浙江省高考数学第二轮复习 专题升级训练22 选择题专项训练(二) 理

【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练22 定点、定值、最值探索性问题 理(建议用时45分钟)1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0解析：选C.本题主要考查抛物线的标准方程和焦点坐标．将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.2．(2016·陕西省高三检测)已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选B.因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，故选B.3．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：选C.利用抛物线的定义．如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.0，过A 作AA ′⊥准线l ，∴|AF |＝|AA ′|，∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14，∴x 0＝1.4．(2015·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：选D.利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝± bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.5．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选B.设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p2＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8，故选B.6．(2014·高考新课标卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：选A.首先将双曲线方程化为标准方程，再利用点到直线的距离公式求解．双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.7．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：选A.由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解．由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.故选A. 8．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析：选C.根据两条直线垂直的条件，求出a ，b 之间的关系，进一步求出渐近线的斜率．由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2ac －a＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±b ax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.9．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433解析 (基本法) ∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y＝±33x .拋物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x .∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433.答案 D(速解法) 由题意F (2,0)，不妨设渐近线为y ＝33x ， C 1焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F ′F 的方程为y ＝－p 4(x －2)，对y ＝12p x 2求导，设M (x 0，y 0)，∴k ＝x 0p ＝33，又y 0＝12px 20， ∴x 202p ＝－p 4(x 0－2)，∴x 20p 2＝－12(x 0－2)，∴－12(x 0－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，∴x 0＝43，∴p ＝433.答案 D10．(2014·高考山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选A.设C 1的离心率e 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2， C 2的离心率e 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. e 1e 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝32. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝1－34＝14，∴ba ＝22. ∴渐近线y ＝±22x ，即x ±2y ＝0. 11．(2016·唐山市高三模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.3－12C.32D.3－1解析：选D.设A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c －3＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c ，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴c 4－8a 2c2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∴e ＝3－1.12．(2016·贵阳市高三模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( ) A ．1＋2 2 B ．4－2 2 C ．5－2 2D ．3＋2 2解析：选C.如图，设|AF 2|＝x ，则|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝2a ＋x .又∵△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴|AB |＝|AF 1|＝2a ＋x ，∴|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝4a ，∴4a ＝2(2a ＋x )，x ＝2(2－1)a ，又∵|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(2a ＋x )2＋x 2＝4c 2，即8a 2＋4(3－22)a 2＝4c 2，e2＝c 2a2＝5－2 2. 13．双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线与直线x ＝1围成的三角形的面积为__________．解析：由题知，双曲线的渐近线为y ＝±3x ，故所求三角形的面积为12×23×1＝ 3.答案： 314．(2015·高考北京卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：3315. (2016·兰州市高三模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |， ∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x16．(2015·高考山东卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．解析：先表示出直线的方程和点P 的坐标，再将点P 的坐标代入直线的方程可得关于a ，b ，c 的方程，化简可以求出离心率．如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3. 答案：2＋ 3。

综合练习题(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，∁U A ＝{1，2，5}，则集合A 等于( D ) A ．{0，1，2} B ．{2，3，4} C ．{3，4}D ．{0，3，4}【解析】 因为全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}， ∁U A ＝{1，2，5}，由补集的定义可知集合A ＝{0，3，4}．故选D.2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝|4-3i|(i 为虚数单位)，则z ＝( B ) A ．2＋i B ．2-i C ．1＋2iD ．1-2i【解析】 由(2＋i)z ＝|4-3i|＝42＋（-3）2＝5， 得z ＝52＋i ＝5（2-i ）（2＋i ）（2-i ）＝5（2-i ）22＋12＝2-i ，故选B. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 则“S n 的最大值是S 8”⇔a 8＞0，a 9＜0.则“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0a 8＋a 9<0.∴“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的充要条件．故选C.4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋log 2Q10(其中a 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，其耗氧量至少需要( )个单位．( C )A ．70B ．60C ．80D ．75【解析】 由题意可得0＝a ＋log 22010，解得a ＝-1，∴v ＝-1＋log 2Q10，∴-1＋log 2Q10≥2，解得Q ≥80，故选C.5．已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，满足2a 4＝a 3＋5，则S 9＝( C )A ．35B ．40C ．45D ．50【解析】 ∵2a 4＝a 3＋5，∴2(a 5-d )＝a 5-2d ＋5， ∴a 5＝5，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝5×9＝45，故选C.6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为( A )A ．83B ．8C ．43D ．4【解析】 由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥P -ABCD ， 底面ABCD 为正方形，边长为2， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2， 则该四棱锥的体积V ＝13×2×2×2＝83.故选A ．7．已知在边长为3的等边△ABC 中，AP →＝12AC →＋13AB →，则CP →在CB →上的投影为( C )A ．154B ．-54C ．54D ．152【解析】 CP →＝AP →-AC →＝12AC →＋13AB →-AC →＝13AB →-12AC →，∴CP →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-12AC →·(AB →-AC →)＝13AB →2-56AB →·AC →＋12AC →2 ＝13×9-56×3×3×12＋12×9＝154， ∴CP →在CB →上的投影为CP →·CB →|CB →|＝1543＝54.故选C.8．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为( A )A ．5-12B ．3-12 C.3＋14D ．