利用齐次线性方程组解的性质解决矩阵有关的问题

矩阵在解线性方程组中的应用摘要线性方程组的求解是代数学中一个比较重要的内容. 线性方程组求解过程中，掌握各种求解线性方程组的方法是至关重要的. 基于线性方程组和矩阵之间的联系，可以用线性方程组系数和常数项所构成的行列式矩阵来研究线性方程组的求解问题. 本文主要讨论矩阵的秩在方程组的解的判断中的应用、矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用. 关键词: 矩阵；线性方程组；矩阵的秩；初等变换一、引言矩阵和线性代数在高等代数中占据重要的位置，而解线性方程组在高等代数中也是十分重要的知识点. 中学时我们也初步了解并学习了解简单的线性方程组，知线性方程组的重要性，但是不是每一个线性方程组都有解，所以我们首先要做的就是判断线性方程组有无解， 通过对矩阵的学习，我们知道矩阵的秩可以判断线性方程组有无解，在有解的情况下可以利用矩阵求解线性方程组.在文献[1]中总结了矩阵、线性方程组的相关概念；文献[2]给出了线性方程组的一般解法的主要内容；文献[3-5]给出了矩阵的初等变换、矩阵的逆的相关概念概念以及龝矩阵的逆的一些相关问题；文献[6]给出了线性方程组解的判断条件；文献[7-10]给出了一些关于矩阵分析和解线性方程组问题分析中的简单的概念和应用. 本文主要研究矩阵和线性方程组的一些基本概念和其应用，通过矩阵来解线性方程组，并结合具体实际问题说明矩阵在解线性方程组中的应用，为今后的学习与研究提供有利工具.二、线性方程组的有关概念1. 线性方程组的定义定义 1[1] 一般线性方程组的定义是形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 的方程组，这里的n x x x ，，， 21代表n 个未知量，s 则表示为线性方程的未知个数. 如果我们知道一个线性方程组的全部系数以及它的常数项，那么这个线性方程组就可以确定了，线性方程组就可以用下面的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s sns s n n b a a a b a a ab a a a 21222221111211进行表示. 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b b 21，可知线性方程组的系数矩阵A ，未知数矩阵为X ，常数项矩阵为b ，则可得到b AX =. 若常数项矩阵为零矩阵即0=AX ，那么我们称之为齐次线性方程组. 反之，若常数项矩阵b 为非零矩阵，则称为非齐次线性方程组. 2. 线性方程组的一般解法对于线性方程组的求解，除了可以进行特殊变换而获得特定形式的特殊型之外，还有两种线性方程组的一般解法： （1）消元法[2]所谓消元法，就是在方程中利用矩阵的初等变换，一步一步地消去未知量的个数，最终得到一个具有阶梯性的方程组，如果我们把最终初等变换得到的关于“00=”的恒等式(如果出现的话)全部去掉，观察其余的阶梯形方程看是否有零等于一个非零的常数的，如果有，这个常数的方程组无解，如果没有，则有解. 假设在方程组有解的情况下，令r 为阶梯形方程中未知量的个数，由上述定义1知，s 则表示为线性方程的未知个数，当s r =时，方程组有唯一确定的解；当s r <时，方程组可以有无穷多个解. 消元法也是我们在中学时解线性方程组是常用的一种方法，但当未知量有n 个的时候，一个一个的消元工作量也会很大. （2）克拉默法则[2]克拉默法则是建立在逆矩阵的使用基础上，对于线性方程组进行的一般解法，但要注意的是，使用克拉默法则求解线性方程组是有条件的：一是方程组必须是线性的，二是待求解的线性方程组中的方程的个数和未知量的个数相等，三是满足未知系数的矩阵行列式D 不等于0，即0≠D ，满足以上三种情况则可使用克拉默法则.定义 2[1]给出克拉默法则的一般描述：如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式，即它的系数行列式为0≠=A d 那么这个线性方程组有解，有且只有唯一的解，其系数的表达如下：d d x 11=，d dx 22=， ，dd x n n =，则可以得到线性方程组的解. 但克拉默法则并不适用于所有的满足条件的线性方程组，因为它的计算量太大，一般我们也不怎么会使用克拉默法则的方法求解线性方程组.三、矩阵的有关概念1. 矩阵的概念定义 3[1] 由n m ⨯个数),,2,1,,,2,1(n j m i a ij ==构成m 行n 列并括以圆括弧或方括弧的数表. 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a La a M M M M a L a a a L a a A 212222111211称为n m ⨯矩阵. 例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=852*******A .2. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换不仅在矩阵的学习中是一个重要内容，在线性方程组中也有广泛的应用，首先，给出矩阵的初等变换.定义 4[3] 下面三种变换成为矩阵的初等变换（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用一个非零数k 乘矩阵的某行（列）； （3）矩阵的某行（列）的k 倍加到另一行（列）.3. 矩阵的秩[4]讨论矩阵和线性方程组的关系时，矩阵的秩是较为重要的概念. 定义 5 矩阵的秩是指矩阵()nm ija A ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rankA 或rA . 显然),min()(n m A r ≤易得：若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在),min(n m r <时，A 中所有的1+r 阶子式全为零，则A 的秩为r .矩阵的秩是判断线性方程组是否有解的重要条件. 因此，如何求解矩阵的秩是至关重要的. 目前，矩阵的秩的求解有如下两种方法.