理论力学第十三章 动量定理和动量矩定理

1 y'x'yOCxCxmvCymvzk第十一章 动量矩定理 习题解

[习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：23txC，24tyC，321t，其中长度以m计，角度以rad计，时间以s计。设刚体质量为kg10，对于通过质心C且垂直于图平面的惯性半径m5.0，求st2时刚体对坐标原点的动量矩。

解：

)(1223|22mxtC

)(1624|22mytC

ttdtddtdxvCCx6)3(2

)/(1226|2smvtCx

ttdtddtdyvCCy8)4(2

)/(1628|2smvtCy

2323)21(ttdtddtd

)/(6223|22sradt

kvmMJLCZCzO)]([

kymvxmvmLCCxCCyO][2

kLtO]1612121665.0[10|22

kLtO15|2 )/(2smkg，k是z轴正向的单位向量。

[习题11-2] 半径为R，重为W的均质圆盘固结在长l，重为P的均质水平直杆AB的B端，绕铅垂轴Oz以角速度旋转，求系统对转轴的动量矩。

解：

gPllgPJABz33122, 2 zOABWPxy11vm22vm1OC平动 )(a1OC转动绕定轴C )(b1OC转动绕定轴1 )(Oc1OC在圆弧上作纯滚动 )(dCvglRWlgWgJlz4)4(RW412222,圆盘

圆盘,,zABzzJJL

]4)4(3[222glRWgPlLz

)4443(222gWRgWlgPlLz

)4333(222gWRgWlgPlLz

)433(22RgWlgWPLz

[习题11-3] 已知均质圆盘质量为m，半径为R，当它作图示四种运动时，对固定点1O的动量矩分别为多大？图中lCO1。

《动力学I》第一章

运动学部分习题参考解答

1－3

解：

运动方程：tanly，其中kt。

将运动方程对时间求导并将030代入得

34coscos22lklklyv

938cossin2232lklkya

1－6

证明：质点做曲线运动,所以ntaaa,

设质点的速度为v,由图可知:

aavvyncos，所以:

yvvaan

将cvy，2nva

代入上式可得 cva3

证毕

1－7

证明：因为n2av，vaavasinn

所以：va3v

证毕

x y

o a

na vyv

 

x y

o a

na ta

 1－10

解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度

为s,则有关系式：

tvLs0，并且 222xls

将上面两式对时间求导得：

0vs，xxss22

由此解得：xsvx0 （a）

(a)式可写成：svxx0，将该式对时间求导得：

2002vvsxxx (b)

将(a)式代入(b)式可得：3220220xlvxxvxax（负号说明滑块A的加速度向上）

1－11

解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RvB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：

cosABvv （a）

因为

xRx22cos （b）

将上式代入（a）式得到A点速度的大小为： ov

ov

A

x 

O 

AvA

x 

1第17章

动量定理和

动量矩定理 2工程力学学习指导

第17章 动量定理和动量矩定理

17.1 教学要求与学习目标

1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚

体系的动量。

2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定

理，掌握这些定理的相互关系。

3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动

定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力

的问题。

4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理

中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方

程。而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即

动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。两者对时间的

变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。

5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动

量矩。

6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质

点系的两类动力学问题。

7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和

补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动

力学问题。

17.2 理 论 要 点

17.2.1 质点系的动量

质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动

量。即

i

iimvp∑

= 3质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。具体计算

时可采用其在直角坐标系的投影形式，即

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎬⎫

===

∑∑∑

iiziziiyiyiixix

vmpvmpvmp

质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总

质量与质心速度的乘积，即

Cmvp=

这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述

了其质心的运动。

上述动量表达式对于刚体系也是正确的。

17.2.2 质点系动量定理

质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。其

微分形式为

(e)(e)

Rd

di

it==∑p

习 题

11-1 质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：tbytax2sin,cos。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点O的动量矩。

taxvxsin tbyvy2cos2

xmvymvLyxO

)cos2cos22sinsin(tatbtbtam

)cos2cos22sin(sinttttmab

)cos2cos2cossin2(sintttttmab

)2cos(sincos22tttmab

tmab3cos2

11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m。

图11-25

(1)

222sin2)sin(2mllmJz 22sin2lmLz

(2)

2202sin32d)sin(2mlxxlmJlz杆 22sin38mlJz

22sin38lmLz

11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。

图11-26

(a) 231mlLO

(b) 22291)6(121mllmmlJO 291mlLO (c) 2222452312121mllmlmJO 2245mlLO

(d) 2222321mRmRmRJO 223mRLO

11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。

图11-27

面密度为 bhmA2