5＋14【解析】 椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb ＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，则BA →·BF →＝0，解得b 2＝ac ，即a 2-c 2＝ac ，即e 2＋e -1＝0，e ∈(0，1)，故e ＝5-12.故选A ． 9．下列只有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)的导函数的图象，则f (-1)＝( A )A ．-13B ．13C ．73D ．-13或73【解析】 因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2-1)，Δ＝4a 2-4(a 2-1)＝4＞0，开口向上，故导函数图象开口向上，与x 轴有2个交点， 对称轴是x ＝-a ，结合选项(3)符合， 由f ′(0)＝a 2-1＝0且-a ＞0得a ＝-1， 故f (-1)＝-13-1＋1＝-13.故选A ．10．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[-π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( C ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【解析】 f (-x )＝sin|-x |＋|sin(-x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )则函数f (x )是偶函数，故①正确，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin|x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ， 则f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 为减函数，故②错误，当0≤x ≤π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[-π，0)上还有一个零点x ＝-π，即函数f (x )在[-π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2， 故④正确，故正确是①④，故选C. 11．设a ＝3π，b ＝π3，c ＝33，则( C ) A ．b ＞a ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a【解析】 考查幂函数y ＝x 3在(0，＋∞)是单调增函数， 且π＞3，∴π3＞33，∴b ＞c ； 由y ＝3x 在R 上递增，可得3π＞33， 由a ＝3π，b ＝π3，可得ln a ＝πln 3，ln b ＝3ln π， 考虑f (x )＝ln x x 的导数f ′(x )＝1-ln xx2， 由x ＞e 可得f ′(x )＜0，即f (x )递减， 可得f (3)＞f (π)，即有ln 33＞ln ππ，即为πln 3＞3ln π，即有3π＞π3，则a ＞b ＞c ，故选C.12．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1＝2r 2，则直线l 的斜率为( D )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2【解析】 记△AF 1F 2的内切圆圆心为C ， 边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ， 易见C 、E 横坐标相等，则|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |， 由|AF 1|-|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|-(|AN |＋|NF 2|)＝2a ， 得|MF 1|-|NF 2|＝2a ，即|F 1E |-|F 2E |＝2a ， 记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)， 于是x 0＋c -(c -x 0)＝2a ，得x 0＝a ，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴， 设直线的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°-θ2，在△CEF 2中，tan ∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan ∠DF 2O ＝tan θ2＝r 2|EF 2|， 由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线的斜率为tan θ＝2tanθ21-tan 2θ2＝21-12＝22，故选D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0，则z ＝x -2y 的最大值为__2__.【解析】 由z ＝x -2y 得y ＝12x -12z ，作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y ＝12x -12z ，由图形可知当直线经过点B 时， 直线y ＝12x -12z 的截距最小，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-2x -y ＝0，得B (-2，-2)．代入目标函数z ＝x -2y ，得z ＝-2-2×(-2)＝2， 故答案为2.14．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1＋x )＝f (1-x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝__2__.【解析】 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (-x )＝-f (x )，又由f (x )满足f (1＋x )＝f (1-x )，则f (-x )＝f (2＋x )，则有f (x ＋2)＝-f (x )， 变形可得：f (x ＋4)＝f (x )， 即函数f (x )为周期为4的周期函数；又由f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，则f (2)＝-f (0)＝0，f (3)＝-f (1)＝-2，f (4)＝f (0)＝0， 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(-2)＋0＝0，则有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×504＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2；故答案为2.15．已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝__-3【解析】 已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，整理得：12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，故：32cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3， 解得：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-35， 则：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-π6 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-tan π61＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3tan π6＝-233，故答案为-233. 16．设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是4010π3，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是__22__.【解析】 设AB ＝AC ＝AA 1＝2m . ∵∠BAC ＝120°，∴∠ACB ＝30°，于是2msin 30°＝2r (r 是△ABC 外接圆的半径)，r ＝2m .又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长AA 1的一半， ∴球的半径为（2m ）2＋m 2＝5m . ∴球的体积为43π×(5m )3＝4010π3，解得m ＝ 2.于是直三棱柱的高是AA 1＝2m ＝2 2. 故答案为2 2.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝b cos A ＋c ，(1)证明：△ABC 是直角三角形；(2)若D 是AC 边上一点，且CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，求△ABD 的面积． 【解析】 (1)由正弦定理a cos B ＝b cos A ＋c 化为：sin A cos B ＝sin B cos A ＋sin C ， ∴sin A cos B -sin B cos A ＝sin C ， ∴sin(A -B )＝sin C ，∵A -B ∈(-π，π)，C ∈(0，π)， ∴A -B ＝C 或A -B ＝π-C (舍) ∴A ＝B ＋C ，∴A ＝π2.即△ABC 是直角三角形．(2)在△BCD 中，CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，由余弦定理得cos C ＝CD 2＋BC 2-BD 22CD ×BC ＝59.∴sin C ＝2149.∴AC ＝BC ×cos C ＝103，∴AD ＝AC -CD ＝13，又AB ＝BC ×sin C ＝4143.∴S △ABD ＝12AB ×AD ＝2149.18．(本小题满分12分)(理)某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和2p -1(0.5≤p ≤1)．(1)从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值p 0；(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值． 已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？(文)(2021·金安区模拟)某5G 手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量，质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件，其检测结果：(1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率．(2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品的出厂价的2倍，已知每件配件的生产成本为5元，根据环保要求需要处理费用为3元，厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元，求二等品每件的出厂的最低价．【解析】 (理)(1)P ＝1-(1-p )(1-(2p -1))＝1-2(1-p )2. 令1-2(1-p )2≥0.995，解得p ≥0.95. 故p 的最小值p 0＝0.95.(2)由(1)可知A ，B 生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9. 即A ，B 生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1.故从A 生产线抽检的1 000件产品中不合格产品大约为1 000×0.05＝50件， 故挽回损失50×5＝250元，从B 生产线上抽检1 000件产品，不合格产品大约为1 000×0.1＝100， 可挽回损失100×3＝300元， ∴从B 生产线挽回的损失较多．(文)(1)由数表知，甲车间生产出配件的正品的频率是55＋33100＝0.88. 所以甲车间生产配件的正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出的配件的正品的频率是65＋27100＝0.92.