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参数估计一、 知识点1. 矩估计法；极大似然估计法2. 估计量的评判标准（会验证一个估计量的无偏性，比较两个无偏估计量的有效性）3. 区间估计的概念4. 会求一个正态总体期望μ和方差2σ的置信区间 二、习题解答1. 设总体X ～22()(),0p x a x x a a =-<<，求参数a 的矩估计。
解：22002()()()3a aa E X xp x dx ax x dx a ==-=⎰⎰令3aX =，⇒3a X =，由矩估计定义知a 的矩估计ˆ3aX =。
2. 设总体X ～()(1),01,ap x a x x =+<<求（1） 参数a 的矩估计，（2）参数a 的似然估计解：（1）112110001()()(1)(1)22a a x a E X xp x dx a x dx a a a +++==+=+=++⎰⎰ 令12a X a +=+，⇒211X aX -=-，由矩估计定义知a 的矩估计21ˆ1X a X-=-（2）似然函数()(;)(1)(1)()a n ai i i L a p x a a x a x ==+=+∏∏∏ln ()ln(1)ln i L a n a a x =++∑， 由ln ()ln 01i d L a nx da a =+=+∑⇒ 1ln i n a x =--∑，得a 的极大似然估计ˆ1ln ina x =--∑ 3. 总体X 服从区间[a,b]上的均匀分布，（1） 求参数a,b 的极大似然估（2） 设从总体取得样本1.4，2.5，1.6，1.8，2.2，1.8，2.0。
分别求a,b 的矩估计值和极大似然估值。
解：（1）总体X 的密度函数1,()0,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他似然函数1,1,2,,()()(;,)0i ni a x b i n b a L a b p x a b ⎧≤≤=⎪-==⎨⎪⎩∏ ，其他显然， b a -越小，似然函数就越大，但由于,1,2,,i a x b i n ≤≤= ，所以能套住所有的i x 的最短区间（ˆa，ˆb ）应为：{}1ˆmin i i na x ≤≤=，{}1ˆmax ii nbx ≤≤=（2）由课本例题知，a,b的矩估计为ˆˆa X b X ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，代入样本值得矩估计ˆa＝1.31，ˆb ＝2.49；极大似然估ˆa＝1.4，ˆb ＝2.5 5. 已知总体X 服从参数为θ的泊松分布, 其分布律为:0;,2,1,0,)(!1>===-θθθ k e k X P k k n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本. 求 θ的最大似然估计量;解.L (θ;x 1,x 2,...,x n ) ＝∏==ni i x XP 1)(= =θθ-=∏e x i x ni i1!1=θθn n i i x e x ni i-=∏∑=1!1lnL =∑∑==--n i ni iin x x 11!ln ln θθ,令θd L d ln =01=-∑=n xni iθ,θˆ=X X n n i i =∑=11为θ的最大似然估计量.6.设总体X 的均值为μ，试证2ˆσ＝211()n i i X n μ=-∑是总体方差2σ的无偏估计量。
第一章 随机事件和概率一、选择题1. 设A, B, C 为任意三个事件, 则与A 一定互不相容的事件为（A ）C B A ⋃⋃ （B ）C A B A ⋃ （C ） ABC （D ）)(C B A ⋃2.对于任意二事件A 和B, 与 不等价的是（A ）B A ⊂ （B ）A ⊂B （C ）φ=B A （D ）φ=B A3. 设 、 是任意两个事件, , , 则下列不等式中成立的是（ ）.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤.C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥4. 设 , , , 则（ ）.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立.C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立5. 设随机事件 与 互不相容, 且 , 则 与 中恰有一个发生的概率等于（ ）.A p q + .B p q pq +-.C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-6. 对于任意两事件 与 , （ ）.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+.C ()()P A P AB - .D ()()()P A P A P AB +- 7. 若 、 互斥, 且 , 则下列式子成立的是（ ）.A ()()P A B P A = .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =8. 设 , 则下列结论中正确的是（ ）.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆.C 事件A 、B 相互独立 .D A B ⊃9. 设 、 互不相容, , 则下列结论肯定正确的是（ ）.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=10. 设 、 、 为三个事件, 已知 , 则 （ ）.A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.2111. 设A, B 是两个随机事件, 且0<P(A)<1, P(B)>0, , 则必有（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠（C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠12. 随机事件A, B, 满足 和 , 则有（A ）Ω=⋃B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=⋃B A P （D ）0)(=-B A P13. 设随机事件A 与B 互不相容, , , 则下面结论一定成立的是（A ）A, B 为对立事件 （B ） , 互不相容 （C ） A, B 不独立 （D ）A, B 独立14．对于事件A 和B, 设 , P(B)>0, 则下列各式正确的是（A ）)()|(B P A B P = （B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+ （D ）)()(A P B A P =+15. 设事件A 与B 同时发生时, 事件C 必发生, 则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P（C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ⋃=16. 设A,B,C 是三个相互独立的随机事件, 且0<P(C)<1。
