湖北省黄冈中学2007年春高二数学期中考试试题

湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试试题（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 直线1y x =+的倾斜角为（ ）A ．45°B ．60°C ．135°D ．135°2． 抛物线y x =2的准线方程是（ ）A ．014=+xB ．014=+yC ．012=+xD ．012=+y 3． 双曲线2241x y -=的离心率为（ ）A ．2BC ．D ．124． 如果双曲线22142x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到右准线的距离是（ ）A B C ． D5． 过圆x 2＋y 2－4x =0上一点P (1的切线方程为（ ）A ．20x -=B ．40x +-=C ．40x +=D ．20x -+=6． 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2=1与ax ＋by 2=0(a >b >0)的曲线大致是（ ）7． 圆心在直线230x y --=上，且过点(5，2)和点(3，-2)的圆的方程为（ ）A ．22(1)(2)10x y -+-=B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)100x y -+-=D ．22(1)(2)100x y -+-=8． 若,k ∈R 则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ） A ．充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件9． 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．1210．下列方程的曲线关于y 轴对称的是（ ）A.x 2－x ＋y 2＝1B.x 2y ＋xy 2＝1C. x 2－y 2＝1D. x －y =1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．双曲线221416x y -= 的渐近线的方程为_________. 12．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆焦点到相应的准线距离是_______13．点P （x ，y ）在椭圆1163622=+y x 上，F 是椭圆的右焦点，则|FP |max = ___________ ； |FP |m i n = ___________ .14． P 是曲线1cos sin x y αα=-+⎧⎨=⎩上任意一点，则点P 到点A （2，-4）的最远距离为_________. 15．已知圆C 1：22(3)1x y ++=和圆C 2：22(3)9x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________.班级：__________ 姓名：____________ 座号：_________ 成绩：___________答 题 卡三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知直线l 的方程为20x +-=，圆C 的方程为 (x －1)2＋y 2=1，l 与圆C 的两个交点分别为A 、B ，求线段AB 的长.17．（本小题满分12分）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程.18．（本小题满分12分）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．19．（本小题满分12分）设F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值．x20．（本小题满分13分）已知双曲线的方程为2213y x -=，设F 1、F 2分别是其左、右焦点． (1)若斜率为1且过F 1 的直线l 交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的长 (2)若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积S21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k的直线l与椭圆2212xy+=有两个不同的交点P和Q．(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A B，，是否存在常数k，使得向量OP OQ+与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试参考答案1．A 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C11．2y x=±1213．6+-14．615．221(1)8yx x-=-≤16．解：(1,0),1C r=，. 取AB中点D，则CD⊥AB12 CD==2AB AD∴====17．解：1C的焦点坐标为(0,27e=由1273ee=得13e=设双曲线的方程为22221(,0)y xa ba b-=>则2222213139a ba ba⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得229,4a b==双曲线的方程为22194y x-=18．解：设点00(,),(,)M x y P x y，则622xxyy+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴0262x xy y=-⎧⎨=⎩．代入2008y x=得：2412y x=-．此即为点P的轨迹方程．19．解：易知2,1,a b c===12(0),0).F F设P（x, y），则22222 121(,),)313(38).44xPF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-因为[2,2]x∈-，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，21PF PF⋅有最小值-2.当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值1.20．解：（1）AB ：2y x =+，代入2213y x -=并整理得22470x x --= 设1122()()A x y B x y ，，， 则121272,2x x x x +==-6AB ∴===（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2在12F PF ∆中，由余弦定理有222162cos602m n mn m n mn mn =+-=-+- 12mn ∴=11sin 601222S mn ∴==⨯=21．