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有色装箱问题的一种新的近似算法刘春霞1于洪霞(大连理工大学应用数学系 大连市 116024)摘 要：作为经典装箱问题的推广,有色装箱问题在多处理器实时计算机系统的任务调度等实际问题中有着很强的应用背景.论文提出了有色装箱问题的一种新的近似算法——交叉装箱算法(简称JCBP),该算法首先对物品按长度进行排列,再从两头交叉进行装箱.实验证明,该算法较其他算法有较好的装箱效果,并且很多情况下能达到最优解.关键词：装箱问题;近似算法;多处理器调度 中图分类号：TP301 文献标识吗：A0 引言有色装箱问题是一种带约束的一维装箱问题,它最初在支持容错的多处理器实时计算机系统的任务调度问题中被提出[1].有色装箱问题在多处理器任务调度[2,3]、并行处理、资源分配和现实生活中的包装等问题中有着广泛的应用背景.下面简单介绍一个有色装箱问题的例子:在多处理器实时调度系统中,往往需要将一个任务分割成若干个子任务.为了支持容错,每个子任务都必须有若干个拷贝,这些拷贝在不同的处理器上运行,以保证处理结果的正确性.现在的问题是:如何分配这些子任务,使得整个任务在规定的时间内完成,同时使得运行该任务的处理器的数量尽可能少.因为同一个子任务的拷贝必须放在不同的处理器上运行,相当于对同一子任务的每份不同的拷贝赋予不同的颜色,要求装在箱子中的物品的颜色各不相同.这种带约束的一维装箱问题就是有色装箱问题.解决好有色装箱问题,既是对上述此类问题的良好解决,同时,有色装箱问题的解决,对于一维装箱问题及其一维装箱问题的其他衍生问题也有很大的帮助.1 相关知识1.1 经典的一维装箱问题经典的一维装箱问题是这样描述的:给定n 个物品的序列123{,,,,}n n L a a a a =,物品(1)i a i n ≤≤的大小()(0,1]i s a ∈,12,,B B 为一个由单位容积的箱子组成的无限序列.我们要求:每一个物品i a 只能装入到唯一的箱子里,每一个箱子中的数字和不超过1,如何用最少的单位容积的箱子,装下所有的物品?用线性规划的方式来描述一维装箱问题如下:min 1nii z y==∑..s t 1(),nj ij i j s a x y =≤∑ 1,2,,i n =11,niji x==∑ 1,2,,j n =1刘春霞（1981-）,女,山东省滨州市人,大连理工大学应用数学系,硕士研究生.01i y =或， 1,2,,i n = 01ij x =或， ,1,2,,i j n =其中变量,x y 的含义是：i y =1,0i ⎧⎨⎩第个箱子被使用，否则,1,2,,i n =1,ij j x ⎧=⎨⎩第个物品放入第i 个箱子0，否则, ,1,2,,i j n =装箱问题是一个典型的NP 完全问题[4],由于目前NP 完全问题不存在有效时间内求得精确解的算法,因此陆续提出了各种求解装箱问题的近似算法.其中NF 、FF 、BF 、FFD 、BFD 等是部分著名装箱问题的近似算法. 1.2 有色装箱问题有色装箱问题是:给定n 个物品的序列123{,,,,}n n L a a a a =,物品(1)i a i n ≤≤的大小()(0,1]i s a ∈,颜色为(1)i C i K ≤≤,其中物品的颜色数不超过(,)K K N K ∈是常数.12,,B B 为一个由单位容积的箱子组成的无限序列.我们要求: 每一个物品i a 只能装入到唯一的箱子里,每一个箱子中的数字和不超过1,同一箱子中各物品颜色互不相同,如何用最少的单位容积的箱子,装下所有的物品?有色装箱问题也是NP 完全问题,因为当K =∞时,即物品的颜色数无穷大,每个物品颜色相同的机会就大大减少,就变成了经典的一维装箱问题了. 1.3 解决有色装箱问题的两种算法文献[5]和文献[6]分别提出了有色装箱问题的KC-A 算法和SCPF-A 算法.KC-A 算法：首先把箱子分成K 类,对任何一种颜色,输入序列中第i 个具有这种颜色的物品只能放在第i 类箱子中,从而保证相同颜色的物品不会出现在同一类箱子中.然后在任何一个箱子类内部,物品的放置采用近似策略A.我们称这样的算法为以A 为基础的K-分类算法,记为KC-A 算法.相应的,当算法取FF 算法时,则得到KC-FF 算法.SCPF-A 算法：首先对输入物品按颜色分类,将相同颜色的物品分成一类,放置时按照相同颜色的物品首先放置的原则,即颜色1C 的所有物品先分别放在不同的箱子中,然后再处理颜色2C 的所有物品,一直到所有颜色的物品都放置完毕.