对力学变分原理发展的一些回顾

有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。

本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。

一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。

它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。

有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。

在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。

有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。

二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。

它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。

在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。

这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。

三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。

它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。

在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。

通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。

有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。

四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。

随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。

目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。

力学的发展历程力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用规律。

它的发展历程可以追溯到古代，经历了漫长而丰富的历史。

本文将详细介绍力学的发展历程，并探讨其中的重要里程碑。

1. 古代力学的起源古代力学的起源可以追溯到古希腊时期。

古希腊哲学家亚里士多德对力学的研究做出了重要贡献。

他提出了“自然运动”和“强制运动”的概念，认为物体的运动是由自然的趋势和外力的作用所决定的。

这些思想为后来的力学研究奠定了基础。

2. 牛顿力学的奠基17世纪末，英国科学家艾萨克·牛顿提出了经典力学的三大定律，奠定了现代力学的基础。

他的第一定律（惯性定律）指出，物体在没有外力作用下将保持静止或者匀速直线运动。

第二定律（运动定律）描述了物体的运动状态与作用力之间的关系，即力等于质量乘以加速度。

第三定律（作用-反作用定律）说明了任何作用力都会有一个等大反向的反作用力。

牛顿力学为后来的科学研究提供了重要的理论基础。

3. 波动力学的发展19世纪初，法国物理学家让-巴蒂斯特·垂纳和奥古斯丁·菲涅耳等人对波动力学进行了深入研究。

他们提出了波动的传播理论和干涉、衍射等现象的解释，为光学和声学等领域的发展做出了重要贡献。

波动力学的发展丰富了力学的内容，拓宽了研究领域。

4. 狭义相对论和量子力学的革命20世纪初，爱因斯坦提出了狭义相对论，彻底改变了牛顿力学的观念。

狭义相对论指出，时间和空间是相对的，物体的质量随速度增加而增加。

这一理论在宏观和微观尺度上都具有重要的应用价值。

同时，量子力学的发展也对力学产生了深远影响。

量子力学研究微观粒子的运动和相互作用规律，提出了波粒二象性和不确定性原理等重要概念。

5. 应用力学的发展随着科学技术的不断进步，力学在实际应用中发挥着重要作用。

应用力学研究力学原理在工程、建造、交通等领域的应用，为工程设计和生产提供了理论依据。

例如，结构力学研究建造物和桥梁等结构的受力和变形规律，流体力学研究流体的运动和力的作用规律，这些研究对于工程设计和流体力学等领域的发展具有重要意义。

关于力学变分原理首先来说明几个概念:定律:对物理现象进行观察,实验,在积累了大量事实和实验结果的基础上经过归纳,总结而得到的一们科学的基本规律.如:牛顿三定律.定理:从基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的进一步反映事物间的内在联系的数学关系表达式.如:动量定理等原理:也是有基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的命题.其不同与定理之处在于:原理具有高度的概括性,可以认为与基本定律等价.变分原理的特征在于它只是提供了一个准则.根据这个准则可以把相同条件下系统的真实运动与约束所允许的一切可能运动区分出来,从而得到系统的真实运动.力学的变分原理可分为两大类:1. 微分形式的变分原理.它研究任一瞬时区分真实运动与可能运动的准则.如:动力学普遍方程.2.积分形式的变分原理. 它研究在任一有限时间历程中区分真实运动与可能运动的准则.如:哈密顿原理.真实位移.可能位移与虚位移真实位移:即实位移,是在力的作用下的真实运动中经过一定时间间隔内发生的位移,当Δt=0时,有dui=0.真实位移可以是微小的,也可以是有限的,它有约束限制,具有确定的方向性.可能位移:是给定时间间隔内约束允许的位移.当Δt=0时,有dui=0.可能位移是一种状态,有可能发生有可能尚未发生,或者只是作为一个抽象的描述.虚位移:是约束许可下某瞬时可能发生的微小位移.它只是一个抽象的几何概念,与系统或质点的实际运动,力的作用,时间历程,初始条件和能量无关.三个位移可由时间概念和约束概念加以联系和区分: 在定常约束条件下,虚位移为可能发生而未发生的可能位移,实位移是众多虚位移中的一个.在非定常约束条件下,虚位移与时间无关,实位移是众多可能位移中的一个.从数学概念上,可能位移是满足指定位移约束条件的位移自变函数,而虚位移是位移自变函数的变分.通过前面的一些基础，我们现在来说什么是变分原理变分原理是针对以下积分形式的标量（泛函）Π而言的：其中u是未知函数，F，E是确定的算子，对于小变化的δu使得Π取得驻值的函数u就是连续体问题的解。

