【金版学案】高一数学苏教版必修2习题：2. 3.2 空间两点间的距离 Word版含答案[ 高考]
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珍贵文档 2．3.2 空间两点间的距离
如下图所示，一只小蚂蚁站在水泥构件点O处，在A，B，C，D，E处放有食物，建立适当的空间直角坐标系，可以告诉小蚂蚁食物的准确位置．你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗？
1．若在空间直角坐标系Oxyz中点P的坐标是(x，y，z)，则P到坐标原点O的距离OP＝x2＋y2＋z2． 专业文档
珍贵文档 2．在空间直角坐标系Oxyz中，设点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1与P2之间的距离P1P2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2．
3．在空间直角坐标系Oxyz中，点P(x0，y0，z0)到平面xOy的距离为|z0|，到x轴的距离为y20＋z20．
空间两点间的距离公式
(1)已知空间中两点A、B的坐标为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则这两点间的距离为AB＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2.特别地点A(x，y，z)到原点的距离为：OA＝x2＋y2＋z2.记忆上述公式时可以类比平面解析几何中两点间的距离公式．
(2)空间两点间的距离公式的推导思路．
思路一：当两点连线与坐标平面不平行时，过两点分别作三个坐标平面的平行平面，转化为求长方体的对角线长，从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可，而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得．
思路二：作线段在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．
(3)坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：a.在立体几何图形中专业文档
珍贵文档 建立空间直角坐标系；b.依题意确定各相应点的坐标；c.通过坐标运算得到答案．
基础巩固
知识点一 空间中两点间的距离公式
1．点P22，33，66到原点的距离是________．
解析：由两点间距离公式可得．
答案：1
2．在x轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点的坐标为________．
解析：设x轴上的点的坐标为(x，0，0)，则由距离公式得：(x＋4)2＋|－1|2＋(－7)2＝(x－3)2＋(－5)2＋22.
解得x＝－2.
答案：(－2，0，0)
3．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到A(1，1，1)的距离是________．
解析：设P(0，0，c)，∵PO＝1，∴c＝±1.当c＝1时，PA＝2；当c＝－1时，PA＝6. 专业文档
珍贵文档 答案：2或6
知识点二 空间中两点间距离公式的简单应用
4．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于________．
解析：∵A(1，2，3)在平面yOz内的射影为B(0，2，3)，∴OB＝13.
答案：13
5．设A(3，3，1)、B(1，0，5)、C(0，1，0)，AB的中点M，则CM＝________．
解析：由中点公式得M2，32，3，
∴CM＝（2－0）2＋32－12＋（3－0）2＝532.
答案：532
6．已知空间三点A(0，0，3)、B(4，0，0)、C(4，5，0)，求△ABC的周长．
解析：∵AB＝（0－4）2＋02＋（3－0）2＝5，
BC＝（4－4）2＋（0－5）2＋02＝5，
AC＝（0－4）2＋（0－5）2＋（3－0）2＝52，
∴△ABC的周长为10＋52. 专业文档
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能力升级
综合点一 空间中有关距离的计算问题
7．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(x，－1，6)的距离为86，则x等于________．
解析：由（x＋3）2＋（－1－4）2＋（6－0）2＝86，
∴x＝2或－8.
答案：2或－8
8．已知点A(－3，1，4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为________．
解析：AB＝2OA＝2（－3）2＋12＋42＝226.
答案：226
综合点二 两点间距离公式的综合应用
9．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．
解析：设点P(a，b，c)，则它在三个坐标轴上的射影为P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，由已知得：b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.
∴2(a2＋b2＋c2)＝3. 专业文档
珍贵文档 故PO＝a2＋b2＋c2＝32＝62.
答案：62
10．已知A(1－t，1－t，t)、B(2，t，t)，则AB的最小值为________．
解析：∵AB＝（2－1＋t）2＋（t－1＋t）2＋（t－t）2
＝（t＋1）2＋（2t－1）2
＝5t2－2t＋2
＝5t－152＋95，
∴当t＝15时，ABmin＝355.
答案：355
11．在空间直角坐标系中，已知A(0，0，3)、B(2，0，0)、C(0，2，0)，则△ABC的面积是多少？
解析：AB＝（0－2）2＋（0－0）2＋（3－0）2＝13，
BC＝（2－0）2＋（0－2）2＋（0－0）2＝22，
AC＝（0－0）2＋（0－2）2＋（3－0）2＝13，
∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
则BC边上的高h＝（13）2－（2）2＝11，
∴S△ABC＝12BC·h＝12×22×11＝22. 专业文档
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综合点三 应用距离解决角度问题
12．如图，已知三棱锥PABC在某个空间直角坐标系中，B(3m，m，0)、C(0，2m，0)、P(0，0，2n)．
(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB与Ox轴的正方向的夹角；
(2)若M为BC的中点，n＝32m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．
解析：(1)如图，以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP为Oz轴，建立空间直角坐标系，此时AB与Ox轴的正向夹角为30°.
(2)连接AM、PM，
∵AB＝AC＝2m，PB＝PC＝2m2＋n2，
又M为BC中点，∴AM⊥BC，PM⊥BC.
∴∠AMP为AM与其在面PBC内的射影所成的角． 专业文档
珍贵文档 又n＝32m，∴PA＝AM＝3m.
∴AM与其在面PBC内的射影所成角为45°.