所以，乙车间生产的配件的正品的概率估计为0.92.(2)设二等品每件的出厂价为a 元，则一等品每件的出厂价为2a 元． 由题意知：1200[120(2a -5)＋60(a -5)-20×8]≥21.7，整理得32a -5.3≥21.7，所以a ≥18，所以二等品每件的出厂的最低价为18元．19．(本小题满分12分)如图所示，△ABC 是等边三角形，DE ∥AC ，DF ∥BC ，面ACDE ⊥面ABC ，AC ＝CD ＝AD ＝DE ＝2DF ＝2.(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求四面体FABC 的体积．【解析】 (1)证明：∵DE ∥AC ，DF ∥BC ， 又△ABC 是等边三角形， ∴∠EDF ＝∠ACB ＝60°， 又AC ＝DE ＝BC ＝2DF ＝2， 在△EDF 中，由余弦定理可得，EF ＝22＋12-2×1×2×cos 60°＝3，∴EF 2＋DF 2＝DE 2，故EF ⊥DF ， 又DF ∥BC ，∴EF ⊥BC . (2)取AC 的中点O ，连接DO ，由AD ＝DC ，得DO ⊥AC ，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，∴DO ⊥平面ABC ，且求得DO ＝22-12＝ 3.由DE ∥AC ，DF ∥BC ，且DE ∩DF ＝D ，可得平面DEF ∥平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积V ＝13×12×2×2×32×3＝1. 20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过C 的焦点F 的直线l 1与抛物线交于A 、B 两点，当l 1⊥x 轴时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，过点F 的另一条直线l 与C 交于M 、N 两点，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0(k 1＞0)，且3S △AMF ＝S △BMN ，求直线l 1的方程．【解析】 (1)根据题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 当l 1⊥x 轴时，直线l 1的方程为x ＝p2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y 2＝2px，解得y ＝±p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，-p ， 所以|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2，进而可得抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)可知F (1，0)，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x -1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x -1）y 2＝4x， 得k 21x 2-(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，所以Δ＝(2k 21＋4)2-4k 41＝16k 21＋16＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21，x 1x 2＝1，① 因为k 1＋k 2＝0，所以k 1＝-k 2，因为直线l 2与抛物线交于点M ，N ，所以A 与N 关于x 轴对称，M 与B 关于x 轴对称， 因为3S △AMF ＝S △BMN ，S △AMF ＝S △BNF ，所以3S △AMF ＝S △AMF ＋S △BFM ，所以2S △AMF ＝S △BFM ，所以2|AF |＝|BF |，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以2x 1＋2＝x 2＋1，即x 2＝2x 1＋1，代入①得(2x 1＋1)x 1＝1，解得x 1＝12或-1(舍去)， 所以x 2＝2x 1＋1＝2×12＋1＝2， 所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21＝2＋12＝52， 解得k 21＝8，即k 1＝22，所以直线l 1的方程为y ＝22(x -1)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x (a ∈R )．(1)若a ＝-1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋1e x -x a ，且g (x )≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立，求实数a 的最小值．【解析】 (1)a ＝-1时，f (x )＝-ln x ＋x ，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，则f ′(x )＝-1x ＋1＝x -1x， 令f ′(x )＞0，解得：x ＞1，令f ′(x )＜0，解得：0＜x ＜1，故f (x )的单调减区间为(0，1)，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)．(2)由g (x )≥0，可得e -x -(-x )≥x a -a ln x ，即e -x -(-x )≥eln xa -a ln x ①，令h (t )＝e t -t ，由h ′(t )＝e t -1得，当t ＜0时，h (t )递减，当t ＞0时，h (t )递增，所以①即为h (-x )≥h (a ln x )，由于求实数a 的最小值，考虑化为a ＜0，所以-x ≤a ln x ，即a ≥-xln x ，令l (x )＝-xln x ，则l ′(x )＝-ln x -1（ln x ）2， 令l ′(x )＞0，解得：0＜x ＜e ，令l ′(x )＜0，解得：x ＞e ，故l (x )在(0，e)递增，在(e ，＋∞)递减，故可得l (x )的最大值为-e ，所以a 的最小值为-e.(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分22．(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y -4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)．以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设射线θ＝α(ρ≥0，0≤α＜2π)与直线l 和曲线C 分别交于点M ，N ，求4|OM |2＋1|ON |2的最小值．【解析】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，可得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ-4＝0，即有ρ＝4cos θ＋sin θ； 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)， 可得sin 2t ＋cos 2t ＝y 22＋x 2＝1， 则ρ2cos 2θ＋12ρ2sin 2θ＝1， 即为ρ2＝22cos 2θ＋sin 2θ＝21＋cos 2θ. (2)设M (ρ1，α)，N (ρ2，α)，其中0≤α＜3π4或7π4＜α＜2π， 则4|OM |2＋1|ON |2＝（cos α＋sin α）24＋1＋cos 2α2 ＝1＋2sin αcos α4＋3＋cos 2α4 ＝1＋sin 2α＋cos 2α4＝1＋24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝-1即α＝5π8时，4|OM |2＋1|ON |2取得最小值1-24.23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x |.(1)求不等式3f (x -1)-f (x ＋1)＞2的解集；(2)若不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵f (x )＝|x |，∴3f (x -1)-f (x ＋1)＞2，即3|x -1|-|x ＋1|＞2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-1，-3（x -1）＋x ＋1>2①，或⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <1，-3（x -1）-x -1>2②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3（x -1）-x -1>2③. 解①得x ≤-1，解②得-1＜x ＜0，解③得x ＞3，综合可得x ＜0或x ＞3，所以原不等式的解集为(-∞，0)∪(3，＋∞)．(2)f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)，即|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|.因为不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，所以，|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|对于x ∈[-2，-1]恒成立．因为x ∈[-2，-1]，所以，x ＋2≥0，x ＋3≥0，所以|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|等价于|x -a |＋x ＋2≤x ＋3，即|x -a |≤1恒成立，所以a -1≤x ≤a ＋1在[-2，-1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤-2-1≤a ＋1，解得-2≤a ≤-1， 即实数a 的取值范围为[-2，-1]．。

12＋4分项练2 不等式1．(2021届重庆市巴蜀中学三诊)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a c D.a b >ac答案 D解析 取a ＝12，b ＝4，c ＝2可知D 错．故选D.2．(2021·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6 答案 C解析 如图所示，先画出可行域， 作出直线l ：x ＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.∴A (－3,4)．由图可知，平移直线l 至过点A 时，z 取得最大值， z max ＝－3＋2×4＝5. 故选C.3．(2021·辽宁省试验中学模拟)已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 原式可化为：(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时x ＋y 有最大值 2.故选B.4．(2021届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y 2x －2y 的最小值为( )A ．4 B.92C ．2 2D ．4 2 答案 A解析 由于xy ＝1且0<y <22， 可知x >2，所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xyx －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立．故选A.5．(2021届吉林省吉林高校附属中学模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y ＋1≥0，2x ＋y －1≤0，若直线y ＝k (x ＋1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1∶2，则k 等于( ) A.14 B.13 C.12 D.34 答案 A解析 作出不等式组对应平面区域如图(△ABC 及其内部)，A (0,1)，B (1，－1)，∵直线y ＝k (x ＋1)过定点C (－1,0)，∵C 点在平面区域ABC 内， ∴点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离d 上＝|k －1|1＋k2，点B 到直线y ＝k (x ＋1)的距离d 下＝|2k ＋1|1＋k2，∵直线y ＝k (x ＋1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1∶2， ∴2×|k －1|1＋k 2＝|2k ＋1|1＋k 2，解得k ＝14.