经典力学发展简史1. 引言经典力学是物理学中最基础也是最重要的一个分支，它描述了物体在受到力的作用下的运动规律。

本文将回顾经典力学的发展历程，从牛顿的力学定律到拉格朗日和哈密顿的变分原理，再到爱因斯坦的相对论力学，逐步展示了经典力学的演进过程。

2. 牛顿力学的奠基17世纪，英国科学家艾萨克·牛顿提出了三个力学定律，奠定了经典力学的基础。

第一定律是惯性定律，描述了物体在没有外力作用下保持匀速直线运动或静止的状态。

第二定律是动力学定律，指出物体的加速度与作用在其上的力成正比，质量越大，加速度越小。

第三定律是作用-反作用定律，描述了物体之间相互作用的力的性质。

3. 拉格朗日力学的建立18世纪，意大利数学家约瑟夫·拉格朗日提出了一种新的力学方法，即变分原理。

他通过引入广义坐标和拉格朗日函数，将力学问题转化为求解最小作用量的问题。

这一方法不仅简化了力学问题的求解，还统一了牛顿力学和解析力学。

4. 哈密顿力学的发展19世纪，爱尔兰数学家威廉·哈密顿在拉格朗日力学的基础上，提出了一种新的力学形式，即哈密顿力学。

哈密顿力学通过引入广义动量和哈密顿函数，将力学问题转化为求解哈密顿正则方程的问题。

这一方法在描述动力学系统的变化过程时更加方便，尤其在量子力学中有着重要的应用。

5. 相对论力学的革命20世纪初，爱因斯坦提出了狭义相对论和广义相对论，对经典力学提出了挑战。

相对论力学修正了牛顿力学中的时间和空间观念，引入了相对性原理和时空弯曲的概念。

相对论力学在高速运动和强引力场下对物体的运动进行了更准确的描述，为现代物理学的发展奠定了基础。

6. 结论经典力学作为物理学的基石，经历了牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学和相对论力学等多个阶段的发展。

