二次函数的判别式解析回顾

二次函数知识归纳与总结二次函数是数学中的重要内容，具有广泛的运用。

下面对二次函数的知识进行归纳与总结。

一、定义与特点二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数。

二次函数的图像呈现抛物线状，开口方向由a的正负决定。

二次函数有以下特点：1.抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.抛物线的对称轴：对称轴的方程为x=-b/2a，对称轴平分抛物线，并且抛物线上的任意点关于对称轴对称。

3.抛物线的顶点：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(-b/2a)是抛物线上的最值（最大值或最小值）。

4.解析式中的系数：a决定了抛物线的开口方向和抛物线的坡度；b决定了对称轴的位置；c决定了抛物线与y轴的交点。

二、图像与性质1.抛物线的图像：当a>0时，抛物线的图像开口向上，顶点位于y轴上方；当a<0时，抛物线的图像开口向下，顶点位于y轴下方。

2.抛物线的最值：当a>0时，抛物线的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，抛物线的最大值为f(-b/2a)。

3. 零点与交点：抛物线与x轴的交点称为零点，即解方程ax²+bx+c=0的解；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)。

4.纵轴交点：设抛物线与y轴交于点A，若点A的纵坐标为c>0，则a>0；若点A的纵坐标为c<0，则a<0。

三、解析式的变形与性质1.完全平方：二次函数的解析式中，可通过完全平方的方法将二次项变形为平方项。

例如，x²+4x=0可变形为(x+2)²-4=0。

2. 方程与不等式的解：二次方程ax²+bx+c=0的解可通过因式分解、配方法、求根公式等方法求得。

二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的解可通过图像法分析得到。

3. 判别式：二次函数的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次方程的根的情况。

二次函数解析式大了0判别式一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a≠0，a、b、c为常数。

一元二次方程的解析式即为求出方程的根。

我们知道，一元二次方程的解有三种情形：1.有两个不相等的实根：此时方程的解析式为x1,2 = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。

方程的判别式Δ = b^2 - 4ac > 0。

2.有两个相等的实根：此时方程的解析式为x1,2 = -b/(2a)。

方程的判别式Δ = b^2 - 4ac = 0。

3.无实根，有两个共轭复根：此时方程的解析式为x1,2 = (-b ± i√(4ac - b^2))/(2a)。

方程的判别式Δ = b^2 - 4ac < 0。

对于一元二次方程的判别式Δ，我们可以根据它的大小来判断方程的解的情况：1. Δ > 0：方程有两个不相等的实根。

若Δ是一个完全平方数，则可以进行因式分解，并求出两个实根；否则，根据求根公式计算出两个实根的近似值。

2. Δ = 0：方程有两个相等的实根。

此时，可以直接通过求根公式计算出实根。

3. Δ < 0：方程无实根，有两个共轭复根。

我们知道，共轭复根是成对出现的，即虚数部分相等，实数部分互为相反数。

通过求根公式可以计算出虚根的近似值。

判别式Δ实际上描述了一元二次方程的根的性质。

对于Δ > 0的情况，方程有两个不相等的实根，表示二次函数与x轴有两个交点；对于Δ = 0的情况，方程有两个相等的实根，表示二次函数与x轴有一个相切点；对于Δ < 0的情况，方程无实根，表示二次函数与x轴没有交点。

对于二次函数的图像来说，判别式Δ > 0表示图像与x轴有两个交点，正负号决定了两个交点的位置关系；Δ = 0表示图像与x轴有一个相切点，该点的位置由解析式中的根决定；Δ < 0表示图像与x轴没有交点，与x轴平行或者与x轴没有交点，这取决于二次函数开口的方向。

二次函数的根与判别式知识点总结详细介绍二次函数是高中数学中的重要概念，了解二次函数的根和判别式是解决与二次函数相关问题的基础。

本文档将详细介绍二次函数的根和判别式的相关知识点。

二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以表示为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$ 是实数，且 $a \neq 0$。

二次函数的根二次函数的根是函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴的交点，即函数取值为0的$x$值。

根据二次函数的一般形式，我们可以通过求解二次方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来求得二次函数的根。

二次函数根的判别式二次函数根的判别式可以用来判断二次函数的根的情况。

判别式的计算公式为 $D = b^2 - 4ac$。

判别式 $D$ 的值可以分为三种情况：1. 当 $D > 0$ 时，二次方程有两个不相等的实根；2. 当 $D = 0$ 时，二次方程有两个相等的实根；3. 当 $D < 0$ 时，二次方程没有实根，根为虚根。

根的求解公式根据二次函数根的判别式，可以得到根的求解公式：1. 当 $D > 0$ 时，设 $x_1$、$x_2$ 分别为方程的两个实根，则有：- $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$- $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$2. 当 $D = 0$ 时，方程有相等的实根，即 $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$3. 当 $D < 0$ 时，方程没有实根，根为虚根。

总结二次函数的根和判别式是解决与二次函数相关问题的基础。

根据根的判别式的值，我们可以判断二次方程的根的情况，进而使用根的求解公式求得根的具体值。

希望本文档对你了解和掌握二次函数的根和判别式有所帮助！。

第5讲 二次函数的图象和性质一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数y ax bx c =++2的图象 ①二次函数y ax bx c =++2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成y a x h k =-+()2的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

