一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法

一阶线性非齐次微分方程求解方法归类$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$其中，$P(x)$和$Q(x)$是给定函数。

下面我们将对一阶线性非齐次微分方程的求解方法进行分类。

1. 齐次线性微分方程求解：当$Q(x)=0$时，微分方程可以化简为一阶齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = 0$。

这类微分方程可以直接求解，通常使用分离变量法将方程分离并积分。

2.直接求解法：当$P(x)$和$Q(x)$是已知函数时，可以直接求解一阶线性非齐次微分方程。

可以通过求解齐次线性微分方程得到其通解，然后使用常数变易法得到非齐次微分方程的特解。

3. 变量分离法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过变量变化或分离变量法将方程化为可直接积分的形式。

例如，当$Q(x)$是$y$的函数时，可以使用分离变量法将方程化为$\frac{{dy}}{{Q(y) - P(x)y}} = dx$，然后积分得到解。

4. 求导数法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过求导数的方式求解。

例如，当方程可以写成$\frac{{dy}}{{dx}} = f(ax + by + c)$的形式时，可以通过求导数来化简方程，并使用变量分离法进行求解。

5.积分因子法：当$P(x)$是一个可导函数时，可以使用积分因子法来求解一阶线性非齐次微分方程。

积分因子是一个乘法因子，可以使得原方程变成一个恰当微分方程，从而可以直接进行积分得到解。

积分因子的计算可以通过乘以一个合适的因子来使得原方程的左边满足恰当微分方程的条件。

综上所述，一阶线性非齐次微分方程的求解方法主要有齐次线性微分方程求解、直接求解法、变量分离法、求导数法和积分因子法等方法。

根据具体的微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。

特别是对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，如可线性化的方程和恰当方程，还可以使用对应的特殊方法进行求解。

微分方程的常用解法微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。

它描述了变量之间的关系，通过求解微分方程，我们可以得到系统的行为规律。

本文将介绍微分方程的常用解法，包括分离变量法、齐次方程法、常系数线性齐次方程法以及一阶线性非齐次方程法。

一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。

它的基本思想是将微分方程中的变量分离，使得方程两边可以分别关于不同的变量积分。

具体步骤如下：1. 将微分方程中的变量分离，将含有未知函数及其导数的项移到方程的一边，将不含未知函数的项移到方程的另一边。

2. 对两边同时积分，得到一个含有未知函数的表达式。

3. 求解该表达式，得到未知函数的解。

二、齐次方程法齐次方程是指微分方程中只包含未知函数及其导数的项，不包含未知函数的项。

对于这类方程，可以使用齐次方程法进行求解。

具体步骤如下：1. 将齐次方程中的未知函数及其导数替换为新的变量，令y = ux，其中u是一个新的函数。

2. 将原方程中的未知函数及其导数用新的变量表示，得到一个关于u和x的方程。

3. 求解该方程，得到u的解。

4. 将u的解代入y = ux，得到未知函数y的解。

三、常系数线性齐次方程法常系数线性齐次方程是指微分方程中未知函数及其导数的系数都是常数的方程。

对于这类方程，可以使用常系数线性齐次方程法进行求解。

具体步骤如下：1. 假设未知函数的解为y = e^(kx)，其中k是一个待定的常数。

2. 将该解代入原方程，得到一个关于k的代数方程。

3. 求解该代数方程，得到k的值。

4. 将k的值代入y = e^(kx)，得到未知函数y的解。

四、一阶线性非齐次方程法一阶线性非齐次方程是指微分方程中未知函数及其导数的系数是常数，但方程中还存在一个非零的常数项的方程。

对于这类方程，可以使用一阶线性非齐次方程法进行求解。

具体步骤如下：1. 首先求解对应的齐次方程，得到齐次方程的通解。

2. 假设非齐次方程的特解为y = u(x)，其中u(x)是一个待定的函数。

微分方程通解求法
微分方程通解求法是求微分方程通解的方法，分为分离变量法、
齐次方程法、一阶线性微分方程法、常系数齐次线性微分方程法和非
齐次线性微分方程法等多种方法。

其中，分离变量法适用于一些只含有自变量和因变量的函数和常
数进行变量分离的微分方程，通过将自变量和因变量分离开来，再两
边同时对两个变量积分，最终求得微分方程的通解。

