中考压轴题全等相似三角形存在性问题

标准实用

文案大全 中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性

题型特点

三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．

解题思路

①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；

②分类讨论，画图；

③建等式，对结果验证取舍．

对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：

①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．

②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．

③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．

难点拆解

①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为1；

②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；

③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．

④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．

标准实用

文案大全 1. （2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。交于A，B两点．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

yxOCBAyxOCBAyxOCBA标准实用

文案大全 2. （2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误！未找到引用源。与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0

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-- 课 时 教 案

授 课 题 目 专题二 相似三角形的存在性问题解题策略

授 课 日 期 ２015年３月8日 教师 柳 娜

授 课 学 时 1 时 ０0 分 学生

课 型 复习课 学科组长 柳 娜

师生活动

一、要点归纳

相似三角形的存在性问题是苏州中考数学的热点问题．

解相似三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当,可以使得解的个数不重复不遗漏,也可以使得列方程和解方程又好又快.

二、课前热身

△ABＣ中,点D、E分别在AB、AＣ边上,如果△ADＥ与△ABC相似，请确定点E的位置.

三、例题讲解

1.如图１,在直角梯形ＡＢCD中，AD∥BC，∠A=90°，ＢD⊥ＤC,BC=10ｃm，CD=６cm．在线段BC、CD上有动点F、Ｅ,点F以每秒２ｃm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cｍ的速度,在线段ＣD上从点C向点D匀速运动.当点F到达点C时,点Ｅ同时停止运动.设点F运动的时间为t（秒）.

(1）求AD的长；

（2)点Ｆ、E在运动过程中,如果△CEＦ与△BDC相似,求线段ＢＦ的长．

图１ 备用图 --

-- 2.如图1，抛物线ｙ＝aｘ2＋bx+c(a>0）交ｘ轴于Ａ、B两点(Ａ点在Ｂ点左侧）,交ｙ轴于点C.已知Ｂ(8，0)，taｎ∠ABC＝0.5,△ＡＢＣ的面积为8.

（1)求抛物线的解析式;

(2)若动直线EF(EF//x轴）从点C开始，以每秒１个长度单位的速度沿y轴负方向平移,且分别交y轴、线段ＢC于Ｅ、F两点,动点P同时从点B出发，在线段OＢ上以每秒2个单位的速度向原点O运动．联结FP，设运动时间t秒.是否存在ｔ的值,使以P、B、F为顶点的三角形与△AＢC相似.若存在，试求出t的值;若不存在，请说明理由．

专题三 相似三角形的存在性问题

【考题研究】

相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．

【解题攻略】

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

【解题类型及其思路】

相似三角形存在性问题需要注意的问题：

1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC与 △DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,

②△ABC∽△FDE、 ③△ABC∽△EFD、

3、若题目中为△ABC与 △DEF并且有 ∠A、 ∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】

类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】

典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212yxbxc与直线132yx分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知(0,3)A，(3,0)C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MBMC的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

课前预习

1.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，1)，点B坐标

为(3，0)，点D为平面直角坐标系中任一点（与点O，A，B

不重合）．

（1）△AOB和△DOB的公共边为_________．

（2）若△DOB与△OAB全等，则点D的坐标为_________．

（3）在下图中画出可能的△DOB，并考虑与△AOB之间的联系．二次函数压轴题之全等三角形的存在性（讲义）

知识点睛

全等三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合

图形形成因素（判定等）考虑分类．

注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考

虑分类．2.画图求解：

往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综

合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

精讲精练

1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的

另一个交点为E．

（1）求抛物线C1的解析式．

（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线

C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为

M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的

三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）

2.如图，抛物线213442yxx与x轴的一个交点为A(-2，

0)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点B．若点D在x

轴上，点P在抛物线上，使得△PBD≌△PBC，则点P的坐

标为_____________________________________．

3.如图，抛物线21382yxx与x轴交于A，B两点，与y轴

交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D(6，

-8)，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE．若点F在抛物

线上，使△FOE≌△FCE，则点F的坐标为____________．

4.如图，抛物线21(2)62yx与y轴交于点C，对称轴与x