它不仅提供了描述宏观物体运动的规律，也为后续的量子力学和相对论物理学的发展奠定了理论基础。

通过不断的发展和演进，经典力学为我们理解自然界的运动提供了重要的工具和思想。

弹性力学的变分原理和应用1. 弹性力学的基本原理•弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。

•弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。

1.1 胡克定律•胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。

•胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。

•弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。

1.2 平衡条件•在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。

•平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。

力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。

1.3 应变能最小原理•应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。

•应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。

2. 弹性力学的变分原理•变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。

•弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。

2.1 广义虚功原理•广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。

•广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。

•广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。

2.2 最小势能原理•最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。

•最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。

•最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。

3. 弹性力学的应用•弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。

3.1 结构力学•弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。

•结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。

3.2 地质力学•地质力学研究地球内部岩石和土壤的力学性质及其变形行为。

弹性力学的变分原理及其应用弹性力学的基本概念•弹性力学是研究物体在外力作用下产生形变的力学学科。

•弹性力学主要关注物体的弹性变形，即物体在受到外力作用后可以恢复到原始形状的能力。

•弹性力学可以用数学模型来描述物体的变形行为，其中变分原理是一种重要的分析工具。

变分原理的概念•变分原理是数学中的一种重要方法，可以用来求解函数的极值问题。

•在弹性力学中，变分原理是用来求解物体的形变问题的一种方法。

•变分原理通过将弹性力学问题转化为一个变分问题，通过对变分方程进行求解，可以得到物体的形变情况。

弹性力学的变分原理•弹性力学的变分原理基于能量最小化的原理。

•变分原理假设物体的形变状态是能量最小的状态，通过对能量进行变分求解，可以求得物体的形变情况。

•变分原理可以用来推导出弹性力学中的重要方程，如弹性能量密度函数和应力-应变关系等。

变分原理的应用•变分原理在弹性力学中有着广泛的应用。

•变分原理可以用来推导出弹性力学中的基本方程，如胡克定律、拉梅定律和势能函数等。

•变分原理还可以用来求解复杂的边界值问题，如弹性体的静力平衡问题和弹性体的振动问题等。

弹性力学的变分原理应用案例•弹性体的静力平衡问题：通过变分原理可以求解弹性体在给定外力作用下的形变情况，并得到物体的位移场和应力场等信息。

•弹性体的振动问题：通过变分原理可以推导出物体的振动方程，并得到物体的共振频率和振动模态等信息。

•弹性体的材料参数求解：通过变分原理可以推导出物体材料的一些参数，如弹性模量和泊松比等。

总结弹性力学的变分原理是研究物体形变问题的重要方法，并且在弹性力学中有着广泛的应用。

通过对能量的变分求解，可以得到物体的形变情况和应力分布等重要信息。

变分原理不仅可以用来求解弹性体的静态问题，还可以用来求解弹性体的动态问题和材料参数等。

因此，掌握弹性力学的变分原理对于深入理解和应用弹性力学有着重要的意义。

力学的发展历程引言概述：力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和受力情况。

力学的发展历程可以追溯到古代，经过了漫长的发展和演变。

本文将介绍力学的发展历程，从古代到现代，分为五个部份，分别是：古代力学的奠基、经典力学的建立、相对论力学的提出、量子力学的发展以及现代力学的前沿。

一、古代力学的奠基1.1 古代力学的起源古代力学的起源可以追溯到古希腊时期，其中最著名的代表是亚里士多德。

亚里士多德提出了自然哲学的基本原理，包括力的概念和物体运动的原因。

他认为物体的运动是由于物体本身的特性，比如分量决定了物体的下落速度。

1.2 古代力学的发展在亚里士多德的基础上，古代力学经历了一系列的发展。

其中最重要的是阿基米德的力学原理的提出。

阿基米德的力学原理是基于浮力和杠杆原理，他通过实验和观察推导出了浮力和物体平衡的关系，为后来的力学研究奠定了基础。

1.3 古代力学的局限性尽管古代力学做出了一些重要的贡献，但它的局限性也逐渐显现出来。

古代力学没有涉及到速度、加速度等概念，也没有建立起一套完整的数学模型来描述物体的运动。

因此，古代力学的研究成果在后来的发展中逐渐被超越。

二、经典力学的建立2.1 牛顿力学的提出17世纪，牛顿提出了经典力学的三大定律，即惯性定律、动量定律和作用反作用定律。

这些定律为力学建立了一个完整的理论体系，可以准确描述物体的运动和受力情况。

2.2 牛顿力学的应用牛顿力学的提出不仅仅是一种理论，它还被广泛应用于实际问题的解决。

牛顿力学可以解释天体运动、机械运动以及其他各种物体的运动情况。

这使得经典力学成为物理学的基石，对后来的科学研究产生了深远的影响。

2.3 经典力学的限制尽管经典力学在描述宏观物体的运动方面非常成功，但它在描述微观世界的现象时存在一些局限性。

例如，在高速运动和弱小尺度下，经典力学的定律无法准确描述物体的运动。

这促使科学家们寻求一种新的力学理论。

三、相对论力学的提出3.1 狭义相对论的提出爱因斯坦在20世纪初提出了狭义相对论，它是一种描述高速运动物体的力学理论。

经典力学发展简史经典力学是物理学中最基本的分支之一，它描述了物体在力的作用下的运动规律。

本文将带您回顾经典力学的发展历程，从牛顿的三大定律到拉格朗日和哈密顿的变分原理，再到哈密顿力学的矩阵形式和量子力学的浮现。

1. 牛顿力学的奠基经典力学的起源可以追溯到17世纪末，当时英国科学家艾萨克·牛顿提出了三大定律，即牛顿运动定律。

第一定律指出，物体在没有外力作用下将保持静止或者匀速直线运动；第二定律指出，物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比；第三定律指出，任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。

