13装箱问题与背包问题

1.资源问题1-----机器分配问题F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])2.资源问题2------01背包问题F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]);3.线性动态规划1-----朴素最长非降子序列F[i]:=max{f[j]+1}4.剖分问题1-----石子合并F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5.剖分问题2-----多边形剖分F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);6.剖分问题3------乘积最大f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7.资源问题3-----系统可靠性(完全背包)F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}8.贪心的动态规划1-----快餐问题F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}9.贪心的动态规划2-----过河f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]){f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态10.剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];负负 g[I,k]*f[k+1,j];正负 g[I,k]*f[k+1,j];负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min11.树型动态规划1-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}12.树型动态规划2-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}13.计数问题1-----砝码称重f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];)14.递推天地1------核电站问题f[-1]:=1; f[0]:=1;f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m]15.递推天地2------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];16.最大子矩阵1-----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;ans:=maxvalue(f);17.判定性问题1-----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)18.判定性问题2-----能否被k整除f[I,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n20.线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}ans:=f[1,m,0]21.线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题f[i,j]={0(i=0)&(j=0);f[i-1,j-1]+1(i>0,j>0,x[i]=y[j]);max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]);22.最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]);24.数字三角形1-----朴素の数字三角形f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25.数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill同一阶段上暴力动态规划if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]26.双向动态规划1数字三角形3-----小胖办证f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])27. 数字三角形4-----过河卒//边界初始化f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];28.数字三角形5-----朴素的打砖块f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);29.数字三角形6-----优化的打砖块f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}30.线性动态规划3-----打鼹鼠’f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j])31.树形动态规划3-----贪吃的九头龙⎭⎬⎫⎩⎨⎧======⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++--+=0))2()0(&)0(())1(&)1((1],[]][,[*]0,[],',[]0,',[]][,[*]1,[],1',[]1,',[min ],,[m and j i or j i j i d i p i w k d k j j r f j l f i p i w k d k j j r f j l f k j i f32.状态压缩动态规划1-----炮兵阵地Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])If (map[i] and plan[k]=0) and((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)33.递推天地3-----情书抄写员f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2]34.递推天地4-----错位排列f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);35.递推天地5-----直线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+n:=n*(n+1) div 2 + 1;36.递推天地6-----折线分平面最大区域数f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;37.递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+2*(n-1):=sqr(n)-n+2;38递推天地8-----凸多边形分三角形方法数f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;对于k 边形f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)39递推天地9-----Catalan 数列一般形式1,1,2,5,14,42,132f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f[i]+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w[i]/w[j]-gold)};if w[i]/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43剖分问题5-----最大奖励f[i]:=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t44最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H 的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F[i]:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题------明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]);49 资源问题-----化工场装箱员[,[1,],[1,]][,,]:min [,[1,],[1,]]1[10,[1,10],[1,10]f n i getA n n i j getB n n i f n i j f n j i getA n n j getB n n j f n i j i getA n n i j j getB n n i j ++++++⎧⎫⎪⎪=+++++++⎨⎬⎪⎪+--+++--+++--⎩⎭-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);51树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);52递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53双重动态规划-----有限的基因序列f[i]:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])54最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55线性动态规划------日程安排f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s[i])56递推天地------组合数C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]C[I,0]:=157树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]}58树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w[i](if i∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(if l[i]<>0)-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)60背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]]61线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}62线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}63线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]);64树形动态规划-----APIO2007 风铃f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}g[i]:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])g[l]=g[r]=1 then Halt;65地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]]68目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]]69树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p;70地图动态规划-----vijos某题F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);71最大子矩阵问题-----最大字段和问题f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1]72最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73括号序列-----线型动态规划f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )74棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]min{}}75概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j]f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1f[I,i]=0f[x,j]=176概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2f[I,i]=1f[I,j]=0(I,j无相同基因)77线性动态规划-----决斗F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j78线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])79线性动态规划-----积木游戏F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])80树形动态规划（双次记录）-----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。