解：（1）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为2⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （2）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（1）知k <k >，故没有符合题意的常数k ．湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭2．如果双曲线22142x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到右准线的距离是（ ）ABC． D3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、C 1D 1的中点，则异面直线AB 1与EF 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．45°D ．30° 4．下列说法正确的是（ ）A ．平面α和平面β只有一个公共点B ．两两相交的三条直线共面C ．不共面的四点中，任何三点不共线D ．有三个公共点的两平面必重合5．过双曲线22143x y -=左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．166．P 是曲线1cos sin x y αα=-+⎧⎨=⎩上任意一点，则点P 到点A （2，-4）的最远距离是（ ） A ．6 BCD ．57．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则AKF ∆的面积是（ ）11 BA ．4B ．C ．D ．88．圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程是（ ） A ．221(3)(2)2x y ++-=B ．221(3)(2)2x y -++=C ．22(3)(2)2x y ++-=D ．22(3)(2)2x y -++=9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||FA OH 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．不能确定10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1, x 2）（ ） A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．双曲线221x y m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =_____________.12．从圆222210x x y y -+-+=外一点P （3，2）向这个圆作一条切线PA ，A 为切点，则PA =_______________.13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________. 14．已知圆C 1：22(3)1x y ++=和圆C 2：22(3)9x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________.15．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=____________.班级：__________ 姓名：____________ 座号：_________ 成绩：___________答 题 卡三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）以抛物线28y x 上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．17．（本小题满分12分）已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面对角线A 1C 1、B 1D 1的交点，体对角线A 1C 交截面AB 1D 1于点P ，求证：O 1、P 、A 三点在同一条直线上.x18．（本小题满分12分）设P 是双曲线221416x y -=右支上任一点，过点P 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||PE PF ⋅的值.19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =（1）求椭圆的方程； （2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）设F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于A 、B 两点.（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试参考答案1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6． A7．C 8．C 9．C 10．A 11．412．213114．221(1)8y x x -=-≤15．616．解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．17．证明：如答图所示，∵11111,AC B D O = ∴111111,.O AC O B D ∈∈又∵111111111111,,,.AC AC B D AB D O AC O AB D ⊂⊂∴∈∈平面平面平面平面又∵1111111,,..AC AB D P P AC P AB D P AC =∴∈∈∴∈平面平面平面 又∵111,,A AC A AB D ∈∈平面平面∴O 1、P 、A 三点都是平面AB 1D 1与平面A 1C 的公共点. ∴O 1、P 、A 三点在同一条直线上.18．解：渐近线方程为20x y ±=，设P （x 0, y 0），则222200001416416x y x y -=⇒-=由点到直线的距离公式有||||PE PF =,∴2200|4|16||||.55x y PE PF -⋅==19．解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k ++=-+∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴223 1.9k k k +-=-+ ∴2239k k k +=+，解得k =3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y =3x +3符合要求.20．解：（1）易知2,1,a b c ===12(0),0).F F设P （x, y ），则22222121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值1.