故选A.6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.所以f (－1)＝c －6，所以0<c －6≤3，解得6<c ≤9，故选C.7．(2021届江西省重点中学联考)假照实数x ，y 满足关系⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，又2x ＋y －7x －3≥c 恒成立，则c 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，95 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫95，＋∞ D ．[3，＋∞) 答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示，若c ≤2x ＋y －7x －3恒成立，则只需c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y －7x －3min ，即c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y －1x －3min ，所以问题转化为求y －1x －3的最小值，y －1x －3表示可行域内动点(x ，y )与定点(3,1)连线的斜率，依据图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3min ＝k BC ＝－15，所以c ≤95，故选A.8．(2021届福建省宁德市质量检查)已知实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，3x －2y －3≤0，x ＋y －1≥0表示的平面区域为D ，若存在点P (x ，y )∈D ，使x 2＋y 2≥m 成立，则实数m 的最大值为 ( ) A.18116 B ．1C.913 D .12 答案 A解析 如图，作出可行域D ，要使存在点P (x ，y )∈D ，使x 2＋y 2≥m 成立，只需m ≤(x 2＋y 2)max ，而x 2＋y 2表示阴影部分中的点与原点距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝18116，即m ≤18116，m 的最大值为18116，故选A. 9．(2021·湖北省武汉市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，假如目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a<0，(1)当－12≤－1a<0，即a ≥2时，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； (2)当－1a <－12，即0<a <2时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合，舍去； 当a <0时，－1a>0.(3)当0<－1a <12，即a <－2时，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合；(4)当－1a ≥12，即－2≤a <0时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合，舍去． 综上，实数a 的值为3或－113，故选D.10.(2021届河北省衡水中学押题卷)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法争辩代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) C.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再依据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D. 11．(2021·湖南省衡阳市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 作出不等式组所对应的平面区域，由图象可知x >0，y >0，设z ＝x 2y ，则x 2＝zy ，对应的曲线为开口向上的抛物线，由图象可知当直线y ＝x －1与抛物线相切时，z 取得最小值，将y ＝x －1代入抛物线x 2＝zy ，得x 2－zx ＋z ＝0，由Δ＝0⇒z ＝4，z ＝0(舍)． 故选D.12．(2021·湖南省长沙市长郡中学模拟)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 答案 B解析 据已知等式得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，故xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x 2－3xy ＋4y 2xy ＝1x y ＋4y x－3，据基本不等式得xyz＝1x y ＋4yx－3≤12x y ·4yx－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时取得最大值，此时z ＝2y 2且2x ＋1y －2z ＝2y －22y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当y ＝1时取得最大值1. 13．(2021届河南省南阳市第一中学模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≥0，3x －y －a ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 的最小值为－25，则实数a 的值为________．答案 2解析 作出不等式组对应的平面区域为阴影部分ABO .由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点B 时，直线y ＝－x ＋z 截距最小，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－25，2x ＋y ＝0解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝－45.即B ⎝⎛⎭⎫25，－45，同时B 也在直线3x －y －a ＝0上，即3×25－⎝⎛⎭⎫－45－a ＝0，得a ＝2. 14．(2021届云南省师范高校附属中学月考)下表所示为X ，Y ，Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44 000单位维生素A 及48 000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物X ，Y ，Z 的质量分别为x ，y ，z (千克)，混合物的成本最少为________元.X Y Z 维生素A (单位/千克) 400 600 400 维生素B (单位/千克) 800 200 400 成本(元/千克)12108答案 960解析 混合食物成本的多少受到维生素A ，B 的含量以及混合物总量等因素的制约，各个条件综合考虑，得⎩⎪⎨⎪⎧400x ＋600y ＋400z ≥44 000，800x ＋200y ＋400z ≥48 000，x ＋y ＋z ＝100，x ≥0，y ≥0，z ≥0，消去不等式中的变量z ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥20，2x －y ≥40，x ＋y ≤100，目标函数为混合物成本函数P ＝12x ＋10y ＋8z ＝800＋4x ＋2y .画出可行域如图所示，当直线y ＝－2x －400＋P2过可行域内的点A (30,20)时，即x ＝30千克，y ＝20千克，z ＝50千克时，成本P ＝960元为最少．15．(2021届江西省重点中学联考)已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝4，若点P 是边BC 上的动点，且P 到AB ，AC 的距离分别为m ，n ，则4m ＋1n的最小值为________．答案 92解析 由题知AB ＝AC ＝433，则依据三角形面积相等有12×⎝⎛⎭⎫4332×32＝12×433(m ＋n )，则m ＋n ＝2，依据基本不等式，得4m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫5＋4n m ＋m n ≥92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，4n m ＝m n，即m ＝43，n ＝23时，等号成立．16．已知变量x ，y (x ，y ∈R )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥5，y －3≤0，若不等式(x ＋y )2≥c (x 2＋y 2) (c ∈R )恒成立，则实数c的最大值为________． 答案2513解析 作出可行域如图所示，设t ＝y x ，由可行域易知1≤t ≤32.又由(x ＋y )2≥c (x 2＋y 2) (c ∈R )，得 c ≤(x ＋y )2x 2＋y 2＝1＋2xy x 2＋y 2＝1＋2x y ＋y x，即c≤1＋2t＋1t，而2≤t＋1t≤136，所以1＋2t＋1t的最小值为1＋2136＝1＋1213＝2513，所以c≤2513.。

一、选择题1．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ⊆P B ．P ⊆M C ．M ＝PD ．M ⃘P 且P ⃘M2．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 (x ≠±3) C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1 (x ≠±2) 3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0.若z ＝x －y ，则z 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．64．(2021·舟山模拟)已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OA →等于( ) A.32 B ．－32 C ．－32 D.125．(2021·天津模拟)设数列{a n }是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 4a 1等于( )A ．3B ．4C ．6D ．76.如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )A.3＋1B.3－1C. 3D. 27．(2021·杭州模拟)给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内全部直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④8．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．10 2 C ．15 2 D ．20 2二、填空题9．数列{(－1)n (2n －1)}的前2 016项和S 2 016＝_____________________________.10．假如满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是________________． 11．设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n ⊂α，n ∥β，α∩β＝m ，则n ∥m ；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β；④若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β. 其中正确的命题序号为________．12．