高考数学《等式与不等式》专项练习题(含答案)

2023-2024学年高考数学一元二次函数、方程与不等式小专题一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则a b >22ac bc>a b >-a b ->C ．若，则D ．若，则ac bc >a b>a b >a c b c->-2．若不等式的解集是，则不等式的解集是（　220ax x c ++<11(,)(,)32-∞-⋃+∞220cx x a -+≤ ）A ．B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．[]2,3-[]3,2-3．若，且，则的最小值是（ ）0x >0y >21x y +=1xx y +A ．B ．C ．2D ．122+322+324．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）x y 4x y xy +=234yx a a +>-a A ．B ．C ．D ．[]1,4-()1,4-[]4,1-()4,1-5．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）[],1x m m ∈+210x mx +-<m A ．B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为0a >x 31ax x +≥+()1,x ∈-+∞a （ ）A ．1B ．2C ．4D ．87．若命题“”为假命题，则m 的取值范围是（ ）2000R,220x x mx m ∃∈+++<A ．B ．][(),12,-∞-⋃+∞()(),12,-∞-+∞ C ．D ．[]1,2-()1,2-8．设集合，．若中恰含有一个整数，{}260A x x x =+->{}210,0B x xax a =--≤>A B ⋂则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．80,3⎛⎫⎪⎝⎭815,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭815,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．的最小值为21x y x +=B ．已知，则的最小值为1x >4211y x x =+--421+C ．若正数x 、y 满足，则的最小值为323x y xy +=2x y +D ．设x 、y 为实数，若，则的最大值为2291x y xy ++=3x y +221710．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式有解，则实数m 的取值范围241312m mx y +<++是错误的是（ ）A ．m <－3或m >B ．－3<m <3232C ．m ≤－3或m ≥D ．－3≤m ≤323211．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论x 20ax bx c ++≥{|3x x ≤}4x ≥的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式的解集为0bx c +<{}4|x x <-C ．不等式的解集为或20cx bx a -+<1|4x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>12．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ）0a >0b >2a b +=a b A ．B ．1ab ≤2a b +≤C ．D ．222a b +≥112a b+≥三、填空题13．已知关于x 一元二次方程有两个实根，，（1）若比3大，比3240x x a -+=1x 2x 1x 2x 小，则a 的取值范围是 ；（2）把写成用含a 表达式为 .12x x -14．已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则,,a b c 20ax bx c ++=12,x x 2b c == .1211+x x 15．已知函数，当时，恒成立，则的最大值为.()222=+-b a f x ax x []1,1x ∈-()12f x ≥-a b +16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式求得，其中p 为三角形()()()S p p a p b p c =---周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，5a b +=，则此三角形面积的最大值为.3c =答案：1．D【分析】根据不等式的性质，令，可以判断A 的真假；由不等式的性质3，可以判断0c =B ，C 的真假；由不等式的性质1，可以判断D 的真假，进而得到答案．【详解】当时，若，则，故A 错误；0c =a b >22ac bc =若，则，故B 错误；a b >-a b -<若，当时，则；当时，则，故C 错误；ac bc >0c >a b >0c <a b <若，则，故D 正确a b >a c b c ->-故选:D 2．C【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组13-12220ax x c ++=，即可求出，再解一元二次不等式即可.112321132a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩12,2a c =-=222120x x --≤【详解】因为不等式的解集是：，220ax x c ++<11(,)(,)32-∞-⋃+∞所以和是方程的两个实数根，13-12220ax x c ++=由，解得：，112321132a ca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩12,2a c =-=故不等式，即为，220cx x a -+≤222120x x --≤解不等式，得：，260x x --≤23x -≤≤所求不等式的解集是.[]23-，故选：C ．3．A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为，且，0x >0y >21x y +=所以，1121222221++=++=++≥⨯=+x x x xx y x y x y x y x y y y当且仅当时等号成立，221,12x y =-=-故选：A.4．B【分析】根据题意，结合基本不等式的运算，由系数“1”的妙用可得，然后求解不等44yx +≥式，即可得到结果.【详解】因为正实数，满足，所以，x y 4x y xy +=411y x +=则，144422244444y y y x y xx x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值4，44411y x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2,8x y ==因为恒成立，所以，解得.234yx a a +>-243a a >-14a -<<实数的取值范围为.a ()1,4-故选：B 5．B【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】由题意，对于都有成立，[],1x m m ∀∈+2()10f x x mx =+-<∴，解得：，()()()()2221011110f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩202m -<<即实数的取值范围是.m 2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B.6．C【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，，1x >-10x +>所以，()1121121111a aax x x a x x x +=++-≥+⋅-=-+++当且仅当，即时，取得等号，11ax x +=+1x a =-所以有最小值为，1ax x ++21a -因为不等式在上恒成立，31ax x +≥+()1,x ∈-+∞所以，解得，所以的最小值为4，213a -≥4a ≥a 故选:C.7．C【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解.【详解】由题意命题“”为真命题，2000R,220x x mx m ∀∈+++≥所以当且仅当，()()22442420m m m m ∆=-+=--≤解得，即m 的取值范围是.12m -≤≤[]1,2-故选：C.8．B【分析】求出A 中的不等式的解集确定出A ，由A 与B 交集中恰有一个整数，求出的范围a 即可.【详解】解：，因为函数图象的对称{}{}26023A x x x x x x =+->=><-或()21f x x ax =--轴为直线，，根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，02ax =>()3380f a -=+>A B ⋂则这个整数为3，所以有且，即，即，所以实数的取()30f ≤()40f >8301540a a -≤⎧⎨->⎩83154a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩a 值范围为.815,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B 9．BCD【分析】利用基本不等式一一计算即可.【详解】显然当时，，故A 错误；=1x -102x y x +==<原式可化为：，()()44211221142111y x x x x =-++≥-⋅+=+--当且仅当即时取得等号，故B 正确；()4211x x -=-21x =+由，1223133x y xy y x +=⇒+=所以，()12225225222333333333x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪⎝⎭当且仅当即时取得等号，故C 正确；2233x yy x =1x y ==由，()()22225591315143131212x y xy x y xy x y x y ++=⇒+=+=+⨯⨯⨯≤++则，当且仅当时取得等号，()27122213131277x y x y +≤⇒+≤=2137x y ==故D 正确.故选：BCD 10．BCD【分析】使不等式有解，大于的最小值，根据题意先利241312m m x y+<++232m m+411x y ++用基本不等式求的最小值，再解不等式求m 的取值范围.411x y ++【详解】因为正实数x ，y 满足，所以，1x y +=(1)2x y ++=则=，411x y ++)1=44[2(1111(5)](211)y x y x x y y x ≥++++++++1119(52)=(54)22241x y y x +⋅+++=当且仅当，即时等号成立.411y x x y +=+1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为不等式有解，所以，241312m m x y+<++23922m m +>即，，239022m m +->0()3)(32m m +>-解得或.3m <-32m >故选：BCD.11．AD【分析】根据不等式的解集，即可判断A 项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B 、C 、D 项.712b a c a =-⎧⎨=⎩【详解】对于A 项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，0a >故A 项正确；对于B 项，由已知可得，3、4即为的两个解.20ax bx c ++=由韦达定理可得，，解得，34712ba c a ⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩712b ac a =-⎧⎨=⎩代入可得.7120ax a -+<又，所以，所以解集为，故B 项错误；0a >127x >12|7x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭对于C 项，由B 知，，，，7b a =-12c a =0a >代入不等式可得，21270ax ax a ++<化简可得，212710x x ++<解得，1134x -<<-所以，不等式的解集为，故C 项错误；20cx bx a -+<11|34x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭对于D 项，由已知可得，当时，有，故D 项正确.1x =71260a b c a a a a ++=-+=>故选：AD.12．ACD【分析】分别根据基本不等式即可求出．【详解】，当且仅当时取等号，故A 成立；2()12a b ab +≤=1a b ==假设，则，则，与已知矛盾，故B 不成立；2a b +≤22a b ab ++≤0ab ≤，当且仅当时取等号，故C 成立；2222()242()4222a b a b a b ab ++=+-≥-⨯=-=1a b ==，由A 可得，当且仅当时取等号，故D 成立.112a b a b ab ab ++==1122a b ab +=≥1a b ==故选：ACD ．13．且3a <164a -4a ≤【分析】（1）设，则由题意可得，由此求得a 的范围；()24ax x x f =-+()330f a =-<（2）用韦达定理即可求解；【详解】（1）设，因为的图象是开口向上的抛物线，()24ax x x f =-+()24ax x x f =-+又一元二次方程有两个实根，，且 比3大，比3小，240x x a -+=1x 2x 1x 2x 所以，求得，()330f a =-<3a <（2）由关于x 一元二次方程有两个实根、，且，240x x a -+=1x 2x 1640a ∆=-≥所以，，且，得，124x x +=12x x a =4a ≤()21212124164x x x x x x a-=+-=-故；且3a <164a -4a ≤14．2-【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值.1212,b c x x x x a a +=-=12121211x x x x x x ++=【详解】由题设，且，0a ≠1212,b cx x x x a a +=-=而，，则.12121211x x b x x x x c ++==-2b c =12112x x +=-故2-15．2【分析】将函数化简可得，结合题目要求的最大值，故考虑()2122x f x a x b⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭a b +，得出关于的不等式，进而取特殊值判断是否满足满足取等条件求解即可.2122xx -=a b +【详解】函数，对恒成立，令()221122222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+⋅≥- ⎪⎝⎭[]1,1x ∈-，则或，故，得，当时，2122xx -=12x =-1x =112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭2a b +≤24,33a b ==满足，则的最大值为2.()2222121113333222f x x x x ⎛⎫=+-=+-≥-⎪⎝⎭a b +故216．3【分析】计算出，得到，由基本不等式求出.4p =24S ab =-243S ab =-≤【详解】因为，，所以，5a b +=3c =53422a b c p +++===故，()()()()()()44443244216424S a b a b a b ab ab =---=--=-++=-因为，当且仅当时，等号成立，()22544a b ab +≤=52a b ==故，25242434S ab =-≤⨯-=故3。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。

2022年高考数学真题《不等式》专项汇编（含答案）1.【2022年 全国甲卷(文)，23】已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明： （1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则113a c+≥. 2.【2022年 全国乙卷(理)，23】已知a ，b ，c 都是正数，且3223231a b c ++=，证明： （1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++3.【2022年 陕西省模拟，23】设x 、y 、z 为正实数，且4x y z ++=. (1)≤(2)证明：()()()22241233x y z -+-+-≥4.【2022年 贵州贵阳模拟，23】已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=.（2）若0a <，0b <，1abc =，求c 的最小值.5.【2022年 安徽马鞍山模拟，23】已知函数()22f x ax x a =++-（a ∈R ） （1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集． （2）当13a -≤≤时，求()1f a -的最大值与最小值．6.【2022年 内蒙古呼伦贝尔模拟，23】设函数()231f x x x =+--． (1)求不等式()0f x >的解集；(2)若()f x 的最小值是m ，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 7.【2022年 吉林长春模拟，23】设函数()1f x x =+，()21g x x =-. （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->；（2）若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围. 8.【2022年 四川宜宾模拟，23】 [选修4-5：不等式选讲]： 已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥9.【2022年 甘肃嘉陵关模拟，23】已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ；（2）记函数()()|1|g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.10.【2022年 重庆市模拟，23】已知函数()|2+=(0)f x ax bx a b ->>｜｜｜． (1)若22a b == ，解不等式()2|f x x ≥｜； (2)求证：()2b f x a≥．答案以及解析1.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）解法一（平方转化基本不等式证明）因为22243a b c ++=， 所以2222(2)42(22)a b c a b c ab bc ac ++=+++++()2222223(2)(2)a b b c a c ⎡⎤⎡⎤≤++++++⎣⎦⎣⎦，当且仅当21a b c ===时取等号，所以2222(2)32(2)9a b c a b c ⎡⎤++≤+++=⎣⎦.