背包问题全类型背包问题给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。

背包问题⼤体都可以⽤上述⽅式进⾏描述，但在具体的问题上有了不同的限制条件，于是便有了各种类型的背包问题。

背包问题可基本分为0-1背包问题、部分背包问题、多重背包问题、完全背包问题四⼤类。

接下从四种问题的解决的核⼼算法可以把部分背包问题单独化为⼀类，其核⼼算法为贪⼼。

其余的三种背包问题都可以⽤动态规划解决。

造成部分背包问题与其他的背包问题最⼤不同的原因是其限定条件的不同，部分1. 部分背包问题限定条件：每件物品可以只选取⼀部分完整问题描述：有 n 件物品，第i件物品重 w[i]，价值为 v[i]，且每件物品可以进⾏分割，分割后的价值按取⾛重量占该物品总重量的⽐值计算。

在不超过最⼤承载量 C 的范围内，问最⼤可以取⾛的价值为多少？( 其中 i ∈ {1,2,3,···,n} )算法：贪⼼分析：根据本题的特殊性，我们可以任意地对某⼀部品进⾏分割，所以我们优先选择性价⽐⾼的物品，即单位重量下物品的价值。

解题代码//C++#include<cstdio>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;struct bag { int w,v; //w表⽰重量 v表⽰价值 double p; //⽤来储存v/w 性价⽐}a[10005];bool cmp(bag x,bag y) { return x.p > y.p; //性价⽐⾼的物品排在前⾯}int main() {剩余 } } printf('%.2f\n', ans); //输出答案 return 0;}注意计算时注意数据类型在计算“性价⽐”的时候要注意，在C/C++等⼀部分语⾔中存在以下机制 int/int = int ，这样是⽆法计算出⼩数的，需要将其中任意⼀项浮点化即可。

组合优化问题一个通俗的定义：所谓组合优化，是指在离散的、有限的数学结构上，寻找一个（或一组）满足给定约束条件并使其目标函数值达到最大或最小的解。

—般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，往往是不可微的、不连续的、多维的、有约束条件的、高度非线性的NP完全（难）问题，因此，精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一般是不存在的。

组合优化问题集覆盖问题（set-covering problem）装箱问题（bin-packing problem）背包问题（knapsack problem）指派问题（assignment problem）旅行商问题（traveling salesman problem）影片递送问题（film delivery problem）最小生成树问题（minimum span tree problem） 图划分问题（graph partitioning problem）作业调度问题（job-shop scheduling problem）组合优化问题组合优化问题——装箱问题货运装箱问题截铜棒问题布匹套裁问题。

装箱问题属于NP－难问题组合优化问题——背包问题0/1背包问题：给出几个体积为S 1，S 2，…，S n 的物体和容量为C 的背包；要求找出n 个物件的一个子集使其尽可能多地填满容量为C 的背包。

数学形式：最大化满足∑=n i i i X S 1,1C X S ni i i≤∑=组合优化问题——背包问题广义背包问题：输入由背包容积C和两个向量：物品体积S＝(S1，S2，…，Sn)和物品价值P＝(P1，P2，…，Pn)组成。

设X为一整数集合（物品的标识），X＝1，2，3，…，n，T为X的子集，则问题就是找出满足约束条件，并使总价值最大的子集T。

数学形式：最大化满足∑=niiiXP1,1CXSniii≤∑=niXi≤≤∈1},1,0{组合优化问题——背包问题在应用问题中，设S的元素是n项经营活动各自所需的资源消耗，C是所能提供的资源总量，P的元素是人们从每项经营活动中得到的利润或收益，则背包问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问题。

利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划模型,很多关于算法的教材都把它作为一道例题,该问题既简单又容易理解,而且在某种程度上还能够揭示动态规划的本质。

