水涌入塌陷形成的深坑。
2012年2月26日，益阳市岳家桥镇民房塌陷处设置的警示标识。
• 2012年2月27日，浙江杭州九堡客运中心站附近，坍陷面积约 100平方米，最深处有近3米。
• 2012年2月27日，浙江杭州九堡客运中心站附近，坍陷面积约 100平方米，最深处有近3米。
华北平原沉降
在华北平原，地面沉降量
超过 200 毫米的区域已达 6
万多平方公里，占华北平 原面积的近一半，北京、 天津、沧州等地沉降最严 重。主要沉降原因之一， 就是过量开采地下水资源 。其中，河北沧州从上世

哪一种情况下大？
1m 104m
σz=u=0.01MPa
σz=u=100MPa
无渗流情况下的饱和土之应力
对B点，
H1
A C B
z
H2
u H 2 ( sat w ) H 2 令 sat w
γ’为有效单位重(effective unit weight) σ
土力学
Soil Mechanics
长安大学地测学院 林鸿州
土力学

土的基本性质 (Soil Properties) 土的组成 (Soil Composition) 土的工程分类 (Classification of Soil) 土的渗透性与渗流 (Flow of Water in Soil) 有效应力原理 (Effective Stress Concept) 土体中的应力 (Stresses in a Soil Mass) 土的压缩性 (Compressibility of Soil) 土的抗剪强度 (Shear Strength of Soil) 土的击实特性 (Soil Compaction)
A： 土单元的断面积 As： 颗粒接触点的面积 Aw： 孔隙水的断面积 a-a断面竖向力平衡： a-a断面通过土 颗粒的接触点
A
A AS Aw
u：孔隙 水压力
a a
A Psv uAw
P A
sv

Aw u A
Aw 1 A
PS
PSV
土骨架承担 土骨架传递
有效应力σ’
有效应力原理
孔隙流体 土＝ 固体颗粒骨架 + 孔隙水 + 孔隙气体
三相体系
受外荷载作用

lbz(l 2 2 z 2 b 2 ) arcsin 2 2 2 2 2 2 2 (l z )(b z ) l b z


2 2 2 2 l z b z lb


1 c 2
2 2 2 2 l z b z lb
o x
z
zx
yz
xy x
y
z
y
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
应力状态—轴对称三维应力状态
应变条件
x y xy yz zx 0
p0 p 0d
上部荷载F 基础自重G
基底压力
基底附加压力
地基中各点附加压力
3.4 附加应力
附加应力：由新增荷载在地基中引
起的应力增量。 附加应力是引起土体变形或地基变 形的主要原因，也是导致土体强度破坏
和失稳的重要原因。
计算附加应力的假定: (1)地基土是各向同性的、均质的线性变形体; (2)土层在深度和水平方向是都是无限延伸； (3)基底压力看成是柔性荷载，不考虑基础刚


z c p
只能计算矩形 角点下z深度处 的附加应力
αc—均布矩形荷载角点下的竖向附加应力分 布系数。
m=l/b
n=z/b
查表3-2
c
l ≥b
②任意点下z深度处的附加应力
利用角点下的应力计算公式和应力叠 加原理，可求得地基中任意点的附加应力
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅳ
划分后每一小矩形的长边
z c1 c 2 c3 c 4 p