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为____________．13．(2021·嘉兴模拟)已知函数f (x )＝a ＋2bx ＋3sin x ＋bx cos x cos x ＋2既有最大值又有最小值，且最大值和最小值的和为6，则3a －2b ＝________.14．已知a ，b ，c 成等差数列，点M (－3,0)在直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上的射影点为N ，点P (1,1)，则PN 的最小值为__________．15．已知函数f (x )＝x 3＋sin x x 2＋cos x＋1在区间[－π2，π2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.答案精析小题精练21．A [P ＝{x |x ＝1＋(a －2)2，a ∈N *}，当a ＝2时，x ＝1，而M 中无元素1，P 比M 多一个元素．] 2．D [∵|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，∴|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为 x 24＋y 23＝1，且y ≠0.] 3．A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0所对应的可行域，变形目标函数y ＝x －z ，平移直线y ＝x －z 可知，当直线经过点(3,0)时，z 取最大值，代值计算可得z ＝x －y 的最大值为3.] 4．C [∵OA →＋OB →＝OC →， ∴OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →＝OC →2， ∴OA →·OB →＝－12，∴AB →·OA →＝(OB →－OA →)·OA →＝OA →·OB →－OA →2＝－32.]5．D [∵数列{a n }是公差不为零的等差数列，设公差为d .∴S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d .又∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1·S 4，可得d ＝2a 1或d ＝0(舍去)．∴a 4＝a 1＋3d ＝7a 1.∴a 4a 1＝7.故选D.] 6．A [令正六边形的边长为m ，则有|AD |＝2m ，|AB |＝m ，|BD |＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD |||AB |－|BD ||＝2m3m －m＝3＋1.] 7．D [当a 平行于b 所在平面时，a ，b 可能异面，故①不正确；当a 、b 不相交时，可能a ∥b ，故③不正确；由此可排解A 、B 、C ，故选D.]8．B [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径 r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.]9．2 016解析 S 2 016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 015－1)＋(2×2 016－1)＝2＋2＋…＋21 008个2相加＝2 016. 10．0<k ≤12或k ＝8 3解析 设AB ＝x ，由余弦定理得122＝x 2＋k 2－2kx cos 60°，化简得：x 2－kx ＋k 2－144＝0，因方程的两根之和x 1＋x 2＝k >0，故方程有且只有一个根等价于k 2－4(k 2－144)＝0或k 2－144≤0，解得0<k ≤12或k ＝8 3. 11．①③解析 由线面平行的性质定理知①正确；由面面平行的判定定理知直线m ，n 相交时才成立，所以②错误；由面面垂直的性质定理知③正确；④中，可以是n ⊂β，所以④错误，即正确命题是①③. 12．y 2＝4(x －2)解析 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)，得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k ＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4k ，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．当直线斜率不存在时，也满足上式，即点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)． 13．9解析 函数f (x )＝a ＋2bx ＋3sin x ＋bx cos x cos x ＋2＝a ＋bx ＋3sin xcos x ＋2，既有最大值又有最小值，则有b ＝0，假设f (x )在x ＝x 0处取得最大值，则在x ＝－x 0处取得最小值，且f (x 0)＋f (－x 0)＝2a ＝6，得a ＝3，从而3a －2b ＝9. 14．22－ 5解析 由题2b ＝a ＋c ，即a －2b ＋c ＝0，故直线过定点A (1，－2)，∵MN ⊥l ，∴MN ⊥AN ，∴N 点的轨迹为以AM 为直径的圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5， ∴(PN )min ＝PC －r ＝22－ 5. 15．2解析 令h (x )＝x 3＋sin xx 2＋cos x ，则函数h (x )在[－π2，π2]上为奇函数．由于函数f (x )＝h (x )＋1在[－π2，π2]上的最大值为M ，最小值为m ，所以函数h (x )在[－π2，π2]上的最大值为M －1，最小值为m －1.由奇函数性质可知(M －1)＋(m －1)＝0，所以m ＋M ＝2.。

专题强化训练1．2021·绍兴诸暨高考二模复数满足1＋i＝2i，那么的共轭复数错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! a{a，b}＝错误!，向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c＝λa＋μbλ，μ≥0，且λ＋μ＝1，那么当ma{c·a，c·b}取最小值时，|c|＝解析：选A如图，设错误!错误!a{c·a，c·b}＝错误!令fλ＝错误!那么fλ∈错误!所以fλmin＝错误!，此时λ＝错误!，μ＝错误!，所以c＝错误!a＋错误!b＝错误!所以|c|＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，②①2＋②2得4[|co αco β|＋in αin β]≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4[|co αco β|＋in αin β]≤1，故a·b＝2co αco β＋in αin β≤2[|co αco β|＋in αin β]≤错误!答案：错误!14．2021·温州市十五校联合体联考坐标平面上的凸四边形ABCD满足错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝|错误!错误!错误!错误!的最小值为错误!所以函数fm＝|错误!错误!错误!错误!≥错误!，化为4m2－8m co∠ACB＋1≥0恒成立．当且仅当m＝错误!＝co∠ACB时等号成立，代入得到co∠ACB＝－错误!，所以∠ACB＝错误!所以|错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，故c的最小值为错误!答案：错误!18．在△ABC中，C＝错误!，向量错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝2in ，in －co ，n＝错误!co ，in ＋co ，记函数f＝m·n1求函数f的最大值以及取得最大值时的取值集合；2设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设fC＝2，c＝错误!，求△ABC面积的最大值．解：1由题意，得f＝m·n＝2错误!in co ＋in2－co2＝错误!in 2－co2－in2＝错误!in 2－co 2＝2in错误!，所以f ma＝2；当f取最大值时，即in错误!＝1，此时2－错误!＝2π＋错误!∈Z，解得＝π＋错误!∈Z，所以的取值集合为错误!2由fC＝2，得in错误!＝1，又0＜C＜π，即－错误!＜2C－错误!＜错误!，所以2C－错误!＝错误!，解得C＝错误!，在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab co C，得3＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤3，当且仅当a＝b＝错误!时，取等号，所以S△ABC＝错误!ab in C＝错误!ab ≤错误!，所以△ABC面积的最大值为错误!。

微专题221．答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解析：由直线AM ，AN分别和椭圆方程联立，即可求得M 坐标为⎝⎛⎭⎫－85，－35和N 坐标为⎝⎛⎭⎫85，－35，进而可求得MN 直线方程y ＝－35，然后求得MN 与y 轴交点的坐标⎝⎛⎭⎫0，－35.2．答案：－9.解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x1＋x22＝－kbk2＋9，易得y M ＝9bk2＋9，从而k OM ·k ＝－9. 3．答案：()0，－2±23. 解析：设点P (x 0，y 0)，直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，易得k 1k 2＝y0－1x0·y0＋1x0＝y02－1x02＝ －14.所以AP 的方程为y ＝k 1x ＋1，BP 的方程为y ＝k 2x －1＝－14k1x －1，所以M ⎝⎛⎭⎫－3k1，－2，N (4k 1，－2)，则以MN 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋3k1(x －4k 1)＋(y ＋2)2＝0.即x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫3k1－4k1x ＋4y －8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x2＋y2＋4y －8＝0.所以MN 为直径的圆过定点(0，－2±23)． 4．答案：x225＋y216＝1.解析：设动点M (x ，y )，由题意（x －3）2＋y2⎪⎪⎪⎪253－x ＝35，化简得x225＋y216＝1，所以动点M 的轨迹方程是x225＋y216＝1.5．答案：13.解析：设直线MA 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为－k ，联立直线MA 与椭圆方程：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32kx236＋y24＝1，整理得(9k 2＋1)x 2＋182k (1－3k )x ＋162k 2－108k －18＝0，得x 1＝182（3k2－k ）9k2＋1－32， 所以x 2＝182（3k2＋k ）9k2＋1－32，整理得x 2－x 1＝362k 9k2＋1，x 2＋x 1＝1082k29k2＋1－62.又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 2＋2－32k )＝－k (x 2＋x 1)＋62k .＝－108k39k2＋1＋122k ＝122k9k2＋1，所以k AB ＝y2－y1x2－x1＝122k 9k2＋1362k 9k2＋1＝13为定值． 6．