2017-2018学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题(解析版)

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浙江省金华市十校2017-2018学年高二上学期期末联考数学卷

考试范围：常用逻辑用语、立体几何、解析几何.考试时间：120分钟

【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学的常用逻辑用语、立体几何、解析几何等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.

第I卷（选择题）

评卷人 得分

一、单选题

1．已知平面的法向量为2,2,4n， 1,1,2AB，则直线AB与平面的位置关系为（ ）

A. AB B. AB

C. AB与相交但不垂直 D. //AB

2．已知命题：“若ab，则22acbc”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

3．长方体1111ABCDABCD， 11,2,3ABADAA，则异面直线11AB与1AC所成角的余弦值为（ ）

A. 1414 B. 19214 C. 1313 D. 13

4．已知命题:p直线l过不同两点111222,,,PxyPxy，命题:q直线l的方程为211yyxx

211xxyy，则命题p是命题q的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5．已知圆22220xyxya截直线20xy所得弦长为4，则实数a的值为（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

6．以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是（ ）

A. 以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥

B. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱

2 C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

D. 两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台

7．空间中， ,,是三个互不重合的平面， l是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）

A. 若//l， //l，则// B. 若， l，则//l

C. 若l， //l，则 D. 若， //l，则l

8．斜率为k的直线l过抛物线22(0)ypxp焦点F，交抛物线于,AB两点，点00,Pxy为AB中点，作OQAB，垂足为Q，则下列结论中不正确的是（ ）

A. 0ky为定值 B. OAOB为定值

C. 点P的轨迹为圆的一部分 D. 点Q的轨迹是圆的一部分

9．在正方体1111ABCDABCD中，点Q为对角面11ABCD内一动点，点MN、分别在直线AD和AC上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为，则下列结论中正确的是（ ）

A. 若30，则点Q的轨迹为双曲线的一部分

B. 若45，则点Q的轨迹为双曲线的一部分

C. 若60，则点Q的轨迹为双曲线的一部分

D. 若75，则点Q的轨迹为双曲线的一部分

10．定义在0,2上的函数fx，其导函数为'fx，若'0fx和'tan0fxfxx都恒成立，对于02，下列结论中不一定成立的是（ ）

A. coscosff B. coscosff

C. sinsinff D. sinsinff

第II卷（非选择题）

3 评卷人 得分

二、填空题

11．已知a为实数，直线1:660laxy，直线2:2350lxy，若12//ll，则a__________；若12ll，则a__________．

12．已知抛物线2:4Cxy，则其焦点坐标为__________，直线:23lyx与抛物线C交于,AB两点，则AB __________．

13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．

14．已知函数3261fxxaxax，（1）若函数fx的图像在点1,1f处的切线斜率为6，则实数a__________；（2）若函数在1,3内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．

15．已知12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点， P是其渐近线在第一象限内的点，点Q在双曲线上，且满足120PFPF， 24PFPQ，则双曲线的离心率为__________．

16．正四面体ABCD的棱长为2，半径为2的球O过点D， MN为球O的一条直径，则AMAN的最小值是__________．

17．已知12,FF为椭圆22:143xyC的左、右焦点，点P在椭圆C上移动时， 12PFF的内心I的轨迹方程为__________．

4 评卷人 得分

三、解答题

18．已知函数2lnfxxaxx.

（Ⅰ）若1a，求函数yfx的最小值；

（Ⅱ）若函数yfx在1,2上是减函数，求实数a的取值范围.

19．如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为菱形， 23AC， 12AABD, E为1BD中点.

（Ⅰ）证明： 1//BB面AEC；

（Ⅱ）求二面角EDCA的余弦值.

20．点P是圆22:20Cxyx上一动点，点3,0Q.

（Ⅰ）若60PCQ，求直线PQ的方程；

（Ⅱ）过点Q作直线CP的垂线，垂足为M，求MCMQ的取值范围.

21．如图，在三棱锥PABC中， ABBC， APPC， 60ABC， APPC，直线BP与平面ABC

5 成30角， D为AC的中点， PQPC， 0,1.

（Ⅰ）若PBPC，求证：平面ABC平面PAC；

（Ⅱ）若PBPC，求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值的取值范围.

22．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为4，过点0,2Mb的直线交椭圆于,AB两点， P为AB中点，连接PO并延长交椭圆于点Q，记直线AB和OP的斜率为分别为1k和2k，且12410kk.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当QMP为直角时，求PQM的面积.

6

1．A【解析】1,1,2,2,2,4,2,//,ABnnABnABAB.

本题选择A选项.

3．A【解析】1111//,CDAB异面直线11AB与1AC所成的角即为11CD与1AC所成的角11ACD.

在11RtACD中，

222221111111111,2313,12314,114.1414CDADACCDcosACDAC

本题选择A选项.

点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

4．C【解析】当1212,yyxx时，过不同两点111222,,,PxyPxy的直线方程为112121yyxxyyxx，即211yyxx 211xxyy，

7 又当12yy时，直线为1yy，也满足上式，

当12xx时，直线为1xx，也满足上式，

所以，过不同两点111222,,,PxyPxy的直线方程为211yyxx 211xxyy.

反过来，直线l的方程为211yyxx 211xxyy，则当1xx时， 1yy，所以直线过点111,,Pxy同理，当2xx时， 2yy，所以直线过点222,,Pxy即直线l过不同两点111222,,,PxyPxy.

所以命题p是命题q的充要条件.

本题选择C选项.

6．D【解析】以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A错误.

有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B错误.

有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C错误.

根据棱台的定义，可得D正确.

本题选择D选项.

7．C【解析】若l∥α，l∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l平行)，故A错误；

若， l，则l∥α或l⊂α，故B错误；

若， //l，则l与β可能平行也可能相交，故D错误；

若l∥β，则存在直线m⊂β，使得l∥m，又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正确；

本题选择C选项.

8．C【解析】设抛物线22(0)ypxp上,AB两点坐标分别为1122,,,AxyBxy，则2211222,2,ypxypx两式做差得， 1212122yyyypxx，

整理得1201212022,,2.yyppkkypxxyyy为定值，所以A正确.

8 因为焦点,02pF，所以直线AB方程为2pykx.由2{ 22pykxypx得222224420kxpkxpk，则221212222,,4pkpxxxxk

2222121212122224ppppyykxxkxxxxp.

2121234OAOBxxyyp为定值.故B正确.

,OQAB点Q的轨迹是以OF为直径的圆的一部分，故D正确.

本题选择C选项.

由圆锥的特征结合平面11CBAD与平面ABCD所成角的平面角为45可知：

当45时截面为双曲线的一部分；

当45时截面为圆的一部分；

当45时截面为椭圆的一部分.

本题选择A选项.

10．D【解析】由题意可得： '0,tan0,0fxxfx，构造函数：

1cosfxHxx，则'12'cossin'tan0coscosfxxfxxfxfxxHxxx，

则函数1Hx单调递减， 110,2HH，

即： ,coscoscoscosffff，选项A正确；

2cosHxfxx，则'2'cossincos'tan0Hxfxxfxxxfxfxx，