（1）矩阵的初等变换可以求解矩阵的秩（2）若矩阵为k 行，则先计算k 阶子式，若k 阶子式不为零，则秩为k ；如果k 阶子式为零，则计算1-k 阶子式，若1-k 阶子式中有一个不零，则秩为1-k ，若所有的1-k 阶子式都为零，则计算2-k 阶子式，以此类推，指导计算到m k -阶子式中不全为零，则秩为m k -为止.但第二种方法适应于k 较小时，当k 较大时，计算量大，也容易出错，此时可以利用矩阵的初等变换求矩阵的秩.有关矩阵的秩的求解，下面，我们提供了一些例题. 例 1[5] 求下列矩阵的秩⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1003011-60302-42-20121-1A . 解 由题意，利用初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000100300400001211040001403004000012111003014030040000121110030116030242201211------------， 所以矩阵A 的秩为3.例 2 求下列矩阵的秩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=814331116321B .解 矩阵B 经过初等变换，可得到矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110010101001， 则矩阵B 的秩为3.例 3 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=510312223A 的秩. 解 矩阵A 有3行，则计算0=A ，则计算2阶子式. 因为01-22-3≠，所以2)(=A r .下面总结了用初等变换法求矩阵的秩在解题过程中的步骤主要为： (1)通过初等行（列）变换将矩阵化为阶梯形；(2)由定理可知非零行的个数即为该矩阵的秩数，因此可以求出秩.4. 基于矩阵的线性方程组解的判断条件定理 1 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111有解的充分必要条件为：线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即r(A )=r(A )，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s sn s s n nb a a a b a a a b a a a A21222221111211. 若是n n ⨯阶的线性方程组，在判定线性方程组有解的条件下，我么还能通过矩阵的秩来进一步判定线性方程组解的个数：当n r <时，线性方程组有无穷解； 当n r =时，线性方程组有唯一的解.在一个齐次线性方程组中有非零行方程组解的充要条件，也就是它的系数增广矩阵的行列式等于零.例 4[6]判断下面的方程组有无解⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346212432131321x x x x x x x x 解 由题意可以知道，上式方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=426101214A ，它的增广矩阵可以写为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=341621011214A ，由初等变换，我们可以将增广矩阵化为矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9-2-1021012000， 可知2)(=A r ,3)(=A r ，因为2≠3，所以方程组无解.我们学会了利用矩阵的秩来判断方程组是否有解，那在方程组有解的情况下，我们就应该利用矩阵求解线性方程组.四、矩阵在解线性方程组中的应用以及解题思路矩阵的初等变换是解线性方程组的基本的方法，主要是将矩阵化为阶梯形的矩阵，主要的步骤有以下几步：第一步，写出线性方程组的一个增广矩阵；第二步，通过将增广矩阵化为阶梯形以此来判断线性方程组到底是否有解，当解存在时可以对矩阵进行以下步骤：第三步，把矩阵通过初等变换化为最简形式； 第四步，求出线性方程组的一个特解； 第五步，求线性方程组的一个通解. 例 5[7] 解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++8433632321321321x x x x x x x x x解 由题意，利用初等行变换可得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110010101001110032100101110032106321121032106321814331116321--- 可得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===111321x x x ， 所以原方程的解为（1,1,1）.例 6[8] 解下列齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-=+++=-++-=+-+=++-0441520410305202302343214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 分析 这是一个齐次线性方程组，但它的未知量的个数比较多，用消元法计算量还是很大的，这时我们就应该选择一种简单的方法去求解，我们可以利用矩阵的初等变换求线性方程组的解，这时我们只要把方程的系数矩阵描述出来，不写未知量，这也为我们节省了大量的计算和时间.