行列式拉普拉斯定理

定理1(拉普拉斯定理)
在n阶行列式D中任取K个行(或K个列)
(1≤K<n),由这K行(列)元素构成的K阶
子式(共有 cnk个)与它们的代数余子式
的乘积之和等于行列式D.
即D=
S1 A1
S2
A2
...
S t
At
s1, s2 ,..., st 为某K个行构成的K阶子式;
A1, A2 ,..., At 分别是它们的代数余子式.
的代数余子式
A1
(1)(12)(12)
2 1
1 3,
2
A2
(1)(12)(13)
1 0
1 2,
2
A4
( 1) (1 2 ) ( 2 3)
0 0
1 0.
2
于是 D S1A1 S2 A2 S4 A4 3.3 2.(2) 5.
二 行列式的乘法公式
定理2
两个n阶行列式 a11 a12 ... a1n
除了左上角的n阶子式 D1之外,其余子式全为零,所以
D
D (1) D (12...n)(12...n)
1
2
D1D2
下面我们来证 D D.为此,对于I=1,2,…,n,将 D的
第n+1行的ai1 倍,第n+2行的 ai2倍,…,第2n行的ain倍
加到第i行,得
0 0 ... 0 c11 c12 ... c1n 0 0 ... 0 c21 c22 ... c2n ... ... ... ... ... ... ... ...
0 D
0 ... 0 cn1 cn2 ... cnn
1 0 ... 0 b11 b12 ... b1n
0 1 ... 0 b21 b22 ... b2n

这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.

行列式展开公式证明行列式展开公式，也称为拉普拉斯定理或余子式展开定理。

它是用于计算n阶方阵行列式的一种方法。

下面给出行列式展开公式的证明。

设A为一个n阶方阵，其元素为a_ij，其中1≤i,j≤n。

我们要证明行列式展开公式：det(A) = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * A_1n其中，A_ij表示元素a_ij的代数余子式。

证明过程如下：1. 首先，我们将A的n阶行列式拆分成n个部分，每个部分都以第一行的一个元素a_1j为基础。

det(A) = a_11 * B_11 + a_12 * B_12 + ... + a_1n * B_1n 其中，B_ij表示将矩阵A的第一行和第j列删除后得到的(n-1)阶方阵。

2. 接下来，我们对每个B_ij应用归纳法。

当n=2时，显然有：B_11 = a_22, B_12 = a_21B_21 = a_12, B_22 = a_11那么det(A) = a_11 * (a_22) + a_12 * (a_21) = a_11 * a_22 - a_12 * a_21，这是二阶方阵的行列式计算公式。

3. 假设对于所有小于n的正整数k，行列式展开公式成立。

我们来看B_11，即删除A的第一行和第一列后得到的(n-1)阶方阵。

根据归纳假设，我们可以将其展开为：B_11 = b_11 * C_11 + b_12 * C_12 + ... + b_1(n-1) * C_1(n-1) 其中，C_ij表示将矩阵A的第一行和第一列删除后得到的(n-2)阶方阵。

4. 然后，我们可以将det(A)展开为：det(A) = a_11 * (b_11 * C_11 + b_12 * C_12 + ... + b_1(n-1) * C_1(n-1))+ a_12 * (b_21 * C_21 + b_22 * C_22 + ... + b_2(n-1) * C_2(n-1))+ ...+ a_1n * (b_n1 * C_n1 + b_n2 * C_n2 + ... + b_n(n-1) * C_n(n-1))5. 接下来，我们观察每一项的乘积。

第三节
定义 1
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
在 n 阶 行 列 式 D 中 任 取 k 行 ( 第 i1 , i2 , , ik
1 k n .位于这些行和列的 行) k 列(第 j1 , j2 , , jk 列)，
交叉点上的元素按原来 相应的位置组成一个 k 阶行列式
N ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式．
0 0 0 0
0 0 a 11 a 1n b 11 b 1m
b 1m an1 ann bm1 bmm bmm
a11 a1n b11 b1m (1)mn an1 ann bm1 bmm
a11 a1n an1 ann c11 c1m
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定理 1（拉普拉斯定理） 设在行列式
D 中任意取定 D．
D 按某
k (1 k n 1) 行．由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子
式与它们相应代数余子式的乘积之和等于行列式
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D 按某 k
证明
North University of China
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
c d a b
d c b a
.
T 解 首先，根据行列式的性质，D D ， 其次，
a D DD
2 T
b a d c
N1
5 6 1 5
19 ， N 2
5 0 1 6
30 ， N 3