向量的数量积及其应用

《中学数学杂志》（高中）２００２年第ｌ期　３３　

向量的数量积的应用　

山东省梁山第一中学　２７２６００　褚仕文　

向量的数量积不仅在平面向量中占有重要地　

位，而且可以推广到空间向量（高二下册），进而解决　

空间的距离和角的问题。向量的数量积的坐标表示　

即数量积的代数化，可以将数量积运算转化为代数　

运算，可解决长度、角度、垂直等问题。　

ｌ　计算向量的长度　

由向量的数量积的性质得ａ・ａ＝ａ　＝Ｉ　ａ　Ｉ　

或Ｉ　ａ　Ｉ＝ｖ／ａ・ａ．若ａ：（　，　），贝０　Ｉ　ａ　ｆ：　

Ｌｒ　＋ｙ　，特别地设Ａ、Ｂ两点的坐标分别为（　．　

），（　２，Ｙ２），则Ａ、Ｂ两点的距离公式为Ｉ　ＡＢ　Ｉ：　

￣／（　２一　１）　＋（．）’２一Ｙ１）　．　

例１设Ｉ　ａ　Ｉ＝Ｉ　ｂ　Ｉ＝ｌ及Ｉ　３ａ—ｂ｛＝３，求　

Ｉ　３ａ＋ｂ　Ｉ的值．　

解法ｌ　因为ｌ　３ａ一６　Ｉ＝３，所以９ａ　一１２ａ・　

ｂ＋４ｂ　＝９．　

１　又Ｉ　ａ　Ｉ＝Ｉ　ｂ　Ｉ＝ｌ，所以ａ・ｂ＝÷，　Ｊ　故Ｉ　３ａ＋ｂ　Ｉ：￣／９ｎ　＋６ａ．ｂ＋扫　＝２　了　

解法２　设ａ＝（　Ｉ，　Ｉ），ｂ＝（　！，　２）　

因为ｆ　ａ　Ｉ＝Ｉ　ｂ　ｆ＝ｌ，　

所以　＋　＝ｌ，．ｒ；＋　，　

３ｎ一２ｂ＝（３．ｒＩ一２ｊ‘２，３　Ｉ一２　２），　

因为Ｉ　３ａ一２ｂ　Ｉ　

＝　（３　Ｉ一２ｊ－２）　＋（３ｙｌ一２ｙ２）　：３，　

所以Ｘ１　５Ｃ２＋ｊ，。　＝｛．　

故Ｉ　ａ＋ｂ　Ｉ　

＝￣／（３ｘｌ＋　！）　＋（３ｙＩ＋　２）　＝２，／３．　

说明　在上述解题过程中，根据Ｉ　ａ　Ｉ＝Ｉ　ｂ【＝　

ｌ，可设ａ＝（ｃｏｓ￣，，ｓｉｎａ），ｂ＝（　卢，ｓｉｎ卢），则上述运　

算过程可得到简化．　

２　求两向量的夹角　

向量皿、ｂ都是非零向量，夹角为０，（０≤０≤　

则删＝　，若ａ＝　・　），６＝　

：！’Ｉ　Ｉ　一　

．　例２　巳知在等腰／Ｘ．４　’中，Ｂ／３　，　’　是两腰　

』二的中线．且　；　＿ｌ＿（　，求顶角Ａ的大小．　

解　建立如图ｌ所示的平面直角　标系，　设Ａ（０，　），ｃ（　０），则ｔ３（一　０）．　＝（０，　），一ＢＡ：（…），　：（ｃ，０），　：（２ｆ，０）　

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平面向量·数量积及其应用

作者：

来源：《高中生学习·高三理综版》2013年第07期

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 已知[a=b=a-2b=1]，则[a+2b=]（ ）

A. 9 B. 3 C. 1 D. 2

2. 若非零向量[a，b]满足[a=b，b⋅（2a+b）=0]，则向量[a，b]的夹角为（ ）