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法二（柯西不等式证明）因为22243a b c ++=，所以根据柯西不等式有()()2222222334111(2)a b c a b c ⨯=++++≥++， 当且仅当21a b c ===时取等号. 又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法三（权方和不等式证明）根据权方和不等式可得22221(2)43(111)111a b c a b c ++≤++=++（当且仅当21a b c ===时取等号），所以2(2)9a b c ++≤.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤. （2）因为2b c =，所以根据（1）有43a c +≤.1113314414114533333a c a c c a a c a c a c a c ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21a b c ===时取得等号. 2.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）因为a ，b ，c 都是正数，3332221a b c =++≥ 所以19abc ≤，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.（2）由基本不等式得b c +≥a b c ≤+， 同理得b ac ≤+c a b ≤+利用不等式的性质得a b cb c a c a b+++++≤333222bc=333222b c ==，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.3.答案：(1)见解析(1) 见解析 解析：(1)因为x,y,z 为正实数，由基本不等式可得422x x y z ⎛⎫⎛⎫=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y z ===≤(2)由柯西不等式可得()()()()()()()2222222123123111x y z x y z ⎡⎤-+-+-≤-+-+-⋅++⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22226412333x y z x y z ++--+-+-≥=， 当且仅当123x y z -=-=-时，即当13x =，43y =，73z =时，等号成立，故()()()22241233x y z -+-+-≥.4、（1）答案：证明见解析解析：证明：由0a b <<，且0a b c ++=，得0c >，0a b ->->，5.答案：（1）75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）最大值为9，最小值为3解析：（1）当1a =时，不等式()6f x <可化为2216x x ++-<，2316x x <-⎧⎨--<⎩，解得723x -<<-；或12236x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+<⎩，解得122x -≤≤；或12316x x ⎧>⎪⎨⎪+<⎩，解得1523x << 综上可知，不等式的解集为75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()2212222f a a a a a a a -=-++-=-++-当12a -≤<时，()[]2222224133,7a a a a a a -+-+=-+=-+∈， 当23a ≤≤时，[]22224,9a a a a -++-=∈， 故所求最大值为9，最小值为3． 6.答案：(1) {|4x x <-或23x >-}（2）2514解析：(1)当32x -时，2310x x --+->，解得4x <-； 当312x -<<时，2310x x ++->，解得213x -<<；当1x 时，2310x x +-+>，解得1x ，综上，不等式()0f x >的解集为{|4x x <-或23x >-}；（2）()34,2332,124,1x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+⎪⎪⎩可知，当32x =-时，()min 52f x =-，即52m =-，则235a b c ++=，因为()()()222222223123a b c a b c ++++++，所以()2222514a b c ++，即2222514a b c ++a 2+b 2+c 2⩾2514， (当且仅当123a b c==时等号成立)， 故222a b c ++的最小值为25147.答案：（1）1(,1)3；（2）12a -<<.解析：（1）因函数()1f x x =+，()21g x x =-，则()()1|1||21|1f x g x x x ->⇔+-->， 当1x <-时，1211x x --+->，解得3x >，无解， 当112x -≤<时，1211x x ++->，解得13x >，则有1132x <<， 当12x ≥时，1211x x +-+>，解得1x <，则有112x ≤<，综上得：113x <<，所以不等式()()1f x g x ->的解集是1(,1)3.（2）依题意，R x ∀∈，()()22|22||21|2f x g x ax x x ax +>+⇔++->+，当1x ≤-时，3222124x x ax a x ---+>+⇔>--，而34x --在(,1]-∞-上单调递增，当1x =-时，max 3(4)1x--=-，于是得1a >-，当112x -<<时，2221210x x ax ax +-+>+⇔-<，则有110210a a ⎧-≤⎪⎨⎪--≤⎩，解得12a -≤≤，当12x ≥时，1222124x x ax a x ++->+⇔<-+，而14x -+在1[,)2+∞上单调递增，当12x =时，min 1(4)2x -+=，于是得2a <，于是得2a <，综上得12a -<<，所以实数a 的取值范围12a -<<. 8.答案：（1）(,0]-∞（2）见解析解析： （1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-； ②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤； ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅. 综上，不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()22222222228a b c a b a c ab ac ∴++=+++≥+=当且仅当a b c ===. 9.答案：(1) {22}xx -∣(2) 914解析：(1)1,()61216x f x x x -⎧⇔⎨---⎩或11,21216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++⎩或1,22116,x x x ⎧⎪⎨⎪-++⎩ 解得21x --或112x -<<或122x ， 所以22x -，即不等式()6f x 的解集为{22}xx -∣. (2)()()|1||21||1||1||21|2g x f x x x x x x x =++=-++++=-++∣2||21223x x ---=∣，当且仅当(21)(22)0x x -+时取等号，所以min () 3.g x m == 故233a b c ++=.由柯西不等式()()2222222123(23)9a b c a b c ++++++=，整理得222914a b c++， 当且仅当123a b c ==，即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 10.答案：(1) 2{|3x x ≤或2}x ≥(2)见解析解析：(1)由题意，22a b ==时，()2|f x x ≥｜即|22|||x x -≥， 则22|22|||x x -≥，即2384|0x x -+≥ ，解得23x ≤ 或2x ≥ ，故不等式解集为2{|3x x ≤ 或2}x ≥ ；(2)证明：()2|2+=||+||,(0)f x ax bx a x b x a b a-->>＝｜｜｜， 当0x < 时，()2-()22f x ax bx a b x -=-++>=， 当20x a ≤≤时，()2-()2f x ax bx b a x +=-+=，由于0b a -< ，故()22()(0)2b f f x f a a=≤≤=，当2x a > 时，()22-2()2()b f x ax bx a b x f a a +=+->==，综合以上，()2b f x a≥.。

高考数学最新真题专题解析—等式与不等式考向一 基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A. 1x y +≤B. 2x y +≥-C. 222x y +≤D. 221x y +≥ 【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=+++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件 【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解； （3）判断等号成立的条件； （4）利用“1”的合理变换是解题.考向二 线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A. 2-B. 4C. 8D. 12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示， 转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力． 常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。

2024届高考数学复习：专项（利用导数证明不等式）练习一、多选题1．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ） A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<2．下列不等式正确的是（ ） A ．当x ∈R 时，1x e x ≥+ B ．当0x >时，ln 1≤-x x C ．当x ∈R 时，x e ex ≥D ．当x ∈R 时，sin x x ≥3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f >C ．()f x 是R 上的增函数 D ．0t >，则有()()t f x e f x t <+二、解答题4．已知函数()()ln 1f x x =+，()1axg x x =+，若()()()F x f x g x =-最小值为0. （1）求实数a 的值；（2）设n *∈N ，证明：()()()()12>g g g n f n n ++⋅⋅⋅++. 5．已知函数()ln f x x =，()g x x m =-. （1）当0m =时，求函数()()f x yg x =的最大值； （2）设()()()h x f x g x =-，当12x x <，且()()120h x h x ==，求证：()12ln 0em x x m +-+>. 6．已知函数()()xf x xex =∈R ，其中e 为自然对数的底数．（1）当1x >时，证明：()()211ln 231f x x x x x --->-+； （2）设实数1x ，()212x x x ≠是函数()()()2112g x f x a x =-+的两个零点，求实数a 的取值范围．7．已知()x f x e =，当0x ≥时(2)1f x ax ≥+恒成立． （1）求实数a 的取值范围； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求证：223sin x x x xe -≤． 8．已知函数()ln xxf x e a=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若01a <<，求证：()2ln af x a+≥. 9．已知函数21()ln 2f x a x ax =+. (1)若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围.(2)若函数2()()(0)g x f x x =>存在两个极值点12,x x ，记过点1122(,()),(,())P x g x Q x g x 的直线的斜率为k ，证明：1211k x x +>. 10．函数()()11xxf x x e k e =+⋅--.（1）当1k =时，求()f x 的单调区间； （2）当0x >，k 2≤时，证明：()0f x >. 11．已知函数2()2ln 2(1)f x mx x m x =-+-．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≠时，求证：2286ln 3521x x x x x x---<-． 12．函数()2ln a xf x x x=-. （1）若12a =，求()f x 的单调性； （2）当0a >时，若函数()()2g x f x a =-有两个零点，求证：12a >. 13．已知函数()21()xm x xf x e++=．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若0m ≤，证明：()ln ef x x x +≤． 14．已知函数()()ln xf x xe a x x =-+.（1）当0a >时，求()f x 的最小值； （2）若对任意0x >恒有不等式()1f x ≥成立.①求实数a 的值； ②证明：()22ln 2sin xxe x x x >++.15．已知a ＞0，函数21()ln (1)2f x x x x a x =-+-． （1）若f （x ）为减函数，求实数a 的取值范围；（2）当x ＞1时，求证：2e ()e 2aa f x <-．（e ＝2.718…） 16．已知函数()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，()()g x f x '=. （1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ .17．已知函数()2ln f x x x x =--. （1）求证：()0f x ≥；（2）函数()()()()21>0g x f x x a x a =-++，有两个不同的零点1x ，2x .求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<.18．已知函数()()sin 1ln f x a x x =-+，a R ∈.（1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求a 的取值范围； （2）证明：()222111sinsin sin ln 2231n +++<+ . 19．已知函数()ln 21af x x x a x=+--+.（1）若a = -2，求函数f (x )的单调区间；（2）若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，求证12()+()0f x f x <.20．（1）当π02x ≤≤时，求证：sin x x ≥； （2）若1x e kx ≥+对于任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设a >0，求证；函数()1cos ax f x e x -=⋅在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一的极大值点0x ，且()10a f x e ->.参考答案一、多选题1．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ） A ．21a a < B ．1n a > C ．100100S < D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【要点分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数要点分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，要点分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10nn a a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n na a ++>变形可判断结果. 【答案详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB.【名师点睛】易错名师点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 2．下列不等式正确的是（ ） A ．当x ∈R 时，1x e x ≥+ B ．当0x >时，ln 1≤-x x C ．当x ∈R 时，x e ex ≥ D ．当x ∈R 时，sin x x ≥【答案】ABC 【要点分析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确. 【答案详解】对于A ：设()1x f x e x =--，则()1x f x e =-'，令()0f x '=，解得0x =， 当(,0)x ∈-∞时函数单调递减，当(0,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数在0x =时，函数取得最小值()(0)0min f x f ==，故当x ∈R 时，1x e x +…，故A 正确；对于B ：设()ln 1f x x x =-+，所以1(1)()1'--=-=x f x x x， 令()0f x '=，解得1x =，当(0,1)x ∈时，函数单调递增，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递减， 所以在1x =时，max ()f x f =（1）0=，故当0x >时，1lnx x -…恒成立，故B 正确；对于C ：设()x f x e ex =-，所以()x f x e e '=-，令()0f x '=，解得1x =，当(,1)x ∈-∞时，函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以当1x =时，min ()f x f =（1）0=，所以当x ∈R 时，x e ex …，故C 正确；对于D ：设函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-…，所以()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数， 所以0x >时，sin x x …成立，0x <时，()0f x <，故D 错误． 故选：ABC3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f >C ．()f x 是R 上的增函数 D ．0t >，则有()()t f x e f x t <+【答案】AD 【要点分析】由题意得()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，即()xe f x 为增函数，可得()()2019202020192020ef e f <，即可判断,A B ，举出反例可判断C ，根据单调性可判断D. 