将具有不同重量和价值的物体装入一个有固定载重量的背包,以获取最大价值,这类问题被称为背包问题。

背包问题可以扩展出很多种问题,而01背包问题是最常见、最有代表性的背包问题。

一、问题描述给定一个载重量为M的背包及n个物体,物体i的重量为wi、价值为pi,1≤i≤n,要求把这些物体装入背包,使背包内的物体价值总量最大。

此处我们讨论的物体是不可分割的,通常称这种物体不可分割的背包问题为01背包问题。

二、基本思路01背包问题的特点是:每种物体只有一件,可以选择放或者不放。

假设:xi表示物体i被装入背包的情况,xi=0,1。

当xi=0时,表示物体没有被装入背包;当xi=1时,表示物体被装入背包。

根据问题的要求,有如下的约束方程(1)和目标函数(2):三、利用动态规划法求解01背包问题(一)动态规划算法的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中,可能会有许多可行解。

每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。

若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。

(二)算法设计假定背包的载重量范围为0～m。

背包问题九讲2.0RC1崔添翼(Tianyi Cui)*2011-09-28†本文题为《背包问题九讲》，从属于《动态规划的思考艺术》系列。

这系列文章的第一版于2007年下半年使用EmacsMuse制作，以HTML格式发布到网上，转载众多，有一定影响力。

2011年9月，本系列文章由原作者用L A T E X重新制作并全面修订，您现在看到的是2.0alpha版本，修订历史及最新版本请访问https:///tianyicui/pack查阅。

本文版权归原作者所有，采用CC BY-NC-SA协议发布。

Contents101背包问题31.1题目 (3)1.2基本思路 (3)1.3优化空间复杂度 (3)1.4初始化的细节问题 (4)1.5一个常数优化 (4)1.6小结 (5)2完全背包问题52.1题目 (5)2.2基本思路 (5)2.3一个简单有效的优化 (5)2.4转化为01背包问题求解 (6)2.5O(V N)的算法 (6)2.6小结 (7)3多重背包问题73.1题目 (7)3.2基本算法 (7)3.3转化为01背包问题 (7)3.4可行性问题O(V N)的算法 (8)*a.k.a.dd_engi†Build2011092818380013.5小结 (9)4混合三种背包问题94.1问题 (9)4.201背包与完全背包的混合 (9)4.3再加上多重背包 (9)4.4小结 (10)5二维费用的背包问题105.1问题 (10)5.2算法 (10)5.3物品总个数的限制 (10)5.4二维整数域N2上的背包问题 (11)5.5小结 (11)6分组的背包问题116.1问题 (11)6.2算法 (11)6.3小结 (12)7有依赖的背包问题127.1简化的问题 (12)7.2算法 (12)7.3较一般的问题 (12)7.4小结 (13)8泛化物品138.1定义 (13)8.2泛化物品的和 (13)8.3背包问题的泛化物品 (14)8.4小结 (14)9背包问题问法的变化149.1输出方案 (15)9.2输出字典序最小的最优方案 (15)9.3求方案总数 (15)9.4最优方案的总数 (16)9.5求次优解、第K优解 (16)9.6小结 (17)2101背包问题1.1题目有N件物品和一个容量为V的背包。

背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。

以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。

2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。

3. 初始化：f[0][0]=0。

4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。

时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。

空间复杂度：O(n*m)。

背包问题应用场景
背包问题是一个经典的组合优化问题，可以在很多实际应用场景中找到应用。

以下列举了一些常见的背包问题应用场景：
1. 物品装载问题：在物流、货运、仓储管理等领域中，需要选择合适的物品装载方案，使得装载的物品总价值最大、总重量不超过背包的承载能力。