（2）显然直线x =0不满足题设条件，可设直线l ：11222,(,),(,).y kx A x y B x y =+ 联立222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得221430.4k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,.1144k x x x x k k +=-=++ 由2221(4)43430,4k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得k k >< ①又0900.AOB OA OB <∠<⇔⋅> ∴12120.OA OB x x y y ⋅=+>又222212121212222381(2)(2)2()44.111444k k k y y kx kx k x x k x x k k k --+=++=+++=++=+++∴222310.1144k k k -++>++即k 2<4. ∴-2<k <2. ②故由①②得2 2.k k -<<<< 21．解法一：（1）依题意，点N 的坐标为N （0，-p ），可设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），直线AB的方程为y kx p =+，与x 2=2py 联立得22,.x py y kx p ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得22220.x pkx p --= 由韦达定理得212122,2.x x pk x x p +==-于是121212||||2ABN BCN ACN S S S p x x p x x ∆∆∆=+=⨯-=-=2p =∴当k =0时，2min ().ABN S ∆=（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a , AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则,O H PQ O ''⊥∵1||||2O P AC '=== 111|||2|,22y p O H a a y p +'=-=--∴22222211111||||||())(2)442p PH O P O H y p a y p a y ⎛⎫''=-=+---=- ⎪⎝⎭∴221||(2||)4().2p PQ PH a y a p a ⎡⎤⎛⎫==-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令02p a -=，得2p a =，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得12|||2AB x x =-又由点到直线的距离公式得d =11||2222ABN S d AB p ∆=⋅⋅=⋅=（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y=a 代入得211()()0,x x x a p a y -+--=则21114()()4().2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫∆=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3, y 3），Q （x 4, y 4），则有34||||PQ x x =-=令0,22p p a a -==得，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线.。

湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试试题（理科）命题：熊斌校对：罗欢一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭2．如果双曲线22142x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到右准线的距离是（ ）ABC． D3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、C 1D 1的中点，则异面直线AB 1与EF 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90°C ．45°D ．30°4．下列说法正确的是（ ）A ．平面α和平面β只有一个公共点B ．两两相交的三条直线共面C ．不共面的四点中，任何三点不共线D ．有三个公共点的两平面必重合5．过双曲线22143x y -=左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．166．P 是曲线1cos sin x y αα=-+⎧⎨=⎩上任意一点，则点P 到点A （2，-4）的最远距离是（ ）A ．6BCD ．57．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则AKF ∆的面积是（ ） A ．4B．C．D ．88．圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程是（ ） A ．221(3)(2)2x y ++-=B ．221(3)(2)2x y -++=C ．22(3)(2)2x y ++-=D ．22(3)(2)2x y -++=9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||FA OH 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．不能确定10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P（x 1, x 2）（ ）11BA ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．双曲线221x y m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =_____________.12．从圆222210x x y y -+-+=外一点P （3，2）向这个圆作一条切线PA ，A 为切点，则PA =_______________. 13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________.14．已知圆C 1：22(3)1x y ++=和圆C 2：22(3)9x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________.15．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则||||||FA FB FC ++=____________.班级：__________ 姓名：____________ 座号：_________ 成绩：___________答 题 卡三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）以抛物线28y x 上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．