3. 二次函数的性质 函数二次函数y ax bx c =++2 a 、b 、c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0）a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0 图 象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性 (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ） (2)对称轴是x＝h ，顶点是（h ，k ） 质(3)当x b a <-2时，y 随x 的增大而减小；当x b a >-2时，y 随x 的增大而增大 (3)当x b a <-2时，y随x 的增大而增大；当x b a >-2时，y 随x 的增大而减小(3)当x h <时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大。

中考数学专题复习二次函数【基础知识回顾】一、 二次函数与一元二次方程：二次函数y = ax 2+bx+c 的同象与x 轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式 决定抛物线x 轴有 个交点 ＜＝b 2-4ac>0＝＞一元二次方程有 实数根 抛物线x 轴有 个交点 ＜＝b 2-4ac=0＝＞一元二次方程有 实数根 抛物线x 轴有 个交点 ＜＝b 2-4ac<0＝＞一元二次方程有 实数根 【名师提醒：若抛物线与x 轴有两交点为A （x1,0）B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离AB 】 二、二次函数的解析式：(1)二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标，对称轴为221x x h +=）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. (2) 用待定系数法求二次函数的解析式 1、设顶点式，即：设当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式。

2、设一般式，即：设知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式。

3、设两点式，即：设当知道抛物线与坐标轴交点的横坐标时，除代入这两横坐标外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式。

名师提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 ；以y 轴为对称轴，可设 ；顶点在x 轴上，可设 ；抛物线过原点可设 等四、抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a =-.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点坐标：），（a b ac a b 4422--顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.三、二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法(1)五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.(2)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b ： a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2ba <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b 异号时，对称轴x=－2ba >0，即对称轴在y 轴右侧，（左同右异y 轴为0）。

二次函数知识点总结和题型总结y=ax^2+bx+c，则最值为-(b^2-4ac)/(4a)）二次函数是高中数学中非常重要的一种函数类型，它的解析式通常是y=ax^2+bx+c。

其中，a、b、c都是常数，且a不等于0.二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向、顶点坐标、对称轴位置等性质与a的正负有关。

当a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。

除了一般式的解析式，二次函数还有其他形式的解析式，如y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+c。

它们的图像与一般式的图像类似，但顶点坐标和对称轴位置的计算方式略有不同。

对于y=a(x-h)^2+k，顶点坐标为(h。

k)，对称轴为x=h；对于y=ax^2+c，顶点坐标为(0.c)，对称轴为x=0.在解二次函数的题目时，需要注意函数的基本形式，根据题目条件进行变形，求出顶点坐标、对称轴位置和最值等信息。

同时，也要注意解方程的方法，如配方法、公式法、因式分解法等。

掌握了二次函数的基本概念和解题方法，就能够更好地应对相关的考试题目。

4ac-b2=4a(c-a*b2/a)，是求解二次方程ax2+bx+c的判别式，可以用来判断二次方程的根的情况，如果4ac-b2>0，则有两个不相等的实数根；如果4ac-b2=0，则有两个相等的实数根；如果4ac-b2<0，则有两个共轭复数根。

1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点，则m的值为-2.2.抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则b=2，c=2.3.抛物线y=x2+3x的顶点在第三象限。

4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为2.5.若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c开口向上，对称轴是y轴。

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。

初中数学二次函数的判别式代表了什么二次函数的判别式是二次函数的一个重要指标，用于判断二次函数的根的情况和图像特征。

二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别是二次函数的系数。

二次函数的判别式可以通过计算Δ = b^2 - 4ac来得到。

判别式Δ代表了二次函数的根的情况和图像特征，下面将详细解释判别式的含义：1. 判别式的值：判别式Δ = b^2 - 4ac的值可以用来判断二次函数的根的情况。

-如果Δ > 0，即判别式大于零，二次函数有两个不相等的实根。

这意味着二次函数与x轴有两个交点，图像开口向上或向下，具体取决于系数a的正负。

-如果Δ = 0，即判别式等于零，二次函数有一个实根。

这意味着二次函数与x轴有一个交点，图像开口向上或向下，具体取决于系数a的正负。

-如果Δ < 0，即判别式小于零，二次函数没有实根。

这意味着二次函数与x轴没有交点，图像开口向上或向下，具体取决于系数a的正负。

2. 根的情况：根据判别式的值，可以判断二次函数的根的情况。

-如果Δ > 0，二次函数有两个不相等的实根。

这意味着二次函数与x轴有两个交点，表示二次函数的图像与x轴相交于两个不同的点。

-如果Δ = 0，二次函数有一个实根。

这意味着二次函数与x轴有一个交点，表示二次函数的图像与x轴相交于一个点。

-如果Δ < 0，二次函数没有实根。

这意味着二次函数与x轴没有交点，表示二次函数的图像与x轴没有交点。

3. 图像特征：判别式的值还可以推断二次函数的图像特征。

-如果Δ > 0，二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。

开口的方向取决于系数a 的正负。

-如果Δ = 0，二次函数的图像是一个在顶点处触碰x轴的抛物线。

此时，抛物线的顶点与x 轴有唯一的交点。

-如果Δ < 0，二次函数的图像是一个不与x轴相交的抛物线。

这意味着抛物线在x轴上方或下方。

4. 顶点的坐标：二次函数的顶点是抛物线的最高点（当a > 0）或最低点（当a < 0）。