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解法1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k1（x ＋a ），x2a2＋y2b2＝1，得x2－a2a2＋k12（x ＋a ）2b2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b2－k12a2）b2＋a2k12，因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b2－k12a2）b2＋a2k12，则y B ＝k 1(x B ＋a )＝2ab2k1b2＋a2k12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k2（x ＋a ），x2＋y2＝a2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a )2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k22）1＋k22，同理，得x D ＝a （1－k22）1＋k22，y D＝2ak21＋k22，当k1k2＝b2a2时，x B ＝a ⎝⎛⎭⎫b2－b4a2k22b2＋b4a2k22＝a （a2－b2k22）a2＋b2k22，y B＝2ab2k2a2＋b2k22，k BD＝2ab2k2a2＋b2k22－2ak21＋k22a （a2－b2k22）a2＋b2k22－a （1－k22）1＋k22＝－1k2，所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0)．解法2直线BD 过定点(a ，0)，证明如下：设P (a ，0)，B (x B ，y B )，则xB2a2＋yB2b2＝1(a ＞b ＞0)，k AD k PB ＝a2b2k 1k PB ＝a2b2·yB xB ＋a ·yBxB －a ＝a2b2·yB2xB2－a2＝a2b2⎝⎛⎭⎫－b2a2＝－1，所以PB ⊥AD ，又PD ⊥AD .所以三点P ，B ，D 共线，即直线BD 过定点P (a ，0)．7．答案：直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 解析：依题设，k 1≠k 2.设M (x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 12)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 22－6＝0.于是，x M ＝－3k1k22＋3k12，y M ＝2k22＋3k12.同理，x N ＝－3k1k22＋3k22，y N ＝2k12＋3k22.当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝yM －yNxM －xN ＝4＋6（k22＋k2k1＋k12）－9k2k1（k2＋k1）＝10－6k2k1－9k2k1.直线MN 的方程为y －2k22＋3k12＝10－6k2k1－9k2k1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k1k22＋3k12， 即y ＝10－6k2k1－9k2k1x ＋错误!，亦即y ＝10－6k2k1－9k2k1x －23.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23.综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 8．答案：(1)椭圆C 的标准方程为x26＋y22＝1.(2)在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.解析：(1)由e ＝63，得c a＝63，即c ＝63a ，①.又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝|6|22＋（－2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x26＋y22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x26＋y22＝1，y ＝k （x －2），得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k21＋3k2，x 1x 2＝12k2－61＋3k2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝错误!，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.。

第22练 常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望] 利用递推关系式求数列的通项公式及前n 项和公式是高考中常考题型，把握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键：一般这类题目难度较大，但只要将已知条件，转化为几类“模型”，然后接受相应的计算方法即可解决.常考题型精析题型一 利用累加法解决递推问题例1 (1)(2021·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.(2)数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn (n ∈N *，常数c ≠0)，且a 1，a 2，a 3成等比数列. ①求c 的值；②求数列{a n }的通项公式.点评 由已知递推关系式若能转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )，或1a n ＋1－1a n ＝f (n )且f (n )的和可求，则可接受累加法.变式训练1 已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，其前n 项和S n 满足S n ＋S n －2＝2S n －1＋2n －1(n ≥3)，试求数列{a n }的通项公式.题型二 利用累乘法解决递推问题例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为__________.(2)已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N 且n ≥2)，则数列{a n }的通项公式是____________.点评 若由已知递推关系能转化成a n ＋1a n ＝f (n )的形式，且f (n )的前n 项积能求，则可接受累乘法.留意验证首项是否符合通项公式.变式训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n2a n (n ≥2)，且a 1＝1，a 2＝2，则{a n }的通项公式为______________.题型三 构造法求通项公式例3 (1)已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，求a n ； (2)已知a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1，求a n .点评 构造法就是利用数列的递推关系机敏变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项.此类问题关键在于条件变形：在“a n ＝ca n －1＋b ”的条件下，可构造“a n ＋x ＝c (a n －1＋x )”在“a n ＝ma n －1ka n －1＋m ”的条件下，可构造“1a n ＝1a n －1＋km”.变式训练3 已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝7a n －1－33a n －1＋1，求数列{a n }的通项公式.高考题型精练1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是________.2.学校餐厅每天供应500名同学用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30%改选A 种菜.用a n ，b n 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的人数，假如a 1＝300，则a 10＝________.3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________.4.已知f (x )＝log 2x 1－x ＋1，a n ＝f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n －1n )，n 为正整数，则a 2 016＝________.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝________.6.数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 015＝________.7.(2022·课标全国Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________. 8.设函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f (0)＝12，数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__________________.9.若f (n )为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f (6)＝3＋7＝10，f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N*，则f 2 016(4)＝________.10.数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则数列{a n }的通项公式为__________.11.对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________. 12.(2021·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝⎛⎭⎫23n .答案精析第22练 常考的递推公式问题的破解方略常考题型典例剖析 例1 (1)2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2，令b n ＝1a n ，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. (2)解 ①由题意知a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， 由于a 1，a 2，a 3成等比数列， 所以(2＋c )2＝2(2＋3c ).解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2. ②当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn ，得 a 2－a 1＝c ， a 3－a 2＝2c ， …a n －a n －1＝(n －1)c ， 以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c .又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2 (n ≥2)，当n ＝1时，上式也成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2 (n ∈N *).变式训练1 解 由S n ＋S n －2＝2S n －1＋2n －1得： S n －S n －1＝S n －1－S n －2＋2n －1， ∴a n －a n －1＝2n －1 (n ≥3). ∴a 2－a 1＝5－3＝2， a 3－a 2＝22＝4， a 4－a 3＝8， …a n －a n －1＝2n －1，以上各式相加得：a n －a 1＝2＋4＋…＋2n －1， ∴a n ＝a 1＋2n －2＝3＋2n －2＝2n ＋1， ∴a n ＝2n ＋1 (n ≥1). 例2 (1)a n ＝2n ＋1(2)a n ＝(1)22n n -解析 (1)由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0， 又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ， 即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n ， 所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)n ≥2时，a n a n －1＝12n －1，∴a 2a 1＝12，a 3a 2＝14＝2－2，…，a n a n －1＝21－n ，以上各式相乘得a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝2－1·2－2·…·2－n ＋1， ∴a na 1＝(1)22n n --，∴a n ＝(1)22n n - (n ≥2).