数理统计试题库-----填空题（每题3分）第一章1. 设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为12,n n ，则()Var X Y -= 。
2. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。
3．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,3)N 的简单随机样本，221234(2)()X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。
4. 设总体()2Xk χ，12,,,n X X X 是取自该总体的一个样本，则1ni i X =∑服从2χ分布，且自由度为 。
5.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，2212()X a X X =+，则a = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为 。
6.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X =，则a = 时，统计量X 服从t 分布，其自由度为 。
7．X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则11ni i X X n ==∑服从的分布为 。
8. 设随机变量 X 服从正态分布2(0,3)N , 而 129,,,X X X 是来自X 的样本，则统计量()22212919U X X X =+++服从 。
9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N , 而129,,,X X X 和 129,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U ++++++=服从 。
10. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知(1,2,3,4)k k EX k α== 则当n 充分大时，随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，其分布参数为____________11. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，X 服从参数为λ的指数分布，则∑=ni i X 12λ服从____________分布.12. 设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2,μσ均为未知， 则2.DS =____________ 13. 设11,,,,,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，统计量1n iX Y =__________。
数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。
不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。
025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。
小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。
0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。
1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。
用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布 。
)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。
用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X为子样均值，而01.0)(=>λX P ， 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。
（完整版）数理统计考试题及答案1、离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y 相互独⽴的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ?=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1µσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1µσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n⼆、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=612)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σµN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则≤-= ≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01) 0a x x α?+<，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极⼤似然估计量。