【答案详解】由()()f x f x '>-，得()()0xxe f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()xe f x 为增函数，故()()2019202020192020ef e f <，所以()()20192020f ef <，故A 正确，B 不正确； 函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如122x x x e e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是增函数，但12x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，所以C 不正确；因为函数()xe f x 为增函数，所以0t >时，有()()xx te f x ef x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确.故选：AD. 【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造函数()xe f x 是解题的关键，属于中档题.二、解答题4．已知函数()()ln 1f x x =+，()1axg x x =+，若()()()F x f x g x =-最小值为0. （1）求实数a 的值；（2）设n *∈N ，证明：()()()()12>g g g n f n n ++⋅⋅⋅++. 【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）由()'0F x =，得1x a =-，讨论当0a ≤时，无最小值.当0a >时， ()()min 1ln 1F x F a a a =-=-+，由ln 10a a -+=可得答案得；（2）由（1）可知1a =，可得()111ln 1>231n n +++⋅⋅⋅++，由（1）可知111ln 1>111n n n n⎛⎫+= ⎪+⎝⎭+，即()1ln 1ln 1n n n +->+，进而可得结论.【答案详解】（1）由已知()()ln 11axF x x x =+-+，定义域为()1,-+∞. ()()()2211'111a x a F x x x x +-=-=+++. 由()'0F x =，得1x a =-.当0a ≤时，()1,∈-+∞x ，()'0F x >在()1,-+∞单调递增无最小值. 当0a >时，()1,a 1x ∈--，()'0F x <；()1,x a ∈-+∞，()'0F x >. 故()()min 1ln 1F x F a a a =-=-+， 令()()ln 1>0x x x x ϕ=-+，()()1'>0xx x xϕ-=. ()0,1∈x ，()'0x ϕ>；()1,∈+∞x ，()'0x ϕ<，()()max 10x ϕϕ==，所以由ln 10a a -+=，得1a =.（2）由（1）可知1a =，此时()()()()12>g g g n f n n ++⋅⋅⋅++ 等价于()111ln 1>231n n +++⋅⋅⋅++， 由（1）可知当0x >时，()ln 11xx x +>+. 故111ln 1>111n n n n⎛⎫+= ⎪+⎝⎭+，即()1ln 1ln 1n n n +->+. 所以()()()()111ln 1ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln >231n n n n +=-+-+⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦+， 故()()()()12>g g g n f n n ++⋅⋅⋅++.【名师点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.5．已知函数()ln f x x =，()g x x m =-.（1）当0m =时，求函数()()f x yg x =的最大值；（2）设()()()h x f x g x =-，当12x x <，且()()120h x h x ==，求证：()12ln 0em x x m +-+>. 【答案】（1）1e；（2）证明见解析. 【要点分析】 （1）当0m =时，()()ln f x x y g x x ==，21ln xy x -'=，由()()f x y g x =的单调性得出函数()()f x y g x =的最大值；（2）由函数()h x 的单调性结合零点个数得出1m >，结合要点分析法要证()12ln 0em x x m +-+>，只需证121mex x em -<<<<，由函数()h x 在(),1m e -上存在唯一零点1x 证明11m e x -<<，由函数()h x 在()1,em 上存在唯一零点2x 证明21x em <<，从而得出()12ln 0em x x m +-+>.【答案详解】解1）当0m =时，()()ln f x x y g x x==，221ln 1ln x x x x y x x ⋅--'==. 当x e >时，0y '<；当0x e <<时，0y '>.∴函数lny x=在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减. ∴max1x e y y e===.（2）由题可知1x ，2x 是函数()ln h x x x m =-+的零点.()111x h x x x-=-=' 当1x >时，()0h x '<；当01x <<时，()0h x '>∴函数()hx 在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减故函数()h x 要有两个零点，必有()110h m =-+>，即1m >. 要证()12ln 0em x x m +-+>，只需证21mx x em e --<-只需证121mex x em -<<<< ①由于1m >，()0,1me-∈，()0m m h e m e m --=--+<，()110h m =-+>∴函数()hx 在(),1m e -上存在唯一零点1x即11mex -<<. ②由（1）知，ln 1x x e ≤，所以ln x x e≤，且当x e =时，取等号 ∴()()()ln 20emh em em em m em m m e e=-+<-+=-<∴函数()hx 在()1,em 上存在唯一零点2x即21x em <<. ③由②③可知①成立，故()12ln 0em x x m +-+>. 【名师点睛】求解本题第（2）问的关键是根据题中条件将证明()12ln 0em x x m +-+>转化为证明121m e x x em -<<<<，然后利用零点存在定理即可求解.6．已知函数()()xf x xex =∈R ，其中e 为自然对数的底数．（1）当1x >时，证明：()()211ln 231f x x x x x --->-+； （2）设实数1x ，()212x x x ≠是函数()()()2112g x f x a x =-+的两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）(),0-∞． 【要点分析】 （1）构造函数()()()11ln 21ln 2111x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-，证明最小值大0即可得解；（2）先求导()()2112xg x xe a x =-+可()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-，分0a =，0a <和0a >进行讨论即可得解. 【答案详解】 （1）设()()()11ln 21ln 2111x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-，∴()112x h x e x -'=+-，∴()121x h x e x-''=-， ∵1x >，∴11x e ->，2101x<<，∴()1210x h x e x -''=->，∴()h x '在()1,+∞上单调递增，又()10h '=，∴1x >时，()()10h x h ''>=，()1ln 21x h x e x x -=+-+在()1,+∞上单调递增，又()10h =，∴1x >时，()()10h x h >=，故当1x >时，()1ln 211f x x x x ->-+--，∴()()211ln 231f x x x x x --->-+．（2）∵()()2112xg x xe a x =-+， ∴()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-，当0a =时，易知函数()g x 只有一个零点，不符合题意． 当0a <时，在(),1-∞-上，()0g x '<，()g x 单调递减； 在()1,-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增； 又()110g e-=-<，()120g e a =->， 不妨取4b <-且()ln b a <-时，()()()2ln 2111120222a g b bea b a b b -⎛⎫>-+=-++> ⎪⎝⎭， [或者考虑：当x →-∞，()g x →+∞]，所以函数()g x 有两个零点，∴0a <符合题意，当0a >时，由()()()10xg x x e a '=+-=得1x =-或ln x a =．（ⅰ）当ln 1a =-，即1a e=时，在(),-∞+∞上，()0g x '≥成立， 故()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． （ⅱ）当ln 1a <-，即10a e<<时，在(),ln a -∞和()1,-+∞上， ()0g x '>，()g x 单调递增；在()ln ,1a -上，()0g x '<，()g x 单调递减； 又()110g e -=-<，且()()()2211ln ln ln 1ln 1022g a a a a a a a =-+=-+<， 所以函数()g x 至多有一个零点()g x ，不符合题意． （ⅲ）当ln 1a >-即1a e>时， 在(),1-∞-和()ln ,a +∞上()0g x '>，()g x 单调递增； 在()1,ln a -上()0g x '<，()g x 单调递减， 以()110g e-=-<，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(),0-∞． 【名师点睛】本题考查了导数的应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造法证明不等式以及分类讨论求参数范围，要求较高的计算能力，属于难题. 解决本类问题的方法有以下几点：（1）证明题常常利用构造法，通过构造函数来证明；（2）分类讨论解决含参问题，是导数压轴题常考题型，在讨论时重点是找到讨论点.7．已知()x f x e =，当0x ≥时(2)1f x ax ≥+恒成立． （1）求实数a 的取值范围； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求证：223sin x x x xe -≤．【答案】（1）2a ≤；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）移项构造函数，求导后分类讨论.（2）利用（1）的结论构造新函数，求导后构造新函数再求导寻找极值点即可. 【答案详解】（1）(2)1f x ax ≥+即210x e ax --≥恒成立， 令2()1(0)x h x e ax x =--≥，则2()2x h x e a '=-当2a ≤时()0h x '≥，则()h x 在[)0,+∞是增函数，(0)0h =，()0h x ∴≥成立． 当2a >时，0x ∃使()00h x '=()00,x x ∈，()0h x '<，()h x 为减函数，()0,x x ∈+∞，()0h x '>，()h x 为增函数．所以()0(0)0h x h <=不合题意． 所以2a ≤．（2）由（1）得当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时221x e x ≥+，所以要证223sin x x x xe -≤只要证23sin (21)x x x x -≤+ 即证：2sin 0x x x --≤，设2()sin h x x x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()21cos h x x x '=--，()2sin 0h x x ''=+>所以()h x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数， (0)2h '=-，102h ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使()00h x '=．故[)00,x x ∈时，()0h x '<，则()h x 为减函数，0,2x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()0h x '>则()h x 为增函数(0)0h =，2224144202h πππππ--⎛⎫=--=< ⎪⎝⎭，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0≤h x ，故命题成立．【名师点睛】此题为导数综合题，属于难题.方法名师点睛：利用导数求参数范围方法：（1）变量分离，构造函数，转化为恒成立问题处理，求导数进步求新函数的最值. （2）移项后，构造函数，求导讨论函数的单调性及极值.8．已知函数()ln xxf x e a=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若01a <<，求证：()2ln af x a+≥. 【答案】（1）()11y e x =-+；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）首先求导得到()()10x f x e x x'=->，从而得到1k e =-，再利用点斜式求切线方程即可. （2）首先求导得到()111xx f x e xe ax x a ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，根据x y xe =在()0,∞+上单调递增，且()0,y ∈+∞，且11a>，得到存在唯一()00x ∈+∞,，使得0010x x e a -=，再根据函数()f x 的单调性得到()min f x ，利用基本不等式即可证明()2ln af x a+≥. 【答案详解】（1）当1a =时，()()()1ln 0xxf x e x f x e x x'=-⇒=->. ∴()11k f e '==-，又()1f e =，∴()f x 在点A 处的切线方程为()()11y e e x -=--，即()11y e x =-+.（2）()()()ln 1110xx x x f x e f x e xe x a ax x a ⎛⎫'=-⇒=-=-> ⎪⎝⎭， 易知x y xe =在()0,∞+上单调递增，且()0,y ∈+∞， 又1011a a<<⇒>， ∴存在唯一()00x ∈+∞,，使得0010x x e a-=，即0001ln ln x e x x a ax =⇔=--.当00x x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当0x x >时，()0f x '>，()f x 为增函数.∴()()00000min 00ln 1ln 11ln x x x a f x f x e x a a ax a a a x ⎛⎫==-=++=++ ⎪⎝⎭2l ln n 1a a a a ⎛⎫≥+ = +⎪⎪⎝⎭. 当且仅当001x x =，即01x =时，等号成立. ∴当01a <<时，()2ln af x a+≥. 【名师点睛】关键点名师点睛：本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键为找到导函数的隐藏零点，属于中档题.9．已知函数21()ln 2f x a x ax =+. (1)若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围.(2)若函数2()()(0)g x f x x =>存在两个极值点12,x x ，记过点1122(,()),(,())P x g x Q x g x 的直线的斜率为k ，证明：1211k x x +>. 【答案】（1）0a <；（2）证明见解析. 【要点分析】 （1n =，则0n >.令22()2n an n a φ=-+，解不等式组0,(0)0,a φ<⎧⎨>⎩即得解；（2）只需证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，设12(01)xt t x =<<，函数21()2ln m t a t t t =-+，证明121()0()2m t x x >>-即得证. 【答案详解】(1)解：222'()222a a ax a f x x x x-+=+-=，(0,)x ∈+∞n =，则0n >.令22()2n an n a φ=-+，要使函数()f x 只有一个极值点，则需满足0,(0)0,a φ<⎧⎨>⎩，即0a <；(2)证明：因为2221()()2ln 2g x f x a x ax x ==+-， 所以22222'()1a ax x a g x ax x x -+=+-=，因为()g x 存在两个极值点，所以30,180,a a >⎧⎨->⎩即102a << 不妨假设120x x <<，则121x x a+=要证1211k x x +>，即要证121212()()11g x g x x x x x -+>-， 只需证121212121221()()()()x x x x x x g x g x x x x x -+->=-，只需证221112121212222111()[()2]2()222x x x x x x a x x a ln x x a ln x x x x -+-+=--+>-， 即证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-设12(01)x t t x =<<，函数21()2ln m t a t t t =-+，22221'()t a t m t t-+=- 因为102a <<，故4440a -<，所以22210t a t -+>，即'()0m t <， 故()m t 在(0,1)上单调递减，则()(1)0m t m >= 又因为121()02x x -<，所以121()0()2m t x x >>-，即21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，从而1211k x x +>得证. 【名师点睛】关键点名师点睛：解答本题的关键是通过要点分析得到只需证明21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-.对于比较复杂的问题，我们可以通过要点分析把问题转化，再证明，提高解题效率.10．函数()()11xxf x x e k e =+⋅--.（1）当1k =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x >，k 2≤时，证明：()0f x >.【答案】（1）单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）由1k =得到()()11xxf x x e e =+⋅-- 求导由()0f x '>， ()0f x '<求解.