2015届高三数学(理,山东版)一轮课件：第8章 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系

学习资料

班 级： 科 目： 2022高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 第1课时 最值、范围、证明问题（教师文档）教案 文 北师大版 第八节 直线与圆锥曲线的综合问题

授课提示:对应学生用书第171页

[基础梳理]

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定

代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0。

方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C的交点

a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 无交点

b≠0 有一解（含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行） 一个交点

a≠0 Δ〉0 两个不等的解 两个交点

Δ＝0 两个相等的解 一个交点

Δ〈0 无实数解 无交点

2。弦长公式

设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B（x2，y2),则｜AB|＝错误!|x1－x2｜＝错误!·错误!或｜AB|＝ 错误!·｜y1－y2｜＝错误!·错误!．

直线与圆锥曲线相交与相切的区别与联系

(1)直线与椭圆相交⇔有两个交点．

相切⇔有一个公共点．

(2)直线与双曲线相交时，可以为一个公共点，即直线与渐近线平行；可以为两个公共点，直线与渐近线不平行．直线与双曲线相切时，只有一个公共点．

(3)直线与抛物线相交,当直线平行对称轴时,只有一个公共点，当直线与对称轴不平行，有两个公共点．直线与抛物线相切时，只有一个公共点．

［四基自测］

1．(基础点：直线与抛物线的关系）已知点A（－2，3)在抛物线C:y2＝2px的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )

A．－错误! B．－1

C．－错误! D．－错误!

答案:C

2．（基础点:直线截椭圆的弦长）斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B两点，则｜AB|的最大值为( ）

A．2 B．错误!

C.错误! D。错误!

直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳-V1

直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳：

在二维平面直角坐标系中，圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线四种类型。接下来，我们将会详细地讲述这些圆锥曲线与直线的位置关系。

圆与直线的位置关系：

1. 直线与圆心重合。此时直线为圆的切线。

2. 直线与圆相交于两个点。此时直线为圆的切线。

3. 直线穿过圆。此时直线为圆的割线，并且圆被割成两个部分。

4. 直线在圆内部。此时直线与圆没有任何交点。

5. 直线在圆外部。此时直线与圆没有任何交点。

椭圆与直线的位置关系：

1. 直线经过两焦点之间。此时直线与椭圆有两个交点。

2. 直线经过其中一个焦点。此时直线与椭圆只有一个交点。

3. 直线经过两焦点之外。此时直线与椭圆没有交点。

4. 直线在椭圆内部。此时直线与椭圆没有任何交点。

5. 直线在椭圆外部。此时直线与椭圆没有任何交点。

双曲线与直线的位置关系：

1. 直线经过双曲线的两焦点之间。此时直线与双曲线有两个交点。

2. 直线贯穿双曲线。此时直线为双曲线的一条渐近线。

3. 直线经过双曲线的其中一个焦点。此时直线与双曲线有一条公共切线。

4. 直线经过双曲线两焦点之外。此时直线与双曲线没有交点。

5. 直线在双曲线内部。此时直线与双曲线没有任何交点。

6. 直线在双曲线外部。此时直线与双曲线没有任何交点。

抛物线与直线的位置关系：

1. 直线经过抛物线的焦点。此时直线与抛物线有一条公共切线。

2. 直线在抛物线的焦点与顶点之间穿过。此时直线与抛物线有两个交点。

3. 直线在抛物线的顶点之上。此时直线与抛物线有两个交点。

4. 直线在抛物线的顶点之下。此时直线与抛物线没有任何交点。

5. 直线在抛物线的开口处之上。此时直线与抛物线有两个交点。

6. 直线在抛物线的开口处之下。此时直线与抛物线没有任何交点。

通过以上的总结归纳，我们可以看出不同类型的圆锥曲线与直线的位置关系会有所不同。我们可以利用这些位置关系来解决一些几何问题，深化我们对圆锥曲线的认识。

直线与圆锥曲线的位置关系的几何判定

万连飞

（江苏邳州市第四中学 221300）

通常我们利用判别式法来判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是往往计算太复杂，对于直线与圆的位置关系我们还可以利用圆心到直线的距离与圆的直径关系判定即几何法，因而本人给出直线与椭圆、双曲线、抛物线的几何判定：

定理1、设椭圆)0(12222babyax的焦点为)0,(),0,(21cFcF，点F1关于直线y=mx+n的对称点为M，记|MF2|=d，则

（1）d=2a

直线与椭圆相切；

（2）d>2a 直线与椭圆相离；

（3）d<2a 直线与椭圆相交。

证明：由nmxybyax12222 得：

0)(2)(222222222baanxmnaxmab

所以))((442222222224baanmabnma

)(4222222nambba

 M、F1关于直线y=mx+n的对称，设M(x0,y0),又F1(-c，0)，

mcxynmcxy1220000

1221220220mncmymcmncmx

20202)(ycxd

22222)122()12(mncmcmcmncm

1)(4)1())(1(4222222222mnbamncm

所以（1）直线与椭圆相切

0)(4222222nambba

2222ambn xyy=mx+ndMF20F1图1

222222222241)(41)(4ammaamnbad

d=2a。

（2）直线与椭圆相离

0)(4222222nambba

2222ambn

222222222241)(41)(4ammaamnbad

第五讲 直线与圆锥曲线

1．直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：

设直线l：Ax＋By＋C＝0与二次曲线C：f(x，y)＝0，

由Ax＋By＋C＝0，f（x，y）＝0消元，如果消去y后得：ax2＋bx＋c＝0，

(1)当a≠0时，

①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________；

②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________；

③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________．

(2)注意消元后非二次的情况，即当a＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．

当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．

(3)直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形．

2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题

(1)直线l：y＝kx＋m与二次曲线C：f(x，y)＝0交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋m，f（x，y）＝0得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则x1＋x2＝________，x1x2＝________，||AB＝ ．

(2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算．

3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题

中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．

(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．