A. [23π] B. [π6] C. [π3] D. [56π]

3. 在[ΔABC]中，点[P]满足[AP=t（AB+AC）][（t≠0）]，且[BP⋅AP=CP⋅AP]，则该[ΔABC]是（ ）

A. 等腰三角形 B. 直三角形

C. 等边三角形 D. 钝角三角形

4. 设[a，b，c]是单位向量，且[a⋅b=0]，则[（a-c）⋅（b-c）]的最小值为（ ）

A. [-2] B. [2-2]

C. [-1] D. [1-2]

5. 已知向量[a，b]是单位正交向量，且[c=5，c⋅a=3，c⋅b=4]，则[∀t1，t2∈R，c-t1a-t2b]取最小值时，[t1+t2]的值为（ ）

A. 5 B. 7 C. 12 D. 13

6. 已知[P]是边长为2的正[ΔABC]边[BC]上的动点，则[AP⋅（AB+AC）]的（ ）

A. 最大值为8 B. 是定值6

C. 最小值为2 D. 与[P]的位置有关

7. 称[d（a，b）=a-b]为两个向量[a，b]间的“距离”. 若向量[a，b]满足：①[b=1]；②[a≠b]；③对任意的[t∈R]，恒有[d（a，tb）≥d（a，b）]. 则（ ） 龙源期刊网

向量的数量积与向量积

向量是线性代数中的重要概念，在各个学科领域中都有广泛的应用。在本文中，我们将讨论向量的数量积和向量积的概念、性质以及应用。

一、向量的数量积（内积）

向量的数量积也被称为内积，可以用于计算向量之间的夹角、向量的投影以及向量的长度等。设有向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1,

b2, ..., bn)，则向量a和向量b的数量积（内积）为：

a · b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn

向量的数量积具有以下性质：

1. 交换律：a · b = b · a

2. 结合律：(ka) · b = k(a · b) = a · (kb)，其中k为任意实数

3. 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c

我们来看一个应用向量数量积的例子：计算向量的夹角。设有向量a和向量b，它们的数量积为a · b，向量a的长度为|a|，向量b的长度为|b|，则向量a和向量b的夹角θ可以通过以下公式得到：

cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)

其中，cosθ表示夹角θ的余弦值。通过这个公式，我们可以方便地计算出向量之间的夹角。

二、向量的向量积（外积） 向量的向量积也被称为外积，主要用于计算向量之间的垂直关系、面积及体积等。设有向量a = (a1, a2, a3)和向量b = (b1, b2, b3)，则向量a和向量b的向量积（外积）为：

