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求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。
例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、 微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。
这里我们以（1）式为准。
用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、 相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母 是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
常系数非齐次微分方程的特解引言微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系以及其随时间变化的规律。
常系数非齐次微分方程是一种经典的微分方程类型，它在物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍常系数非齐次微分方程的特解求解方法。
常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程可以写成如下形式：d n dt n y(t)+a n−1d n−1dt n−1y(t)+⋯+a1dydt+a0y(t)=F(t)其中a n−1,…,a1,a0是常数，F(t)是已知函数。
我们希望找到一个特解y p(t)，使得上述方程成立。
特解求解方法1. 线性常数法（适用于F(t)为多项式函数）当F(t)为多项式函数时，我们可以使用线性常数法来求解特解。
假设特解为y p(t)=c m t m+c m−1t m−1+⋯+c1t+c0，其中c m,…,c1,c0是待定常数。
将特解代入原方程，得到：d n dt n y p(t)+a n−1d n−1dt n−1y p(t)+⋯+a1dy pdt+a0y p(t)=F(t)然后对上式两边进行求导运算，并整理得到：m(m−1)…(m−n+1)c m t m−n+(m−1)(m−2)…(m−n)c m−1t m−n+1+⋯+m(m−1)…(m−n+2)c n−2t2+m(m−1)…(m−n+1)c n−1t=F(t)比较上式中t的各次幂系数与F(t)的各次幂系数，可以得到一组关于待定常数的线性方程组。
解这个线性方程组即可求得特解。
2. 试探法（适用于F(t)为指数函数、正弦函数、余弦函数等）当F(t)为指数函数、正弦函数、余弦函数等特殊函数时，我们可以使用试探法来求解特解。
假设特解为y p(t)=R(t)cos(ωt+ϕ)，其中R(t)是待定函数，ω是特征方程根的虚部，ϕ是相位角。
将特解代入原方程，得到：d n dt n y p(t)+a n−1d n−1dt n−1y p(t)+⋯+a1dy pdt+a0y p(t)=F(t)然后对上式两边进行求导运算，并整理得到：−ω2R(t)cos(ωt+ϕ)+a n−1(−ω2R(t)cos(ωt+ϕ))′+⋯+a0R(t)cos(ωt+ϕ)=F(t)比较上式中cos(ωt+ϕ)的系数与F(t)的系数，可以得到关于待定函数R(t)的微分方程。
黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。
分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。
关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。
例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。
因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。
其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。
众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。
同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。
1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。
线性常系数非齐次微分方程的特解求解
微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。
其中，线性常系数非齐次微分方程是一类常见的微分方程类型。
本文将讨论如何求解线性常系数非齐次微分方程的特解。
首先，我们先来了解一下线性常系数非齐次微分方程的一般形式：
$$
a_n\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots +
a_1\frac{dy}{dx} + a_0y = F(x)
$$
其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为常数，$F(x)$为已知函数，$y$为未知函数。
要求解该微分方程的特解，我们可以使用常数变易法。
常数变易法的基本思想是：假设特解$y^*$为一个与齐次方程解不同的特殊解，将其代入非齐次方程，得到一个关于常数的方程，通过求解该方程来确定特解。
下面，我们通过一个具体的例子来说明常数变易法的求解过程。
假设我们要求解如下的线性常系数非齐次微分方程：
$$
\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = e^x
$$
首先，我们先求解该方程的齐次部分：
$$
\frac{d^2y_h}{dx^2} - 2\frac{dy_h}{dx} + y_h = 0
$$
该齐次方程的特征方程为：
$$
r^2 - 2r + 1 = 0
$$
解该特征方程得到两个相等的实根$r=1$，因此齐次方程的通解为：
$$
y_h = C_1e^x + C_2xe^x
$$
其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
接下来，我们假设非齐次方程的特解为$y^* = Ae^x$，将其代入非齐次方程得到：
$$
\frac{d^2y^*}{dx^2} - 2\frac{dy^*}{dx} + y^* = e^x
$$
将$y^* = Ae^x$代入上式，得到：
$$
Ae^x - 2Ae^x + Ae^x = e^x
$$
整理后得到：
$$
Ae^x = e^x
$$
解得$A=1$，因此特解为$y^* = e^x$。
最终，该非齐次微分方程的通解为：
$$
y = y_h + y^* = C_1e^x + C_2xe^x + e^x
$$
至此，我们成功求解了线性常系数非齐次微分方程的特解。
总结一下，求解线性常系数非齐次微分方程的特解可以使用常数变易法。
首先
求解齐次方程的通解，然后假设特解的形式，并将其代入非齐次方程，通过求解常数来确定特解。
最后，将齐次方程的通解和特解相加，即可得到非齐次方程的通解。
需要注意的是，常数变易法只适用于线性常系数非齐次微分方程。
对于其他类
型的微分方程，需要采用其他方法进行求解。
线性常系数非齐次微分方程的特解求解是微分方程理论中的重要内容，对于深
入理解微分方程的解析解具有重要意义。
通过学习和掌握常数变易法，我们可以更好地应用微分方程解决实际问题，提高数学建模和科学研究的能力。
