17.2 勾股定理的逆定理
第1课时
教学目标
一、知识与技能
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
二、过程与方法
1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．
2．通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
三、情感态度与价值观
1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．
2．通过对勾股定理的逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．
教学重点
探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．
教学难点
归纳、猜想出命题2的结论．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1 (1)总结直角三角形有哪些性质． (2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形?
设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．
师生行为：学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．
本活动，教师应重点关注学生： ①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识； ②能否“温故知新”．
生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方： (4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b，斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做?
学习目标：
1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。
学习重点：
用勾股定理作出长度为无理数的线段。
教学活动流程
活动1： 复习孕新，引入课题
1. 回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。
活动2：运用勾股定理证明（HL）
用三角板作辅助演示
活动3：课件动画演示作图
演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.
活动4：动手实践，会“数形互变”
以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.
活动5：当堂检测
教材第27页习题
活动6：拓展应用，服务生活
1. 用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。
活动7：小结梳理
数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模
活动8：布置作业
教学过程
活动1： 复习孕新，引入课题
1. 问题
（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？
（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。
a=1 b=1 (c=)
a=1 b= (c=)
a=2 b=3 (c=)
设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。
（3） 如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。
设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。
2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标
设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。
活动2：运用勾股定理证明（HL）
用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。 活动3：课件动画演示作图
1. 对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。
1.1探索勾股定理（第2 课时）（教案）
一、教学内容
《探索勾股定理（第2课时）》基于八年级数学教材中关于勾股定理的内容，本节课将深入探讨以下知识点：
1. 勾股定理的证明：通过直观图形和数学推理，引导学生理解并掌握勾股定理的证明过程。
2. 勾股数的特点与应用：分析勾股数（三个正整数a、b、c，满足a²+b²=c²）的性质，探讨其在实际生活中的应用。
3. 拓展勾股定理：介绍勾股定理在其他领域的应用，例如在直角三角形之外的其他多边形中寻找勾股数。
本节课将着重强化学生对勾股定理的理解，培养其运用定理解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
《探索勾股定理》核心素养目标：
1. 培养学生逻辑推理与数学抽象能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握逻辑推理方法，提升数学抽象思维。
2. 提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3. 强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4. 增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
- 重点讲解：
- 通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
- 识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
- 应用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度等。
- 探索勾股定理在非直角三角形及其他多边形中的应用，拓展学生思维。
举例：在证明勾股定理时，重点强调拼贴法的使用，让学生通过实际操作理解定理的直观含义。
2. 教学难点
- 难点内容：勾股定理证明的逻辑推理过程、勾股数的寻找与验证、勾股定理在实际问题中的应用。
- 难点突破：
- 针对逻辑推理难点，使用图示法、分步推导法等，降低学生的理解难度。
第17章勾股定理全章复习
教学目标：
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理
教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：
(一)知识结构图：见PPT
(二)基础知识：
1.勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2
几何语言：在Rt△ABC中, ∠C=90°
∴a2+b2=c2
练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．
2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=
3. 三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC
8 A
15
C B 30° 2
C B
A
2 45° A C
B 2 .勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形
几何语言： 在△ABC中,
∵a2+b2=c2
∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°
互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
基础练习二：
1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )
A 5，12，13 B 2，3，3
C 4，7，5 D 1， 2 ， 5
2.若△ABC中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC边上的高.
三、典例分析：
例1、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD的面积
变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
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归纳： 转化思想