解 方程的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡44-152-411031-152-21-31121-3 将系数矩阵初等化为阶梯形矩阵，可得→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡55-10031-11031-1105-510-021-3144-152-411031-152-121-321-3144-152-411031-152-21-31121-3⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000095-1001-41021-310000005-9002-41021-31⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000000095-100920109130010000000095-10092010913031 所以方程的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=434241959297x x x x x x ， 其中4x 为未知量. 当取94=x 时，方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=952-7-η，所以原方程通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==9527k k X η.例 7[9] 求解下列线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=-+-=+--0411226234432134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x分析 首先计算出方程组的系数矩阵和增广矩阵，并对这两个矩阵进行简化，然后对比两个矩阵的秩是否相等从而判断解的存在情况. 解：对增广矩阵进行下列变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000004-000022-500113-1-12-25-0026-150022-500113-1-104112-262-34-431-21-1113-1-1A ，首先判断方程组是否有解，根据增广矩阵A 和系数矩阵A 的关系可以知道,2)(=A r ,3)(=A r ，可以看出32≠，所以我们可以知道这个线性方程组没有解.例 8[10] 讨论b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解；无解；无穷多解，当有无穷多解时，求出通解.分析 此线性方程组为非齐次线性方程组，这题中通过判断线性方程组是否有解来求出未知数，判断线性方程组是否有解，就是要判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相同，若有解，则可求出线性方程组的解.解 对线性方程组的增广矩阵进行过下列变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=01000101001221001111132102310122100111110232-31-01221001111a b a a b a a b a A（1）当1≠a 时，方程组有唯一的解； （2）当11-≠=b a 且时，方程组无解； （3）当11-==b a 且时，方程组有无穷多解. 此时方程组为⎩⎨⎧=++=+++12204324321x x x x x x x ， 可得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011-α，导出组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-1012-121ηη，，于是通解为2211ηηαβk k ++=.总结 在解线性方程组的问题中，首先先准确地判断方程组是否有解，以在方程组解存在的情况下为基础，那么在齐次线性方程组中，若齐次线性方程组的任何一组基础解为r n -ξξξ，，， 21，我们称它为方程组的一个基础解系，齐次线性方程组的任何一解都能表成r n -ξξξ，，， 21的线性组合.而在非齐次线性方程组中，应先求出0=Ax 的基础解系，则0=Ax 的通解为r n r n k k k x --+++=ξξξ...2211，设η为非齐次线性方程组b Ax =的特解，r n -ξξξ，，， 21为对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则b Ax =的通解为ηξξξ++++=--r n r n k k k x ...2211，在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.结论矩阵在我们求解解线性方程组中已经有了广泛的研究和应用，主要是通过矩阵的初等变换求线性方程组的解，而且矩阵的初等变换还可以很好地帮助我们更准确地判断线性方程组解是否存在的实际情况. 另外，通过矩阵的初等变换可以求出矩阵的秩以此来快速判断线性方程组的解也是非常重要的一种解题方法. 总而言之，矩阵再解线性方程组中有重要的作用，能够帮助我们更好地理清这类复杂问题的基本解题方法和思路，从而能让我们在实践中更好的灵活运用矩阵来快速求解线性方程组.参考文献[1] 北京大学数学系前代数小组. 高等代数[M]. 第四版. 北京：高等教育出版社，2013. [2] 林清. 矩阵在解线性方程组中的应用[J]. 湛江市高级技工学校，2015(11)：583. [3] 郑庆云，宋一杰，杨晓叶. 利用矩阵初等变换求解方程组的解[J]. 阴山学刊，2017(01)： 23-26.[4] 王玉兰. 矩阵求逆和齐次线性方程组的基础解系的统一算法[J]. 内蒙古科技与经济，2002(11)：142.[5] 吴英柱. 矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨[J]. 广东石油化工学院学报，2017(1)：71-75,94.[6] 王卿文. 线性代数核心思想及应用[M]. 北京：科学出版社，2012.[7] 辛奎东. 关于线性方程组新解法的探索[J]. 黑龙江科技信息，2012(02)：222-222.[8] 于永新. 用矩阵的初等行变换求齐次线性方程组的标准正交解系[J]. 辽宁科技大学学报， 2016(3)：17.[9] 付美鑫. 利用行列式、矩阵求解线性方程组[J]. 黑龙江科学，2017(3)：45-46.[10] 骆旗，褚青涛. 浅析矩阵在解线性方程组中的作用[J]. 时代教育，2018(7)：139-139.11。