齐次方程法适用于齐次线性微分方程，其特点是方程右端为0，解法是设原方程通解为y=kx，然后代入原微分方程，通过求解方程中k
的值，得到微分方程的通解。

一阶线性微分方程法适用于形如y'+p(x)y=q（x）的微分方程，先求出齐次解，再利用待定系数法求出非齐次线性微分方程的特殊解，
最终解出微分方程的通解。

常系数齐次线性微分方程法适用于形如y''+ay'+by=0的微分方程，通过求解方程的特征方程得到常系数齐次线性微分方程的通解。

非齐次线性微分方程法适用于形如y''+f(x)y'+g(x)y=h(x)的微分方程，在齐次方程解的基础上，通过求解非齐次线性微分方程的特殊解，最终得到微分方程的通解。

总之，微分方程通解求法根据不同的微分方程性质和形式，选择
不同的解法，求出微分方程的通解。

一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法的研究和应用1.研究(1)经典复数解法复数解法是指将非齐次线性微分方程转化为一般形式的复数解法，可以使用经典复数解法求解，例如：常系数非齐次线性微分方程可以转化为复数解法：$$y''+py'+qy=0$$其中，p和q是常数，y是函数。

可以将其转化为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$$可以转化为：$$\lambda^2+p\lambda+q=0$$其中，$\lambda$是复数解的形式，可以求出：$$\lambda=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$则原微分方程的通解为：$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中，$c_1$和$c_2$为任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$分别为$\lambda$的两个根。

(2)拉普拉斯变换复数解法拉普拉斯变换复数解法是指将非齐次线性微分方程转化为拉普拉斯变换形式的复数解法，可以使用拉普拉斯变换复数解法求解，例如：常系数非齐次线性微分方程可以转化为拉普拉斯变换复数解法：$$y''+py'+qy=0$$其中，p和q是常数，y是函数。

可以将其转化为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$$ 可以转化为：$$s^2+ps+q=0$$其中，$s$是拉普拉斯变换的形式，可以求出： $$s=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$则原微分方程的通解为：$$y=c_1e^{s_1t}+c_2e^{s_2t}$$。

非齐次线性微分方程的解法和常数变易法微积分学中的微分方程是常见的数学对象之一，它的研究在数学、物理、工程等多个领域中有着广泛的应用。

本文主要讨论非齐次线性微分方程的解法和常数变易法。

一、非齐次线性微分方程首先，我们需要了解什么是非齐次线性微分方程。

一般地，称形如 $y'' + py' + qy = f(x)$ 的微分方程为非齐次线性微分方程，其中 $p$ 和 $q$ 是常数，$f(x)$ 是已知的函数。

它与齐次线性微分方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的区别在于右端的 $f(x)$ 不为空。

二、常数变易法对于非齐次线性微分方程，我们使用常数变易法求解。

该方法的基本思想是通过设定特解的形式，然后解出它的系数，将特解与对应的齐次解相加，得到非齐次微分方程的通解。

设非齐次线性微分方程的一个特解为 $y_1(x)$，则它的形式为$y_1(x) = u_1(x)e^{kx}$，其中 $u_1(x)$ 是常数系数函数。

为了解出 $u_1(x)$ 和 $k$，我们需将 $y_1(x)$ 代回原方程，得到：$$(k^2 + pk + q)u_1(x)e^{kx} = f(x)$$注意到 $e^{kx}$ 在定义域内无零点，因此可除以 $e^{kx}$，得到：$$u_1(x) = \frac{1}{k^2+pk+q}f(x)e^{-kx}$$于是我们得到了方程的一个特解，即 $y_1(x) =\frac{1}{k^2+pk+q}f(x)e^{kx}$。

它是一个线性非齐次微分方程$y'' + py' + qy = f(x)$ 的特解。

接下来，我们用常数变易法求出该非齐次微分方程的通解。

如果我们能得到这个方程的两个特解 $y_1$ 和 $y_2$，则该方程的通解为 $y = c_1y_1 + c_2y_2$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为常数。

