中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习(含答案解析)

1 / 40 2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练（含答案）

1．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F

（1）求证：；

（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；

（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

2．如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．

（1）求∠BDE的度数；

（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．

①判断DF和PF的数量关系，并证明；

②求证：＝． 2 / 40

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，

（1）求证：△EGC∽△GFH；

（2）求AD的长；

（3）求tan∠GFH的值．

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4．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．

（1）求证：△A1DE∽△B1EH；

（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．

5．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．

（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；

第 1 页 共 49 页 中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．已知：二次函数𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+𝑚−1．

(1)求证：该抛物线与𝑥轴一定有两个交点；

(2)设抛物线与𝑥轴的两个交点是𝐴、𝐵（𝐴在原点左边，𝐵在原点右边），且𝐴𝐵=3，求此时抛物线的解析式；

(3)在（2）的前提下，若抛物线与𝑦轴交于点𝐶，问在𝑦轴的正半轴上是否存在点𝐷，使△𝐷𝑂𝐵和△𝐴𝑂𝐶相似？

2．如图，抛物线：𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图像与𝑥轴交于𝐴和𝐵(−3，0)两点，与𝑦轴交于𝐶(0，−3)，直线𝑦=𝑥+𝑚经过点𝐵，且与𝑦轴交于点𝐷，与抛物线交于点𝐸，与对称轴交于点𝐹．

(1)求抛物线的解析式和𝐸点坐标；

(2)在𝑦轴上是否存在点𝑃，使得以𝐷、𝐸、𝑃为顶点的三角形与△𝐵𝑂𝐷相似，若存在，直接写出点𝑃的坐标：若不存在，试说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3与x轴交于𝐴(1,0)和𝐵(3,0)，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)绕点A旋转的直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑏1与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足𝐴𝐷=2𝐴𝐸时，求直线l的解析式；

(3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P， 第 2 页 共 49 页 Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．已知：抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+4与x轴相交于𝐴(−2，0)，𝐵(8，0)两点，与y轴相交于点C，连接𝐵𝐶．

(1)求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；

(2)如图，点M是抛物线第一象限内的一点，连接𝑀𝐵，𝑀𝐶，求△𝑀𝐵𝐶面积的最大值；

1 中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习

（含答案解析）

一．相似三角形的存在性

1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2

+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y

轴的交点为C．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x

轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的

坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2

+bx﹣4得：

，

解得，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2

﹣x﹣4；

（2）如图：

∵y＝x2

﹣x﹣4＝（x﹣1）2

﹣，

∴抛物线y＝x2

﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，

在y＝x2

﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，

∴C（0，﹣4），

∴OB＝OC＝4，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∵△PMN和△OBC相似，

∴△PMN是等腰直角三角形，

∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，

∴∠MPN＝90°，PM＝PN，

设P（m，m2

﹣m﹣4），

2 ∴|m﹣1|＝|m2

﹣m﹣4|，

∴m﹣1＝m2

﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2

+m+4，

解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，

∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，

∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．

2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2

+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交

y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出

点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，

DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，

使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，

若不存在，请说明理由．

3

【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，

备战中考数学（浙教版）巩固复习相似三角形（含解析）

一、单选题

1.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则 △ABC与△DEF的周长比为（ ）

A. 1∶4

B. 1∶2

C. 2∶1

D. １∶

2.如图，△ABC通过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）

A. 1：6

B. 1：5

C. 1：4

D. 1：2

3.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）

A. B. C.

D. 4.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）

A. 1∶2

B. 2∶1

C. 1∶4

D. 4∶1

5.下列几个命题中正确的有（ ）

(1）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似；

(3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似 。