高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分

最新中小学教案、试题、试卷

最新中小学教案、试题、试卷 1 课时规范练14 导数的概念及运算

一、基础巩固组

1.已知函数f(x)=+1,则的值为 ( )

A.-

B.

C.

D.0

2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)等于( )

A.-e

B.-1

C.1 D.e

3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是( )

A.x+y+1=0

B.x+y-1=0

C.3x-y-1=0

D.3x-y+1=0

4.(2017江西上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为( )

A.1

B.

C.

D.

5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )

A.y=3x+1

B.y=-3x

C.y=-3x+1

D.y=3x-3

6.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )

A.y=sin x

B.y=ln x

C.y=ex

D.y=x3

8.(2017江西南昌联考)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是( )

A.y=2x-1

B.y=x

C.y=3x-2

D.y=-2x+3 〚21500714〛 最新中小学教案、试题、试卷

最新中小学教案、试题、试卷 2 9.(2017吉林长春二模)若函数f(x)=,则f'(2)= .

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1．导数与导函数的概念

(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．

(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数

f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xln a

专注·专业·口碑·极致 - 2 - 4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )

定积分与微积分基本定理易错点

主标题：定积分与微积分基本定理易错点

副标题：从考点分析定积分与微积分基本定理易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：定积分，应用，易错点

难度：4

重要程度：5

内容：

【易错点】

1．关于定积分概念的理解

(1)定积分概念中对区间[a，b]的分割具有任意性．(√)

(2)当n→＋∞时，和式1()niibafn＝limn1()niibafn无限趋近于某一确定的常数．(√)

(3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则dxxfba)(＝dttfba)(.(√)

2．定积分的几何意义与物理意义

(4)在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝dxxfba|)(|.(√)

(5)若dxxfba)(<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(×)

(6)(教材习题改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是s＝＝5t20.(√)

3．定积分的性质及微积分基本定理

(7)若f(x)是连续的偶函数，则dxxfdxxfaaa0)(2)(.(√)

(8)若f(x)是连续的奇函数，则＝0.(√)

(9)如果dxxT02＝9，则常数T＝3.(√) [剖析]

1．一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如(2)、(3)．

2．一个定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算，如(9)中，可确定一个原函数F(x)＝13x3，进而求T.

3．两点提醒 一是重视定积分性质在求值中的应用，如(7)、(8)．

二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负，如(4).

1 / 22 新高考数学一轮复习知识点解析

1．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限的思想，理解导数的几何意义．

2．能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，2yx，3yx，cyx，yx的导数．

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数．

1．导数的概念

函数yfx在0xx处的瞬时变化率0000limlimxxfxxfxyxx，我们称它为函数yfx在0xx处的导数，记作0fx或0xxy，

即00000limlimxxfxxfxyfxxx．

2．导数的几何意义

函数yfx在0xx处的导数0fx的几何意义是曲线yfx在点00,xfx处的导数的概念及其运算 2 / 22 切线斜率，即0kfx，相应地切线方程000yfxfxxx．

3．函数fx的导函数

函数yfx在区间,ab内每一点处都可导，则其导数值在,ab内构成一个新的函数，叫做yfx在开区间,ab内的导函数，记作fx或y．

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

fxc（c为常数） 0fx

afxx（*aQ） 1afxax

xfxa（01aa且） lnxfxaa（01aa且）

xfxe xfxe

logafxx（01aa且） 1lnfxxa（01aa且）

lnfxx 1fxx

sinfxx cosfxx

cosfxx sinfxx

5．导数的运算法则

若函数fx，gx均可导，则：

（1）fxgxfxgx；