齐次线性方程组的解
齐次线性方程组是一类特殊的常系数线性微分方程组.它的特点是由相
同的形式的n个方程和相应的n个未知数组成.齐次线性方程组解可以由三
种解法来解决：主元消去法、特征根法和势能法。

主元消去法是一种简单而有效的方法，它使用矩阵形式的表示法，将
齐次线性方程组转换成矩阵形式，其中每一行都有一个主元。

首先，将系
数矩阵分解为三角形矩阵，然后使用向前代替法使解变成一维向量，最后
用逆序求解，从而得到解。

该方法消耗较多的计算阵列，如果有大量的变量，需要大量的存储空间。

另一种常用的算法是特征根法，它采用特征矩阵的思想，将系数矩阵
视为变换矩阵，并以变换矩阵特征来分析计算限制条件，从而得到齐次线
性方程组的解。

该方法精确，不用反复计算，但是如果系数矩阵变换后形
成不完备特征矩阵，则会使原表示变得复杂，在求解时会出现问题，除此
之外，这种方法也需要大量的计算量才能得到解，在有大量的变量的情况
下并不实用。

最后，势能法是一种综合的分析方法，它结合分析学和计算机科学这
两个学科，从分析的角度出发，把线性微分方程写成一个势能函数，然后
用特定的算法求解出势能函数的最小值，从而得到该齐次线性方程组的解。

这种方法有很好的精度，而且不受解空间大小限制，但是计算量很大，速度很慢。

总之，齐次线性方程组可以由主元消去法、特征根法和势能法这三种解法来求解，但是每种方法有各自的优缺点，在变量多的情况下，需要根据实际情况选取合理的解法来求解齐次线性方程组，以达到最优的效果。