2. 拉格朗日力学的建立18世纪末，意大利数学家约瑟夫·拉格朗日提出了一种全新的力学形式，即拉格朗日力学。

他利用了一种称为拉格朗日方程的数学表达式来描述物体的运动。

拉格朗日方程可以从一个称为拉格朗日量的函数中推导出来，该函数包含了物体的动能和势能。

3. 哈密顿力学的发展19世纪初，爱尔兰数学家威廉·哈密顿对拉格朗日力学进行了改进，提出了哈密顿力学。

哈密顿力学使用了一种称为哈密顿函数的函数来描述物体的运动。

哈密顿函数是拉格朗日函数的勒让德变换，它包含了物体的广义动量和广义坐标。

4. 哈密顿力学的矩阵形式20世纪初，量子力学的浮现对经典力学产生了深远的影响。

瑞士物理学家埃尔温·薛定谔将哈密顿力学的形式转化为矩阵形式，从而为量子力学的发展奠定了基础。

矩阵形式的哈密顿力学将物体的状态表示为一个向量，运动规律由矩阵的演化来描述。

5. 经典力学与量子力学的关系经典力学和量子力学是物理学中两个重要的分支，它们描述了不同尺度下物体的运动规律。

经典力学适合于宏观物体，而量子力学适合于微观粒子。

量子力学通过波函数和算符来描述粒子的运动，引入了不确定性原理和量子纠缠等概念。

总结：经典力学是物理学中最基础的分支之一，它的发展经历了牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学的演进过程。