2. 旅行计划问题：在旅行规划中，需要选择一些物品或景点，使得旅行所需的总费用最小或旅行的总体体验最佳。

3. 资源分配问题：在资源分配和资源规划中，背包问题可以用来确定如何分配有限的资源（例如资金、人力、时间等），以最大化效益。

4. 项目选择问题：在项目管理中，背包问题可以帮助决策者选择适当的项目，以最大化项目的价值或利润。

5. 财富管理问题：在财富管理和投资决策中，背包问题可以用来确定如何分配资金，以最大化投资回报或降低风险。

6. 排课问题：在学校的教务管理中，背包问题可以用来制定每个学期的课程安排，以最大化学生的时间利用率和课程选择满意度。

这些只是背包问题应用的一小部分示例，实际上，背包问题可
以应用在各种需要优化决策的场景中，帮助解决资源分配、规划、调度等问题。

背包问题的数学模型摘要：1.背包问题的定义2.背包问题的数学模型3.背包问题的求解方法4.背包问题的应用实例正文：一、背包问题的定义背包问题是一个经典的优化问题，它的问题是给定一个背包和n 种物品，其中，背包的容量为V，第i 种物品的质量为c_i，价值为p_i，如何通过物品选择，使得装入背包中的物品总价值最大。

二、背包问题的数学模型为了更好地理解背包问题，我们可以将其建立一个数学模型。

假设有n 种物品，分别用v_i 表示第i 种物品的价值，c_i 表示第i 种物品的质量，那么背包问题的数学模型可以表示为：f(x) = max {v_1x_1 + v_2x_2 +...+ v_nx_n}s.t.c_1x_1 + c_2x_2 +...+ c_nx_n <= Vx_i >= 0, i = 1,2,...,n其中，f(x) 表示背包中物品的总价值，x_i 表示第i 种物品的数量，V 表示背包的容量，c_i 表示第i 种物品的质量，v_i 表示第i 种物品的价值。

三、背包问题的求解方法背包问题的求解方法有很多，常见的有动态规划法、回溯法、贪心算法等。

这里我们以动态规划法为例进行介绍。

动态规划法的基本思想是将问题分解为子问题，通过求解子问题，最终得到原问题的解。

对于背包问题，我们可以将问题分解为：在容量为V 的情况下，如何选择物品使得总价值最大。

然后，我们可以通过递归的方式，依次求解子问题，最终得到原问题的解。

四、背包问题的应用实例背包问题是一个非常实用的优化问题，它在现实生活中有很多应用。

例如，一个果农需要根据市场需求和成本，选择合适的水果进行装箱；一个旅行者需要根据行李箱的容量和物品的价值，选择携带的物品等。

这些都可以通过背包问题来求解。

综上所述，背包问题是一个经典的优化问题，它有着广泛的应用。

（0-1）背包问题的解法小结1．动态规划法递推关系：– 考虑一个由前i 个物品(1≤i ≤n )定义的实例，物品的重量分别为w 1,…,w i ，价值分别为v 1，…，v i ，背包的承重量为j (1≤j ≤W )。

设V [I,j]为该实例的最优解的物品总价值– 分成两类子集：• 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V [i -1,j ]• 在包括第i 个物品的子集中(因此，j －w ≥0)，最优子集是由该物品和前i -1个物品中能够放进承重量为i －w j 的背包的最优子集组成。

这种最忧子集的总价值等于v i +V [i -1,j -w i ].0]0,[时，0 当0;][0,时，0初始条件：当],1[}],1[],,1[max{],[=≥=≥<≥⎩⎨⎧-+---=i V i j V j w j w j j i V v w j i V j i V j i V i i i i以记忆功能为基础的算法：用自顶向下的方式对给定的问题求解，另外维护一个类似自底向上动态规划算法使用的表格。

一开始的时候，用一种“null”符号创始化表中所有的单元，用来表明它们还没有被计算过。

然后，一旦需要计算一个新的值，该方法先检查表中相应的单元：如果该单元不是“null ”，它就简单地从表中取值；否则，就使用递归调用进行计算，然后把返回的结果记录在表中。