数理统计2013.6一、填空题1. 总体~(20,3)X N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~X Y - ．2. 设1216,,...,X X X 为取自总体2~(0,0.5)X N 的一个样本，若已知20.01(16)32.0χ=,则1621{8}i i P X =≥∑= ．3. 设总体2~(,)X N μσ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为的置信区间为(,)X X λλ-+，则λ的值为 ．4. 设12,,...,n X X X 为取自总体2~(,)X N μσ的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤21(1)n αχ--，则相应的备择假设1H 为 ．5. 设总体2~(,)X N μσ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:H μμ≥,10:H μμ<，拒绝域是 ．6. 设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 是取自X 的一个简单随机样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，检验假设00:H μμ=，10:H μμ>，其中0μ为已知常数，则检验统计量为 ，在显著性检验水平为α时的拒绝域为 ．7. 设110,,X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一个简单随机样本，且11261()6Y X X X =+++，2789101()4Y X X X X =+++，1022271()3i i S X Y ==-∑令12Y Y Z kS-=，则当k = 时，Z 服从t 分布，自由度为 ． 8. 设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为 ．9. 设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间 ．10. 设12(,,,)n X X X 是总体2(,)N a σ的样本，则当常数k = 时，221ˆ()n i i k X X σ==-∑是参数2σ的无偏估计量． 11. 设由来自总体2~(,0.9)X N a 容量为9的样本，得样本均值x =5，则参数a 的置信度为0.95的置信区间为 ．二、选择题1. 简单随机样本是指（ ）A. 采用随机抽样方法取得的样本B. 与总体同分布且相互独立的样本C. 服从正态分布的样本D. 从正态总体中取得的样本2. 已知ˆθ为参数θ的估计量，估计精度记作ˆˆ(),1()A A θθ-则表示（ ） A. 估计量的标准差 B. 估计量的方差C. 估计量的绝对误差D. 估计量的相对误差 3. 在假设检验中，1H 为备择假设．则犯第一类错误是指（ ） A. 1H 为真，被接受了B. 1H 不真，被接受了C. 1H 为真，被拒绝了D. 1H 不真，被拒绝了4. 设随机变量2(,1),()X N Y n μχ，又,X Y独立，令T =正确的是（ ）A. (1)T t n -B. ()T t nC. (0,1)TN D. (1,)T F n5. 样本123(,,)X X X 取自总体X ，()E X μ=，2()D X σ=，则有（ ） A. 123X X X ++是μ的无偏估计 B.1233X X X ++是μ的无偏估计C. 22X 是2σ的无偏估计D. 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是2σ的无偏估计三、解答题1. 设总体X 的概率密度为2232,1(;)(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他，求θ的矩估计．2. 设某种电子管的使用寿命服从正态分布．从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间．附：标准正态分布函数表22()ed u xx u --∞Φ=α3. 设12,,,n X X X 是服从2(,)N σμ（μ,02σ>均为未知常数）的总体中取得的容量为n 的简单随机样本，选择常数c 使1211()n i i i T c X X -+==-∑是2σ的无偏估计．4. 设12,,,n X X X 是一来自总体为~()X P λ（0λ>为未知常数）的一个简单随机样本，求{0}P X =的极大似然估计．5. 其中1θ>-为未知参数，又设x 1, x 2, , x n 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1, X 2, …, X n 是取自总体X 的简单随机样本． （1）求参数θ的极大似然估计量ˆθ；（2）验证估计量ˆθ是否是参数θ的无偏估计量．7. 环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布．现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定（0.05α=）？已知0.95(4) 2.1318t =．8. 为监测淮河水质污染问题，在淮河中下游流域建立了50个监测点，监测支流流入淮河的水质，测得有害物质含量平均值 5.01x =mg ，样本方差2 4.00S =．已知0.1 1.645u =． （1）试以此资料估计水质被污染的0.95置信区间（设各监测点互不影响），并指出估计精度；（2）若规定有害物质含量平均值超过4.5 mg 时视为5类劣质水，试以0.95的概率检验．1,11(;)20,x f x θθθ⎧-≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它（1）用矩法估计其未知参数θ；（2）用极大似然法估计其未知参数θ．10. 某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布2(4.55,)N σ．