高考数学一轮复习第八篇立体几何第6讲 空间向量及其运算教案理试题
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卜人入州八九几市潮王学校第6讲空间向量及其运算
【2021年高考会这样考】
1．考察空间向量的线性运算及其数量积．
2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直．
3．考察空间向量根本定理及其意义．
【复习指导】
空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又比照论证，重点掌握空间向量一共线与垂直的条件，及空间向量根本定理的应用．
根底梳理
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)相等向量：方向一样且模相等的向量．
(3)一共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或者重合的向量．
(4)一共面向量：平行于同一个平面的向量．
2．空间向量的线性运算及运算律
(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：＝＋＝a＋b；＝－＝a－b；＝λa(λ∈R)．
(2)运算律：(1)加法交换律：a＋b＝b＋a.
(3)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(4)数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，那么∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，假设〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积 空间两个非零向量a，b那么|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．根本定理
(1)一共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)一共面向量定理：假设两个向量a，b不一共线，p与向量a，b一共面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb.
(3)空间向量根本定理：假设三个向量a，b，c不一共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
一种方法
用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：
(1)适当的选取基底{a，b，c}；
(2)用a，b，c表示相关向量；
(3)通过运算完成证明或者计算问题．
两个理解
(1)一共线向量定理还可以有以下几种形式：
①a＝λb⇒a∥b；
②空间任意两个向量，一共线的充要条件是存在λ，μ∈R使λa＝μb.
③假设，不一共线，那么P，A，B三点一共线的充要条件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1.
(2)对于一共面向量定理和空间向量根本定理可比照一共线向量定理进展学习理解．空间向量根本定理是适中选取基底的根据，一共线向量定理和一共面向量定理是证明三点一共线、线线平行、四点一共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接〞．
四种运算
空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全一致可类比学习．学生要特别注意一共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进展学习．
双基自测
1．向量a∥平面β，向量a所在直线为a，那么()．
A．a∥β B．a⊂β C．a交β于一点 D．a∥β或者a⊂β
答案D
2．(
①假设A、B、C、D是空间任意四点，那么有＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b一共线的充要条件；
③假设a、b一共线，那么a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不一共线的三点A、B、C，假设＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，那么P、A、B、C)．
A．1B．2 C．3D．4
解析①中四点恰好围成一封闭图形，正确；
②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；
③中a、b所在直线可能重合；
④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点一共面．
答案C
3．(2021·质检)a＝λb(λ是实数)是a与b一共线的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析a＝λb⇒a∥b
但那么a∥b，a≠λb.
答案A
4．(2021·月考)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，那么||等于()．
A．5B．6 C．4D．8
解析设＝a，＝b，＝c，那么＝a＋b＋c，
2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，
因此||＝5.
答案A
5．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，那么＝________(用a，b，c表示)．
解析如图，＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
答案a＋b＋c
考向一空间向量的线性运算
【例1】►如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.
[审题视点]正确运用空间向量的加法运算用向量表示出未知向量．
解＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
＝＋
＝＋(＋)
＝＋(－)＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
(1)通过以上表示可以看出＝3即证明：A、G、C1三点一共线．G为AC1的三分之一分点．
(2)解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算．
【训练1】如右图，M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.
解＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c.
说明此问题事实上解决了B、G、N三点一共线问题，同学们可以通过此题想象正四面体外接球和内切球的球心位置．
考向二一共线一共面定理的应用
【例2】►如右图，平行六面体ABCDA′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点一共面．
[审题视点]四点一共点，考虑构造有关向量，然后利用一共面向量定理证明．
证明取＝a、＝b、＝c，那么＝＋＋＝＋2＋ ＝b－a＋2a＋(＋＋)＝b＋a＋(b－a－c－a)＝b－c，∴H与b、c一共面．即E、F、G、H四点一共面．
证明E、F、G、H四点一共线，只须证明＝λ＋μ即可，即证、、三个向量一共面．此种方法也是证明直线与平面平行的方法．
【训练2】如图在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC边上的中点，
试证A1B∥平面AC1D.
证明设＝a，＝c，＝b，
那么＝＋
＝＋＝a＋c，
＝＋＝＋＝－a＋b，
＝＋＝－＋＝b－a＋c，
＝－2，∵AB⊄平面AC1D，
因此A1B∥平面AC1D.
考向三空间向量数量积的应用
【例3】►如图，在四面体SABC中，假设SA⊥BC，SB⊥AC，试证SC⊥AB.
[审题视点]可通过证明两直线的方向向量的数量积为0来证明两直线垂直．
证明取＝a，＝b，＝c，由SA⊥BC，SB⊥AC，
即
②－①得c·(b－a)＝0，
那么SC⊥AB.
利用空间向量的根本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为求证c·(b－a)＝0
【训练3】如右图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.
(1)求证：C1C⊥BD；
(2)当的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．
(1)证明取＝a，＝b，＝c，
由|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝－＝a－b，·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，∴⊥，即C1C⊥BD.
(2)假设A1C⊥平面C1BD， 那么A1C⊥C1D，＝a＋b＋c，＝a－c.
∴·＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.
整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，
∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
标准解答14——利用空间向量证明平行或者垂直问题
【问题研究】
【解决方案】建立空间直角坐标系，用坐标或者基底表示相关的向量，把线面关系的逻辑推理转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的运算，用代数运算代替空间线面关系的逻辑推理，使证明和运算过程具有程序化.
【例如】►(此题总分值是12分)(2021·全国改编)如图，四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．
(1)此题可以通过计算边边关系证明SD⊥平面SAB，第2问也可作出AB与平面SBC所成的角，利用解三角形来计算，但这种方法必须加辅助线，且易找错角，故考虑用向量法，建立恰当的空间直角坐标系是解题关键．
[解答示范]以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如下列图的空间直角坐标系Cxyz.
设D(1,0,0)，那么A(2,2,0)、B(0,2,0)．
又设S(x，y，z)，那么x＞0，y＞0，z＞0.
(1)证明A＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由||＝||得
＝，
故x＝1.
由||＝1得y2＋z2＝1，
又由||＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，
即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝，z＝.
于是S，＝，＝，＝，·＝0，·＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(6分)
(2)解设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，那么a⊥，a⊥，∴a·＝0，a·＝0.
又＝，＝(0,2,0)，