算法 MFKnapsack(I,j)//对背包问题实现记忆功能方法//输入：一个非负整数i 指出先考虑的物品数量，一个非负整数j 指出了背包的承重量 //输出：前i 个物品的最伏可行子集的价值//注意：我们把输入数组Weights[1..n],Values[1..n]和表格V[0..n,0..W]作为全局变量，除了行0和列0用0初始化以外，V 的所有单元都用-1做初始化。

if V[I,j]<01if j<Weights[i]value ←MFKnapsack(i-1,j)elsevalue ←max(MFKnapsack(i-1),j), Value[i]+MFKnapsack(i-1,j-eights[i]))V[I,j]←valuereturn V[I,j]2．贪心算法1) 背包问题基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。

第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。

2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。

4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。

c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。

2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。

c. 返回dp[C]，即为最大价值。

3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。

c. 返回dp[C]，即为最大价值。

四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。

背包问题常州一中林厚从背包问题是信息学奥赛中的经典问题。

背包问题可以分为0-1背包和部分背包两种类型，0-1背包还可以再分为有限背包和无限背包（完全背包）。

背包问题的求解涉及到贪心、递归、递推、动态规划、搜索等多种算法。

熟练掌握各种背包问题及其变形试题的解法，是信息学奥赛选手从入门走向提高的必经之路。

先简单归纳一下涉及到的这几种重要算法：1、贪心：贪心法可以归纳为“每步取优”。

假设你的程序要走1~n共n步，则你只要保证在第i步（i=1..n）时走出的这一步是最优的。

所以，贪心法不是穷举，而只是一种每步都取优的走法。

但由于目光短浅，不考虑整体和全局，所以“步步最优”并不能保证最后的结果最优。

比如经典的“两头取数”问题、“n个整数连接成最大数”问题、“删数”问题等。

2、递归：递归算法可以归纳为将问题“由大化小”。

也就是将一个大问题分解为若干个“性质相同”的子问题，求解的的过程，一般是通过“函数的递归调用”，不断将大问题逐步细化、直至元问题（边界情况），最后通过递归函数的自动返回得到问题的解。

递归算法的关键是递归函数的构造，它的效率往往比较低，原因在于大量的“冗余”计算。

比如经典的“斐波那挈数列”问题，在递归实现时效率极低，存在着大量的冗余计算，可以采用“记忆化”的方法优化。

3、递推：递推问题往往有一个“递推公式”，其实和“递归公式”差不多，但是出发点不一样，递归的思想是“要想求什么就要先求出什么”。

而递推是从问题的边界情况（初始状态）出发，一步步往下走，直到走完n步，判断最后的解。

由于其中的每一步并不知道当前一步的哪一个值对后面的步骤有用，所以只能把所有情况（一步的所有走法）全部计算出来，也造成了很多的“冗余计算”。

时间上往往没有太多的优化余地，但空间上经常利用“滚动数组”等方式，把空间复杂度由O（n2）降到O（2n）。

比如经典的“杨辉三角形”问题、“判断n是否是斐波那挈数”问题等。

4、动态规划：本质上是一种克服了“冗余”的“递归”算法。

【转载】各种背包问题模板讲解 背包问题集合 ⼀般来说，动态规划（DP）。

都是初学者最难闯过的⼀关，⽽在这⾥详细解说动态规划的⼀种经典题型：背包问题。

这⾥介绍的背包分为以下⼏种：01背包，完全背包，多重背包，混合背包，⼆维费⽤的背包。

（以后会持续更新）【⼀：01背包】⾸先放上例题：01背包问题【题⽬描述】：⼀个旅⾏者有⼀个最多能装M公⽄的背包，现在有n件物品，他们的重量分别是W1，W2…Wn，它们的价值分别是C1，C2……Cn，求旅⾏者能够获得的最⼤总价值。