为了知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比μ是否改变，测试了5个产品，它们含硫量的百分比分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37试在下列两种情形下分别检验01: 4.55,: 4.55H H μμ=≠，其中显著性水平0.05α=．假定方差始终保持不变．（1）已知20.01σ=； （2）2σ未知．()1u ααΦ=-的分位数u α表11. 设正态总体的方差2σ已知，x 为总体的一组容量为n 的样本的平均值．在给定的显著性水平α情况下，检验假设00110H H μμμμμ==>：；：时，犯第二类错误的概率为β，试验证01u αβ-=Φ（，并由此推导出关系式2211210()()n u u αβσμμ--=+-．12. 设总体X 的概率密度函数为：()1,(;,)0,x ex x x αβαϕαββα--⎧≥⎪=⎨⎪<⎩其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）．试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数αβ和．13. 用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取8只滚珠，测得其直径（单位：mm ）为：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8．现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取9只滚珠，测得其直径（单位：mm ）为：15.1，15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8．假设保养前后生产的滚珠直径都服从正态分布．试问保养后机床的加工精度是否显著提高了（0.05α=）．（参考数据：0.95(7,8) 3.50F =）14. 从总体ξ中抽取容量为80的样本，频数分布如下表：试问在显著性水平0.025α=下，总体ξ的分布密度0()0p x ⎧=⎨⎩，其它是否可信？（参考数据：20.975(3)9.348χ=）15. 设12(,,,)n ξξξ是总体2(,)N μσ的一个样本，三个统计量22111()1n i i S n ξξ==--∑，22211()n i i S n ξξ==-∑，22311()1n i i S n ξξ==-+∑ 中，哪一个是2σ的无偏估计量？哪一个对2σ的均方误差222()i E S σ-最小（1,2,3i =）？16. 水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量为50公斤，某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下（单位：公斤）：49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2设每袋重量服从正态分布2(,)N μσ． （1）试问该包装机工作是否正常？(0.05)α=（2）若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为20.3σ=，求水泥平均重量μ的置信度为95%的置信区间． （已知：49.9,0.5362;x s ==0.1 1.283z =，0.05 1.645z =，0.025 1.960z =；0.1(8) 1.3968t =，0.1(9) 1.3830t =，0.1(10) 1.3722t =，0.05(8) 1.8695t =，0.05(9) 1.8331t =，0.05(10) 1.8125t =，0.025(8) 2.3060t =，0.025(9) 2.2622t =，0.05(10) 2.2280t =）。
1.已知维尼纶纤维在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048，从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，问这一天纤度的总体标准差 否（是/否）正常。
解：这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原选择和备择假设分别为048.0220H =σ： VS048.0221H ≠σ：此处n=5，若取显著性水平α=0.05，查表知2025.0χ（4）=0.4844,2975.0χ（4）=11.1433，故拒绝域为W={1433.1104844.022≥≤χχ或}，由样本数据可计算得到2χ1433.115069.13048.003112.0)12202>==-=σs n （ 因此拒绝0Ｈ，认为这一天纤度的总体标准差不正常。
2.设总体X~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y=()21521221121022212X X X X X X ++++++ΛΛ 服从 分布,参数为 . 【解】~(0,1),iX N σi =1,2,…,15. 那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++L L 所以Y~F 分布，参数为（10,5）3.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np=X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 4.设^θ(X1,X2,…,Xn)是θ的估计量，若_________，则称^θ为θ的无偏估计量，否则称为θ的有偏估计量。
【解】 对一切θ∈Θ，E(^θ)=θ5.设总体为均匀分布U (0, θ )，X1 , …, X n 是样本，考虑检验问题 H0：θ ≥ 3 vs H1：θ < 3， 拒绝域取为W = { x (n)≤ 2.5}，若要使得该最大值α不超过 0.05，n 至少应取____. 答案为176． 从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计． 解：平均寿命μ 的矩估计μˆ = x =1143.75；标准差σ 的矩估计μˆ = s* = 89.8523． 7.设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θθx x x f 0,0,2)(2，其中未知参数0>θ，n X X ,,1Λ是来自X 的样本，求θ的矩估计； 解：θθθ322)()(022===⎰⎰∞+∞-x d xx d x f x X E ， 令θ32)ˆ(==X XE ，得X 23ˆ=θ为参数θ的矩估计量。