线性方程组解的结构解法一、齐次线性方程组的解法定义 rA = r <n ,若AX = 0A 为m n ⨯矩阵的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：1 ,,,n r -12ξξξ线性无关;2 AX = 0 的任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 ;其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.齐次线性方程组的关键问题就是求通解, 而求通解的关键问题是求基础解系. 定理 若齐次线性方程组AX = 0有解,则1 若齐次线性方程组AX = 0A 为m n ⨯矩阵满足()r A n =,则只有零解；2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.注：当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.注：1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组;由上述定理可知,若m 是系数矩阵的行数也即方程的个数,n 是未知量的个数,则有：（1） 当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； 3当m n =且()r A n =时,若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解； 4当m n >时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >,则齐次线性方程组无解;1、求AX = 0A 为m n ⨯矩阵通解的三步骤1−−→A C 行行最简形; 写出同解方程组CX =0. 2 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;3 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.例题1 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠,不可以用行列式的方法来判断,从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解,即12340x x x x ====. 注：此法仅对n 较小时方便例题2 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ,4x ,5x 为自由未知量令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-； 令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-； 令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-, 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++1k ,2k ,3k R ∈. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解,()m n r r ⨯=A A用初等行变换求解,不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη,12,,,n r k k k -为任意常数;其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系,0η为AX = b 的特解,定理1 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解,α是其导出组AX=0的一个解,则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解;定理2如果0η是非齐次线性方程组的一个特解,α是其导出组的全部解,则αη+0是非齐次线性方程组的全部解;由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解,r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系; 例题3判断下列命题是否正确, A 为m ⨯n 矩阵.1若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因rA =n , rA = n = rA |b2若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因rA <n , rA = rA |b3若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, rA = rA |b =n. 4若AX =0有非零解,则A TX=0也有非零解.答:错,A 为m ⨯n , rA =m <n , rA T=m , 这时A TX=0只有零解. 例如A 为3⨯4, RA =3 <4, rA T=3=m . 5若rA =r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,rA =r =m= rA |b .6若rA =r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m ⨯n ,当m >n 时, 可以rA |b =n +1. ⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例题4 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==,则方程组有唯一解,所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠,则原方程组无解例题5解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可见()3()2r A r A =≠=,所以原方程组无解.⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例题6解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ,4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ,4x 为自由未知量令31x =,40x =,得121,2x x =-=；令30x =,41x =,得125,7x x ==-,于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;所以,原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++1k ,2k R ∈.例题7 求线性方程组：12341234123421,22,2 3.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23r r ↔−−−→ 121120112103333-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 23212(3)(2)(1)r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-−−−−→ 103340112100636⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦33331()3123()212r r r r ⨯-⨯⨯-⨯−−−−→310012301002100112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()34r A r A ==<,所以方程组有无穷多解,其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量 令40x =,可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数,得1233,3,1x x x ==-=,于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以,原方程组的通解为 X k ηξ=+ k R ∈.例题8求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解;解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=421500421500421500312331515493111231203162312331A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→000000000000421500312331因为52)()(<==A r A r ,所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未知量为542,,x x x , 原方程组与方程组⎩⎨⎧-=-+-=+-++425323354354321x x x x x x x x 同解取自由未知量542,,x x x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000,得原方程组的一个特解： T ⎪⎭⎫⎝⎛=0,0,54,0,530η再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组⎩⎨⎧=-+-=+-++025023354354321x x x x x x x x 同解对自由未知量542,,x x x 分别取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100,010,001,代入上式得到其导出组的一个基础解系为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100,010,0001352513515721ααα 则原方程组的全部解为：0332211ηααα+++=C C C X 三、证明与判断例题9已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,证明,,211ηηη+321ηηη++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系;证：由已知可得：齐次线性方程组AX ＝0的基础解系含有3个解向量,并且由齐次线性方程组解的性质可知321211,,ηηηηηη+++都是AX ＝0的解；因此只要证明321211,,ηηηηηη+++线性无关即可; 设存在数321,,k k k 使0)()(321321211=+++++ηηηηηηk k k 成立; 整理得： 0)()(332321321=+++++ηηηk k k k k k 1已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,即得321,,ηηη线性无关,则由1得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,解得：0321===k k k 所以321211,,ηηηηηη+++线性无关; 即321211,,ηηηηηη+++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系; 例题10已知,,,1234ξξξξ是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,若,,,t t t =+=+=+112223334ξξξξξξηηη t =+441ξξη;讨论t 满足什么条件时,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系解：首先,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的解,只须证,,,1234ηηηη线性无关.由已知有：(,,,)(,,,)t tt t⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭12341234100100010001ξξξξηηηη 因为：,,,1234ηηηη线性无关0t tt t⇔≠100100010001, 即t t t t=100100010001t -≠041, 所以当t ≠ ±1时, ,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系例题11已知n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且rA =n -1,求线性方程组AX =0的通解. 解 ：由rA =n -1知AX =0的基础解系有一个非零解向量. 又0,,,,i i in a a a i n +++==1212, 即0i i in a a a ⋅+⋅++⋅=12111T (,,,),k ∴=111X k 为任意常数为所求通解.例题12设X 1,X 2,…, X t 是非齐次线性方程组 AX =b ≠0 的解向量,证明： 对于X 0=k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t当k 1 +k 2+…+k t =1时, X 0是AX =b 的解；当k 1 +k 2+…+k t =0时, X 0是AX =0的解. 证 ：AX 0=Ak 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t =k 1 AX 1+k 2 AX 2+…+k t AX t =k 1 b +k 2 b +…+k t b =k 1+k 2+…+k t b故：当k 1+k 2 +…+k t =1时, AX 0 =b 当k 1 +k 2+…+k t =0时, AX 0=0由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解例题13已知,12ηη为=AX β的两个不同解,12,ξξ是0AX =的一个基础解系.12,k k 为任意常数. 则=AX β的通解为 答案B (A)().k k -+++12112122ξξξηη (B)().k k ++-+12112122ξξξηη(C)().k k -+++12112122ξηηηη (D)().k k ++-+12112122ξηηηη例题14设321,,ηηη是四元非齐次线性方程组AX ＝b 的三个解向量,且矩阵A 的秩为3,()()TT 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ηηη,求AX ＝b 的通解;解：因为A 的秩为3,则AX ＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量;由线性方程组解的性质得：)()(21312132ηηηηηηη-+-=-+是AX ＝0的解, 则解得AX ＝0的一个非零解为：()T5,4,3,22132----=-+ηηη;由此可得AX ＝b 的通解为：()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+;例题15设A 是4阶方阵, β≠0是4×1矩阵, 1234()2,,,,=r A ηηηη是AX =β的解,且满足 122334232401,2,3030831⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη试求方程组AX =β的通解.解：先求AX =β的一个特解12112()024*⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ηηη再求AX =β的一个基础解系112230112()(2)1233⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ξηηηη,21234272()(3)015⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξηηηη因为124()2,,R -=A ξξ线性无关,所以12,ξξ是0AX =的一个基础解系.故方程组AX =β的通解是1122k k *=++=X ξξη121022*********k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 12,k k 为任意常数.例题16设矩阵A ＝()()s n ij nm ijb B a ⨯⨯=,;证明：AB ＝0的充分必要条件是矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解;证：把矩阵B 按列分块：()s B B B B ,,,21 =,其中i B 是矩阵B 的第i 列向量),2,1(s i =,零矩阵也按列分块()s s m O O O O ,,,21 =⨯ 则()s AB AB AB AB ,,,21 = 必要性：AB ＝0可得： ),,2,1(,s i O AB i i ==,即i B 是齐次方程组AX=0的解;充分性：矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解,即有 ),,2,1(,s i O AB i i ==得：()s AB AB AB AB ,,,21 =()s O O O ,,,21 =,即证;。