（2）求导()()1xf x e x k '=⋅--⎡⎤⎣⎦，分1k ≤，12k <≤讨论求解.【答案详解】（1）当1k =时，()()11xxf x x e e =+⋅-- ，.所以()x f x x e '=⋅当()0f x '>时，0x >； 当()0f x '<时，0x <.所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+. （2）因为()()11xxf x x e k e =+⋅--，所以()()1xf x e x k '=⋅--⎡⎤⎣⎦.①当1k≤，0x >时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，所以()()0f x f >，而()010f =>，所以()0f x >恒成立；②12k <≤，0x >时，由()0f x '>可得1x k >-；由()0f x '<可得01x k <<-.所以()f x 在()0,1k -单调递减，在()1,k -+∞单调递增，所以()()1min 11k f x f k k e -=-=+-.设()1112()x g x x ex -=+-<≤，则()110x g x e -'=-<，所以()g x 在(]1,2单调递减， 故()()min 230g x g e ==->，所以()min 110k f x k e -=+->，从而()0f x >.综上，当0x >，k 2≤时，()0f x >. 【名师点睛】方法名师点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2、利用导数证明不等式常构造函数φ(x )，将不等式转化为φ(x )＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x )的单调性、最值，判定φ(x )与0的关系，从而证明不等式.11．已知函数2()2ln 2(1)f x mx x m x =-+-． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≠时，求证：2286ln 3521x x x x x x---<-． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【要点分析】（1）先求导，分为0m ≥，1m =-，1m <-和10m -<<四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）等价于3226(1ln )23501x x x x x-+--<-，令()()3261ln 235h x x x x x =-+--，利用当2m =时的结论，根据导数判断()h x 与0的关系，即可证明. 【答案详解】解：()f x 的定义域为(0,)+∞，则22(1)1(1)(1)()22(1)22mx m x mx x f x mx m x x x+--+-'=-+-=⋅=⋅， 当0m …时，10mx +>，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， ∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当0m <时，令()0f x '=，解得1x =或1x m=-， 当1m =-时，2(1)()2?0x f x x-'=-…恒成立，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，101m<-<， 当1(0,x m ∈-或(1,)+∞时，()0f x '<，当1(x m∈-，1)时，()0f x '>， ∴函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -或(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<，11m ->，当(0,1)x ∈或1(m -，)+∞时，()0f x '<，当1(1,x m∈-时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,m．综上所述：当0m …时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞， 当1m =-时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -，(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)， 当10m -<<时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,)m．（2） 证明：要证2286ln 3521x x x x x x ---<-，即证3226(1ln )23501x x x x x -+--<-， 令32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，则22()66ln 6663(22ln 2)h x x x x x x x '=--+-=--， 由（1），当2m =时，2()22ln 2f x x x x =--， 可得()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，即()h x '的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，()h x h ∴''…（1）0=， ()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，h （1）6(1ln1)2350=-+--=，∴当01x <<时，()0h x <，210x ->，当1x >时，()0h x >，210x -<，∴3226(1)23501x lnx x x x -+--<-， 即22863521x xlnx x x x---<-． 【名师点睛】含有参数的函数单调性讨论常见的形式： （1）对二次项系数的符号进行讨论； （2）导函数是否有零点进行讨论； （3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.12．函数()2ln a xf x x x=-. （1）若12a =，求()f x 的单调性； （2）当0a >时，若函数()()2g x f x a =-有两个零点，求证：12a >. 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）求导得()2221ln 1ln 1x x x f x x x--+'=-=，设()21ln x x x ϕ=-+，利用导数可得()x ϕ的单调性，并可得()x ϕ的零点，即可求出()f x 的单调性；（2）由函数()g x 有两个零点，所以()()22ln 20h x x a x ax x =-->，即()0h x =有两个不等实根，利用导数求得()h x 的单调性，结合题意可得201x a x =+，求出0x 的范围，利用对勾函数的单调性即可证明. 【答案详解】 （1）因为()ln xf x x x=-，（0x >）， 所以()2221ln 1ln 1x x xf x x x--+'=-=. 设()21ln x x x ϕ=-+，则()120x x xϕ'=+>，所以()x ϕ在()0,∞+单调递增，又因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，()f x 单调递增. 综上，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. （2）证明：因为函数()()2ln 20a xg x x a x x=-->有两个零点， 所以方程22ln 20x a x ax --=有两个不等实根.设()()22ln 20h x x a x ax x =-->，即()0h x =有两个不等实根，则()()22222220a x ax ah x x a x x x--'=--=>.设()()22220m x x ax a x =-->，则由0a >可知24160a a ∆=+>，而()2222m x x ax a =--的对称轴方程为2ax =，且()020m a =-<， 所以存在()00x ∈+∞,使得()20002220m x x ax a =--=，即2001x a x =+，且当()00,x x ∈时，()0m x <，则()0h x '<，所以()h x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0m x >，则()0h x '>，所以()h x 单调递增.因为()0h x =有两个不等实根，所以必有()00h x <，即20002ln 20x a x ax --<.将2001x a x =+，代入整理可得0012ln 0x x --<.设()()12ln 0m x x x x =-->，则易得()m x 在()0,∞+上单调递减， 又()10m =，所以01x >，结合对勾函数1y t t=+在()2,+∞单调递增可知200001112112x a x x x ==++->++， 即12a >成立，命题得证. 【名师点睛】解题的关键是利用导数判断函数的单调性，当导函数无法直接判断正负时，可构造新函数，并继续求导，即可求出导函数的单调性和极值，进而可得导函数的正负，即原函数的单调性，考查要点分析理解，化简求值的能力，属中档题.13．已知函数()21()xm x xf x e++=．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若0m ≤，证明：()ln ef x x x +≤． 【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）对函数进行求导得(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-，再对m 分三种情况讨论，即0m =，0m >，0m <三种情况；（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，再利用函数的单调性，即可得证； 【答案详解】解析：（1）因为(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-， ①当0m =时，1()xx f x e-=-'，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当0m >时，1(1)11(),11x m x x m f x e m'⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--<， 当11,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,1(1,)x m ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在11,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,1,(1,)m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递减； ③当0m <时，111m ->，当11,1x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1(,1)1,x m ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在11,1m ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在1(,1),1,m ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭单调递增． （2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-， 而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，当0m =时，()x xf x e =，由（1）知()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max1()(1)f x f e==； 当0m <时，()211()xx m x xx f x e e e++=<≤，故()ln ef x x x +≤． 【名师点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.14．已知函数()()ln xf x xe a x x =-+.（1）当0a >时，求()f x 的最小值； （2）若对任意0x >恒有不等式()1f x ≥成立.①求实数a 的值； ②证明：()22ln 2sin xxe x x x >++.【答案】（1）ln a a a -；（2）①1；②证明见解析. 【要点分析】（1）求出函数()f x 的定义域，对函数求导，令0x xe a -=，构造()xg x xe =，利用导数研究函数的单调性与实根个数，进而得出()f x 的单调性和最值；（2）①当0a ≤时，()f x 单调递增，()f x 值域为R ，不适合题意；当0a >时，构造()()ln 0a a a a a ϕ=->，求导得出函数的最大值，可得实数a 的值；②由①可知ln 1xxe x x --≥，因此只需证：22ln 2sin x x x x +>+，只需证2222sin x x x x +>-+，即222sin x x x -+>，按1x >和01x <≤分别证明即可． 【答案详解】（1）法一：()f x 的定义域为()0,∞+，由题意()()()11x xa xe a f x x e x x x ⎛⎫-⎛⎫'=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x xe a -=，得x a xe =， 令()xg x xe =，()()10x x x g x e xe x e '=+=+>，所以()g x 在()0,x ∈+∞上为增函数，且()00g =， 所以x a xe =有唯一实根，即()0f x '=有唯一实根，设为0x ， 即00xa x e =，所以()f x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， 所以()()()00000min ln ln xf x f x x e a x x a a a ==-+=-.法二：()()()()ln ln ln 0xe x xf x x a x x e a x x x +=-+=-+>.设ln t x x =+，则t R ∈.记()()tt e at t R ϕ=-∈.故()f x 最小值即为()t ϕ最小值.()()0t t e a a ϕ'=->，当(),ln t a =-∞时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减， 当()ln ,t a ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增， 所以()()ln min ln ln ln af x a ea a a a a ϕ==-=-，所以()f x 的最小值为ln a a a -.（2）①当0a ≤时，()f x 单调递增，()f x 值域为R ，不适合题意，当0a >时，由（1）可知()min ln f x a a a =-， 设()()ln 0a a a a a ϕ=->， 所以()ln a a ϕ'=-，当()0,1a ∈时，()0a ϕ'>，()a ϕ单调递增， 当()1,a ∈+∞时，()0a ϕ'<，()a ϕ单调递减， 所以()()max 11a ϕϕ==，即ln 1a a a -≤. 由已知，()1f x ≥恒成立，所以ln 1a a a -≥， 所以ln 1a a a -=， 所以1a =.②由①可知ln 1xxe x x --≥，因此只需证：22ln 2sin x x x x +>+，又因为ln 1≤-x x ，只需证2222sin x x x x +>-+，即222sin x x x -+>，当1x >时，2222sin x x x -+>≥结论成立， 当(]0,1x ∈时，设()222sin g x x x x =-+-，()212cos g x x x '=--，当(]0,1x ∈时，()g x '显然单调递增.()()112cos10g x g ''≤=-<，故()g x 单调递减， ()()122sin10g x g ≥=->，即222sin x x x -+>. 综上结论成立. 【名师点睛】方法名师点睛：本题考查导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及导数证明不等式，导数对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题：1.()f x m >恒成立min ()f x m ⇔>；2.()f x m <恒成立max ()f x m ⇔<. 15．已知a ＞0，函数21()ln (1)2f x x x x a x =-+-． （1）若f （x ）为减函数，求实数a 的取值范围；（2）当x ＞1时，求证：2e ()e 2aa f x <-．（e ＝2.718…） 【答案】（1）0＜a ≤1；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）根据题意可得在()0+∞，上，()0f x '≤恒成立，即ln 0x x a -+≤恒成立，设()ln g x x x a =-+，求导数要点分析()g x 的单调性，使得()max 0g x ≤，即可得结果；（2）当0＜a ≤1时，可得()12f x <-，2e 1e 22a a ->-；当1a >时，先得()f x '在()1,+∞ 上单调递减，()10f '>，得出存在0x ，使得()01,x 上单调递增，在()0+x ∞，上单调递减，进而()20001()2f x f x x x ≤=-，结合函数21()2F x x x =-的单调性可得结果. 【答案详解】（1）解：由题意知f （x ）的定义域为（0，＋∞），f '（x ）＝ln x -x ＋a ， 由f （x ）为减函数可知f '（x ）≤0恒成立． 设g （x ）＝ln x -x ＋a ，1'1()g x x=-， 令g '（x ）＝0得x ＝1，当x ∈（0，1）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增，即f '（x ）单调递增； 当x ∈（1，＋∞）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，即f '（x ）单调递减． 故f '（x ）≤f '（1）＝-1＋a ≤0，因此0＜a ≤1．（2）证明：由（1）知，当0＜a ≤1时，f （x ）为减函数，所以3()(1)2f x f a <=-， 又0＜a ≤1，3122a -≤-． 设2e e 2a ay =-，e a ＝t ，则22t y t =-，t ∈（1，e ]． 又22t y t =-在区间（1，e ]上单调递增，所以11122y >-=-，故231e ()(1)e 222a af x f a <=-≤-<-，所以当0＜a ≤1时，2e ()e 2a a f x <-．当a ＞1时，由（1）知，当x ∈（1，＋∞）时，f '（x ）单调递减，且f '（1）＝a -1＞0．