又∵a 1＝1满足a n ＝(1)22n n -.∴a n ＝(1)22n n -(n ≥1).变式训练2 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (n ＝1)2(n －1)， (n ≥2)，解析 ∵S n －1＝n －12a n －1 (n ≥3).∴S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，∴a n ＝n 2a n －n －12a n －1，∴a n a n －1＝n －1n －2，∴n ≥3时，a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝2·32·43·…·n －1n －2，∴a na 2＝n －1，∴a n ＝(n －1)·a 2＝2(n －1) (n ≥3). ∵a 2＝2满足a n ＝2(n －1)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2.例3 解 (1)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 又a 1＋1＝2≠0，于是可知{a n ＋1}为以2为首项，2为公比的等比数列. 即a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1， ∴所求通项公式为a n ＝2n －1.(2)由a n ＋1＝a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝1(常数)，又1a 1＝1，∴{1a n}为以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n ＝n ，从而a n ＝1n ，即所求通项公式为a n ＝1n . 变式训练3 解 由于当n ≥2时，a n －1＝4a n －1－43a n －1＋1，两边取倒数，得1a n －1＝1a n －1－1＋34. 即1a n －1－1a n －1－1＝34，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝1，公差为34的等差数列.所以1a n －1＝1a 1－1＋34(n －1)＝3n ＋14.所以a n ＝3n ＋53n ＋1.又当n ＝1时，上式也成立，故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n ＋53n ＋1(n ∈N *). 常考题型精练 1.34解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2， ∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 2.300解析 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝45a n ＋310b n ，a n ＋b n ＝500，消去b n ，得a n ＋1＝12a n ＋150.由a 1＝300，得a 2＝300； 由a 2＝300，得a 3＝300；……从而得a 10＝300. 3.⎝⎛⎭⎫32n －1解析 当n ≥2时，S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ， ∴3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝32.∴S n ＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1.4.2 015解析 由于f (x )＝log 2x1－x＋1，所以f (x )＋f (1－x )＝log 2x1－x ＋1＋log 21－x x ＋1＝2.所以f (1n )＋f (n －1n )＝2，f (2n )＋f (n －2n )＝2，…， f (n －1n )＋f (1n)＝2， 由倒序相加，得2a n ＝2(n －1)，a n ＝n －1， 所以a 2 016＝2 016－1＝2 015. 5.55解析 ∵a n －a n －1＝2n (n ≥2). ∴a 2－a 1＝4， a 3－a 2＝6， a 4－a 3＝8， …a 7－a 6＝14，以上各式两边分别相加得a 7－a 1＝4＋6＋…＋14， a 7＝1＋(4＋14)×62＝55.6.2 0151 008解析 ∵a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ，a 1＝1， ∴a n ＋1－a n ＝1＋n ，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 015＝2(1－12＋12－13＋…＋12 015－12 016)＝2 0151 008. 7.12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1 ＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.8.a n ＝1n (n ＋1)解析 由f (0)＝12，得a 1＝12，由f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 整理得a n a n －1＝n －1n ＋1，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝12×13×24×35×…×n －1n ＋1 ＝1n (n ＋1)，明显a 1＝12也符合.即{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1).9.5 解析 由于42＋1＝17，f (4)＝1＋7＝8，则f 1(4)＝f (4)＝8，f 2(4)＝f (f 1(4))＝f (8)＝11， f 3(4)＝f (f 2(4))＝f (11)＝5， f 4(4)＝f (f 3(4))＝f (5)＝8，…， 所以f k ＋1(n )＝f (f k (n ))为周期数列.可得f 2 016(4)＝5.10.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14， (n ＝1)，2n ＋1， (n ≥2)解析 ∵12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5.①∴12a 1＋122a 2＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5.② 由①－②得12n a n ＝2，∴a n ＝2n ＋1 (n ≥2). 又∵12a 1＝2＋5，∴a 1＝14.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14， (n ＝1)，2n ＋1， (n ≥2).11.a n ＝2n ＋12n解析 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2，②①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n.12.(1)解 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1， 所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －2)2n －2＋n ·2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1.(2)证明 由于f n (0)＝－1＜0， f n ⎝⎛⎭⎫23＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝⎛⎭⎫23n≥1－2×⎝⎛⎭⎫232＞0，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内至少存在一个零点， 又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0， 所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内单调递增， 因此f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内有且仅有一个零点a n ， 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23， 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝⎛⎭⎫23n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫23n .。

2022年高考仿真模拟卷二（浙江）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合U =R ，2{|20}A x x x =--<，{|ln 0}B x x =>，则()U A B ⋂=（ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x <≤ C ．{|11}x x -<≤D ．{|12}x x <<2．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示）1z =()111cos sin r i θθ+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos si i n z z rr θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，已知17πcos13z =πi cos 26+，215π11πcos isin 1313z =+，则12z z 在复平面内所表示的点位于（ ） A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限3．已知函数22(),()f x ax b g x ax b =+=-，下列条件，能使得（m ，n ）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ）A ．(0)1,()f f f m n -+成等差数列B ．(),()g m g g n 成等比数列C ．(),2()2,()f m n f m b f m n --+成等差数列D ．(),(),()g m n g m g m n -+成等比数列4．在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角α为某一范围内变动，ππ63α≤≤，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4⎤⎥⎣⎦ C ．2⎤⎥⎣⎦D ．423⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5．“耐尽推排趾未颠，莫嗤身价不多钱”是清代诗人叶际唐的诗句，诗句赞颂了不倒翁自强自立﹑坚韧不拔的精神.图()1是一些不倒翁模型，假设图()2是图()1中一不倒翁的三视图，其中r 是给定的正实数，则该不倒翁的表面积为（ ）A ．(222r π B 22r πC ．222r πD ．(222r π6．已知平面非零向量,,,a b c d 满足{}()(){},{||},0a b u u du d c v v a v b ⊆-=⋅∈-⋅-=∣∣，则对于任意的d 使得()()//a d b d --（ ）A ．()()0dc d ⋅≤恒有解B ．()()10d c d -⋅≤恒有解 C ．()()20d c d -⋅≤恒无解D ．()()30d c d -⋅≤恒无解7．已知定义在()()–1,00,1上的函数2221,01()1,10x x x f x x x ⎧⎪-<<=⎨--<<⎪⎩，给出下列四个结论：①存在0x 使得()00f x =； ②有且只有两个0x 使得()00f x x =；③不存在0x 使得()()()000f f x f x x ==；④有且只有两个0x 使得()()()00f f x f x =，其中所有错误结论的序号是（ ） A ．①③B ．①②C ．①②④D ．③④8．意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x xe e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()()1sin cos cos 22f x x x x ωωωα=--，且过点10,0,,222ππωα⎛⎫⎛⎫⎛⎫->∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．0α=B ．若1ω=-时，将()f x 的图象向右平移8π个单位长度得到的图象关于原点对称 C ．若282f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 最小正周期取最大值时，3ω=D ．若()f x 在[]0,2π上单调递增，则10,4ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦10．由于疫情防控需要，电影院观影实行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四个人结伴前往观影，已知目前只剩同一排的8个空位，甲、乙必须在丁的同侧，则不同的坐法种数是（ ） A ．16B ．40C ．80D ．120二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

