2019-2020学年苏教版必修2第2章 2.3 2.3.2 空间两点间的距离学案

2.3.2 空间两点间的距离

学

习

目 标 核 心 素 养

1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程．(重点)

2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．(难点) 通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.

1．空间两点间的距离公式

(1)平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．特别地，点A(x，y)到原点距离为OA＝x2＋y2．

(2)空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距离公式是P1P2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2．特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA＝x2＋y2＋z2．

2．空间两点的中点坐标公式

连结空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的线段P1P2的中点M的坐标为x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22．

1．点P(－2，－1，1)到原点的距离为________．

6 [PO＝（－2）2＋（－1）2＋12＝6.]

2．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为30，则该点的坐标为__________．

(9，0，0)或(－1，0，0) [设点P的坐标是(x，0，0)，由题意得，P0P＝30，即（x－4）2＋12＋22＝30，∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.

∴点P的坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．]

3．若O为原点，P点坐标为(2，－4，－6)，Q为OP中点，那么Q点的坐标为________．

(1，－2，－3) [设Q(x，y，z)，

则x＝2＋02＝1，y＝－4＋02＝－2，

z＝－6＋02＝－3，

∴Q(1，－2，－3)．]

4．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________．

1，32，1 [∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2，∴O(0，0，0)，B1(2，3，2)．

又∵M为OB1的中点，∴M1，32，1.]

空间中两点间距离的计算

【例1】 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．

思路探究：解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来，再利用公式求长度．

[解] 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为正方体的棱长为a，所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，C′(0，a，a)，D′(0，0，a)．

由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，

所以Ma2，a2，a2，O′a2，a2，a.

因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故Na4，3a4，a，根据空间两点距离公式，可得

MN＝a2－a42＋a2－3a42＋a2－a2＝64a.

利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤

(1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；

(2)代入空间两点间的距离公式求值．

1．已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．

(1)求△ABC中最短边的边长；

(2)求AC边上中线的长度．

[解] (1)由空间两点间距离公式得

AB＝（1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3，

BC＝（2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝6，

AC＝（1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝29，

∴△ABC中最短边是BC，其长度为6.

(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为2，3，72.

∴AC边上中线的长度为 （2－2）2＋（3－3）2＋4－722＝12.

确定空间点的坐标

[探究问题]

1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是什么？

[提示] 设M(0，a，0)，由已知得MA＝MB，即12＋a2＋22＝12＋（－3－a）2＋12，解得a＝－1，故M(0，－1，0)．

2．方程(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝25的几何意义是什么？

[提示] 依题意（x－1）2＋（y－2）2＋（z－3）2＝5，点(x，y，z)是空间中到点(1，2，3)距离等于5的点，即以点(1，2，3)为球心，以5为半径的球面．

【例2】 已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度．

思路探究：解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．

[解] 由空间两点间的距离公式得AB＝

（1－x）2＋[（x＋2）－（5－x）]2＋[（2－x）－（2x－1）]2＝

14x2－32x＋19＝14x－872＋57，

当x＝87时 ，AB有最小值57＝357，

此时A87，277，97，B1，227，67.

解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．

2.如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0

(1)求MN的长；

(2)当a为何值时，MN的长最小．

[解] 以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

∵正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且CM＝BN＝a(0

∴易得点M，N的坐标分别为

M22a，0，1－22a，

N22a，22a，0.

(1)|MN|＝

22a－22a2＋0－22a2＋1－22a－02

＝a2－2a＋1(0

(2)∵MN＝a2－2a＋1＝a－222＋12， ∴当a＝22时，MN的长最小，且最小值为22.

1．本节课的重点是理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式和中点坐标公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的恰当建立及求相关点的坐标．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)求空间中对称点坐标的规律．

(2)空间两点间距离公式的应用．

3．本节课的易错点是空间两点间距离的求解运算．

1．已知A(1，1，1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )

A．43 B．23

C．42 D．32

A [AB＝（1＋3）2＋（1＋3）2＋（1＋3）2＝43.]

2．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________．

302 [∵B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，

∴BC的中点为2，32，－12，

∴BC边上的中线长为

（3－2）2＋1－322＋2＋122＝302.]

3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且AB＝26，则实数x的值是________．

－2或6 [由题意得

（x－2）2＋（1－3）2＋（2－4）2

＝26， 解得x＝－2或x＝6.]

4．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．

[证明] 由空间两点间的距离公式得

AB＝（4－1）2＋（2＋2）2＋（3－11）2＝89，

BC＝（6－4）2＋（－1－2）2＋（4－3）2＝14，

AC＝（6－1）2＋（－1＋2）2＋（4－11）2＝75，

∵AB2＝BC2＋AC2，

∴△ABC为直角三角形，∠C为直角．