f '（e a ）＝2a -e a ，令h （x ）＝2x -e x ，h '（x ）＝2-e x，当x ＞1时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，故h （a ）＝2a -e a＜h （1）＝2-e ＜0， 又e a＞1，f '（x ）在（1，＋∞）上单调递减，故存在x 0∈（1，e a），使得f '（x 0）＝0，即f '（x 0）＝ln x 0-x 0＋a ＝0，即a ＝x 0-ln x 0， 因此有f （x ）在（1，x 0）上单调递增，在（x 0，＋∞）上单调递减， 故2000001()()ln (1)2f x f x x x x a x ≤=-+-， 将a ＝x 0-ln x 0代入，得20001()2f x x x =-． 因为函数21()2F x x x =-在（1，＋∞）上单调递增， 所以20e ()(e )e 2a aaF x F <=-，即20e ()e 2a a f x <-， 故20e ()()e 2aa f x f x ≤<-成立。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习6 等式性质与不等式性质一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（）A ．41000.5x ⨯≥ B ．41000.5x ⨯≤ C ．41000.5x ⨯> D ．41000.5x ⨯< 【答案】C 【解析】导火索燃烧的时间0.5x 秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⨯m ． 由题意可得41000.5x ⨯>． 故选：C.2．下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A ．若x =y ，则x +5=y +5B ．若a =b ，则ac =bcC ．若a b c c=，则a =b D ．若x =y ，则x y a a = 【答案】D【解析】对于选项A ，由等式的性质知，若x =y ，则x +5=y +5，A 正确；对于选项B ，由等式的性质知，若a =b ，则ac =bc ，B 正确；对于选项C ，由等式的性质知，若a b c c=，则a =b ，C 正确； 对于选项D ，由等式的性质知，若x =y ，则x y a a =的前提条件为a ≠0，D 错误． 故选：D3．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（）A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝0【答案】B【解析】a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴ a ＝1时，等号成立．故选：B.4．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（）A ．4a b >B ．()(4200)4a b ++=C ．4(4)(4)200a b a b >⎧⎨++=⎩D ．44200a b ab >⎧⎨=⎩【答案】C 【解析】解：由题意知4a b >，根据面积公式可以得到()(4200)4a b ++=.故选:C ．5．若a ，b ，R c ∈，a b >，则下列不等式恒成立的是（）A ．11a b <B ．22a b >C ．a c b c >D ．2211a b c c >++ 【答案】D【解析】解：对于A ，若0a b >>，则11a b>，故A 错误； 对于B ，取1a =，2b =-，则22a b <，故B 错误．对于C ，若0c 时，||||a c b c =，故C 错误；对于D ，因为211c +>，所以2101c >+，又a b >，所以2211a b c c >++，故D 正确； 故选：D ．6．设A ＝12x x ++，B ＝34x x ++，则A 与B 的大小关系是（） A ．A <BB ．A >BC ．仅有x >0时，A <BD ．以上结论都不成立【答案】D【解析】A －B ＝12x x ++－34x x ++＝()()224x x -++，令A －B <0，得x <－4或x >－2，令A －B >0，得－4<x <－2，所以A ，B 的大小不确定．故选：D7．若0a b <<，则下列不等式错误的是（）.A ．11a b> B ．11a b a >- C ．||||a b >D ．22a b >【答案】B【解析】解：对A ，0a b <<，11a b ∴>，故A 正确；对B ，0a b <<，0b ∴->，即0a a b <-<，11a a b∴>-，故B 错误； 对C ，0a b <<，0a b ∴->->，即||||a b ->-，即||||a b >，故C 正确，对D ，0a b <<，0a b ∴->->，即22()()a b ->-，即22a b >，故D 正确.故选：B.8．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（）A ．a ＋c ≥b －cB ．ac >bcC ．2c a b- >0 D ．(a －b )c 2≥0 【答案】D【解析】解：由a ，b ，R c ∈，且a b >，可取2a =，1b =，3c =-，可得a b b c +<-，故A 错误； 由0c ，可得22ac bc =，故B 错误；由0c ，2a =，1b =，可得20c a b=-，故C 错误； 由a b >，可得0a b ->，20c ，即有2()0a b c -，故D 正确．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．设01b a <<<，则下列不等式不成立的是（）A ．ab <b 2<1B <1C ．1<11a b <D ．a 2<ab <1【答案】ABD 【解析】对于A ，取11,23a b ==，则21169ab b =>=，所以A 错误，对于B ，取11,49a b ==1123=>=，所以B 错误， 对于C ，因为01b a <<<，所以10ab>，所以11b a ab ab ⋅<⋅，即11a b <， 因为01a <<，所以1101a a a <⋅<⨯，即11a <，综上111a b<<，所以C 正确， 对于D ，取11,23a b ==，则21164ab a =<=，所以D 错误， 故选：ABD 10．下列说法中正确的是（）A ．若a >b ，则2211a b c c >++ B ．若-2<a <3，1<b <2，则-3<a -b <1C ．若a >b >0，m >0，则m m a b< D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd【答案】AC【解析】对于A ，因c 2+1>0，于是有211c +>0，而a >b ，由不等式性质得2211a b c c >++，A 正确； 对于B ，因为1<b <2，所以-2<-b <-1，同向不等式相加得-4<a -b <2，B 错误；对于C ，因为a >b >0，所以11a b <，又因为m >0，所以m m a b<，C 正确； 对于D ，12->-且23->-，而(1)(2)(2)(3)-⋅-<--，即ac >bd 不一定成立，D 错误.故选：AC11．已知,,a b c ∈R ，若a b c >>，且230a b c ++=，则下列不等关系正确的是（）A ．ac bc <B ．a b c b >C ．c c a c b c >--D ．()2a bc a b c +>+【答案】ACD【解析】230a b c ++=，a b c >>，0c ∴<，0a >，对于A ，a b >，0c <，ac bc ∴<，A 正确；对于B ，当0b =时，满足a b c >>，此时0a b c b ==，B 错误；对于C ，a b c >>，0a c b c ∴->->，11a c b c ∴<--，又0c <，c c a c b c∴>--，C 正确； 对于D ，a b >，0a b ∴->，()()a a b c a b ∴->-，即2a ab ac bc ->-，整理可得：()2a bc ac ab a b c +>+=+，D 正确.故选：ACD.12．若110a b<<，则下列结论中正确的是（） A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 【答案】ABC 【解析】解：因为110a b<<，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，所以A ，B ，C 均正确，因为b <a <0，所以|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题．13．若1212a a b b <<，，则1122a b a b +________1221a b a b +．（填：>、<、=）【答案】>【解析】11221221(+)a b a b a b a b +-112221(-)+=(-)a b b a b b1212=(-)(-)b b a a ，∵1212a a b b <<，，∴1212--00b b a a <<，，即1212(-)()0-b b a a >，∴11221221++a b a b a b a b >．故答案为：>14．已知24a <<，35b <<，那么2M a b =+的取值范围是________. 【答案】{}713M M <<【解析】由已知可得428a <<，又因为35b <<，所以，7213a b <+<.因此，2M a b =+的取值范围是{}713M M <<. 故答案为：{}713M M <<.15．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g ，4g ，3g ，乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4g ，5g ，5g ．已知每天使用原料分别为奶粉3600g 、咖啡2000g 、糖3000g ，设每天配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，则满足上述所有不等关系的不等式组为________________．【答案】943600452000353000x y x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，，，， 【解析】设每天配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，其中每天使用原料分别为奶粉3600g 、咖啡2000g 、糖3000g ，可得所有不等关系的不等式组为943600452000353000x y x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩. 故答案为：943600452000353000x y x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩. 16．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是___________.【答案】②③【解析】①当c 2=0时不成立；②因为0a b >≥，所以22a b >，即22a b >，所以②一定成立；③当a >b 时，3322()()a b a b a ab b -=-++223()24b a b a b ⎡⎤⎛⎫=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0成立； ④当b <0时，不一定成立.如：|2|>-3，但22<（-3）2.故答案为：②③.四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．比较大小.（1）比较221x y ++与()21x y +-的大小；（2）0a b >>，0m >，比较a b 与a m b m++的大小. 【答案】（1）()22121x y x y ++>+-；（2）a a m b b m+>+. 【解析】（1）因为()()()()2222211111x y x y x y ++-=-+--++，又()()2210,10x y -≥-≥，所以()()222101x y x y +--++>， 所以()22121x y x y ++>+-；（2）因为()()()()ab am ab bm a b m a m b m b b m b b b m a +-+-+==+-++， 又0a b >>，0m >， 所以()()0a b m a m b m b b m a b --+=>++， 所以a a m b b m+>+. 18．设a b c >>，求证：222222bc ca ab b c c a a b ++<++．【答案】证明见解析【解析】()()()()()()()()()()22222222220.bc ca ab b c c a a bb c a b a c ac a c b a c c a b c a ac c a c a c b b a ++---=-+-+-=+-----=---<19．已知a >b >0，c <d <0，比较b ac -与a bd -的大小． 【答案】a b b d a c >--. 【解析】∵c <d <0，∴－c >－d >0．又a >b >0，∴a －c >b －d >0， ∴110b d a c>>--， 又a >b >0，∴a b b d a c>--. 20．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初高中班级数量)所满足的条件是什么？【答案】203028581800x y x y ≤+≤⎧⎨+≤⎩，． 【解析】设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有203028581800x y x y ≤+≤⎧⎨+≤⎩，． 21．（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c d d+； （2）已知a >b >c ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a >ab 2＋bc 2＋ca 2．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明（1）∵bc －ad ≥0，bd >0，∴bc ≥ad ，1bd>0， ∴c d ≥a b ，∴c d＋1≥a b ＋1，即c d d +≥a b b +，即a b b +≤c d d +． （2）a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2)＝(a 2b －bc 2)＋(b 2c －ab 2)＋(c 2a －ca 2)＝b (a 2－c 2)＋b 2(c －a )＋ca (c －a )＝(c －a )(b 2＋ca －ba －bc )＝(c －a )(c －b )(a －b )．∵a >b >c ，∴c －a <0，c －b <0，a －b >0，∴(c －a )(c －b )(a －b )>0，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2)>0， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a >ab 2＋bc 2＋ca 2．22．（1）已知a ，b 均为正实数．试比较33+a b 与22a b ab +的大小； （2）已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 【答案】（1）3322a b a b ab ++，（2）当0a =时，111a a =+-；当1a <且0a ≠时，111a a >+-；当1a >时，111a a <+-． 【解析】（1）a ，b 均为正实数，332222222()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b ∴+--=---=--=-+， 即3322a b a b ab ++，（2）21(1)11a a a a-+=--． ①当0a =时，201a a=-，∴111a a =+-． ②当1a <且0a ≠时，201a a>-，∴111a a >+-． ③当1a >时，201a a<-，∴111a a <+-． 综上所述，当0a =时，111a a=+-； 当1a <且0a ≠时，111a a>+-； 当1a >时，111a a<+-．。

专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）1. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元2. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m3. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( )A. ab 的最大值为14 B. a 2+b 2的最小值为12 C. 4a +1b 的最小值为9D. √a +√b 的最小值为√24. 已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式2x +m y≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,√2]D. (0,2]5. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d =mk ，其中d 是距离(单位，m 是质量(单位，k 是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k 1，k 2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足1k =1k 1+1k 2，并联时得到的弹簧系数k 满足k =k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()A. B. C. D.6.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x2+y2)3=16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④7.若正实数x，y满足log2(x+3y)=log4x2+log2(2y)，则3x+y的最小值是()A. 12B. 6C. 16D. 88.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为()A. 4√5B. 4√15C. 8√5D. 8√159.函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√210. 已知关于x 的不等式x 2−4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2)，则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A. √63B. −2√33 C. 4√33D. −4√3311. 已知关于x 的不等式1a x 2+6x +c <0(ab >1)的解集为⌀，则T =12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 412. 已知函数f(x)=e kk lnx +1x−x ，k ∈(0,+∞)，曲线y =f(x)上总存在两点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)使曲线y =f(x)在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1·x 2的取值范围是( )A. [2e ,+∞)B. [4e 2,+∞)C. (2e ,+∞)D. (4e 2,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30分）13. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则1a+1+4b+1的最小值为______．14. 壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a 米和b 米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元．15. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tanB =2tanA ，则1tan B +1tan C 的最小值为 ．16. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______．17. 设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0，则当xy z 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值是 ．18.已知a >2b(a,b ∈R)，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞)，则a 2+4b 2a−2b的最小值为______．三、解答题（本大题共1小题，共10分） 19．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集； （2）若f （1）4=，1b >-，求1||||1a ab ++的最小值．专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）18. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元【答案】B【解析】解：设水池池底的一边长为xm ，则另一边长为4x m ， 则总造价y =4×120+80×(2x +2⋅4x )×2=480+320(x +4x )⩾480+320×2√x ⋅4x =1760(元)． 当且仅当x =4x ，即x =2时，y 取最小值为1760． 所以水池的最低造价为1760元． 故选B ．19. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m【答案】B【解析】解：设BC =xm ，知AB =1000xm ，∴整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积为S =(x +10)(1000x+4)=1040+4x +10000x≥1040+2√4x ·10000x=1440．当且仅当4x =10000x，即x =50时取等号．∴当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为50 m ． 故选B ．20. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( ) A. ab 的最大值为14 B. a 2+b 2的最小值为12 C. 4a +1b 的最小值为9D. √a +√b 的最小值为√2【答案】D【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析： 对A ，因为正实数a ，b 满足a +b =1，所以1=a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b =12时等号成立， 所以ab ≤14，当且仅当a =b =12时等号成立， 故ab 有最大值14，故A 正确;对B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =1，所以a 2+b 2=1−2ab ≥1−2×14=12，当且仅当a =b =12时等号成立，所以a2+b2有最小值12，故B正确．对C，利用基本不等式，有4a +1b=(4a+1b)(a+b)=4ba+ab+5⩾2√4ba·ab+5=9，当且仅当{a+b=1 4ba=ab,即a=23, b=13时等号成立，故1a +1b有最小值9，故C正确；对D，由题意，得(√a+√b)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+2√14=2，故√a+√b≤√2，当且仅当a=b=12时等号成立，即√a+√b有最大值√2，故D错误．故选D．21.已知m>0，xy>0，当x+y=2时，不等式2x +my≥4恒成立，则m的取值范围是()A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,√2]D. (0,2]【答案】B【解析】解：∵m>0，xy>0，x+y=2，∴2x+m y=12(x+y)(2x+m y)=12(m+2+2y x+mx y )≥12(m+2+2√2yx⋅mxy)=12(m+2+2√2m)，当且仅当2yx=mxy时取等号，∵不等式2x +my≥4恒成立，∴12(m+2+2√2m)≥4，整理得(√m+3√2)(√m−√2)≥0，解得√m≥√2，即m≥2，∴m的取值范围为[2,+∞)．故选：B．22.在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=mk，其中d是距离(单位，m是质量(单位，k是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k =1k1+1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：根据题意可得，串联时k=md =101=10，∵1k =1k1+1k2=k1+k2k1k2，∴k=k1k2k1+k2，∴串联时，k=k1k2k1+k2=10；并联时，k′=k1+k2，弹簧拉伸的最大距离为d′=m k′=mk1+k2，要想d′取得最大值，则k′取最小值，k′=k1+k2≥2√k1k2，当且仅当k1=k2时，取等号，当k1=k2时，由k1k2k1+k2=10得，k1=k2=20，∴此时k′=k1+k2=40，∴d′=mk′=1040=14(cm)，则并联时弹簧拉伸的最大距离为14cm，故选A．23.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x 2+y 2)3=16x 2y 2(xy <0)表示的曲线C 在第二象限和第四象限 其中正确结论的序号是A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】B【解析】解： (x 2+y 2)3=16x 2y 2≤16(x 2+y 22)2,解得x 2+y 2≤4(当且仅当x 2=y 2=2时取等号)则(2)正确；将x 2+y 2=4和(x 2+y 2)3=16x 2y 2联立，解得x 2=y 2=2即圆x 2+y 2=4与曲线 相切于点(√2,√2),(−√2,√2),(−√2,−√2),(√2,−√2)则(1)和(3)错误； 由xy <0得(4)正确； 故选B ．24. 若正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)，则3x +y 的最小值是( ) A. 12B. 6C. 16D. 8【答案】D【解析】解：∵正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)， ∴(x +3y)2=x 2(2y)2，整理，得x +3y =2xy ， ∴1y +3x =2，∴3x +y =12(3x +y)(1y +3x )=12(10+3x y+3yx)≥12(10+6)=8， 当且仅当x =y 时取等号． 故选D ．25. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a +b =12，c =8，则此三角形面积的最大值为( )A. 4√5B. 4√15C. 8√5D. 8√15【答案】C【解答】解：由题意，得p =10， 所以S =√p(p −a)(p −b)(p −c) =√20(10−a)(10−b)≤√20⋅10−a+10−b2=8√5，当且仅当10−a =10−b ，即a =b =6时等号成立，所以此三角形面积的最大值为8√5．故选C．26.函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√2【答案】B【解析】解：函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，可得f(−x)+2g(−x)=e−x，即f(x)−2g(x)=e−x，解得f(x)=12(e x+e−x)，g(x)=14(e x−e−x)，由x∈(0,2]，可得e x∈(1,e2]，由t=e x−e−x在x∈(0,2]递增，可得t∈(0,e2−e−2]，存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，即存在x∈(0,2]，不等式12(e2x+e−2x)−m⋅14(e x−e−x)≤0即m≥2(e2x+e−2x)e x−e−x成立，可得12m≥t2+2t，由t2+2t=t+2t≥2√2，当且仅当t=√2时，取得等号，即有12m≥2√2，可得m≥4√2，即m的最小值为4√2．故选：B．27.已知关于x的不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，则x1+x2+ax1x2的最大值是()A. √63B. −2√33C. 4√33D. −4√33【答案】D【解析】解：不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，根据韦达定理，可得：x1x2=3a2，x1+x2=4a，那么：x1+x2+a x1x2=4a+13a．∵a<0，∴−(4a+13a )≥2√(−4a)×(−13a)=4√33，即4a+13a ≤−4√33，故x1+x2+a x1x2的最大值为−4√33．故选：D．28.已知关于x的不等式1a x2+6x+c<0(ab>1)的解集为⌀，则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为()A. √3B. 2C. 2√3D. 4【答案】D【解析】解：由题意得：1a >0，b2−4ca≤0，得c≥ab24．∴T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1≥1+2ab+a2b22(ab−1)，令ab−1=m，则m>0，所以T≥1+2(m+1)+(m+1)22m =m2+2m+2≥4.则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为4．故选D．29.已知函数f(x)=e kk lnx+1x−x，k∈(0,+∞)，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1·x2的取值范围是()A. [2e ,+∞) B. [4e2,+∞) C. (2e,+∞) D. (4e2,+∞)【答案】D【解析】解：f′(x)=e kkx −1x2−1(x>0,k>0)，由题意知，f′(x1)=f′(x2)，即e kk ·1x1−1x12=e kk·1x2−1x22，∴e kk (1x1−1x2)=1x12−1x22，∴e kk =1x1+1x2=x1+x2x1x2>√x x，(等号取不到)√x1x2>2ke k恒成立，令g(k)=2ke k ，g′(k)=2−2ke k，令g′(k)=0，得k=1，故有g(k)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上递减，则有g(k)≤g(1)，故g(k)⩽g(1)=2e ，√x1x2>2e，x1x2>4e2，故选D．二、单空题（本大题共6小题，共30分）30. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则1a+1+4b+1的最小值为______．【答案】94【解析】解：正数a ，b 满足a +b =2，则a +1+b +1=4． 则1a+1+4b+1=14[(a +1)+(b +1)](1a+1+4b+1)=14(5+b+1a+1+4(a+1)b+1)≥14(5+2√b+1a+1×4(a+1)b+1)=14×(5+4)=94， 当且仅当a =13，b =53时原式有最小值． 故答案为：94．31. 壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a 米和b 米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元． 【答案】800【解析】解：由题意，设彩画长a 米，宽b 米(其中a >0，b >0)， 则有2(50a +100b )⩽400，即a +2b ⩽4，所以彩画面积S =ab =a·2b 2⩽12×(a+2b 2)2⩽12×(42)2=2，当且仅当{a =2b a +2b =4，即{a =2b =1时不等式可取等号，此时彩画的面积为2平方米，费用为400元，边框费用为400元，总费用共需要800元． 故答案为：800．32. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tanB =2tanA ，则1tan B +1tan C 的最小值为 ． 【答案】23【解析】解：∵tanB =2tanA ，角A 为锐角， ∴tanA >0，tanB >0，∴tanC =tan[π−(A +B)]=−tan(A +B)=−tanA+tanB 1−tanAtanB=−32tanB 1−12tan 2B =3tanBtan 2B−2，∴1tan B +1tan C=1tan B +tan 2B−23tanB=tan 2B+13tan B=13(tanB +1tanB) ⩾13×2√tanB ·1tanB =23，当且仅当tanB =1tanB ，即tanB =1时，取等号， 故1tanB +1tanC 的最小值为23． 故答案为23．33. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______． 【答案】(−4,2)【解析】解：由2x +1y =1，可得x +2y =(x +2y )(2x +1y )=4+xy +4y x≥4+2√x y ⋅4y x=8．当且仅当x =2y ，且2x +1y =1，即x =4，y =2时取等号， 则x +2y 的最小值为8，x +2y >m 2+2m 恒成立⇔m 2+2m <(x +2y)min ， 所以m 2+2m <8恒成立，即m 2+2m −8<0， 解得−4<m <2．故实数m 的取值范围是(−4,2)． 故答案为(−4,2)．34. 设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0，则当xy z 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值是 ． 【答案】1【解析】解：由已知条件有xyz=xy x 2−3xy+4y 2=1xy +4y x−3≤2√x y ·4yx−3=1，当且仅当x =2y 时，等号成立，因此z =x 2−3xy +4y 2=4y 2−6y 2+4y 2=2y 2， 所以2x +1y −2z =2y −1y 2=−(1y −1)2+1≤1． 故答案为：1．35. 已知a >2b(a,b ∈R)，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞)，则a 2+4b 2a−2b的最小值为______． 【答案】√2【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞), 则有a >0且1=4a ×(2b)=8ab ，即8ab =1，a 2+4b 2a−2b=(a−2b)2+4aba−2b=(a −2b)+12(a−2b)，又由a −2b >0，则(a −2b)+12(a−2b)≥ 2√(a −2b)×12(a−2b)=√2， 当(a −2b)=12(a−2b)等号成立． 即a 2+4b 2a−2b的最小值为√2；故答案为√2．三、解答题（本大题共1小题，共10分） 19．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集； （2）若f （1）4=，1b >-，求1||||1a ab ++的最小值． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2）34． 【解析】（1）由题意可得()42f x x <-+，即为2(1)10ax a x -++<，即(1)(1)0x ax --<， 当0a <时，110a >>，由1(1)()0x x a-->，解得1x >或1x a <；当1a =时，2(10)x -<，可得x ∈∅；当1a >时，11a >，由1(1)()0x x a--<，解得11x a <<； 当01a <<时，11a <，由1(1)()0x x a--<，解得11x a <<． 综上可得，0a <时，解集为{|1x x >或1}x a <；01a <<时，解集为1{|1}x x a<<；1a =时，解集为∅；1a >时，解集为1{|1}x x a<<； （2）由()14f =，1b >-，可得14a b ++=，10+>b ，可得1||1||||11||14||114||4||4||4||a ab a a b a a a a b a b b a a a a ++++=+=++≥=++++， 当0a >时，15114||44aa +=+=，可得1||||1a ab ++的最小值为54，当且仅当43a =，53b =时等号成立；当0a <时，13114||44aa +=-=，可得1||||1a ab ++的最小值为34，当且仅当4a =-，7b =时等号成立． 所以1||||1a a b ++的最小值为34．。