线性方程组的解法与矩阵的秩线性方程组是数学中常见的问题，研究线性方程组的解法有助于我们理解和解决复杂的线性关系。

而矩阵的秩是评估矩阵性质与解决方程组的重要指标之一。

本文将介绍线性方程组的几种解法，并深入探讨矩阵的秩对于解方程组的作用。

一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的传统方法之一。

通过初等行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，再倒推得到未知数的特定解。

根据高斯消元法的步骤，我们可以将线性方程组的解逐步求得。

二、矩阵的秩在讨论矩阵的秩之前，先介绍一下矩阵的概念。

矩阵是由数按照一定规则排列组成的矩形阵列。

在矩阵中，行和列是基本的组成单位。

而矩阵的秩是指线性无关的行（列）的最大数目。

矩阵的秩与线性方程组之间有重要的联系。

当我们将线性方程组写成矩阵形式Ax=b时，如果矩阵A的秩与方程组的未知数个数相等，那么该方程组有唯一解。

当矩阵A的秩小于未知数个数，方程组无解；当矩阵A的秩等于未知数个数，方程组有无穷多个解。

三、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指通过三种基本操作改变矩阵的行，从而得到一个新的矩阵的过程。

这三种基本操作分别是：交换两行，其中一行乘以一个非零数后加到另一行，以及一行乘以一个非零数。

通过这些基本操作，我们可以将矩阵转化为行阶梯形式，便于求解线性方程组。

四、矩阵的秩与线性无关矩阵的秩与线性无关性质有密切关系。

对于一个矩阵，其行（列）向量组中的各向量之间的线性关系与矩阵的秩有直接联系。

当矩阵的秩等于向量个数时，它们是线性无关的；当矩阵的秩小于向量个数时，它们是线性相关的。

通过判断矩阵的秩，我们可以得知向量组的线性关系。

五、矩阵的秩与解方程组矩阵的秩在解决线性方程组时发挥重要作用。

当矩阵A的秩等于未知数个数时，方程组有唯一解。

我们可以利用高斯消元法或矩阵的求逆等方法求解。

当矩阵A的秩小于未知数个数时，方程组无解。

这时我们可以通过矩阵的列空间和行空间来分析方程组的性质。

当矩阵A的秩小于列数，并且行空间中包含自由变量时，方程组有无穷多个解。

当时,有非零解,根据齐次线性方程组解的性质知,一定有无穷多解(优选)word资料当n A r n m <⨯)(时，0=Ax 有非零解，根据齐次线性方程组解的性质知，0=Ax 一定有无穷多解。

当n A r n m <⨯)(时方程组0=Ax 存在)(A r n -个解向量，而方程组)0(≠=b b Ax 恰好存在1)(+-A r n 个解向量，即b Ax =比对应的方程组0=Ax 刚好多一个解向量。

关于消元法消元法是求解线性方程组的最基本最有效的方法，消元的目的是通过同解变形将方程组中某些方程中的未知量个数减少，以便于求解，一般地是希望通过消元把方程组化成阶梯形方程组。

消元的过程只涉及到以下三种变换（称为线性方程组的初等变换）（1） 变换某两个方程的位置（2） 用非零数k 乘某方程的两端（3） 把某方程的倍数加到另一方程上去可见，对方程组用消元法求解，相当于对方程组的对应矩阵（齐次线性方程组的系数矩阵、非齐次线性方程组的增广矩阵）施行初等行变换，而化方程组成阶梯形方程组相当于把方程组对应的矩阵化成阶梯形矩阵。

注意在化阶梯形矩阵的过程中只能用初等行变换。

（1） 如果s ηηη,,,21 是方程组0=Ax 的解，则s s k k k ηηη+++ 2211也是它的解。

（2） 设s γγγ,,,21 是b Ax =的解，s k k k ,,,21 为常数，且121=+++s k k k ，则s s k k k γγγ+++ 2211也是b Ax =的解。

非齐次组b Ax =与齐次组0=Ax 解的关系b Ax =有解⇔秩（A ）=秩（A ）=⎩⎨⎧=⇔<=⇔=有无穷多解有惟一解b Ax n b Ax n rb Ax =有惟一解⇒（相反的方向不能推出）0=Ax 只有零解⇔秩（A ）=n b Ax =有无穷多解⇒（相反的方向不能推出）0=Ax 有非零解⇔秩（A ）〈n 注：非齐次方程组b Ax =有无穷多解（惟一解），则0=Ax 有非零解（仅有零解），但反过来不成立，即0=Ax 有非零解（仅有零解），不能推导出b Ax =有无穷多解（惟一解），甚至可能无解，因为由秩（A ）〈n （=n ），不一定能得到秩（A ）=秩（A ）。