在放置物品的过程中,相同颜色的物品必须放在不同的箱子中.在放置颜色(2)i C i ≥的所有物品时,物品的放置采用经典装箱问题的近似算法A.如当算法A 选取的是FF 算法,则得到SCPF-FF 算法.2 交叉装箱算法2.1 预备知识令123{,,,,}n n L a a a a =为任意给定的n 个物品的一个序列,物品(1)i a i n ≤≤的大小()(0,1]i s a ∈,颜色为(1)i C i K ≤≤,其中物品的颜色数不超过(,)K K N K ∈是常数.j B 表示所用的第j 个箱子,箱子j B 的容量均为1,{1,2,,}j m ∈,这里m 表示一种给定的装箱方案所需的箱子数目.易知,不同算法产生的箱子数目不必相同.令()j B σ表示箱子j B 中所有物品的数目,令()j f B 表示装入箱子j B 中的所有物品的大小之和.jk a 表示按装箱算法放入第j 个箱子的第k 个物品.因此我们有()1()(),1,2,,j B j jkk f B s aj m σ===∑;11()()mn jij i f B s a ===∑∑.2.2 交叉装箱算法下面给出有色装箱问题的交叉装箱算法：输入：物品序列1122{(),(),,()}n n n L a C a C a C =,物品i a 的大小()(0,1]i s a ∈,(1)i i C C K ≤≤为颜色编号,K 为物品的总颜色数输出：使用的箱子数mStep1:把物品1122(),(),,()n n a C a C a C 按其大小进行非增序排列,不妨设12()()()n s a s a s a ≥≥≥;Step2: 首先把11()a C 放入箱子1B 中,然后从最右端开始从右往左依次查看物品11(),(),n n n n a C a C --,如果物品()(1)l l a C l n <≤满足以下两点(假设1B 中已经装了p 个物品)：(i) l C 与箱子1B 中已装的p 个物品的颜色各不相同, (ii)11()1()pl kk s a s a=≤-∑,则将()l l a C 装入箱子1B 中,并检查下一个物品(如果()l l a C 不满足以上两条则直接查看下一个物品),直到所有物品不能再放入箱子为止,打开新的箱子2B ;Step3：设在第i 步循环时,打开第i 个箱子,此时把物品()i i a C 放入箱子i B 中,再从最右端开始从右往左依次查看装完箱子1i B -后剩下的物品1122(),(),q q q q a C a C ,假设()l l a C 是被查看的物品,(假设i B 中已经装有p 个物品)：(i)l C 与箱子i B 中已装的p 个物品的颜色各不相同, (ii)1()1()pl ipk s a s a=≤-∑,则将()l l a C 装入箱子i B 中,并检查下一个物品(如果()l l a C 不满足以上两条则直接查看下一个物品),直到所有物品不能再放入箱子为止,打开新的箱子1i B +;直到把所有物品都放入箱子中;Step4：输出使用的箱子数m . 2.3 实例例：给定物品序列L={5(A),8(B),3(B),2(A),6(C),7(B),1(C),9(A),4(A),2(C),3(C),4(C)},括号中的字母表示颜色值,A 表示颜色A,B 表示颜色B,C 表示颜色C,箱子的长度为10.根据交叉装箱算法,首先将物品按长度从大到小排序,9(A),8(B),7(B),6(C),5(A),4(A),4(C),3(B),3(C),2(A),2(C),1(C)装箱后的结果为1B ={9(A),1(C)},2B ={8(B),2(C)},3B ={7(B),2(A)},4B ={6(C),3(B)},5B ={5(A),3(C)},6B ={4(A),4(C)},从这个例子看出一共使用了6个箱子. 2.4 与其它算法的比较作者采用随机产生实例的方法对JCBP 算法和KC-A 算法,SCPF-A 算法进行了比较.实验证明交叉装箱算法比其它算法具有更好的装箱效果,并且对很多情况都能达到最优解.这里仅列举几例进行比较,它们的比较结果如表1所示:表1 交叉装箱算法与其它算法的比较图中KC-FF/FFD 表示分别以FF 、FFD 为基础的KC 算法使用的箱子数,SCPF-FF/FFD 表示分别以FF 、FFD 为基础的SCPF 算法使用的箱子数,最优值表示最少使用的箱子数.3 小结论文提出了有色装箱问题的一种新的近似算法——交叉装箱算法,并将其与以前文献中提出的KC-A 算法,SCPF-A 算法进行了比较.