高考数学不等式练习题及答案解析：一、选择题1.已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x) f (x 4) ，且当 x 2 时， f (x) 单调递增，如果 x1 x2 4 且 (x1 2)(x2 2) 0 ，则 f (x1) f (x2 ) 的值 （）A、恒大于 0 B、恒小于 0 C、可能为 0 D、可正可负2.已知函数 f (x) x x3 , x1 、 x2 、 x3 R ,且 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 ，则 f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) 的值（）A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有 3.设 M x, y y x2 2bx 1 ， P x, y y 2ax b， S a,bM P ，则 S 的面积是 （ ）A. 1B. C. 4D. 44.设f (x) 是 (x2 1 )6 2x 展开式的中间项，若 f (x) mx 在区间 2, 2数 m 的取值范围是（） 2 上恒成立，则实A． 0, B． 5 4, C． 5 4,5D． 5, 5.若不等式x2logmx0在 0,1 2 内恒成立,则实数m的取值范围是1 m1 A. 160m 1B.160m 1C.4m 1 D. 16()6.已知实数 x，y 满足 3x2+2y2=6x，则 x2+y2 的最大值是( )9 A、 2B、4C、5D、27.若 0 < a，b，c < 1，并且 a + b + c = 2，则 a 2 + b 2 + c 2 的取值范围是（ ）4 （A）[ 3 ，+ ∞ )4 （B）[ 3 ，2 ]4 （C）[ 3 ，2 )4 （D）( 3 ，2 )8.不等式 1 log2 x > 1 – log 2 x 的解是（（A）x ≥ 2（B）x > 1） （C）1 < x < 8（D）x > 2sin cossin 29.设 a = f (2)，b = f ( sin cos )，c = f ( sin cos )，其中 f ( x ) = log sin θ x， θ∈( 0， 2 )，那么（ （A）a ≤ c ≤ b） （B）b ≤ c ≤ a（C）c ≤ b ≤ a（D）a ≤ b ≤ c11110.S = 1 + 2 + 3 + … + 1000000 ，则 S 的整数部分是（ ）（A）1997（B）1998（C）1999（D）200011n 11.设 a > b > c，n∈N，且 a b + b c ≥ a c 恒成立，则 n 的最大值为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）51 12.使不等式 2 x – a > arccos x 的解是– 2 < x ≤ 1 的实数 a 的值是（ ） （A）1 – 22 2 （B） 2 – 32 5 （C） 2 – 61 （D） 2 – π13.若不等式 a b m4 a2 b2 对所有正实数 a，b 都成立，则 m 的最小值是（ ）33A. 2 B. 2 2 C. 2 4 D. 45 xi R, xi 0(i 1,2,3,4,5)14.设 xii 11 ，则 ma xx1 x2 , x2 x3 , x3 x4, x4 x5的最小值等于（）1 A． 41 B． 31 C． 61 D． 415.已知 x, y, z 满足方程 x2 ( y 2)2 (z 2)2 2 ，则 x2 y2 z2 的最大值是A．4 2B．2 3C． 3 2D． 216. 若 直 线 y kx 1 与 圆 x2 y 2 kx my 4 0 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 关 于 直 线kkxx y2 my 00x y 0 对称,动点 P a,b 在不等式组 y 0表示的平面区域内部及边界上运动，则w b2 a 1 的取值范围是（）A．[2,) B． (,2] C．[2,2] D． (,2] [2,)17.已知x0,y0，且2 x1 y1，若x2ym22m 恒成立，则实数 m的取值范围是( )A． m 4或 m 2 B． m 2或 m 4 C． 2 m 4 D． 4 m 218.关于 x 的不等式 cos x lg(9 x2) cos x lg(9 x2) 的解集为（）A． (3, 2 2) (2 2,3)(2 2, ) ( , 2 2)B．22C． (2 2, 2 2)D． (3,3)19. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，其中 、 分别表示不大于 、的最大整数，例如 （），， 则 与 的关系A．B.C.D.20. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，（其中 、 分别表示不大于 、的最大整数），则点一定在（）A．直线左上方的区域内B．直线上C．直线右下方的区域内D．直线左下方的区域内0 21.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则北S 可以用不等式组表示为（0 x 20 A. 0 y 20x2 y2 400 x0 y0C.）x2 y2 400 B. x y 20x y 20 x 20 y 20D.yP. (x, y)东Ox(m)0 22.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则 S 的面积（单位：平方米）等于（ ）A. 100B. 100 200C. 400 100D. 200北yP. (x, y)东Ox(m)23.定义：若存在常数 ，使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数 ， 均有成立，则称函数在定义域 D 上满足利普希茨条件．对于函数满足利普希茨条件、则常数 k 的最小值应是A．2 B．1 C． D．24.如果直线 y＝kx＋1 与圆交于 M、N 两点，且 M、N 关于直线x＋y＝0 对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ ）A．B．25. 给出下列四个命题：①若C．1 ；D．2②“a<2”是函数“无零点”的充分不必要条件；③若向量 p=e1+e2，其中 e1，e2 是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；④命题“若 lgx>lgy，则 x>y”的逆命题.其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．③④D．①②③26.已知点（x, y）构成的平面区域如图（阴影部分）所示， 区域内取得最大值优解有无数多个，则 m 的值为A．B．C．D．（m 为常数），在平面27. 若 A．228.2C．4B．3 D．229. 如果正数满足A、，且等号成立时B、，且等号成立时C、，且等号成立时的最大值为C．4D．5，那么 的取值唯一 的取值唯一 的取值不唯一（）D、，且等号成立时的取值不唯一30. 设 变 量 （）最小值为A.9B.431.设两个向量C.3 和D.2其中为实数.若则的取值范围是()A.B.C.D.32.某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料和原料 分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总 额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（A） 33.若（B） 且（C） ，则（D） 的最小值是（A）（B）3 （C）2 （D）34.若且则的最小值为（ ）（A）（B）35. 对任意实数 x,不等式（C）（D）恒成立，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题36.已知函数 y f x是定义在 R 上的偶函数，当 x ＜0 时， f x 是单调递增的，则不等式 f x 1 ＞ f 1 2x 的解集是_________________________. 37.已知集合 A x x2 ax x a ，集合 B x1 log2 x 1 2 ，若 A B ，则实数a 的取值范围是________________________.38.设 A {x 1 x 2}, B {x f (x) m 3}，若 f (x) x2 1, A B ，则 m 的取值范围是_____39.已知 x 0, y 0 ，且 x y xy ，则 u x 4 y 的取值范围是_____________. xy02x y 2 y040.若不等式组 x y a 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 a 的取值范围是． 41.不等式 loga x2 2x 3 1 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是_________________.42. 下 列 四 个 命 题 中 : ① a b 2ab②sin2x4 sin2x4③设x, y都是正整数,若1 x9 y1 ,则 x y的最小值为12④若x2,y2,则xy 2其中所有真命题的序号是___________________.a b 1 43.已知 x, y 是正数, a, b 是正常数,且 x y , x y 的最小值为______________.44.已知 a,b, a b 成等差数列, a,b, ab 成等比数列,且 0 logm ab 1,则 m 的取值范围是______.45.已知 a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则 ax+by+cz 的最大值为 三、解答题 46.（本小题满分 12 分）已知数列{an }和{bn }中， a1 t(t 0), a2 t 2 .当x t时, 函数 f (x) 1 3(an1an )x3(anan1 )x(n2)取得极值。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(不等式恒成立问题)练习1．（2024届湖北省随州市曾都区高三上学期测试）已知函数()2ln f x ax x x =+（R a ∈）图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=垂直． (1)求实数a 的值；(2)若存在Z k ∈，使得()f x k >恒成立，求实数k 的最大值．2．（2023届黑龙江省鸡西市密山市高三上学期第三次月考）已知函数()()211ln 12f x x a x a x =-+++． (1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调性； (2)若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期联考）已知函数()2ln 1f x x mx x =-+，m ∈R 且0m ≠.(1)当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若关于x 的不等式()2ef x x ≥恒成立，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围. 4．（2023届安徽省临泉第一中学高三上学期第三次月考）设函数()()e 1xf x x a =+-，已知直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线． (1)求实数a 的值；(2)若不等式()()ln 1f x t x x ≥⎡⎤⎣⎦++对任意()1,x ∈-+∞恒成立，求实数t 的取值范围． 5．（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期检测）已知函数()1ln e x f x x x x-=-+（e 为自然对数的底数）.(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()11e ln x f x x a x x-+-->+恒成立，求证：实数1a <-.6．（2024届福建省莆田市第一中学高三上学期期初考试）已知函数()22f x x ax =++，R a ∈.(1)若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求不等式()21f x x ≥-的解集；(2)若对于任意的[]1,1x ∈-，不等式()()214f x a x ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围. 7．（2023届河南省部分名校高三二模）已知函数()()()211ln R 2f x mx m x x m =+--∈，()2112ex g x x =-+. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当0m >时，若对于任意的()10,x ∞∈+，总存在[)21,x ∈+∞，使得()()12f x g x ≥，求m 的取值范围. 8．（2024届江西省赣州市第四中学高三上学期开学考试）设m 为实数，函数()()2ln 2R f x m x x m =-∈. (1)当12m =时，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，求a b +的最小值； (2)已函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x （120x x <<），若()12011x x x λλλ+=≠-+，且()00f x '<恒成立，求实数λ的范围.9．（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数()ln 2f x x ax =-. (1)若1x =是()f x 的极值点，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；10．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）已知函数()()321122132f x ax a x x =++++，其中a ∈R ，且0a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当2a =-时，过函数()f x 图象对称中心C 的直线与()f x 图象交于A ，B 两点（异于点C ），分别以A ，B 两点为切点作()f x 的切线，记切线的斜率分别为1k ，2k ，若12e ln k k mx x -≥⋅恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．（2024届湖北省随州市曾都区高三上学期测试）已知函数()2ln f x ax x x =+（R a ∈）图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=垂直． (1)求实数a 的值；(2)若存在Z k ∈，使得()f x k >恒成立，求实数k 的最大值．【过程详解】（1）∵()2ln ,(0)f x ax x x x =+>，∴()2ln 1f x ax x '=++，∵切线与直线30x y +=垂直，∴切线的斜率为3， ∴(1)3f '=，即213a +=，故1a =.（2）由（1）知()2ln f x x x x =+，,()0x ∈+∞，()2ln 1f x x x '=++，令()2ln 1g x x x =++，,()0x ∈+∞，则()12g x x'=+，,()0x ∈+∞， 由()0g x '>对,()0x ∈+∞恒成立，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，又∵2221222110e e e g ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，而121n202g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴存在0102,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x =，∵()g x 在(0,)+∞上单调递增，∴当()00,x x ∈时，()()0g x f x '=<，()f x 在()00,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()0g x f x '=>，()f x 在()0,x +∞上单调递增；∴()f x 在0x x =处取得最小值()0f x ，∵()f x k >恒成立，所以()0kf x <；由()00g x =得，002ln 10x x ++=，所以00ln 12x x =--，∴()200001f x x x nx =+()200012x x x =+--20x x =--201124x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，又0102,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0,304f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∵Z k ∈，∴k 的最大值为1-．2．（2023届黑龙江省鸡西市密山市高三上学期第三次月考）已知函数()()211ln 12f x x a x a x =-+++． (1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调性； (2)若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()1a f x x a x'=-++， 若3x =是()f x 的极值点，则()()33103af a '=-++=，解得3a =， 此时()()()1334x x f x x x x--'=-+=， ()f x 在区间()()0,13,∞⋃+上()()0,f x f x '>单调递增；在区间()1,3上()()0,f x f x '<单调递减. 此时3x =是()f x 的极小值点，符合题意.综上所述，()f x 的增区间为()()0,1,3,+∞；减区间为()1,3. （2）()()()211ln 102f x x a x a x x =-+++>， 由()1f x ≥，得()()22111ln 11,1ln 022x a x a x x a x a x -+++≥-++≥①，设()()()211ln 02g x x a x a x x =-++> ()()111122g a a =-+=--， 所以当0a ≥时，()10g <，①不成立，故a<0， ()()()()11x x a a g x x a x x--'=-++=， 所以()g x 在区间()0,1上()()0,g x g x '<单调递减； 在区间()1,+∞上，()()0,g x g x '>单调递增， 所以()()1102g x g a ≥=--≥，解得12a ≤-.综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.3．（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期联考）已知函数()2ln 1f x x mx x =-+，m ∈R 且0m ≠.(1)当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的不等式()2ef x x ≥恒成立，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围. 【过程详解】（1）由题，当1m =时，()2ln 1f x x x x =-+，()2ln 1f x x x '=--，()11f '=，()12f =，所以切线方程为21y x -=-，化简得10x y -+=，即曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=. （2）()2e f x x ≥，即22ln 1ex mx x x -+≥，即12ln 0e x m x x +--≥在()0,∞+上恒成立，令()12ln e g x x m x x =+--，则()222111m x mx g x x x x --'=--=. 对于21y x mx =--，240m ∆=+>，故其必有两个零点，且两个零点的积为1-，则两个零点一正一负，设其正零点为()00,x ∈+∞，则20010x mx --=，即001m x x =-， 且在()00,x 上时210,y x mx =--<则()0g x '<，此时()g x 单调递减， 在()0,x +∞上，210,y x mx =-->()0g x '>，此时()g x 单调递增， 因此当0x x =时，()g x 取最小值， 故()00g x ≥，即00000112ln 0ex x x x x ⎛⎫+---≥ ⎪⎝⎭. 