高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 空间向量及其应用教学案 理

§8.5 空间向量及其应用

最新考纲 考情考向分析

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，能判断向量的共线．

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的垂直. 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.

1．空间向量的有关概念

名称 概念 表示

零向量 模为0的向量 0

单位向量 长度(模)为1的向量

相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b

相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a

共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b

共面向量 平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①(λa)·b＝λ(a·b).

②交换律：a·b＝b·a.

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示 坐标表示

数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3

共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模 |a| a21＋a22＋a23

夹角余弦 cos〈a，b〉a·b|a||b|

(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23

5.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．

(2)平面的法向量

直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．

(3)

位置关系 向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2

l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0

l⊥α n∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm

α⊥β n⊥m⇔n·m＝0

概念方法微思考

1．共线向量与共面向量相同吗？

提示 不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．

2．零向量能作为基向量吗？

提示 不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )

(2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c)．( × )

(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × ) (4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.( √ )

题组二 教材改编

2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是( )

A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c

C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c

答案 A

解析 BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)

＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.

3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．

答案 2

解析 |EF→|2＝EF→2＝(EC→＋CD→＋DF→)2

＝EC→2＋CD→2＋DF→2＋2(EC→·CD→＋EC→·DF→＋CD→·DF→)

＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)

＝2，

∴|EF→|＝2，∴EF的长为2.

题组三 易错自纠

4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )

A．垂直 B．平行

C．异面 D．相交但不垂直

答案 B

解析 由题意得，AB→＝(－3，－3,3)，CD→＝(1,1，－1)，

∴AB→＝－3CD→，∴AB→与CD→共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.

5．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP→＝34OA→＋18OB→＋tOC→，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.

答案 18

解析 ∵P，A，B，C四点共面，

∴34＋18＋t＝1，∴t＝18.

6．设μ，v分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．

答案 α⊥β α∥β

解析 当v＝(3，－2,2)时，μ·v＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v，所以α⊥β；

当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，μ∥v，所以α∥β.

空间向量的线性运算

例1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)AP→；

(2)A1N→；

(3)MP→＋NC1→.

解 (1)∵P是C1D1的中点，

∴AP→＝AA1→＋A1D1——→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1——→＝a＋c＋12AB→＝a＋12b＋c.

(2)∵N是BC的中点，

∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→

＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.

(3)∵M是AA1的中点，

∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→

＝－12a＋a＋c＋12b

＝12a＋12b＋c，

又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→

＝12c＋a，

∴MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝32a＋12b＋32c.

思维升华 用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形．

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．

跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝________________.

答案 12AB→＋12AD→＋AA1→

解析 ∵OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)，

∴OC1→＝OC→＋CC1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→

＝12AB→＋12AD→＋AA1→.

(2)如图，在三棱锥O—ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示NM→，则NM→等于( )

A.12(－a＋b＋c)

B.12(a＋b－c)

C.12(a－b＋c)

D.12(－a－b＋c) 答案 B

解析 NM→＝NA→＋AM→＝(OA→－ON→)＋12AB→ ＝OA→－12OC→＋12(OB→－OA→)＝12OA→＋12OB→－12OC→

＝12(a＋b－c)．

共线定理、共面定理的应用

例2 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)求证：BD∥平面EFGH.

证明 (1)连接BG，

则EG→＝EB→＋BG→

＝EB→＋12(BC→＋BD→)

＝EB→＋BF→＋EH→

＝EF→＋EH→，

由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．

(2)因为EH→＝AH→－AE→

＝12AD→－12AB→

＝12(AD→－AB→)＝12BD→，

所以EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较

三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面

PA→＝λPB→且同过点P MP→＝xMA→＋yMB→

对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→ 对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→

对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→ 对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→

跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．

(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？

(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？

解 (1)∵AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，

∴MN→＝MA→＋AB→＋BN→

＝kC1A→＋AB→＋kBC→

＝k(C1A→＋BC→)＋AB→

＝k(C1A→＋B1C1——→)＋AB→

＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→

＝AB→－k(AA1→＋AB→)

＝(1－k)AB→－kAA1→，

∴由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．

(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，

MN在平面ABB1A1内，