17．（本小题满分12分）已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面对角线A 1C 1、B 1D 1的交点，体对角线A 1C 交截面AB 1D 1于点P ，求证：O 1、P 、A 三点在同一条直线上.x18．（本小题满分12分）设P 是双曲线221416x y -=右支上任一点，过点P 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||P E P F ⋅的值.19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =.（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）设F 1、F 2分别是椭圆2214xy +=的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于A 、B 两点.（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试参考答案1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6． A7．C 8．C 9．C 10．A 11．412．213114．221(1)8y x x -=-≤15．616．解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．17．证明：如答图所示，∵11111,AC B D O = ∴111111,.O AC O B D ∈∈ 又∵111111111111,,,.AC AC B D AB D O AC O AB D ⊂⊂∴∈∈平面平面平面平面又∵1111111,,..AC AB D P P AC P AB D P AC =∴∈∈∴∈ 平面平面平面 又∵111,,A AC A AB D ∈∈平面平面∴O 1、P 、A 三点都是平面AB 1D 1与平面A 1C 的公共点. ∴O 1、P 、A 三点在同一条直线上.18．解：渐近线方程为20x y ±=，设P （x 0, y 0），则222200001416416x y x y -=⇒-=由点到直线的距离公式有||||PE PF =,∴2200|4|16||||.55x y PE PF -⋅==19．解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k ++=-+∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴223 1.9k k k +-=-+∴2239k k k +=+，解得k =3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y =3x +3符合要求.20．解：（1）易知2,1,a b c ===12(0),0).F F设P （x, y ），则22222121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值1.（2）显然直线x =0不满足题设条件，可设直线l ：11222,(,),(,).y kx A x y B x y =+ 联立222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得221430.4k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,.1144k x x x x k k +=-=++ 由2221(4)43430,4k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得k k <① 又0900.AOB OA OB <∠<⇔⋅> ∴12120.OA OB x x y y ⋅=+>又222212121212222381(2)(2)2()44.111444k k k y y kx kx k x x k x x k k k --+=++=+++=++=+++∴222310.1144k k k -++>++即k 2<4. ∴-2<k <2. ②故由①②得2 2.k k -<<<< 21．解法一：（1）依题意，点N 的坐标为N （0，-p ），可设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），直线AB 的方程为y kx p =+，与x 2=2py 联立得22,.x py y kx p ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得22220.x pkx p --= 由韦达定理得212122,2.x x pk x x p +==-于是121212||||2ABN BCN ACN S S S p x x p x x ∆∆∆=+=⨯-=-=2p =∴当k =0时，2min ().ABN S ∆=（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a , AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则,O H PQ O ''⊥点的坐标为11,.22x y p +⎛⎫⎪⎝⎭∵1||||2O P AC '=111|||2|,22y p O H a a y p +'=-=-- ∴22222211111||||||())(2)442p PH O P O H y p a y p a y ⎛⎫''=-=+---=- ⎪⎝⎭∴221||(2||)4().2p PQ PH a y a p a ⎡⎤⎛⎫==-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令02p a -=，得2p a =，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得12|||2AB x x =-又由点到直线的距离公式得d =11||2222ABN S d AB p ∆=⋅⋅=⋅= （2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y=a 代入得211()()0,x x x a p a y -+--= 则21114()()4().2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫∆=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3, y 3），Q （x 4, y 4），则有34||||PQ x x =-=令0,22p p a a -==得，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线.。