力学的发展历程力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和相互作用规律。

它的发展历程可以追溯到古代，经历了数千年的演变和进步。

以下是力学的发展历程的详细描述。

1. 古代力学古代力学的起源可以追溯到公元前4世纪的古希腊。

古希腊的哲学家亚里士多德提出了一套关于物体运动的理论，他认为物体的运动是由其固有属性所决定的。

这种观点在古代长期占主导地位，直到17世纪被新的理论所取代。

2. 牛顿力学的建立17世纪末，英国科学家艾萨克·牛顿提出了经典力学的三大定律，奠定了现代力学的基础。

牛顿的第一定律（惯性定律）指出，物体在没有外力作用时将保持静止或者匀速直线运动。

第二定律（运动定律）描述了物体的加速度与受力之间的关系。

第三定律（作用与反作用定律）说明了物体之间的相互作用。

3. 动力学的发展随着牛顿力学的建立，人们开始研究物体的运动轨迹和受力情况。

这导致了动力学的发展。

动力学研究物体在受到外力作用时的运动规律，包括速度、加速度和力的关系。

动力学的发展使人们能够更准确地描述物体的运动和相互作用。

4. 非惯性系力学的发展牛顿力学只适合于惯性系，即不受外力影响的参考系。

但在实际情况下，不少物体都处于非惯性系中，受到惯性力的影响。

为了解决这个问题，19世纪末，法国科学家亨利·庞加莱提出了非惯性系力学的理论。

他引入了惯性力的概念，使得牛顿力学能够适合于非惯性系。

5. 相对论力学的浮现20世纪初，爱因斯坦提出了相对论理论，对牛顿力学进行了革命性的改进。

相对论力学认为，时间和空间是相对的，而不是绝对的。

它描述了高速运动物体的运动规律，并解释了质能关系和引力的本质。

相对论力学在宏观和微观尺度上都具有重要意义。

6. 量子力学的兴起20世纪初，量子力学的浮现彻底改变了人们对物质和能量的理解。

量子力学是一种描述微观世界的理论，它研究微观粒子的运动和相互作用。

量子力学的发展使人们能够解释原子和份子的结构、光的特性以及粒子的波粒二象性等现象。

力学的发展历程力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动规律和力的作用。

它是自古以来人类对自然界运动现象的观察和实践经验的总结，经过长期的发展和演变，形成为了今天我们所熟知的力学理论体系。

下面将为您详细介绍力学的发展历程。

1. 古希腊时期的力学古希腊时期的力学主要由亚里士多德提出，他认为物体的运动是由于物体本身具有内在的趋向性。

他的观点主要包括自然运动和强迫运动两种形式。

自然运动是指物体根据其固有属性而发生的运动，如石头下落；而强迫运动是外力作用下物体发生的运动，如推动物体。

2. 文艺复兴时期的力学文艺复兴时期，伽利略·伽利莱提出了力学的实验方法和科学观点。

他通过实验和观察，发现自由落体物体的加速度是恒定的，并提出了“万有加速度定律”。

此外，他还研究了斜面上物体的滑动运动和摆锤的运动规律，为后来的力学研究奠定了基础。

3. 牛顿力学的建立17世纪末，伊萨克·牛顿提出了经典力学的三大定律，即牛顿定律。

第一定律是惯性定律，指出物体在没有外力作用时将保持静止或者匀速直线运动；第二定律是运动定律，描述了物体的加速度与作用力之间的关系；第三定律是作用-反作用定律，说明了相互作用的两个物体之间的力相等、方向相反。