微分方程的特解形式大全微分方程是数学中一类重要的方程，其解决了许多实际问题。

对于一个微分方程，一般情况下存在通解和特解两种解。

通解是该微分方程的所有解的集合，而特解是满足特定条件或给定初值条件的解。

下面将介绍一些常见微分方程的特解形式。

1. 一阶线性常微分方程:一阶线性常微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。

其特解形式可以通过常数变易法得到。

假设通解为y = c(x)y_1(x)，其中c(x)为未知函数，y_1(x)为已知解。

将这个形式代入方程中可以得到c(x)的微分方程，通过求解这个微分方程可以得到特解。

2. 二阶常系数齐次线性微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = 0。

其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。

通过求解代数方程可以获得特解的形式。

3. 二阶非齐次线性微分方程:二阶非齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = f(x)。

其中f(x)为已知函数。

特解的形式可以通过常数变易法或待定系数法得到。

常数变易法假设特解为y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为未知函数。

待定系数法假设特解为已知函数的线性组合，通过代入方程得到待定系数。

4. 高阶常系数齐次线性微分方程:高阶常系数齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1) y/dx^(n-1) + ... + a_n y = 0。

其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。

通过求解代数方程可以获得特解的形式。

5. 高阶非齐次线性微分方程:高阶非齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_n y = f(x)。

其中f(x)为已知函数。

六种特殊的一阶微分方程解法1.常系数齐次方程：这种一阶微分方程的形式为：dy/dx=ay+b，其中a、b都是常数，通常可以使用积分法解决。

根据定义，将y的导数表示为另一个函数y'，并将它代入方程，我们就有： y'=ay+b，然后把y'看作一个新的函数，那么方程可以写成： dy/dy'=a，接着对两边求积分，可以得到： y=ay'+C，其中C是一个常数，根据上面的公式，我们可以得到y的表达式： y=ay^2/2+by+C。

2.常系数非齐次方程：这种一阶微分方程的形式为：dy/dx=f(x)，其中f(x)是一个非常数函数，一般采用积分法解决。

将y的导数表示为另一个函数y'，并将它代入方程，我们就有： y'=f(x)，此时将f(x)看作一个新的函数，那么方程可以写成： dy/dy'=1，接着对两边求积分，可以得到： y=y'+C，其中C是一个常数，根据上面的公式，我们可以得到y的表达式：y=∫f(x)dx+C。

3.变系数齐次方程：这种一阶微分方程的形式为：dy/dx=p(x)y+q(x)，其中p(x)、q(x)都是非常数函数，一般采用积分法解决。

将y的导数表示为另一个函数y'，并将它代入方程，我们就有： y'=p(x)y+q(x)，此时将p(x)、q(x)看作一个新的函数，那么方程可以写成：dy/dy'=1/p(x)，接着对两边求积分，可以得到：y=1/p(x)*y'+C，其中C是一个常数，根据上面的公式，我们可以得到y的表达式：y=e^(∫p(x)dx)*∫q(x)e^(-∫p(x)dx)dx+C。

4.可积方程：这种一阶微分方程的形式为：dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是可积函数，一般采用积分法解决。

将y的导数表示为另一个函数y'，并将它代入方程，我们就有： y'=f(x,y)，此时将f(x,y)看作一个新的函数，那么方程可以写成： dy/dy'=1，接着对两边求积分，可以得到： y=y'+C，其中C是一个常数，根据上面的公式，我们可以得到y的表达式：y=∫f(x,y)dx+C。

微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。

微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。

通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。

1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。

该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。

通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。

2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。

通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。

然后再使用变量可分离法求解。

3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。

通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。

4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。

通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。

5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。

通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。

6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。

通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。

7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。

通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程的特解简单解法
经常系数非齐次线性微分方程（Nonhomogeneous Linear Equation with Constant Coefficient，简称NLCC）是数学分析中一类数学模型，应用广泛，有
着丰富的实际应用价值。

其特解的简单解法尤为重要，为解决NLCC特解提供了一
种有效的方法。

特解是NLCC的一种解法思想，即采用分析相应特征根以确定其特解解析式，
同时应用解析法去求解。

首先，根据模型特征系数确定特征方程，而特征方程常可先用单根定理求得特征根；其次，将特征函数形式成一系列有联系的特征方程；最后根据求出的特征根，用解析法求解特征函数的线性组合，即可解出特解。