2007-2008学年度湖北省黄冈中学第二学期高二期末考试数学试卷（文）、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.一物体的运动方程为 S （t ）=2t 2 （位移单位：米，时间单位：秒），则该物体在 i 秒时 的瞬时速度为（ A . 1米/秒是（ ）生，那么不同的选派方案种数为（正四棱锥的侧棱长为 2 3，侧棱与底面所成的角为 60，则该棱锥的体积为（D . i8已知m, n 是两条不同直线，〉，：，是三个不同平面，下列命题中正确的是（D . 4 米/秒2. 如图，在长方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB=BC =2 , AAg ,则AC i 与平面A i B i C i D i 所成角的正弦值为（iD.—33. 某一批花生种子，如果每i 粒发芽的概率为-，那么播下53粒种子恰有2粒发芽的概率4. 5. i2A .i25i ni6 B .i2548C .i25D .96 i25若（x -）展开式的二项式系数之和为x64,则展开式的常数项为（A . i0B . 20C . 30D . i20某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有i 名女A . i4B . 24C . 28D . 48A .若Ql—,则〉|| :B .若m _〉，n _〉，贝V m II n8 .长方体ABCD i AB的各顶点都在半径为1的球面上，其中A B A D 1A A2 :彳;则A,B两点的球面距离为（）：2二A. B . C . D .——4 3 2 39.如果函数y=f（x）的图象如下图，那么导函数y= f （x）的图象可能是（）10•将1, 2, 3填入3 3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法, 则不同的填写方法共有（）□n nnn□C. 24 种D. 48 种5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置.11. _____________________________________________ 若一个球的体积为36兀，则它的表面积为________________________________________________ .12. 从编号为1, 2,…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为_________ .13 . 一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是_______________ 14 .为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。

湖北省黄冈中学2009年春季高二期中考试（理科）数 学 试 题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知109876m n A =⨯⨯⨯⨯，则mn 的值是 （ ） A ．60 B ．50 C ．45 D ．30答案：选A. 理由：由排列数公式知5,10m n ==.2．已知直线////a b c ，则直线a b c 、、至多可以确定平面的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：选C. 理由：两平行直线可以确定一个平面，当三条平行直线不共面时可以确定三个平面. 3．边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是 （ ）A B ．C ．D ．答案：选A. 4．设条件甲：直四棱柱1111ABCD A B C D -中，棱长都相等；条件乙：直四棱柱1111ABCD A B C D -是正方体，那么甲是乙的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件答案：选C. 理由：当直四棱柱的底面是菱形时，直四棱柱不一定是正方体，显然⇒乙甲，故甲是乙的必要非充分条件.5．从5位学生中选派4位学生在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求 星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （ ） A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种答案：选B. 理由：先从5人中选4人有45C 种，再从选出的4人中选2人参加星期五的活动有24C 种，剩下的两人分别安排在另两天有22A 种，故共有42254260C C A =种5．已知平面的一条斜线a 和它在平面内的射影的夹角是45°，且平面内的直线b 和斜线a 在平面内的射影的夹角是45°，则直线a 、b 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案：选C. 理由：由最小角定理12cos cos cos θθθ=得60θ=°.6．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有 （ ）A ．72种B ．144种C ．240种D ．480种答案：选B. 理由：先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的），然后将2位老人排列，则不同的排法有412432144A C A =种.7．如果232()nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 （ ） A ．3B ．5C ．6D ．10答案：选B. 理由：二项展开式的通项为225132()()(2)rn rr r r n r r n n T C x C x x--+=⋅-=⋅-⋅，由展开式中含有非零常数项知+25(,)n r n N r N =∈∈，故正整数n 的最小值为5.8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1、2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 （ ） A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种答案：选A. 理由：分为两类：（1）1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有144C =种放球方法； （2）1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有22426C C =种放球方法； ∴共有12244210C C C +=种不同的放球方法. 9．据2009年3月5日十一届人大二次会议《政府工作报告》指出：“2008年国内生产总值约30万亿元，比上年增长9%.”如果从2009年开始，每年的国内生产总值都按9%的增长率增长，那么2012年的国内生产总值约为 （ ） A ．41.5万亿元B ．42.3万亿元C ．43.2万亿元D ．43.8万亿元答案：选B. 