实验证明,交叉装箱算法比其它算法使用的箱子数要少,装箱效果较好,并且很多情况能达到最优值.因此交叉装箱算法是有色装箱问题的一种有效算法.此外,一维装箱问题的其它衍生问题也得到了广泛研究,如最大基数装箱问题,箱子覆盖问题[7],有可变容量的装箱问题[8]等.这些衍生问题一方面与一维装箱问题有着密切联系,另一方面又有着更广泛的实际应用背景.我们未来的工作将继续关注并研究一维装箱问题的各种衍生问题,以期能对实际生活工作提供更大的帮助.参考文献[1] C L Liu, J Layland. Scheduling algorithms for multi programming in a hard real-timeenvironment[J]. Journal of ACM. 1973, 10(1): 174-189.[2] A Khemka, R K Shyamasundar. An optimal multiprocessor real-time scheduling algorithm[J]. Journalof Parallel and Distributed Computing. 1997, 43(1): 37-45.[3] Y O h. The design and analysis of scheduling algorithms for real-time and fault-tolerant computersystems [Ph D dissertation][M]. Department of Computer Science, University of Virginia, Vinginia, 1994.[4] M R Garey, D S Johnson. Computers and Intractability: A Guild to the Theory of NP-Completeness[M].New York: W H Freeman and Company, 1978.[5] 顾晓东,许胤龙,陈国良,顾钧.有色装箱问题的在线近似算法[J].计算机研究与发展.2002,39(3)：335-340.[6] 董一鸿,赵杰煜. 带约束的一维装箱问题近似算法的研究[J]. 计算机工程与应用.2003, 18: 41-44.[7] JANSEN K, SOLIS-OBA R. An asymptotic fully polynomial time approximation scheme for bin covering[J].Theoretical Computer Science. 2003,306:543-551.[8] KANG J, PARK S. Algorithms for the variable sized bin packing problem[J]. European Journal ofOperational Research. 2003,147:365-372.A New Approximation Algorithm for ColoringBin Packing ProblemLiu Chun-xia Yu Hong-xia(Department of Applied Mathematics, Dalian University of Technology,Dalian, 116024, P.R.China )Abstract: As one of the constrained bin packing problem (BPP), coloring BPP has many important applications such as multi-processor real-time scheduling, etc. A new approximation algorithm, named JCBP, to solve the coloring BPP is proposed in this paper. After arranging the objects according to the length, JCBP packs the objects from two sides. Experiment shows better results and fewer boxes for JCBP than that for other algorithms. It also can reach the optimal solutions in many cases.Keywords: bin packing problem; approximation algorithm; multi-process scheduling。