NLCC的解决思路，在解析类型或者数值类型上均可有效应用，可以存在多种
解决方案和思路。

特解的简单解法是其中的一种，使用概率化的手段，可以有效地减少 NLCC的解法过程、加快实际解答。

特解的简单解法在求解特征方程是，重点
考虑特征根的具体内容，从复数空间分布和解析特征方程开始，可以为求解NLCC
提供有益的支持。

特解的简单解法不仅能够快速准确地求出特解，而且同时避免了NLCC解法过
程中不必要的工作，从而大大加快了解题速度，同时也可以减少解题复杂程度。

其思想由古老，但仍将在当下的数学应用中发挥有效的支撑作用，是值得积极发展的一门技术。

回顾至今，特解的简单解法甚至成为处理NLCC方程的重要组成部分，为后世
学者提供了有用的解决框架。

未来，将有更多的研究面向进一步发展特解简单解法，使其在快速精准地求解NLCC特解方面拥有更强的能力。

一阶线性非齐次微分方程求解方法归类一、常系数法：当$P(x)$为常数时，可以采用常系数法求解。

具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.利用常数变易法，设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。

二、一阶线性微分方程的常数变易法：对于一般的一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以采用常数变易法求解。

具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。

三、常数变易法的特殊形式：当非齐次方程的右端项$Q(x)$具有形式$Q(x)=P(x)F(x)$时，可以采用常数变易法的特殊形式求解。

具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。

四、拉普拉斯变换法：该方法适用于解微分方程初值问题。

通过拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，然后根据拉普拉斯变换的性质求解代数方程，最后利用拉普拉斯逆变换得到微分方程的解。

五、解法总结：1.首先判断是否为一阶线性非齐次微分方程；2.如果是常系数非齐次线性微分方程，可以用常系数法求解；3.如果是非常数非齐次线性微分方程，可以用常数变易法求解；4.如果非齐次方程的右端项具有特殊形式，可以用常数变易法的特殊形式求解；5.如果初值问题，可以考虑使用拉普拉斯变换法求解。

一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。

本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。

[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。

本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。

下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。

对于常系数非齐次线性方程组（1）的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组（2）的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。

我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。

1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。

1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。

1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。

高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法常微分方程是高等数学中的重要内容，也是考研数学中必考的知识点之一。

在常微分方程中，齐次方程和非齐次方程的解法是备战考研的重点。

本文将为大家详细介绍常微分方程的齐次与非齐次解法，助力大家高效备考。

一、齐次方程的解法齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y)的方程，其中f(x,y)满足齐次性质f(tx,ty) = f(x,y)。

齐次方程的解法相对简单，可以通过变量分离法和换元法来求解。

1. 变量分离法变量分离法是求解齐次方程的常用方法。

具体步骤如下：（1）将方程变形为dy = g(x)dx，其中g(x)为x的函数。

（2）对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫g(x)dx。

（3）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到y = ∫g(x)dx + C。

（4）得到的方程即为齐次方程的通解。

2. 换元法换元法是另一种常用的齐次方程求解方法。

具体步骤如下：（1）设u = y/x，即y = ux。

（2）将dy/dx = f(x,y)转化为关于u和x的方程，求出du/dx，并将y用u和x表示。

（3）对上式进行变量分离，得到du/u = g(x)dx。

（4）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到ln|u| = ∫g(x)dx + C。

（5）解出u，即得到u = e^(∫g(x)dx + C)。

（6）将u = y/x代入上式，得到y = xe^(∫g(x)dx + C)。

（7）得到的方程即为齐次方程的通解。

二、非齐次方程的解法非齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y) + g(x)的方程，其中g(x)为非零的函数。

求解非齐次方程的方法主要有常数变易法和特解叠加法。

1. 常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的常用方法。

具体步骤如下：（1）先求齐次方程dy/dx = f(x,y)的通解y0。

（2）设非齐次方程的通解为y = y0 + u(x)，其中u(x)为待定函数。

（3）将y = y0 + u(x)代入非齐次方程，得到dy/dx = f(x,y0+u) + g(x)。

n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。

任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。

由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。

定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。

常广东广州 华南师范大学（郑海珍20052201323 李璇20052201333）『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。

本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。

以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。

『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；『正文』：常系数非齐次线性微分方程形如：)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组)(),(),(21t x t x t x n ，再设法求出方程（1）的一个特解)(~t x ，则方程（1）的通解易得为),(~)()(1t x t x c t x ni i i +=∑=n i c i ,,2,1, =为任意常数。

一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。

下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。

首先给出本文常用符号：n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ为方程（1）的特征方程。

k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为k u u u ,,21。

)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。

一、 常数变易法 [ 1 ]可设方程（1）的特解形如：)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。

将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n………………（*）解方程组（*）得到)(,),(),(21t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解)(~t x 。