a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

向量的向量积具有以下性质：

1. 反交换律：a × b = -b × a

2. 结合律：(ka) × b = k(a × b) = a × (kb)，其中k为任意实数

3. 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c

我们来看一个应用向量向量积的例子：计算平面上三角形的面积。设平面上三角形的两边分别为向量a和向量b，三角形的面积S可以通过以下公式得到：

鲤科　考　教育教学１　向量数量积的应用　吴文前　（成都大学信息科学与技术学院　四川　龙泉６１００２１）　摘要：向量数量积是高等数学中一个重要概念，除了用它进行计算、证明几何Ｉ＂－１题外。我们还可以用它证明一些比较难于理　解的重要结论。　关键词：向量数量积：应用　【中图分类号】Ｇ６４２．４１　【文献标识码】Ｂ　【文章编号】１６７１—８４３７（２０１５）ｏｌ一０００８一Ｏ１　１　数量积的物理背景　设一物体在常力Ｆ作用下，沿与力夹角为０的直线移动，　位移为Ｓ。求力Ｆ所做的功？　解：由物理知。与位移平行的分力做功，与位移垂直的分力　不做功。于是　Ｗ－－　ｃｏｓ　两向量作这样的运算，结果是一个数量．就是内积，又叫数　量积。　２　数量积的定义　．　＝｝　Ｉｌ　｝ｃｏｓＯ　（其中０为三与　的夹角）　３　数量积的坐标表示式　设Ｑ＝（　ｏ＂Ｑｚ），ｂ＝（ｂＩ，ｂｙ，　）　则Ｑ・ｂ＝ｏ￣ｂ，＋ａｒｂ，＋ｏ，ｂ　４　两个非零向量垂直的充要条件（坐标表示）　容易知道：ｎ上ｂ铮ｎ・ｂ＝０　即：　ｏｚｂ　Ｏ　５　数量积的在高等数学中的应用点　５．１证明几何问题　１．设Ａ（－１，２，３），Ｂ（１，ｌ，１），ｃ（ｏ，０，５），证明ＡＡＢＣ是直角三角形。　证明：　：（２，一１，一２），Ａｉｄ．＝（１，一２，２）　．．・商．　：０．・．　上　．・．ＡＡＢＣ是直角三角形　２．应用向量证明直径所对的圆周角是直角。　证明：设圆的方程是：ｘ２＋ｙ　＝Ｒ２，圆与ｘ轴分别相交于Ｂ（一Ｒ，　０）、Ｃ（Ｒ，０），Ａ点是圆上除Ｂ、Ｃ以外的任意一点，其坐标为　（ｘ，ｙ），则：　Ａ　＝（一Ｒ－ｘ，一Ｙ），Ａ　＝（Ｒ—ｘ，－ｙ）　．．・　．　：０．・．商上　５－２证明重要结论　１．证明：曲面上过点Ｍ的任何曲线在该点的切线都在同一　平面上。此平面称为∑在该点的切平面。　证明：设曲面隐式方程为：Ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝０　设曲线ｒ：ｘ＝　（Ｉ），ｙ＝　（１），ｚ＝　（１）在∑上，　．’．Ｆ（　（ｔ）　（ｔ），　（ｔ））　Ｏ　两边在ｔ＝ｔｏ处求导，得：　（ｘｏ，ｙｏ，ｚｏ）￣ｏ　（ｔｏ）＋Ｆｙ（ｘｏ，ｙｏ，ｚｏ）￣ｐ　（ｔｏ）＋Ｆ，（ｘｏ，ｙ０，ｚｏ）ｔＯ　（ｔ０）＝０　令Ｔ－（　㈦，　㈨，　㈨）　ｎ＝（ＦＩ（ｘ￣ｙｅ，ｚｏ），Ｆｖ（ｘｏ，ｙｃ，ｚｏ），　（ｘ￣ｙｏ，ｚｏ））　则由数量积的性质知Ｔ上ｎ　由于曲线ｒ的任意性表明这些切线都在以ｎ为法向量的平　面上，从而切平面存在。　曲面上∑过点Ｍ的任何一条切线都与向量ｎ垂直。因此过　Ｍ的所有切线都在以ｎ为法向量的平面上，此平面称为∑在该　点的切平面。　２．证明：梯度其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模　为方向导数的最大值。　证明：方向导数公式：　茸：盟ｃ０ｓ　＋笪ｃｏ￥　堑ｅｏｓ７　ａ￡　ａｙ　’　设向量　：（篓，要，　）称为函数　在点Ｐ处的梯度，　缸ａｙ　记作ｇｒａｄｆ　设向量Ｚ＝（ＣＯＳＯ￣，ｃｏｓ／３，ｃｏｓｔ）　综上可以看出：方向导数就是梯度与单位向量的数量积。　也就是说：等＝　一７　ｌｃｏｓ（　，　）＝　ＣＯＳ（　，　）　要使方向导数取得最大值　向量－￡＊ｏ与Ｇ方向一致时，￣／）ｍａｘ（　＝｛Ｉ向量￡与Ｇ方向一致时，可推出：　＝ｉ　ｌ　函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大　方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。　综上所述．我们看到向量数量积的应用是比较广泛的，要　善于归纳总结，具体情况具体分析，帮助学生有效地提高思维　的开放性，增强其解决复杂问题的能力，看到数学概念的重要　性以及应用性。从而激发学生学习高等数学的兴趣。　参考文献：　【１】华东师范大学数学系，数学分析【Ｍ】．北京：高等教育出版社．　【２】李秀敏．无穷小量的等价代换在极限运算中的应用［Ｊ］．高等　数学研究．　【３Ｊ吴冬梅．等价无穷小量代换的推广和应用Ｉ／１．黄岗职业技术　学院报．　［４］华中科技大学数学系编．微积分学【Ｍ】．北京：北京高等教育　出版社．　一