牛顿力学的建立使得力学研究进入了一个新的阶段。

4. 19世纪的力学发展19世纪，随着科学技术的进步，力学得到了更深入的研究。

拉格朗日和哈密顿等科学家提出了变分原理和广义动力学原理，为力学的数学形式化提供了重要的工具。

此外，达朗贝尔也为力学研究做出了重要贡献，他提出了刚体力学和弹性力学的理论。

5. 现代力学的发展20世纪，随着量子力学和相对论的发展，力学也发生了重大变革。

量子力学揭示了微观粒子的运动规律，相对论则描述了高速物体的运动规律。

这些新的理论使得力学的研究再也不局限于经典力学，而是涉及到更广泛的领域，如量子力学、相对论力学和统计力学等。

总结：力学的发展历程经历了古希腊时期的亚里士多德观点、文艺复兴时期的伽利略实验方法、牛顿力学的建立、19世纪的力学发展以及现代力学的发展等阶段。

力学的发展历程力学是研究物体运动和受力规律的学科，它是自然科学中最基础、最重要的学科之一。

力学的发展历程可以追溯到古代，经过了漫长的历史演变和不断的发展，逐渐形成为了现代力学的基本原理和理论体系。

下面将详细介绍力学的发展历程。

古代力学的起源可以追溯到古希腊时期，著名的古希腊哲学家亚里士多德对力学的研究起到了重要的推动作用。

他提出了自然物体分为四种元素（地、水、火、气）的理论，并认为物体的运动是由于与其自然元素的相互作用。

亚里士多德的力学理论在古代长期占主导地位，直到近代才被推翻。

古代中国力学的发展也有着独特的贡献。

中国古代的力学理论主要体现在工程技术和军事战略方面。

例如，中国古代的工程师和军事家在建造和刀兵设计中运用了许多力学原理，如杠杆、滑轮等。

这些实践经验积累为后来力学的发展奠定了基础。

随着科学方法的不断发展，力学在近代经历了重要的革命。

17世纪，英国科学家伽利略·伽利莱和英国物理学家艾萨克·牛顿的工作为力学的发展奠定了基石。

伽利略提出了惯性原理和斜面运动等基本概念，牛顿则通过研究物体的运动和力的关系，提出了经典力学的三大定律，即牛顿定律。

这些理论为力学奠定了坚实的数学基础，并在科学界产生了深远的影响。

19世纪，法国科学家拉格朗日和哈密顿等人对力学进行了重要的发展。

拉格朗日提出了以能量为基础的拉格朗日力学，将力学问题转化为能量和约束的问题，极大地简化了力学的计算。

哈密顿则提出了哈密顿力学，通过引入广义坐标和广义动量的概念，为力学问题的求解提供了新的方法。

20世纪，爱因斯坦的相对论对力学产生了重大影响。

相对论扩展了牛顿力学的范围，提出了质量和能量之间的等价关系，揭示了高速运动物体的特殊性质。

相对论的发展使力学理论更加完善，并为后来的量子力学和场论的发展奠定了基础。

现代力学已经发展成为一个庞大而复杂的学科体系，包括经典力学、量子力学、统计力学等多个分支。

力学的应用广泛涉及到物理学、工程学、天文学、生物学等领域。

变分原理在物理学中的应用及发展变分原理是数学中的一个重要概念，它源于泊松在研究理论力学问题时的思考。

变分原理主要指当一个物理量满足某种极值条件时，它的变化关系可以用变分来表示。

在物理学中，这个概念被广泛应用于解决各种实际问题，成为物理学研究中不可或缺的工具。

一、变分原理的发展历程在物理学中，变分原理的应用最早可以追溯到十八世纪的欧拉。

他运用变分原理解决了最小曲面问题，并以此为基础建立了最小曲面的理论。

十九世纪末，海森堡进一步发展了欧拉的方法，将这个抽象概念应用于解决理论力学中的动力学问题，建立了现代物理学中的泛函分析体系。

而到了二十世纪，相对论、量子力学等新的物理学理论的出现，推动了变分原理的发展。

分别有哈姆顿和费曼等人运用变分原理证明了量子力学的路径积分表述和Feynman-Kac公式，从而使量子力学的研究进一步深入。

二、变分原理在物理学中的应用1.哈密顿原理哈密顿原理是变分原理在力学中最常见的应用，其基本思想是：系统在两个状态之间的演化，其实满足的是一个极值条件。

设系统的动力学变量为q，能量为E，则有：∫L(q,q;t)dt=E其中L为系统的拉格朗日量，t为时间。

它表述了系统能量和运动轨迹之间的关系。

而哈密顿原理则更加具体地描述了系统的动力学量在时间上的变化规律：∫ṗq-H(q,p;t)dt=0其中H为系统的哈密顿量，p是系统的广义动量。

哈密顿原理不仅为各种力学问题的求解提供了有效的数学工具，同时也揭示了物体在运动过程中所遵循的规律。

2.极小作用原理极小作用原理是变分原理在光学、电磁学等领域中的应用。

它的核心思想是路径确定原理：光线的传播必须遵循时间的最短路径，电磁波的传播必须遵循能量的最小耗散路径。

通过变分求解，可以求出最佳路径，从而解释和预测实验现象。

3.广义相对论的引力场方程位于四维闵可夫斯基时空中的物体对时空的影响体现为线性的协变波动，从而难以预测黑洞重力场、宇宙膨胀等现象。

为此，爱因斯坦引入了一种新的度量张量gμv，用于描述时空的弯曲程度。

第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。

变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。

关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。

1872年Betti 提出了功的互等定理。

1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。

德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。

我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。

我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。

1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。

1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。

1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。

1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。

§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。

这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。

1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。

如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。

设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1) 用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图gy dtdsv 2==(2-2) 曲线弧长为：dx dx dy dy dx ds 2221⎪⎭⎫⎝⎛+=+= (2-3)于是，时间为：()dx gyy v ds dt 212'+== (2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'21x Tdx gyy dt T (2-5) 经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=Cy Cx (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。

弹性力学关于应力变分法问题一、起源及发展1687年，Newton 在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli 提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler ，Lagrange 等人的努力，逐渐形成变分法。

古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。

现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。

讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse 理论与极小极大理论（Minimax Theory ）。

变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。

以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用（1）、应力变分方程设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。

命ij σ为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。

现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变ij δσ，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ij ij δσσ+ 假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。

即0,0,0x xy zx y yz xy z zx yz x y z y z x z x y δσδτδτδσδτδτδσδτδτ⎫∂∂∂++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂++=⎬∂∂∂⎪⎪∂∂∂++=⎪∂∂∂⎭。