**大学理学院本科考查（课程论文）专用封面学年学期：2019-2020学年第1学期课程名称：高等代数任课教师：**论文/作业题目：《线性方程组及其矩阵解法》年级专业：19数学类姓名学号：************提交时间：2019.12.15评阅成绩：评阅意见：阅卷教师签名：2020年1月4日摘要解方程是代数中一个基本的问题，对于多元一次方程组，用矩阵来求解及讨论其的是否有解，是否只有唯一解和多解之间的解的结构问题是一个相对简便和可行的办法。

本文主要列出矩阵和多元线性方程组性质和概念，对其定理进行证明和讨论，然后找出定理的推论进行归纳总结。

最后提出个人的思考与留下的疑问。

关键词：高等代数；线性方程组；矩阵；性质；证明；思考AbstractSolving equations is a basic problem in algebra. For multivariate linear equations, the matrix is used to solve and discuss whether there is a solution, whether there is only one solution and structural problems of solutions between multiple solutions, and it a relatively simple and feasible method. The paper mainly lists the properties and concepts of matrices and discusses their theorems, and then finds out the inferences of the theorems and summarizes them. At last, I put forward my personal thoughts and left questions.Key words: Higher algebra; System of linear equations; Matrix; Nature; Prove;1. 引言线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。

齐次线性求解技巧齐次线性方程求解是线性代数中的一个重要问题。

齐次线性方程组由线性方程组的特殊情况，即右端项全为零的情况下，需要求解未知数的取值。

在求解齐次线性方程时，可以运用一些技巧来简化计算的复杂性。

本文将介绍几种常用的齐次线性方程求解技巧。

1. 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系是指方程组的解集中的一组解构成的向量组，它可以表示方程组所有解的线性组合。

求解齐次线性方程组时，我们需要找到其基础解系。

求解齐次线性方程组的基础解系的一种方法是通过高斯消元法。

我们可以将方程组的增广矩阵进行高斯消元，将其化为行阶梯形矩阵，然后找出其中的自由变量，自由变量对应的列向量就是基础解系的一部分。

例如，考虑一个齐次线性方程组：```x + 2y - z = 02x + y + 3z = 03x + 4y + 2z = 0```将其增广矩阵进行高斯消元，得到行阶梯形矩阵：```1 2 -1 00 -3 5 00 0 0 0```可以看到第三个变量z是自由变量，我们可以令z = 1，求解出x和y的值。