2023年第三届长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题题目：快递包裹装箱优化问题一、问题描述随着电子商务的快速发展，快递行业也日益繁荣。
在快递包裹的打包和运输过程中，如何实现高效、节约和环保成为了亟待解决的问题。
本题将围绕快递包裹的装箱优化展开讨论。
二、问题分析1. 问题分析：首先，我们需要对题目的要求进行深入理解。
题目要求我们针对给定的快递包裹，设计一个装箱优化方案，以满足节约空间、提高运输效率以及环保等要求。
这涉及到的问题包括但不限于：如何合理安排包裹的空间布局，如何减少不必要的空间浪费，以及如何考虑环保因素等。
2. 数学建模：为了解决这个问题，我们可以采用数学建模的方法。
首先，我们需要对每个包裹的尺寸和重量进行测量和统计。
然后，我们可以使用线性规划或整数规划的方法来建立模型，以确定如何将包裹放入一个或多个箱子中，以便最大化利用空间并最小化运输成本。
在这个过程中，我们还需要考虑到环保因素，比如包装材料的可回收性和可降解性等。
3. 算法设计：在确定了数学模型后，我们需要设计相应的算法来求解这个问题。
我们可以采用启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法或蚁群算法等，来寻找最优解或近似最优解。
这些算法可以在较短的时间内给出较为满意的解决方案。
4. 结果分析：最后，我们需要对算法的结果进行分析和评估。
我们可以比较优化后的装箱方案与原始方案在空间利用率、运输成本和环保方面的差异，以验证优化方案的有效性和优越性。
三、解决方案1. 数据收集：首先，我们需要收集相关的数据。
这包括每个快递包裹的尺寸、重量、价值以及箱子的尺寸、重量限制、成本等信息。
这些数据可以通过实际测量或从快递公司获取。
2. 建立模型：然后，我们使用数学建模的方法来建立装箱优化模型。
在这个模型中，我们可以定义决策变量（如每个箱子的尺寸和重量）、目标函数（如最大化空间利用率或最小化运输成本）和约束条件（如箱子的尺寸和重量限制）。
3. 算法设计：接下来，我们设计相应的算法来求解这个优化问题。
收稿日期:2003-11-14;修订日期:2004-01-09 作者简介:赵中凯(1978-),男,甘肃白银人,助教,硕士,主要研究方向:智能优化、计算机算法设计; 梅国建(1955-),男,河南许昌人,副教授,主要研究方向:管理科学、系统工程; 沈洪(1971-),男,湖南澧县人,讲师,主要研究方向:管理科学、系统工程; 赵战彪(1972-),男,河北博野县人,讲师,硕士,主要研究方向:系统优化.文章编号:1001-9081(2004)06Z -0297-02基于混合蚂蚁算法的二维装箱问题求解赵中凯,梅国建,沈 洪,赵战彪(装甲兵工程学院装备管理室,北京100072)摘 要:二维装箱问题是一个NP -Hard 组合优化问题。
根据蚂蚁优化算法和二维装箱问题的特点,本文提出了改进的BL 算法与蚂蚁算法相结合的混合算法来解决二维装箱问题,实验结果表明,该算法是行之有效的,并具有一定的通用性。
关键词:二维装箱;蚂蚁算法;BL 算法;优化中图分类号:TP301 文献标识码:A1 引言在许多工业领域,人们需要把矩形物体装入诸如集装箱之类的容器中,例如在码头,大小重量不一的集装箱需要装入货船中;在木材或钢铁厂中,根据实际需要从一个大的原材料中切割成不同形状的几块部分,进行分别包装处理;在超市中尤其是仓储超市中,各种商品需要分类放置在不同的货架上。
在所有类似的应用中,如何最有效的利用容器空间,按照需要的次序放置物体,是此类问题研究的目的。
20世纪80年代以来,许多学者尝试应用各种方法解决该类问题,其中遗传算法(G A )、模拟退火算法(S A )等现代优化算法在该问题中得到了广泛的应用。
但是由于实际问题约束条件的复杂性,启发式算法的研究比较引人关注[1]。
1980图1 BL 改进算法流程图年,Jacos 提出Bottom 2Left (BL )算法,由于该算法利用矩形的长度和宽度进行物体放置,要求被放置物体尽可能快地到达容器底部的同时尽可能快地到达容器的左侧,不用确定放置点的坐标,解决了物体装入过程中图形结果的输出问题和物体之间的干涉(重叠)问题,因而得到了广泛的研究。