数理统计考试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是中心极限定理的主要内容？A. 样本均值的分布趋近于正态分布B. 样本方差的分布趋近于正态分布C. 样本中位数的分布趋近于正态分布D. 样本最大值的分布趋近于正态分布答案：A2. 假设检验中的两类错误是什么？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 测量误差和估计误差D. 抽样误差和非抽样误差答案：A二、填空题1. 总体均值的估计量是_________。
答案：样本均值2. 在进行假设检验时，如果原假设被拒绝，则我们犯的是_________错误。
答案：第一类三、简答题1. 简述什么是置信区间，并说明其在统计分析中的作用。
答案：置信区间是指在一定置信水平下，用于估计总体参数的一个区间范围。
它的作用是在统计分析中提供对总体参数估计的不确定性度量，帮助我们了解估计值的可信度。
2. 解释什么是点估计和区间估计，并给出它们的区别。
答案：点估计是用样本统计量来估计总体参数的单个值。
区间估计是在一定置信水平下，给出总体参数可能落在的区间范围。
它们的区别在于点估计提供了一个具体的数值，而区间估计提供了一个包含该数值的区间，反映了估计的不确定性。
四、计算题1. 某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本均值为50mm，样本标准差为1mm，样本容量为100。
求95%置信水平下的总体均值的置信区间。
答案：首先计算标准误差：\( SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。
然后根据正态分布的性质，95%置信水平下的置信区间为：\( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \)。
计算得到：\( 50 \pm 1.96 \times 0.1 = (49.84, 50.16) \)。
2. 假设某公司员工的日均工作时长服从正态分布，样本均值为8小时，样本标准差为0.5小时，样本容量为36。
一、填空题：（每题3分，共30分.请把答案填在题中横线上.）1．设C B A ,,是三个随机事件，则事件“C B A ,,不同时发生”可以表示为： .2. 三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一个人能将此密码译出的概率是____________.3．设离散型随机变量X 的分布函数为()F x ,则{}P a X b <≤= .4．设X 的概率密度函数是{}111()10.520x f x P X ⎧-<<⎪=-<<=⎨⎪⎩，则其它 . 5．若(2,4)X N ，令__________Y =,则(0,1)Y N . 6. 设随机变量X 的方差()D X 存在，则[]()D X '= .7．已知随机变量X 有2(),()E X D X μσ==，根据契比雪夫不等式，则{}3P X μσ-<≥ .8．已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则()D X = .9．设12,,n X X X 是来自总体X 的样本，则11ni i X X n ==∑，2S = .10．评价估计量的标准有无偏性、有效性和 .1．用3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.2．已知随机变量X 的分布律为1240.50.30.2Xp ⎛⎫⎪⎝⎭，求()F x 及{}1 2.5P X -<<.3．设连续型随机变量X 的分布函数为20()0xA Be x F x -⎧+>=⎨⎩其它，试求：（1）A 、B 的值;（2）概率密度函数()f x .4. 已知随机变量X 、Y 相互独立，二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布如下，请将表内空白处填入适当的数.试卷装订线5. 袋中有2只黑球，2只白球，3只红球，从中任取2只，用ξ表示取到黑球的只数，以η表示取到白球的只数（1）求(,)ξη的联合分布律; （2）求(2)P ξη+≥，22(1)P ξη+≤.6．设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有(),()5,1,2,3,4i i E X i D X i i ==-=，设12341232Y X X X X =-+-，求 1(),(),X YE Y D Y ρ.三、应用题（每题8分，共16分)1．设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏开灯的概率是0.8，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在7900与8100之间的概率.2．一个车间生产铁钉，从某天的产品里随机抽取9个，量得结果如下（单位：毫米）： 215,0.09x s ==，已知铁钉长度服从正态分布，求平均长度的双侧置信区间（0.05α=）. 以下数据有可能在计算过程中要用到 0.025(2.5)0.9938,(8) 2.306t Φ==测验题（一）一、填空1、设123,,A A A 是三个事件，则这三个事件中至少有两个发生的事件是 。
《概率论与数理统计》检测题（考试时间：90分钟）姓名 班级 分数一、填空题（每小题3分，共30分）1、设C B A ,,为三事件，则事件“C B A ,,同时发生”应表示为： 。
2、若B A ,互斥，则=AB 。
3、在n 重贝努利概型中，设每次实验中事件A 发生的概率为p ，则A 恰好发生k 次的概率为 。
4、某时间段内光顾某商店的顾客数ξ应服从 分布。
5、设某地区人群的身高服从正态分布)5,173(2N ，则该地区人群的平均身高为 。
6、设连续型随机变量ξ的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1|| , 0 1|| , 1)(2x x x A x f ，则=A。