【输⼊格式】：第⼀⾏：两个整数，M，（背包容量，M<=200）和N（物品数量N<=30）第2⾄N+1⾏，每⾏两个整数，Wi,Ci,表⽰每个物品的重量和价值。

【输出格式】：仅⼀⾏，⼀个数，表⽰最⼤总价值。

【输⼊样例#1】：10 42 13 34 57 9【输出样例#1】：1201背包问题可以说是最简单的背包问题，简单之处就在：他的每⼀个物品都只有⼀个。

⾸先定义⼀个f[MAXN][MAXN]数组，⽤来记录最⼤价值。

即：f[i][v]表⽰的就是当前i件物品放⼊⼀个容量为v的背包的时候可以获得的最⼤价值。

01背包的状态转移⽅程式便是：f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i])。

众所周知DP问题最重要的便是状态转移⽅程式了，那么这个状态转移⽅程式究竟是怎么来的呢？？详解来啦“既然说了是“将第i件物品放⼊背包”，那么如果只考虑第i件物品的⽅式策略，那么就只和第i-1件物品有关了，如果是放第i件物品，那么问题就转化为：“前i-1件物品放⼊容量为v的背包中”，此时能够获得的最⼤价值就是f[i-1][v-w[i]]，也就是第i-1件物品放⼊容量为v（原来的总容量）减去w[i]（第i件物品的占容）产⽣的最优价值，再加上放通过⼊第i件物品增加的价值c[i]。

那么放⼊第i件物品产⽣的最⼤价值就是要在”放“，或者是”不放“中选择了，”不放“的话，产⽣的价值就是f[i-1] [v]，”放“的话，产⽣的最⼤价值就是,f[i-1][v-w[i]]+c[i])。

背包问题的解决算法在日常生活中，我们常常会遇到背包问题。

比如说，你需要出门远足，但是又不想背太多的东西，怎么办？这时候，你就需要一种背包算法，用以帮助你选出最好的装备。

当然，背包算法不仅仅局限于这种场景，还可以应用于计算机科学等领域。

背包问题可以定义为：在限定容量下，找到能够装下最大价值物品的选择方案。

在计算机科学中，背包问题又分为0/1背包和无限背包两种类型。

0/1背包指的是在数量有限的情况下，每种物品只能选择一次；无限背包则意味着每种物品可以重复选择。

现在，我们来讨论一下几种常见的背包算法。

1. 贪心算法贪心算法是一种常见的解决背包问题的方法。

首先，根据每个物品的价值大小来求解。

然后，将每个物品按照其价值排序。

按照顺序，从价值最高的开始选择，在能够装下的情况下，尽量选择多的物品。

这种方法容易理解，但是它并不一定能够获得最优解。

2. 动态规划算法动态规划是解决背包问题最常用的算法。

它将问题分解成多个子问题，并且利用已经求解过的子问题来递推求解更大的问题。

具体来说，动态规划算法需要在每个状态中维护当前已经选择的物品，以及它们的价值和总重量。

然后，根据每个物品的价值，计算出在当前重量下选择这个物品的最大价值，同时比较这个价值和不选择这个物品的价值大小，最终得出最优解。

3. 回溯算法回溯算法也是一种解决背包问题的方法。

它的基本思想是，从初始状态开始，考虑每种可能的选择，最终找到最优解。

相比其他算法，回溯算法需要考虑所有可能的解，因此在问题较大的时候，它的时间复杂度可能较高。

但是，回溯算法通常能够得到最优解。

4. 分支定界算法分支定界算法也是一种解决背包问题的方法。

它通过确定每种物品能否被选择，来缩小解空间并加速搜索。

具体来说，它会根据价值和重量来对物品进行排序，并尝试从价值最高的物品开始选择。

然后，将剩余的物品按选择顺序进行排序，并对每个物品进行深度优先搜索，直到搜索到了可行解或者不可行解为止。

在实际应用中，以上几种算法都有其优缺点。