第38卷第1期2021年2月江苏船舶JIANGSU SHIPVol.33No.1Feb.3221变尺寸装箱问题的迭代/贪婪动态规划算法姚汝林1，尹石军2,郭蕴华3(1.上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海202242；2.招商局重工(江苏)有限公司，江苏海门226116；3.武汉理工大学能源与动力工程学院，湖北武汉430263)摘要：针对船舶建造中管材切割规划这一类特殊的变尺寸装箱问题,提出了一种迭代贪婪/动态规划算法(IGDP)并对其进行求解。
首先，提出了求解子集和问题的贪婪操作与动态规划的组合解法。
然后，基于贪婪操作与动态规划的组合解法实现对整个问题的构造启发式求解,并且通过迭代的拆箱/再分配操作提高了算法的局部搜索能力。
最后，通过8个算例的仿真实验,对所提算法与现有算法进行了性能比较。
结果表明：IGDP的性能优于现有算法，且具有可以接受的计算耗费。
关键词:变尺寸装箱;动态规划;启发式;船舶建造;管材切割中图分类号：U671.963文献标志码：ADOI:12.19646/ld.32-1232.3221.363210引言管材切割是船舶建造过程中的一个重要的生产步骤，新近研究将船厂管材切割问题描述为一维下料问题I One-dimensiooal cntting stock problem,1D-CSP)⑴。
但是，由于船舶建造的复杂性，某些场合零件管和原料管都具有随机长度。
在此情况下，应将船舶建造的管材切割问题描述为变尺寸装箱问题(Variabln-sizeb bin pacnOg problem,VSBPP)，而非1D-CSP2。
对于VSBPP问题，研究人员先后提出了近似算法⑶、分支定界算法⑷、分组遗传算法(Grouped genetic algorittm,GGA)⑸、迭代递减首次适合算法(Iterative first-Ct decreasing,IAFD)；、迭代MBS启发式算法(Iterative minimal bin slack,IM BS)⑺、可变邻域搜索(Vaeablc neighborOoob search, VNS)方法⑻和基于动态规划的启发式方法⑼进行求解。
汽车装箱问题的算法研究汽车装箱问题是一个经典的组合优化问题，广泛应用于物流配送、工业生产等领域。
该问题涉及到将一组不同大小的物品装入有限容量的汽车中，使得装载的物品数量最大化或装载的空间利用率最优化。
本文将对汽车装箱问题的算法研究进行概述和分析。
一、问题描述与建模汽车装箱问题可以描述为：给定一组物品，每个物品具有不同的大小和重量，以及一个有限容量的汽车，要求将尽可能多的物品装入汽车中，使得装载的物品数量最大化或装载的空间利用率最优化。
为了解决这个问题，通常需要建立一个数学模型。
一种常用的模型是0-1背包模型，将每个物品是否装入汽车作为决策变量，通过目标函数和约束条件来描述问题的优化目标和限制条件。
二、经典算法研究针对汽车装箱问题，研究者们提出了许多经典的算法。
其中，贪心算法是一种简单而有效的解决方案。
该算法按照物品的大小或重量进行排序，然后逐个选择物品装入汽车，直到汽车容量达到上限或所有物品装载完毕。
虽然贪心算法具有较低的时间复杂度，但其解的质量往往较差，无法保证得到最优解。
另一种经典算法是动态规划算法。
该算法通过状态转移方程逐步计算每个物品是否装入汽车的最优解，并最终得到问题的最优解。
动态规划算法能够得到全局最优解，但其时间复杂度较高，在处理大规模问题时存在困难。
三、启发式算法研究为了克服经典算法的局限性，研究者们进一步探索了启发式算法在汽车装箱问题中的应用。
启发式算法通过引入启发式信息和局部搜索策略，能够在较短的时间内得到较优的解。
一种常见的启发式算法是遗传算法。
该算法借鉴了生物进化中的遗传机制，通过种群演化、选择、交叉和变异等操作，不断生成新的解，并在搜索过程中保持解的多样性。
遗传算法具有较强的全局搜索能力，但参数的设置对算法性能影响较大。
另一种启发式算法是模拟退火算法。
该算法模拟了物理系统中的退火过程，通过引入随机性和温度参数，在搜索过程中跳出局部最优解，以寻找全局最优解。
模拟退火算法对于解决具有大规模和复杂约束的汽车装箱问题具有一定优势，但其收敛速度较慢。
求解装箱问题的遗传算法
方平;李娟
【期刊名称】《南昌航空工业学院学报》
【年(卷),期】1998(000)002
【摘要】本文提出了两种求解装箱问题的遗传算法。