令()112ln e h x x x x x x ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，则()2222111111ln 11ln h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()1e 0e h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故01,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然函数001m x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是关于0x 的单调递增函数，则11e,e e e m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以实数m 的取值范围为11e,00e ,e e ⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U4．（2023届安徽省临泉第一中学高三上学期第三次月考）设函数()()e 1xf x x a =+-，已知直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线．(1)求实数a 的值；(2)若不等式()()ln 1f x t x x ≥⎡⎤⎣⎦++对任意()1,x ∈-+∞恒成立，求实数t 的取值范围． 【过程详解】（1）设直线2y x =与曲线()y f x =相切于点0x x =处，因为()()1e x f x x a '=++，则()()0001e 2x f x x a '=++=，即()000e e 2x xx a ++=而()()0000e 12x f x x a x =+-=，所以0021e 2x x ++=，即00e 210xx +-=设函数()e 21xg x x =+-，x ∈R ，显然在R 上单调递增，且()00g =，则()g x 有唯一零点0x =.所以00x =，1a =，即实数a 的值等于1.（2）由（1）知()()1e 1xf x x =+-，()(2)e x f x x '=+，()f x 在区间(),2-∞-上单调递减，在区间()2,-+∞上单调递增.所以()1,0x ∈-时，()()00f x f <=，0=t 显然不符合题意.注意到()()ln 1p x x x =++是增函数，在区间()1,0-上，()()00p x p <=， 所以0t <不合题意. 接下来对0t >进行讨论，令()()()1e 1ln 1xh x x t x x =+--++⎡⎤⎣⎦，则()()()122e 11e 11x xx h x x t x t x x +⎛⎫'⎡⎤=+-+=+- ⎪⎣⎦++⎝⎭， 注意到()1,x ∈-+∞，201x x +>+， 令()0h x '=，得()1e 0xx t +-=，注意到()()1e xq x x =+在()1,-+∞上单调递增，且()10q -=，所以在0t >时，有唯一的实数()01,x ∈-+∞使得()001e xx t +=，()00h x '=．当()01,x x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，在()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以()()()()()00000min 1e 1ln 1xh x h x x t x x ==+--++， 注意到()001e xx t +=，()00ln 1ln x x t ++=，所以()min 1ln 0h x t t t =--≥， 再设()1ln s t t t t =--，()ln s t t '=-，当01t <<时，()0s t '>，()s t 单调递增，当1t >时，()0s t '<，()s t 单调递减， 所以()()1ln 10s t t t t s =--=≤.因为()min 1ln 0h x t t t =--≥，()()1ln 10s t t t t s =--=≤，只能1t =. 综上所述，实数t 的取值范围是{}1.5．（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期检测）已知函数()1ln e xf x x x x-=-+（e 为自然对数的底数）.(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()11e ln x f x x a x x -+-->+恒成立，求证：实数1a <-.【过程详解】（1）由()1ln e xf x x x x-=-+，定义域为()0,∞+，则()()22111111e ex x x f x x x x x -⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 在1x =处的切线l 的斜率为()10k f '==，又()111e f =-，则l 的方程为11ey =-.（2）()11e ln xf x x a x x -+-->+⇔()()21ln 11e e e ex x x x x x a x a f x x x a x x x ---+>⇔-+->⇔<--恒成立，令()()1e xh x x x =--，则()e 1x h x x '=-，令()e 1x u x x =-，0x >，则()()1e 0xu x x '=+>所以()u x 在()0,∞+上单调递增，又()010u =-<，且()1e 10u =->，则()u x 在()0,1上存在零点0x 且()000e 10xu x x =-=，即001e x x =. 所以()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()()00000min 011e 1xh x h x x x x x ⎛⎫==--=-+ ⎪⎝⎭，即()0a h x <.()00011h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()()00022001111x x h x x x +-'=-= 又()00,1x ∈，所以()00h x '>，则()00011h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1上单调递增，因此()()011h x h <=-所以1a <-.6．（2024届福建省莆田市第一中学高三上学期期初考试）已知函数()22f x x ax =++，R a ∈.(1)若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求不等式()21f x x ≥-的解集；(2)若对于任意的[]1,1x ∈-，不等式()()214f x a x ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2， 即1，2是关于x 的方程220x ax ++=的两个根， 则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x ≥-得22321x x x -+≥-， 即22310x x -+≥，得(21)(1)0x x --≥，解得1x ≥或12x ≤， 即不等式的解集为[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ．（2）不等式()()214f x a x ≤-+对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，即222x a x --≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，令22()2x h x x -=-，[]1,1x ∈-，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得2x =，当12x -<<()0h x '>，当21x <<时时()0h x '< 故()h x在1,2⎡-⎣上单调递增，在(2⎤⎦上单调递减， 又()11h =，()113h -=，故()()min 113h x h =-=，所以13a ≤．7．（2023届河南省部分名校高三二模）已知函数()()()211ln R 2f x mx m x x m =+--∈，()2112ex g x x =-+. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当0m >时，若对于任意的()10,x ∞∈+，总存在[)21,x ∈+∞，使得()()12f x g x ≥，求m 的取值范围.【过程详解】（1）()()()1111mx x f x mx m x x-+'=+--=，0x >. 当0m ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，由()0f x ¢>，解得1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，即()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由()0f x '<，解得10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0m >时，由（1）知()min 11ln 12m f m x f m ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，()12e 02x g x x -'=+>，1x ≥恒成立，()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 1122eg x g ==-，由题意知()()min min f x g x ≥，即11ln 1222em m +-≥-. 设()1ln 12h m m m=+-，则()21102h m m m '=+>，所以()h m 为增函数， 又()1e 22eh =-，所以e m ≥， 即m 的取值范围是[)e,+∞.8．（2024届江西省赣州市第四中学高三上学期开学考试）设m 为实数，函数()()2ln 2R f x m x x m =-∈. (1)当12m =时，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，求a b +的最小值； (2)已函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x （120x x <<），若()12011x x x λλλ+=≠-+，且()00f x '<恒成立，求实数λ的范围.【过程详解】（1）当12m =时，()ln 2f x x x =-，∴()12f x x'=-， 设切点为()000,ln 2x x x -，则切线斜率()0012k f x x ==-'，∴切线方程为0012ln 1y x x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，∴012a x =-，0ln 1b x =-，∴001ln 3a b x x +=+-， 令()1ln 3g x x x =+-，则()22111x g x x x x-=-+='， 由()0g x '<，可得01x <<；由()0g x '>，可得1x >，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴()()min 12g x g ==-，即a b +的最小值为2-；（2）∵()f x 有两个不同的零点1x ，2x （120x x <<），∴11ln m x x =，22ln m x x =，124<<x x ，∴()1212ln ln m x x x x -=-，∴1122lnx m x x x =-， 设()120,1x t x =∈，则12ln x x m t-=， 又()22mf x x='-， ∴()12120121211222201ln x x x x f x f m x x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'==-=⨯⋅-< ⎪+++⎝⎭'， 将12x tx =代入上式可得：()()1110ln t t tλλ+--<+恒成立，又()0,1t ∈，则ln 0t <，∴()()11ln 0t t t λλ+-->+恒成立，设()()()11ln t t t t λϕλ+-=-+，()0,1t ∈，则()()()()()()2222111t t t t t t t λλϕλλ---+=='-++，()0,1t ∈， （ⅰ）当21λ≥时，20t λ-<，∴()0t ϕ'<，∴()t ϕ在()0,1上单调递减，()()10t ϕϕ>=恒成立， ∴()[),11,λ∈-∞-⋃+∞；（ⅱ）当21λ<时，∵()0,1t ∈，∴()20,t λ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()20,λ上单调递减；()2,1t λ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ在()2,1λ上单调递增，∴()2,1t λ∈时，()()10t ϕϕ<=，综上可得()[),11,λ∈-∞-⋃+∞.9．（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数()ln 2f x x ax =-. (1)若1x =是()f x 的极值点，求a 的值；(2)讨论函数()f x 的单调性；(3)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；【过程详解】（1）由()ln 2f x x ax =-，得()1122ax f x a x x -'=-=， 因为1x =是()f x 的极值点，所以()01f '=，即120a -=，所以12a =，经检验符合题意. （2）()1122ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时，()120ax f x x-'=>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，令()120ax f x x '-==，解得12x a =， 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()120ax f x x -'=>； 当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()120ax f x x -'=<； 所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（3）()f x 的定义域为(0,)+∞，若()0f x ≤恒成立，则ln 20x ax -≤恒成立， 即ln 2x a x≥恒成立， 令ln ()x g x x =，只需max 2()a g x ≥，又22(ln )ln 1ln ()x x x x x g x x x '''⋅-⋅-==， 令()0g x '=得e x =，(0,e)x ∈时，()0g x '>，则ln ()x g x x=单调递增； (e,)x ∈+∞时，()0g x '<，则ln ()x g x x =单调递减； 所以max 12()(e)e a g x g ≥==，解得：12ea ≥； 10．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）已知函数()()321122132f x ax a x x =++++，其中a ∈R ，且0a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当2a =-时，过函数()f x 图象对称中心C 的直线与()f x 图象交于A ，B 两点（异于点C ），分别以A ，B 两点为切点作()f x 的切线，记切线的斜率分别为1k ，2k ，若12e ln k k mx x -≥⋅恒成立，求实数m 的取值范围．【过程详解】（1）由()()2220f x ax a x '=+++=，可得=1x -，或2x a=-． 当0a <时，令()()2220f x ax a x '=+++>得21x a-<<-, 所以函数()f x 单调递减区间为(),1-∞-，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；单调递增区间为21,a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当02a <<时，令()()2220f x ax a x '=+++>得2x a<-或1x >-, 所以函数()f x 单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,-+∞；单调递减区间为2,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当2a =时，函数()f x 单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；当2a >时，()()2220f x ax a x '=+++>得1x <-或2x a>-, 函数()f x 单调递增区间为(),1-∞-，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为21,a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 综上所述：0a <时，()f x 单调递减区间为(),1-∞-，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；单调递增区间为21,a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当02a <<时，()f x 单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,-+∞；单调递减区间为2,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当2a =时，函数()f x 单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；当2a >时，()f x 单调递增区间为(),1-∞-，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为21,a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）令A ，B 两点的横坐标分别为1x ，2x ，由题意可知，函数()32213f x x x =-++， 由于函数3223y x x =-+为奇函数，所以，函数()f x 图象对称中心横坐标为0． 故120x x +=，()222f x x '=-+，故()()2211122222,22k f x x k f x x ''==-+==-+，因此，12k k =，故ln x m x ≥， 令()ln x g x x =，则()21ln x g x x -'=， 令()21ln 00e x g x x x -=>⇒<<'， 所以函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故()()1e eg x g ≤=．由此可得1e m ≥，即实数m 的取值范围是1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭．。