高考数学复习：导数的简单应用与定积分

高考数学复习：导数的简单应用与定积分

A组

1．(文)已知函数f(x)＝1xcosx，则f(π)＋f′(π2)＝( C )

A．－3π2 B．－1π2

C．－3π D．－1π

[解析] ∵f′(x)＝－1x2cosx＋1x(－sinx)，

∴f(π)＋f′(π2)＝－1π＋2π·(－1)＝－3π．

(理)已知1e(1x－m)dx＝3－e2，则m的值为( B )

A．e－14e B．12

C．－12 D．－1

[解析] 1e(1x－m)dx＝(lnx－mx)|e1＝(lne－me)－(ln1－m)＝1＋m－me＝3－e2，∴m＝12.故选B．

2．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( A )

A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1

C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1

[解析] k＝y′|x＝0＝(ex＋xex＋2)|x＝0＝3，

∴切线方程为y＝3x－1，故选A．

3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f ′(1)＝( D )

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析] 由条件知(1，f(1))在直线x－y＋2＝0上，且f ′(1)＝1，∴f(1)＋f ′(1)＝3＋1＝4．

4．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是( C )

A．(－43，0) B．(0，43)

C．(－∞，－43)，(0，＋∞) D．(－∞，－43)∪(0，＋∞)

[解析] 因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，

解得m＝－2.所以f′(x)＝3x2＋4x．

由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－43或x>0，

即f(x)的单调递增区间为(－∞，－43)，(0，＋∞)，故选C．

5．若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a的取值范围是( B )

A．[14，1) B．[34，1)

C．(94，＋∞) D．(1，94)

[解析] 由x3－ax>0得x(x2－a)>0，

则有 x>0x2－a>0或 x<0，x2－a<0， 所以x>a或－a

即函数f(x)的定义域为(a，＋∞)∪(－a，0)．

令g(x)＝x3－ax，则g′(x)＝3x2－a，

当g′(x)≥0时，x≥3a3，不合要求，

由g′(x)<0得－3a3

从而g(x)在x∈(－3a3，0)上是减函数，

又函数f(x)在x∈(－12，0)内单调递增，

则有 0

所以34≤a<1．

6．函数y＝x＋2cosx在区间[0，π2]上的最大值是____π6＋3__．

[解析] y′＝1－2sinx，令y′＝0，且x∈[0，π2]，得x＝π6，则x∈[0，π6)时，y′>0；x∈(π6，π2]时，y′<0，故函数在[0，π6)上递增，在(π6，π2]上递减，所以当x＝π6时，函数取最大值π6＋3．

7．(文)若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是____(－∞，0)__．

[解析] 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ax，要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a<0．

(理)如图，已知A(0，14)，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0＝____64__．

[解析] 因为点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，

所以y0＝x20，

则△OAP的面积S＝12|OA||x0|＝12×14x0＝18x0，

阴影部分的面积为∫x 00x2dx＝13x3|x00＝13x30，

因为阴影部分面积与△OAP的面积相等，

所以13x30＝18x0，

即x20＝38．

所以x0＝38＝64．

8．(文)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．

(1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．

[解析] (1)对f(x)求导得f ′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f ′(－43)＝0，

即3a·169＋2·(－43)＝16a3－83＝0，解得a＝12．

(2)由(1)得g(x)＝(12x3＋x2)ex，

故g′(x)＝(32x2＋2x)ex＋(12x3＋x2)ex＝(12x3＋52x2＋2x)ex＝12x(x＋1)(x＋4)ex．

令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4． 当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当－40，故g(x)为增函数；

当－1

当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．

综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，

在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．

(理)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．

(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求实数a的取值范围．

[解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，

f ′(x)＝lnx＋1x－3，f ′(1)＝－2，

f(1)＝0．

曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0．

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于

lnx－ax－1x＋1>0．

设g(x)＝lnx－ax－1x＋1，

则g′(x)＝1x－2ax＋12＝x2＋21－ax＋1xx＋12，g(1)＝0．

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，

x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，

g(x)在(1，＋∞)内单调递增，因此g(x)>g(1)＝0．

②当a>2时，令g′(x)＝0，得

x1＝a－1－a－12－1，x2＝a－1＋a－12－1．

由x2>1和x1x2＝1，得x1<1，

故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，

g(x)在(1，x2)内单调递减，此时g(x)

综上，a的取值范围是(－∞，2]．

9．(文)已知函数f(x)＝axx＋r2(a>0，r>0)．

(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；

(2)若ar＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值． [解析] (1)由题意知x≠－r，

所以定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)，

f(x)＝axx＋r2＝axx2＋2rx＋r2，

f ′(x)＝ax2＋2rx＋r2－ax2x＋2rx2＋2rx＋r22

＝ar－xx＋rx＋r4，

所以当x<－r或x>r时，f ′(x)<0；

当－r0．

因此，f(x)的单调递减区间是(－∞，－r)，(r，＋∞)；

f(x)的单调递增区间是(－r，r)．

(2)由(1)可知f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减，因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝ar2r2＝a4r＝100．

(理)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

[解析] (1)因为f(x)＝xea－x＋bx，

所以f ′(x)＝(1－x)ea－x＋b．

依题设，得 f2＝2e＋2，f ′2＝e－1，

即 2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1，

解得a＝2，b＝e．

(2)由(1)，知f(x)＝xe2－x＋ex．

由f ′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，

f ′(x)与1－x＋ex－1同号．

令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1．

所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，

g(x)在区间(－∞，1)内单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，

g(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．

故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)内的最小值．

B组 1．(文)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，则f ′(e)＝( C )

A．1 B．－1

C．－e－1 D．－e

[解析] 依题意得，f ′(x)＝2f ′(e)＋1x，取x＝e得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e，由此解得f ′(e)＝－1e＝－e－1，故选C．

(理)(2019·兰州市诊断考试)定义在(0，π2)上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cosx·f′(x)＋sinx·f(x)<0成立，则有( C )

A．f(π6)>2f(π4) B．3f(π6)>f(π3)

C．f(π6)>3f(π3) D．f(π6)>3f(π4)

[解析] ∵cosx·f′(x)＋sinx·f(x)<0，

∴在(0，π2)上，[fxcosx]′<0，

∴函数y＝fxcosx在(0，π2)上是减函数，

∴fπ6cosπ6>fπ3cosπ3，

∴f(π6)>3f(π3)．故选C．

2．(文)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，若过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，则切线方程是( B )

A．9x＋y－16＝0 B．9x－y＋16＝0

C．x＋9y－16＝0 D．x－9y＋16＝0

[解析] f ′(x)＝3ax2＋2bx－3，

依题意f ′(1)＝f ′(－1)＝0，

即 3a＋2b－3＝0，3a－2b－3＝0，

解得a＝1，b＝0．

所以f(x)＝x3－3x．

因为曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上，

设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0，

因此f ′(x0)＝3(x20－1)，

故切线的方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．