一种是简单遗传算法，它采用等长度字符代码编码方法，使用常规的遗传操作算子。
另一种是混合遗传算法。
它综合运用解装箱问题的ＦＦＤ近似算法和简单遗传算法。
试算结果表明，由这两种遗传算法所得到的装箱方案较一些近似算法所得到的装箱方案都要好。
【总页数】4页(P21-24)
【作者】方平;李娟
【作者单位】南昌航空工业学院;西北工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.基于自适应遗传算法求解装箱问题 [J], 赵晓青;杨惠波;戎晓剑
2.二维装箱问题的遗传算法求解 [J], 田大肥;申喜;周巍
3.基于群体编码方式的遗传算法求解装箱问题 [J], 张大斌;刘桂琴;王婧;朱侯
4.一种求解三维集装箱装箱问题的混合遗传算法 [J], 江宝钏;熊伟清
5.求解装箱问题的一种混合分组遗传算法 [J], 王秀清;邱洪泽;徐法升
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基于强化学习的多箱型三维装箱问题的研究与实现基于强化学习的多箱型三维装箱问题的研究与实现摘要：多箱型三维装箱问题是在给定一组待装箱的物体的情况下，选择合适的箱子来实现装箱最优化的问题。
本文通过引入强化学习方法，研究了多箱型三维装箱问题的求解策略，并实现了一个基于强化学习的装箱系统。
实验结果表明，该系统能够有效解决多箱型三维装箱问题。
一、引言多箱型三维装箱问题是在工业生产和物流配送中常见的问题，它涉及到如何在给定的一组待装箱物体中，选择合适的箱子，使得装箱的效果最优。
该问题的求解可以帮助降低物流成本，提高装箱效率。
在传统的方法中，通常采用启发式算法或者数学规划方法来解决多箱型三维装箱问题。
但是，由于问题的规模较大、复杂度高，传统的方法往往存在着效率低、求解时间长等问题。
二、研究方法为了有效解决多箱型三维装箱问题，本文引入了强化学习方法。
强化学习是一种机器学习的方法，该方法通过智能体与环境之间的交互来学习最优的行为策略。
在多箱型三维装箱问题中，将待装箱的物体作为智能体，箱子的状态和装箱效果作为环境，智能体通过选择合适的箱子来实现装箱最优化。
在强化学习中，智能体通过和环境的交互来进行学习。
本文中，智能体的动作空间为待装箱物体的数量加上一个终止动作，智能体可以选择将待装箱物体放入某个箱子，也可以选择终止装箱操作。
智能体的状态由当前箱子的状态以及待装箱物体的状态组成。
智能体的目标是学习一个最优的策略，使得装箱效果最优。
为了达到这个目标，本文采用了Q-learning算法进行强化学习。
三、实验设计与结果分析为了验证基于强化学习的方法在多箱型三维装箱问题中的有效性，本文设计了一系列的实验。
实验使用了一个包含多个不同形状和大小的待装箱物体的数据集，通过强化学习的方法进行装箱。
实验结果表明，基于强化学习的装箱系统能够在较短的时间内找到一个较优的装箱策略。
与传统的启发式算法相比，该系统的装箱效果更优。
四、总结与展望本文研究了基于强化学习的多箱型三维装箱问题，并实现了一个基于强化学习的装箱系统。
卡拉比猜想及其证明
冯晓华;高策
【期刊名称】《自然科学史研究》
【年(卷),期】2012(031)002
【摘要】卡拉比猜想的证明,引出了许多重要结果,对于后来数学和物理的发展做出了基础性贡献.文章依据原始文献,详细考察了卡拉比提出猜想,丘成桐解决卡拉比猜想的工作；同时讨论了卡拉比猜想与凯勒-爱因斯坦度量的密切关系以及丘成桐和奥宾在这两个问题上的工作.
【总页数】14页(P233-246)
【作者】冯晓华;高策
【作者单位】山西大学科学技术哲学研究中心,太原030006;山西大学科学技术哲学研究中心,太原030006
【正文语种】中文
【中图分类】N091;O11
【相关文献】
1.非传统数论研究——费尔马猜想、PRC猜想、哥德巴赫猜想、斋藤慎二猜想等四个猜想的同时证明 [J], 李英杰
2.《哥德巴赫猜想的证明费尔马最后猜想的证明》（英文版）出版发行 [J],
3.四色猜想证明四色猜想证明——运用“变形三角形原理”证明四色猜想 [J], 谭仕芬;
4.起效素数的有效排除力总和与素数两个猜想——着重于对罗卡尔命题、杰波夫猜
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5.归纳,猜想,证明对一道数列猜想题的讨论 [J], 王碧忠
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