第十二章 动量定理理论力学

1 第十二章 动能定理

[习题12-1] 质点在常力kjiF543作用下动动，其运动方程为2432ttx，2ty，245ttz（F以N计，x、y、z以m计，t以s计）。求在0t至st2时间内F力所作的功。

解：)(2)0(mx

)(724322)2(2mx

)(527mx

0)0(y

)(42)2(2my

)(404my

0)0(z

)(72452)2(2mz

)(707mz

zFyFxFWzyx

)(66754453JW

[习题12-2] 弹簧原长为OA，弹簧刚度系数为k，O端固定，A端沿半径为R的圆弧运动，求在由A到B及由B到D的过程中弹性力所作的功。

解：

)(222BABAkW

])22(0[222RRkWBA

2)22(2RRkWBA

)(222DBDBkW

])2135cos2()22[(220222RRRRRRRkWDB

2 m6060045030ABFmgmg015030CD])222()22[(22222RRRRRkWDB

])222()22[(222RRRRkWDB

[习题12-3 ] 用跨过滑轮的绳子牵质量为kg2的滑块，沿倾角为030的光滑斜槽运动。设绳子拉力NF20。计算滑块由位置A到位置B时，重力与拉力F所作的总功。

解：

重力所做的功为：

030sinABmgmghWG

030cos6BC

000045sin30cos645sin15sinBCAB

)(536.245sin30cos15sin6000mAB

)(853.245.0536.28.92JWG

当滑块由A移动到B时，绳子沿拉力F方向移动的距离为：

)(557.160sin645sin600mBCACs

《动力学I》第一章

运动学部分习题参考解答

1－3

解：

运动方程：tanly，其中kt。

将运动方程对时间求导并将030代入得

34coscos22lklklyv

938cossin2232lklkya

1－6

证明：质点做曲线运动,所以ntaaa,

设质点的速度为v,由图可知:

aavvyncos，所以:

yvvaan

将cvy，2nva

代入上式可得 cva3

证毕

1－7

证明：因为n2av，vaavasinn

所以：va3v

证毕

x y

o a

na vyv

 

x y

o a

na ta

 1－10

解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度

为s,则有关系式：

tvLs0，并且 222xls

将上面两式对时间求导得：

0vs，xxss22

由此解得：xsvx0 （a）

(a)式可写成：svxx0，将该式对时间求导得：

2002vvsxxx (b)

将(a)式代入(b)式可得：3220220xlvxxvxax（负号说明滑块A的加速度向上）

1－11

解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RvB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：

cosABvv （a）

因为

xRx22cos （b）

将上式代入（a）式得到A点速度的大小为： ov

ov

A

x 

O 

AvA

x 

第十二章动量定理

1质系动量的计算质系的动量或

式中m

为整个质系的质量；对于刚体系常用计算质系的动量，式中vCi为第

i个刚体质心的速度。

2.质系动量定理质系动量定理建立了质系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即

★质系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。

★质系动量守恒定律：当作用于质系的外力系的主矢量，质系动量守恒，即=

常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质系的动量在此轴上的投影守恒，如，则常量。

3.质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即对于刚体系可表示为

式中aCi表示第i个刚体质心的加速度。

4.变质量质点运动微分方程

5.应用质系动量定理一般可解决质系动力学的两类问题

一类是已知质系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，

求作用在质系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质系上的外力系或外力系在

某一坐标轴上的投影，求质系的动量变化率或质心的加速度。

动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关

系，称为质系的普遍定理。质系动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的

主矢量之间的关系。质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理

论基础。

§12-1质系动量定理

如图12-1所示质系由个质点组成，第i个质点的质量为，速度为vi，作用于质点上的外力记为，内力记为

。牛顿第二定律可表示为其中，称为质点的动量。对于整个系统，求上述个方程的矢量和，得更换求和及求导次序，得式中（12-1）为质系内各质点动量的主矢量，称为质系的动量。为外力的主矢量，

为内力的主矢量，根据牛顿第三定律，内力总是大小相等、方向相反，成对的出现在质系内部，所以，于是得

(12-2)

上式称为质系动量定理，即：质系动量p对时间t的变化率等于作用在质系上外力系的主

矢量，而与内力系无关。在应用动量定理时，应取矢量式（12-2）的投影形式，如动量定理的直角坐标投影式为

第10章 动量定理

物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章重点在质心运动定理。

同动能定理，先介绍动量与冲量的概念及求法。

10.1 动量

提问下述问题。

一、 质点的动量

vm

，矢量。

二、 质点系的动量

CvMvmK



表征质系随质心平动强度的量。

问题：某瞬时圆轮轮心速度为

Ov

，圆轮沿直线平动、纯滚动和又滚又滑时的动量是否

相等？若沿曲线运动呢？

10.2 力和力系的冲量

提问下述问题。

一、 力的冲量

力在时间上的累积效应。

1. 常力

tFS



问题：

图中G

和T

有冲量吗？

2. 任意力

元冲量：tFS

d

冲量：

2

1dt

ttFS

二、 力系的冲量



2

1dt

titRSS

故力系的冲量等于主矢的冲量

三、 内力的冲量

恒为零。

10.3 动量定理

一、 质点的动量定理

牛顿第二定律：Fam





→ F

tvm



d)(d

或Svm



d)(d 微分形式

→ Svmvm





12 积分形式

二、 质点系的动量定理

任一质点： )()(

d)(d

i

ie

iii

FF

tvm



求和，内力之和为零（或内力冲量和为零）：

)(

dd

e

F

tK



微分形式

)(

12e

SKK



积分形式

例1（自编）图示系统。均质滚子A、滑轮B

重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固

定不动，倾角为

，重量为G，重物重量P。求地

面给三角块的反力。

分析：欲求反力，需用动量定理：

上式左端实际包含各物体质心加速度，而用

动能定理可求。

解：I. 求加速度。（前面已求）

II. 求反力。研究整体，画受力图如图。 系统动量：

cosΣ

Cxxv

gQ

mvK



sinΣ

CyyvgQv

gP

mvK 由动量定理：)(

Σ

dd

e

x

X

tK



Xa

gQ

C

cos 

cos

Ca

gQ

X )(

Σ

dd

e

F

tK



)(

Σ

dd

ey

Y

tK

 GQPYa

gQ

a

gP

C2sin