变分法的发展与应用变分法（calculus of variations）是数学分析中的一个分支，研究如何找到一个函数使得一些泛函取得极值。

它的发展与应用非常广泛，涉及到数学、物理学、工程学等领域。

变分法最早可以追溯到古希腊数学家阿基米德。

在他的著作《阿基米德原理》中，他提出了通过比较曲线上两个有限长度之间的总表面积来确定曲线形状的问题。

然而，真正系统地研究变分法的发展要等到17世纪，由欧洲科学家伽利略·费迪南多·拉蒂斯（Galileo Galilei）和约翰·贝努利（Johann Bernoulli）引入。

随着时间的推移，变分法逐渐成为了数学家们研究函数极值问题的重要工具。

18世纪末，由拉格朗日（Lagrange）和欧拉（Euler）等数学家所发展的变分法成为了经典物理学中动力学问题的基础，如质点的运动路径、力学系统的最小作用量原理等。

在数学上，变分法的发展有赖于函数分析、变分计算等领域的推动。

19世纪末和20世纪初，变分法经历了一个重要的革命，主要得益于数学家赫尔曼·莱贝格（Hermann Lebesgue）引入了测度论的概念和勒贝格积分的理论。

这一进展使得变分法在更加一般的函数空间上得以应用，并推动了泛函分析领域的快速发展。

在物理学中，变分法的应用非常广泛。

它被用来描述动力学、光学、电磁场等领域的问题。

例如，通过变分法可以求解最大问题，即使得一些泛函取得最大值的函数。

这在经济学中的效用最大化问题、力学中的能量最大化问题等方面都有应用。

此外，变分法还被广泛应用于工程学领域。

在工程学中，如何优化设计、减小成本、提高效率等是非常重要的问题。

变分法可以通过寻找函数的极值解决这些问题。

例如，结构力学中的梁问题、弹性力学中的薄膜问题、流体力学中的最佳流动问题等。

总结来说，变分法的发展与应用是数学、物理学和工程学紧密结合的结果。

随着时间的推移，它不断演进和发展，以适应不同领域的需求。

经典力学发展简史1. 引言经典力学是物理学中的一个重要分支，它研究物体在力的作用下的运动规律。

本文将回顾经典力学的发展历程，从古希腊时期的亚里士多德到牛顿的三大定律，再到拉格朗日和哈密顿的变分原理和正则方程，最终介绍到现代力学的一些重要概念。

2. 古希腊时期的亚里士多德在古希腊时期，亚里士多德提出了一种观点，认为物体的运动是由于它们所属的元素的本性决定的。

他将运动分为两种类型：自然运动和强迫运动。

亚里士多德的观点在当时被广泛接受，但并未提供明确的数学描述。

3. 牛顿的三大定律17世纪末，牛顿提出了经典力学的基石——三大定律。

第一定律，也被称为惯性定律，指出物体在没有外力作用下将保持静止或匀速直线运动。

第二定律，也被称为运动定律，描述了物体在受到力的作用下的加速度与力的关系。

第三定律，也被称为作用-反作用定律，指出相互作用的两个物体会产生相等大小、方向相反的力。

4. 拉格朗日力学18世纪末，拉格朗日提出了一种新的力学方法，即变分原理。

他通过定义一个称为拉格朗日量的函数，将力学问题转化为寻找使拉格朗日量取极值的路径。

这种方法不仅可以推导出牛顿力学的运动方程，还可以处理非惯性系下的运动问题。

5. 哈密顿力学19世纪初，哈密顿进一步发展了拉格朗日力学，提出了哈密顿原理。

他引入了广义动量和广义坐标的概念，并通过哈密顿函数来描述系统的能量。

哈密顿力学在处理一些复杂系统的运动问题上更加方便，尤其在量子力学中有着重要的应用。

6. 现代力学的一些重要概念随着科学的发展，人们对力学的理解不断深入。

在现代力学中，涌现出了一些重要的概念和理论。

其中，相对论力学和量子力学是最为重要的两个分支。

相对论力学将牛顿力学与电磁学相统一，提出了质能等价的著名公式E=mc²。

量子力学则描述了微观粒子的行为，引入了不确定性原理和波粒二象性等概念。

7. 结语经典力学作为物理学的基础，为我们理解和解释物体运动提供了重要的工具和方法。