理由：2012年的国内生产总值约为412233444300000(19%)300000(10.090.090.09)C C C ⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯+23300000(140.0960.0940.09)=⨯+⨯+⨯+⨯+3000001.4≈⨯422700= 故约为42.3万亿元. 10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，点P 是棱DD 1的中点，12AA =，AB =1，若点Q 在侧面11BB C C （包括其边界）上运动，且总保持AQ BP ⊥，则动点Q 的轨迹是 （ ）答案：选D. 理由：方法1：分别取BB 1、CC 1的中点M 、N ，连CM 、MN 、PN 、AC ，则由CM ⊥BN 知： CM ⊥BP ，又BP ⊥AC . 故BP ⊥平面AMC . 所以过A 与BP 垂直的直线均在平面AMC 内，又Q 在平面11BB C C 内，故Q ∈平面AMC侧面BB 1C 1C ，即Q 在线段MC 上.BCB 1C 1C 1B 1BCBCB 1C 1B 1C 1BC（A ） （B ） （C ） （D ）1C 1B 1方法2：建立空间直角坐标系，设(1,,)Q y z ，由A Q B P ⊥，得0AQ BP =，故1(01,02).z y y z =+≤≤≤≤ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．若地球半径为R ，在东经30︒的经线上有A 、B 两点，A 在北纬30︒，B 在南纬60︒，则它们的球面距离是__________.答案：.2R π 理由：设O 是球心，则2AOB π∠=，故A 、B 两点的球面距离是.2R π12．已知二面角l αβ--的平面角为3π，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB β⊂平面，BC 在l 上，CD β⊂平面，若1AB BC CD ===，则AD 的长为 .理由：由AD AB BC CD =++得：2222||()||||||22AD AB BC CD AB BC CD ABBC ABCD =++=++++而0AB BC =，0BC CD =，2,3AB CD π<>=，故|| 2.AD = 13．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的所有项系数和是 . 答案：164. 理由：由只有第4项的二项式系数最大得3n C 最大，故n =6. 令1x =得展开式中所有项系数的和是6111264⎛⎫-= ⎪⎝⎭.14．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图). 现将AD E ∆沿DE 折起，使二面角A DE B --的大小为45︒，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小为 . 答案：2π. 理由： 取AE 中点G ，连MG 、GB . 则可证GM ∥BN ，GM BN = 故MN ∥BG ，而DE ⊥EB ，DE ⊥AE ，∴45AEB ∠=︒ 又AB ⊥BE ，G为AE 中点，∴BG ⊥AE ， ∴MN ⊥AE ∴MN 与AE 所成的角为2π.15．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==90ACB ∠=︒，AA 1=2，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，过直线EF 作棱柱的截面，若截面与平面ABC 所成的二面角的大小为60︒，则截面的面积为____________.AEC B 1A 1C 1FA BE NCM GDNBE答案：203或28.3理由：由判断得经过A1或B1C1的截面与底面ABC所成的角小于45︒，故截面与111ΔA B C相交，且有两种情况：如图，截面为EFMN，过N作NP∥AA1，则NP⊥AC，可证EF⊥平面A1C，则60NEP∠=︒，tan60NPPE==︒，AP AE PE=-==故1A N=，NE=∴1MN A N==∴2033.23EFMNS==梯形同理：28.3S=梯形故截面面积为203或28.3三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知22()nxx-展开式的二项式系数之和比21)nx展开式的二项式系数之和小56.（1）求n；（2）求22()nxx-的第二项的系数和21)nx的第5项.答案：（1）由题意得：22256n n-=，即2(2)2560,n n--=∴28,27n n==-（舍去），故3n=；(2) 232()xx-第二项是1221332()()6C x xx-=-，故第二项的系数是6-；61)x的第5项是424563160()T Cx x==.17．（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111ABC A B C-中，190,2,ACB BC B∠=︒=在底面的射影D恰好是BC的中点，侧棱与底面成60︒角，侧面11A ABB与侧面11BB C C成30︒角.（1）求证：四边形11AAC C是矩形；（2）求斜三棱柱111ABC A B C-的体积.答案：（1）由1B在底面的射影是D得1B D⊥底面ABC，则160B BD∠=︒.90,ACB AC BC∠=︒∴⊥，1AC BB∴⊥，由111////BB A A C C，得四边形11AA C C是矩形.AECBB1A1C1FMNPABDB1C1A1C（2）1B D ⊥平面ABC ，∴侧面11BCC B ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC ∴⊥侧面11.BCC B 过C 作1CE BB ⊥于E ，连,AE 则CEA ∠是侧面11BCC B 与侧面11A ABB 所成的二面角的平面角，故30CEA ∠=︒.D 是BC 的中点，∴ 1.BD =在1Rt B BD ∆中，12cos60BDBB ==︒，1B D =在Rt BCE ∆中，sin 60CE BC =︒ 在Rt CEA ∆中，tan 301AC CE =︒==，11111212ABC ABC A B C V S B D ∆-=⋅=⨯⨯棱柱18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，M 、N 分别是边DA 、 BC 上的点（M 不与A 、D 重合），且//MN AB ，MN 交AC 于点O ，沿MN 将正方形折成 直二面角.A MN D --（1）当MN 平行移动时，AOC ∠的大小是否发生变化？试说明理由；（2）当MN 在怎样的位置时，A 、C 两点间的距离最小？并求出这个最小值.答案：（1）设AM BN x ==，则,MD NC a x ==-由题意知：平面DMNC ⊥平面MABN ， 而,CN MN ⊥故CN ⊥平面.MABN22222222222()2()AC AN CN AM MN CN x a a x x xa a ∴=+=++=++-=-+.