7、设随机变量X 的密度为)(x f ，则)(b X a P <<= 。
8、设),,,(21n x x x Λ是取自总体X 的样本，则总体期望的矩估计量为 。
9、若)1,0(~N ξ，)(~2n χη，且相互独立，则统计量nf /ηξ=服从 分布。
10、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，2σ未知，随机抽样得到样本方差为2S ，若要对μ进行检验，则采用 检验法。
二、计算题（每小题7分，共42分）1、设有两个事件A ，B 的概率)(A P ＝0.5，)(B P =0.6，)(AB P ＝0.3，求A ，B 至少有一个发生的概率。
2、甲乙两射手各自对目标进行一次射击，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，求“两人都命中目标”的概率。
3、设随机变量X 服从=λ10的普阿松分布，求“1≥X ”的概率。
4、设连续型随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∈-=其他,0]1 , 1[,11)(2x x x πφ，求EX 。
5、设总体X 的分布密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x x θθφ，（0>θ），今从X 中抽取10个样本，得数据如下：1050，1250，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150，求参数θ的极大似然估计。
1.A.C.2.3.第一部分大数定理及中心极限定理选择题已知的X：密度为 /(齐)(21,2,…,100), 且它们相互独立，则对任何实数尤，概率P{£x,S}的值为( )・无法计算100J・・寸［11/(兀)叭 (X)1-1可用中心极限定理计算用中心极限定理计算B.D.不可设X为随机变量，EX = //,DX =十,贝“{I X-“l3b} 满足 (A. )・<19>1_ 3设随机变量XEX? =l,DX f =2(/ = 1,2,...,10),A.D.10P{工X,_l <^}>1-1=110P{》X,-1 <^}>1-<2B. C.%…•••,x10相互独立，()B.1=1C. P{±X, 一1寸<£}\1一20点2 1<=!D. P{工X, -10 <£}51-20广4. 对目标独立地发射400发炮弹，每发炮弹的命中率为0.2,则命中60发〜100发的概率近似为( )・A.①(2.5) B・ 20(1.5)-1 C. 20(2.5)-1 D・ 1一①(2.5)5. 设X|, &,…，乙独立同分布,EX, =p、DX,=卩,i = 1,2,…,儿当心30时,下列结论中错误的是().A.工Xj近似服从N分布j-iB. D厂Z上一近似服从“(° J)分布yJ/lCD.为比不近似服从"(0,1)分布 r-16.设X P X 2<••为相互独立具有相同分布的随机变量序列，且X,(j = l,2,.・.)服从参数为2的 指数分布，则下面的哪一项正确？()其中①(x)是标准正态分布的分布函数.二、填空题「设从是“次独立重复试验中事件A 出现的次数"=则对任意区间[恥]有恤几<竺二幼= __________________ .“TOC [ Jnpq J2、 设冷是“次独立重复试验中事件A 出现的次数，"是事件A 在每次试验中发生的概率,则对于任意的均有lim 就|也L-"卜"= __________________ ・H3、 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X,估计p(\O<X<⑻二 ______________________ •4、 已知生男孩的概率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的槪率:: ____________第二部分样本及抽样分布一、选择题1. 下列关于“统计量”的描述中，不正确的是()•A.统计量为随机变量B.统计量是样本的函数C.统计量表达式中不含有参数D.估计量是统计量2. 设总体均值为“，方差为CT 2，“为样本容量，下式中错误的是()•A.E(X-//) = OB. £>(X-//) = —C. E (二)=1D. ^^i~N(O,l) no'alyjn3. 下列叙述中，仅在正态总体之下才成立的是( )•A. 2L(X f - - X)2 =X~ -n(X)2 B.戸与S'相互独立f-1r-1C. E(0-0)2 =D(0) + [E(0)-0\2D.厂“)2] = ,Q 2r-14.下列关于统计学“三大分布”C. X }+X 2服从N(2从2，)分布 =叫）;n->x二①⑴；A. lim PC ・ limP “TOOB ・ limPJ?—>x的判断中，错误的是( )•A.若F - F(n p n2),则丄~F(®q) B.若T ~ 心),则厂 ~ F(l,n)6设总体服从参数为卜指数分布，若X 为样本均值川为样本容量，则下式中错误的是A.EX=0B. DX=—C. E (X 2)=(/? + 1)6?-- D .(£X )2=-L7? V f n017. X\、X"・..、X"是来自正态总体N(0,l)的样本，戸.S'分别为样本均值与样本方差，则 ( )._ _ « VA. X~N(0J)B. nX ~ N(0,l)C.工D _~“〃一1) r-i S 8.在总体X 〜N(12,4)中抽取一容量为5的简单随机样本X^X 2.X 3.X^X 5^ P{max( X 1,X 2,X 3,X 4,X 5)>15)^( ).A. 1 —①(1.5)B. [1— ①(1・5)FC. 1 —[①(1・5)F9 •上题样本均值与总体均值差的绝对值小于1的概率为(C •若 X 〜N(O,1),则 X?〜力 2(1)士 (Xi-疔D ・在正态总体下 ----- ； ------- /"(7Z —1)5.设石衬表示来自总体)的容量为©的样本均值和样本方差(21,2),且两 总体相互独立，则下列不正确的是(A.B. (Xi-X2)-(“厂“2)〜N(0,l)D.巨+兰V 4 ®何-1)S ： 2z ,、'亠〜力(® j))・A. 2①(0.5)-1B. 20(4)-1C. 2①申-]D. 20(2.5) -19 910.给定一组样本观测值X,,X 2,...,X 9且得=45,^X7=285,®样本方差S ， 1-120 c.