这样得到一组解向量(2, -1, 1)。

然后我们可以令z = 0，再次求解出x和y的值，得到另一组解向量(-2/3, -1/3, 0)。

所以基础解系为{(2, -1, 1), (-2/3, -1/3, 0)}。

2. 齐次线性方程组的解的性质在求解齐次线性方程组时，我们可以利用解的线性性质来简化计算。

首先，齐次线性方程组的零解，即所有未知数都等于零的解，一定是它的解。

此外，如果方程组有解，那么方程组的解集一定是一个线性空间。

其次，如果方程组有非零解，那么方程组的解集中一定包含无穷多个解。

这是因为对于任意非零解x和任意标量k，kx也是方程组的解。

另外，如果方程组有一组基础解系，那么这组基础解系能够生成方程组的所有解。

如果我们知道了方程组解的一个特解，那么可以从这个特解出发，使用基础解系的线性组合来得到方程组的其他解。

矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。

换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。

于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。

其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。

问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。

非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。

其中),(~b A A = 为增广矩阵。

问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。

证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。

矩阵的秩的一类新的证明方法唐睿;董晓亮;薛淑悦;朱乾宏【摘要】基于齐次线性方程组解的理论,利用集合的包含关系,给出了若干个关于矩阵的秩的不等式的新的证明方法.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】3页(P80-81,87)【关键词】矩阵的秩;齐次线性方程组;包含关系;直和【作者】唐睿;董晓亮;薛淑悦;朱乾宏【作者单位】北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O221.2董晓亮，(1981-)，男，甘肃静宁人，讲师，博士，硕士生导师.研究方向:最优化理论及方法.矩阵的秩作为高等代数中基本而重要的概念，体现了矩阵在初等变换下的不变量，刻画矩阵在运算前后的秩之间的变化关系.矩阵的秩的关系式内容丰富，其证明方法多样且有一定难度，一直是教学的重点和难点[1，2].教科书中对于矩阵中关于秩的关系式的证明多是考虑其列(或行)极大线性无关组，通过向量组的秩建立相应的关系式.本文中，尝试通过构造齐次线性方程组，利用直和分解和方程组的解空间等理论去证明秩的关系式.1 预备知识定义1[1] 设A∈Rs×n，矩阵的行秩和矩阵的列秩统称为矩阵A的秩；一个矩阵A 的秩为r的充分必要条件是矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式都为零.定义1分别从向量组的秩和矩阵中的行列式的关系刻画了矩阵的秩.对于一个实际问题而言，通常采取用初等变换法、子式法和求矩阵的列向量组或行向量组的极大无关组去求解矩阵的秩.定理1[1] 给定向量组η1,η2,…,ηt，其生成子空间L=L{η1,η2,…,ηt}.则子空间的维数和向量组的秩二者相等，即dim(L)=R{η1,η2,…,ηt}.对一个矩阵A而言，与A相关的有三个重要的线性空间，分别是A的行向量组和列向量组分别生成的子空间，以及将A看作是一个线性变换，该线性变换的核子空间.下面给出它们的定义.定义2[1] 设A∈Rs×n，由矩阵A的行向量组生成的子空间称为A的行空间；由矩阵A的列向量组生成的子空间称为A的列空间；以矩阵A为系数矩阵对应的齐次线性方程组的解集形成的子空间称方程组Ax=0的解空间(矩阵A的的零空间)，记为ΩA={x|Ax=0}.定理2[1] 设V1,V2是有限维线性空间W的子空间，令W=V1+V2，则直和W=V1⊕V2成立与如下几个命题等价：①dim(W)=dim(V1)+dim(V2)；②V1∩V2={0}；③零元素的分解是唯一的，即0=01+02,0i∈Vi(i=1,2).定理3[1] 在齐次线性方程组AX=0有非零解的情况下，它的基础解系所含解的个数等于n-r，这里n是变量的个数，r=r(A).注1 设A∈Rs×n，以及η1,η2,…,ηs是A的s个行向量，齐次线性方程组AX=0对应了即A构成的行空间正交于解空间.换言之，A的行空间和方程组Ax=0的解空间构成直和Rn，即ΩA⊕A行空间=Rn，则由定理2知矩阵的秩+解空间的维数=n.这一点实际是定理3在空间分解上的关于维数公式的生动诠释.2 若干结论本节考虑基于齐次线性方程组解的理论，利用集合的包含关系，给出了若干个关于矩阵的秩的关系式的新的证明方法.命题1 R(AB)≤min{R(A),R(B)}.证明构造线性方程组BX=0和ABX=0，其中系数矩阵A∈Rm×s,B∈Rs×n.不妨设相应的解集为ΩB和ΩAB.容易知道，BX=0的任一解为ABX=0的解，从而ΩB⊆ΩAB，以及dim(ΩAB)≥dim(ΩB).另一方面，由注1可得如下关系式(1)则有R(AB)≤R(B).基于对称的思想，利用“转置运算不改变矩阵的秩”这一事实，可类似地构造方程组ATY=0，BTATY=0，并仿上证得R(BTAT)=R(AB)≤R(A).综上所述，R(AB)≤min{R(A),R(B)}.注2 系数矩阵的行空间与对应的齐次线性方程组的解空间形成了直和，从而“两个空间的和的维数等于各自维数的和”.既然ΩB⊆ΩAB，从而结论可以看作是“此增彼减”的反映.而矩阵中三秩合一，两个行空间的秩的大小关系就反映到矩阵的秩的大小变化关系.命题2 R(A)=R(AT)=R(AAT)=R(ATA).证明观察得到：构造线性方程组AX=0，两边左乘AT得ATAX=0，说明二者对应的解集存在ΩA⊆ΩATA.反之，如果ATAX=0，在ATAX=0两边左乘XT从而XTATAX=(AX)T(AX)=||AX||2=0，即AX=0，故ΩATA⊆ΩA.综上所述，两个方程组同解，结合注1知R(ATA)=R(A)，类似地，可得到R(A)=R(AT)=R(ATA)=R(AAT).命题3 若AB=0，其中A∈Rm×s,B∈Rs×n则有R(A)+R(B)≤n.证明记则有设β1，β2，…，βn是方程组AX=0的解，而β1，β2，…，βn的生成子空间L{β1，β2，…，βn}⊆ΩA.由定理2可得:dim(ΩA)=n-R(A)，R(B)≤dim(ΩA)=n-R(A).从而命题获证.命题4 若A∈Rm×n,B∈Rm×n，则有R(A+B)≤R([AT,BT]).证明构造线性方程组其中x∈Rn两边同时左乘[Im,Im]，得到另一个齐次线性方程组则有Ω[AT,BT]≤ΩA+B.根据注1，则命题结论成立.3 结束语本文通过构造齐次线性方程组，利用解集的包含关系讨论了几类基本的秩的关系式.从中可以看出，通过矩阵A的行空间和方程组Ax=0解空间形成直和的实质可以更方便的得到矩阵的秩的变化关系，可以进一步理解和掌握其中矩阵的秩的相关结论的证明.参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京: 北京大学出版社,2000:126-154.[2] 孟道骥．高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社，1998:215-221.。