而22222)]2(),2,OC a x a x OA x =-=-=故1cos .2AOC =- 120,AOC ∴∠=︒即无论MN 怎样平移,120AOC ∠=︒为定值.（2）由（1）知：22232(),22a AC x a =-+故当2ax =时，AC 有最小值，即当M 、N 分别为AD 、BC 中点时，AC. 19．（本小题满分12分）号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球.（1）若1、2号球要放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？ （2）若3、4号球要放入编号不比自己号码小的盒子中，则不同的放法有多少种？ （3）若1号球不放入1号盒中，6号球不放入6号盒中，则不同的放法有多少种？答案：（1）号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6共5种情ABD B 1C 1A 1C EM NB况，则符合题意的放法有124524240C A A =种；（2）①若3号球放入3号盒子，则不同的放法有1434C A 种；②若3号球放入4号、5号、6号盒子中的一个，则不同的放法有114324C C A 种； 故符合题意的放法有1434C A +114324C C A =216种；（3）六个球放入六个盒子中的方法有66A 种，1号球放入1号盒中，6号球不放入6号盒中的方法有1444C A 种；1号球不放入1号盒中，6号球放入6号盒中的方法有1444C A 种；1号球放入1号盒中，6号球放入6号盒中的方法有44A 种； 故符合题意的放法有66A －1444C A ×2－44A =504种. 20．（本小题满分13分）如图，在梯形ABCD 中，1//,,3,23AD BC ABC AB AD π∠===ADC ∠=PA ⊥平面ABCD ，且 3.PA = （1）求异面直线AD 与PC 间的距离；（2）求直线PD 与平面PBC 所成的角；（3）已知F 是线段AD 上的动点，若二面角C PF A --的大小为AF . 答案：（1）//,AD BC AD ⊄平面PBC //AD ∴平面PBC ，故AD 与PC 间的距离就是AD 到平面PBC 的距离．取PB 中点E ，连AE ．PA AB = .AE PB ∴⊥PA ⊥平面,,ABCD PA BC ∴⊥又,,BC AB AB PA A BC ⊥=∴⊥平面.PAB 故平面PBC ⊥平面.ABP 由AE PB ⊥得AE ⊥平面PBC ，故AE 的长度是A 到平面PBC 的距离，而AE =故AD 与PC（2）由（1）知：D 到平面PBC 的距离即为A 到平面PBC 距离，故D 到平面PBC 的距离是2在Rt PAD ∆中：PD ==设直线PD 与平面PBC 所成的角是θ，故sin θ==，∴直线PD 与平面PBC 所成的角是CBFAPA DCBFPEK MNsin10arc （3）作C M A D ⊥于M ，作M K P F ⊥于K ，连CK .由ADC ∠=得1,2tanADC =则26,MD CM ==证得3,BC AM == 可证,CM PAD ⊥平面得∠CKM 是二面角C PF A --的平面角，所以CKM =∠，CMtanCKM =MK=，∴MK =FM MKFMK FPA FP PA⇒=△∽△， 设AF x ===，1236,2x x ==，由二面角C PF A --的平面角小于2π得>3AF x =，故取6x =，即6AF =. 21．（本小题满分1４分）如图，B 为等腰直角ABC ∆的直角顶点，EA 、DC 都垂直于ABC ∆ 所在的平面，3,,2.AE a CD a AC a ===（1）求二面角D EB C --的大小； （2）求点D 到平面BCE 的距离；（3）问线段BE 上是否存在一点F ，使得//FD 平面ABC 且?FA BD ⊥若存在，请指出F 点的位置；若不存在，请说明理由． 答案：几何法：（1）作D M B E ⊥于M ，EA ⊥平面,A B CB C ⊂平面,,,A B C B C A E A B A E A B C B A E B CB E∴⊥=∴⊥∴⊥平面， 则向量MD 与BC 所成的角即为二面角D EB C --的大小. 由计算得,,,DE BE BD ==故,BD DE ⊥ ∴由面积求得DM =，由射影定理可求得BM =. 而,DC DM MB BC =++则2222cos ,.DC DM BC DC BC DM BC =++ 故33cos ,MD BC =，故二面角D BE C --的大小为 （2）EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，//,AE DC ∴故A 、C 、D 、E 四点共面. 且平面ABC ⊥平面ACDE 作BK AC ⊥于K ,则有BK ⊥平面,.ACDE BK a =21()42ACDE S DE AE AC a =+⋅=梯形，2132ACE S AC AE a ∆=⋅=MAKBCD E A BCD E∴2DCE S a ∆= ∴31133B DCE DCE D BCEV BK S aV -∆-===由,,,BE BC BC BE ==⊥故2.BCE S ∆=由31133BCE S h a ∆⋅=得,h =即D 到平面BCE . （3）假设线段BE 上存在点F ，使FA BD ⊥，//FD 平面ABC . DC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC .,DC AB ∴⊥又,AB BC DC BC C ⊥=，AB ⊥平面BCD ,A B B D ∴⊥又,BD FA FA AB A ⊥=（F 不与B 重合），故BD⊥平面ABF ，则.BD BE ⊥而由计算得:,,,BE BD DE ==故222,BE BD DE =+,BD DE ∴⊥这与B D B E ⊥矛盾,故BE 上不存在F ,使.FA BD ⊥（或BD ⊥平面ABF ，BC BAE ⊥平面，而过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直） 向量法：过B 作BT ⊥平面ABC ，以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),,0)B A ，,0,0),,0,),,3)C D a E a . （1）设平面BDE 的一个法向量为(,,1),m x y =-则,mBD m BE ⊥⊥，故032x a a o y ⎧=⎪-=⎪⇒⎨-=⎪=⎪⎩ 2(,1).m ∴=- 同理：平面BC E 的一个法向量为3(0,n =-，则11332cos m n m n π-〈,〉==-∴〈,〉=- ∴二面角D BE C --的大小为 （2）由（1）知平面BCE 的一个法向量为3(0,n =-，而(2,0,)BD a a=， 故D 到平面BCE 的距离是11n BD d ==n⋅ （3）若BE 上存在F 使//FD 平面ABC ，显然此时:2:1,EF FB =故)F a （上式也可用向量共线与共面定理得到F 点的坐标）∴22(0,,),(2,0,)aAF a BD a a =-=，20,AF BD a ∴⋅=≠故AF 与BD 不垂直，故在BE 上不存在符合题意的F 点。