三角函数的伸缩变换及其辅助角公式

2014-05课堂内外在三角函数的平移变换中，我们经常会有这样的疑问：（1）函数y =sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数y =sin（x+π6）的图象，再把横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin ［2（x +π6）］还是函数y =sin （2x +π6）的图象？（2）函数y =sin x 的图象横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin2x 的图象，再把图象向左平移π6个单位，得到函数y =sin ［2（x +π6）］还是函数y =sin （2x +π6）的图象？之所以出现这样的疑问，是没有抓住三角函数y =A sin （ωx +φ）+b 伸缩平移的本质.我们可大致归纳为以下四种变化.一、左右平移四个字“左加右减”，这是大家熟知的，但要注意变化的位置是“x ”而不是“φ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向左平移m （m >0）个单位，得到的是函数y =A sin ［ω（x +m ）+φ］+b 的图象；把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向右平移m （m >0）个单位，得到的是函数y =A sin［ω（x -m ）+φ］+b 的图象.所以函数y =sin x 的图象向左平移π6个单位得到的是函数y =sin （x +π6）的图象，函数y =sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到的是函数y =sin ［2（x +π6）］，即y =sin （2x +π6）的图象.二、上下平移四个字“上加下减”，注意变化的位置是“b ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向上平移n （n >0）个单位，得到的是函数y =A sin （ωx +φ）+（b+n ）的图象；把y =A sin （ωx +φ）+b 的图象向下平移n （n >0）个单位，得到的是函数y =A sin （ωx +φ）+（b-n ）的图象.三、横坐标伸缩两个字“反比”，注意变化的位置是“ω”.把y =A sin （ωx +φ）+b图象的横坐标变为原来的p 倍，得到的是函数y =A sin （ωp x +φ）+b的图象.四、纵坐标伸缩两个字“正比”，注意变化的位置是“A ”.把y =A sin （ωx +φ）+b 图象的纵坐标变为原来的q 倍，得到的是函数y =qA sin （ωx +φ）+b 的图象.例1.把y =sin （x+π3）横坐标缩短为原来的12，得到的图象，再把图象向右平移π6个单位，得到的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到的图象.分析：变换如下：y =sin （x+π3→y =sin （2x+π3）→y =sin ［2（x -π6）+π3］，即y =sin2x →y =12sin2x .例2.把函数y =A sin （ωx +φ）（A >0，ω>0）的图象向左平移π3个单位，再使其图象上每个点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到的图象对应的函数为y =2sin （2x-π3，则原函数的解析式为（）A.y =2sin （23x-π9）B.y =2sin （23x-2π3）C.y =2sin （23x-5π9）D.y =2sin （6x-7π3）分析：从正面分析，因含有未知数，较为复杂，我们可从反面入手：由y =2sin （2x-π3）变换到原函数y =A sin （ωx +φ），把变换顺序逆过去：先把横坐标伸长为原来的3倍，再把图象向右平移π3个单位.变换如下：y =2sin （2x-π3）→y =2sin （23x-π3）→y =2sin ［23（x-π3）-π3］，即y =2sin （23x-5π9），故选C.（作者单位山东省淄博第四中学）•编辑韩晓三角函数的伸缩平移变换文/张强对陶渊明有了一些了解，知道他洁身自好、与众不同的特点。

三角函数变换公式大全
以下列举了常见的三角函数变换公式：
1. 正弦函数变换公式：
- 正弦函数的平移变换：y = a*sin(b(x-c)) + d，其中a为振幅，b为周期变化的倍数，c为水平平移量，d为垂直平移量。

2. 余弦函数变换公式：
- 余弦函数的平移变换：y = a*cos(b(x-c)) + d，其中a为振幅，b为周期变化的倍数，c为水平平移量，d为垂直平移量。

3. 正切函数变换公式：
- 正切函数的平移变换：y = a*tan(b(x-c)) + d，其中a为垂直
拉伸/压缩因子，b为周期变化的倍数，c为水平平移量，d为
垂直平移量。

4. 余切函数变换公式：
- 余切函数的平移变换：y = a*cot(b(x-c)) + d，其中a为垂直
拉伸/压缩因子，b为周期变化的倍数，c为水平平移量，d为
垂直平移量。

5. 正割函数变换公式：
- 正割函数的平移变换：y = a*sec(b(x-c)) + d，其中a为水平
拉伸/压缩因子，b为周期变化的倍数，c为水平平移量，d为
垂直平移量。

6. 余割函数变换公式：
- 余割函数的平移变换：y = a*csc(b(x-c)) + d，其中a为水平拉伸/压缩因子，b为周期变化的倍数，c为水平平移量，d为垂直平移量。

以上是常见的三角函数变换公式，它们可以通过改变振幅、周期、水平平移量和垂直平移量来对原始的三角函数进行变换。

⾼⼀数学三⾓函数基本公式 三⾓函数是⾼中的⼀个重要知识点，是经常要考察的内容，下⾯百分⽹店铺为⼤家整理了⾼⼀数学三⾓函数的基本公式，希望能对⼤家有帮助，更多内容欢迎关注应届毕业⽣⽹！ 公式⼀： 设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式⼆： 设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π+α）= —sinα cos（π+α）= —cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意⾓α与 —α的三⾓函数值之间的关系： sin（—α）= —sinα cos（—α）= cosα tan（—α）= —tanα cot（—α）= —cotα 公式四： 利⽤公式⼆和公式三可以得到π—α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π—α）= sinα cos（π—α）= —cosα tan（π—α）= —tanα cot（π—α）= —cotα 公式五： 利⽤公式—和公式三可以得到2π—α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（2π—α）= —sinα cos（2π—α）= cosα tan（2π—α）= —tanα cot（2π—α）= —cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= —sinα tan（π/2+α）= —cotα cot（π/2+α）= —tanα sin（π/2—α）= cosα cos（π/2—α）= sinα tan（π/2—α）= cotα cot（π/2—α）= tanα sin（3π/2+α）= —cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= —cotα cot（3π/2+α）= —tanα sin（3π/2—α）= —cosα cos（3π/2—α）= —sinα tan（3π/2—α）= cotα cot（3π/2—α）= tanα （以上k∈Z） 【拓展】⾼⼀数学三⾓函数的解题思路 第⼀：三⾓函数的重要性，即使你⾼⼀勉强过了，我希望你能在暑假好好学习三⾓函数知识。

cos伸缩变换法则
左加右减：一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。

当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。

上加下减：一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。

当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。

奇变偶不变，符号看象限：即形如(2k+1)90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦（sin）变余弦（cos），余弦（cos）变正弦（sin），正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值：
（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。