高考小题分项练(二)1．(2021·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.122．若函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到y ＝f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝sin 2xC ．f (x )＝－cos 2xD ．f (x )＝－sin 2x3．函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π34．(2021·陕西)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 25．函数y ＝tan(πx 4－π2)(0<x <4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l与函数的图象交于C 、B 两点．则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A ．－8 B ．－4 C ．4D ．86．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )．若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π67．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则a ＋b 的最小值为( ) A.43 B.33 C.233 D.4338．函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)(A >0，ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，－3π4上单调递增，则ω的最大值是( ) A.12 B.34C ．1D ．2 9．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.32B.32 C ．3 D ．－3210．(2022·重庆)已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式确定成立的是( ) A ．bc (b ＋c )>8 B ．ab (a ＋b )>16 2 C ．6≤abc ≤12 D ．12≤abc ≤2411.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．若cos B ＝45，12．(2021·宁波模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋a sin A的值为________．13．(2021·嘉兴模拟)若将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ (φ>0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值为________．14．已知函数f (x )＝|cos x |·sin x ，给出下列五个说法：①f (2 014π3)＝－34；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )； ③f (x )在区间[－π4，π4]上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点(－π2，0)中心对称．其中正确说法的序号是________． 15．给出以下结论：①在三角形ABC 中，若a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →＝20； ②已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AC →|＝22；③已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则A ，B ，D 三点共线． 其中正确结论的序号为________.答案精析高考小题分项练(二)1．D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]2．A [y ＝sin 2x ――→图象上全部点向左移π4个单位y ＝sin 2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x .]3．A [由图知34T ＝5π12－(－π3)＝3π4，T ＝π，则ω＝2πT ＝2.留意到函数f (x )在x ＝5π12时取到最大值，则有2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，而－π2<φ<π2，故φ＝－π3.]4．B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos a ，b |≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 简洁推断恒成立．故选B.]5．D [由于函数y ＝tan(πx 4－π2)(0<x <4)的图象对称中心是(2k ＋2,0)(k ∈Z )．所以点A 的坐标是(2,0)．由于点A是对称中心，所以点A 是线段BC 的中点，所以OC →＋OB →＝2OA →.所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2(OA →)2＝2×4＝8.故选D.]6．C [依题意得，3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )， 3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1， 2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.]7．D [由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝(a ＋b )2－4，所以有43＝ab ≤(a ＋b 2)2，解得a ＋b ≥433.]8．C [函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)的图象向右平移π个单位得函数f (x )＝A sin ωx 的图象，问题等价于函数f (x )＝A sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π4上单调递增，故只要2πω≥2π，即ω≤1.] 9．A [由已知可知△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形，且A ＝π2.又由于|OA →|＝|AC →|，所以C ＝π3，B ＝π6，所以AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →上的投影|BA →|cos π6＝32.]10．A [由sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，得sin 2A ＋sin(A －B ＋C )－sin(C －A －B )＝12，即sin 2A ＋sin[A ＋(C －B )]＋sin[A ＋(B －C )]＝12，即2sin A cos A ＋2sin A cos(B －C )＝12，即sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝14，即sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝14.化简，得sin A sin B sin C ＝18.设△ABC 外切圆的半径为R ，由1≤S ≤2，得1≤12ab sin C ≤2，即1≤12×2R sin A ×2R sin B sin C ≤2，故1≤R 24≤2.由于R >0，所以2≤R ≤2 2.故abc ＝2R sin A ×2R sin B ×2R sin C ＝R 3∈[8,162]，即8≤abc ≤162，从而可以排解选项C 和D.对于选项A ：bc (b ＋c )>abc ≥8，即bc (b ＋c )>8，故A 正确；对于选项B ：ab (a ＋b )>abc ≥8，即ab (a ＋b )>8，故B 错误．故选A.] 11. 2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x . 又AB →·AF →＝2，∴x ＝1. ∴BF →＝(1－2，2)．∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.方法二 用AB →，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ， 又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22. ∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝⎛⎭⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 12．16 2解析 依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B＝16 2.13.5π12解析 由题意得，y ＝sin 2(x －φ)的图象关于直线x ＝π6对称，所以2(π6－φ)＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝－π12－k2π(k ∈Z )，因此当k ＝－1时，φ取最小值为5π12.14．①③解析 ①f (2 014π3)＝f (671π＋π3)＝|cos(671π＋π3)|sin(671π＋π3)＝cos π3(－sin π3)＝－34，正确．②令x 1＝－π4，x 2＝5π4，则|f (x 1)|＝|f (x 2)|，但x 1－x 2＝－6π4＝－3π2，不满足x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )，不正确． ③f (x )＝⎩⎨⎧12sin 2x ，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，－12sin 2x ，2k π＋π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴f (x )在[－π4，π4]上单调递增，正确．④f (x )的周期为2π，不正确．⑤易知f (x )的图象不关于点(－π2，0)中心对称，∴不正确．综上可知，正确说法的序号是①③. 15．②③解析 对于①，BC →·CA →＝ab cos(π－C )＝－ab cos C ＝－20；对于②，|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝22；对于③，由于AB →＝a ＋5b ，BD →＝BC →＋CD →＝a＋5b ，所以AB →＝BD →，则A ，B ，D 三点共线．综上可得，②③正确．。