— 3的观测值为(B.60D.65 T11.设x 服从心)分布,P{\X\>A} = U 9 则P{X<-2}^(1 1,1 A. —ciB.2a C. — + ciD ・ 1 — —a2 2 2B. 2a 12.设XpX 2,-, X 〃是来自总体"(0,1)的简单随机样本，则£(X, -X)2服从分布为/-IC. N(0,2)D. N(0丄)( )A /2(«)B ・力2(〃 一 1)13. 设召宀,…是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，若Y = a(X } +2X2)2 +b(X 3 + X4 + X 5)2 +cg +X 7+X 8 + XJ2 服从力 2 分布，则 gb 、c 的值分别为( )•1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 A ・ 一,一,一B. 一■一9一C. 一, —,一D.—,一,— 8 12 1620 12 1633323414. 在天平上重复称量一重为"的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从NG/.0.22)分布，以片〃表示〃次称量结果的算术平均，则为了使P{\Xn -15.设随机变量x 和y 相互独立，且都服从正态分布2(0,32),设X 「X2,…,Xg 和9…，岭分别是来自两总体的简单随机样本，则统计量卩=卞=服从分布是A. /(9)B. r(8)c ・ N(0,81)D. 7V(0,9)二、填空题1.设X\,X"…，x“相互独立且服从相同的分布，EX =H 、DX = F ,令乂二丄, - 川 /=!52=^—V(X.-X)2 则 £戈=；DX= ・ ES 2= Ow-ltu------- -------------------- ------------------2. __________________________________________________________________ 设X|,X2,…,X“是来自总体的一个样本，样本均值片二 ______________________________________ ,则样本标准差S = ____________ ；样本方差屮= ________________________ ；样本的£阶原点矩为 _____________ ;样本的£阶中心矩为 ________________ . 3. 是来自总体 X~N(0,0.32)的一个样本，则• 10 'P&X, >1.44>= ______________________ .-i=l -4. 设X li X 2, -,X n 是来自(0—1)分布(P{X=0} = l_p,P{X = l} = p)的简单随机样本，X是样本均值，则£(〒)= ___________ .D(X) = ______________________ .5. 已知样本Xi ，X2,…，X 】6取自正态分布总体N(2,l),壬为样本均值,已知P{X>2} = 0.5,贝g 兄= __________ •6. 设X|,X2,…,X “为来自正态总体的一个简单隨机样本，则样本均值服从 _________________ ,又若⑷为常数(如工0,心1,2…，则服n/=! /=1u <0.1} >0.95,7?«小应取作().A. 20B. 17C.15D. 16从 ______________ :7.设“ =10时，样本的一组观测值为（4,6.4,3,5,4,584,7）,则样本均值为 _______________ ,样本 方差为 ________________ ■第三部分参数估计一、选择题1. 设总体X 在+上服从均匀分布，则参数“的矩估计量为（）.11 n 1 n_（A ）=（B ）——（o ——y x,2（D > xX1 j.i“ 一 1 /-ii ”_2. 设总体X ~NJ2冷,为抽取样本，则-^（X r --X ）2是（ ）•（A ） //的无偏估计（B ） a 2的无偏估计（C ） “的矩估计（D ） er 2的矩估计 3. 设X 在［0, a ］上服从均匀分布，0>0是未知参数，对于容量为"的样本…,a 的最大似然估计为( )(A) max{ X l ,X 29- 9X n }(C) imx{ X|,X”…,X 〃} — min{X 「X”・・・,X”}(D) 1 + -Y ;4.设总体X 在⑺b ］上服从均匀分布，X|,X2，・・・,X 〃是来自X 的一个样本，则a 的最大似然估计为（）(A) max{…，X 〃}(B) X (C) nin{ X n X 2^--.XJ (D)5. 设总体分布为Ng 、从b ，为未知参数，则b?的最大似然估计量为（ i一i n(A) -^(X,-X)2(B) ― E (X,-X)2(C)—》(X,-“)2nJ-l n一 1 i-1 n/-]1 ”弋工(Xi-")?6.设总体分布为N (/AO-2), “已知，则b?的最大似然估计量为()•n _ 11 n i n(A )52 (B >——s 2 (C )-y (x, 一莎(D )——-；/)2□ 口□ 一 1 z 0 < x < 1(a>0),f “…心是取自总体的一 0, 其他7.设总体X 的密度函数是j\x.a ） = \ax （D ）（A ） -^― E ，，1X r r-18. X H X 2,X 3设为来自总体X 的样本，下列关于E （x ）的无偏估计中，最有效的为（）. (A) |(X, +X 2)(B) 1(X 1+X 2+X 3)(C)丄(X1+X2+X3)(D)9•设（X|,X —…,XQ 为总体N （“，b"）（“已知）的一个样本，戸为样本均值，则在总体方差b?的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）.（A ）示=丄土（X 厂討;1 «（c ） &；= 一工（X 厂；10.设X],…，X”是来自总体X 的样本，且EX = z 则下列是“的无偏估计的是（）./I-111.设X r X 2,-,X n （n>2）是正态分布的一个样本，若统计量K 心Xg_X$为十的无偏估计，则K 的值应该为（ ）（A ）—（B ）—!—（C ）一!—（D ）—!—2/z2n -12“ - 2n -112. 设&是总体X 中的参数，称® 0）为&的置信度1-0的置信区间，即（ ）•A. （@,§）以概率包含&B. 0以概率1—d 落入（0方）C. &以概率"落在（0,万）之外D.以（0。
