2019届一轮复习人教A版算法、复数、推理与证明学案

2019 版高考数学一轮复习全册学案第 1 讲算法初步板块一知识梳理·自主学习[ 必备知识 ]考点 1算法的框图及结构1．算法算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确程序或有限的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．3．三种基本逻辑结构考点 2算法语句的格式及框图1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能2．条件语句的格式及框图(1)IF － THEN格式(2)IF － THEN－ ELSE格式3．循环语句的格式及框图(1)UNTIL 语句(2)WHILE 语句[ 必会结论 ]1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的2019 版高考数学一轮复习全册学案条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[ 考点自测 ]1．判断下列结论的正误．( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．()(2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．()(3)算法可以无限操作下去 . ()(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的. ()(5)?是赋值框，有计算功能． ()(6)当型循环是给定条件不成立时执行循环体，反复进行，直到条件成立为止. ()答案 (1) × (2) √ (3) ×(4) √ (5) ×(6) ×2．[2017 ·北京高考 ] 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为()358A． 2 B. C. D.235答案C解析开始： k＝0， s＝1；第一次循环： k＝1， s＝2；3第二次循环： k＝2， s＝；5第三次循环： k＝3， s＝3，此时不满足循环条件，输出s，5故输出的 s 值为3.故选C.3．[2016 ·全国卷Ⅱ] 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 x＝2，n＝2，依次输入的 a 为2,2,5，则输出的 s＝()A． 7B． 12C． 17D． 34答案C解析k＝0，s＝0，输入 a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入 a＝2， s＝2×2＋2＝6，k ＝2；输入a＝ 5，s＝6×2＋ 5＝ 17，k＝3>2，输出s＝ 17. 故选 C.4．[2017 ·山东高考] 执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为 2，则空白判断框中的条件可能为()A．x>3?B．x>4?C．x≤4?D．x≤5?答案B解析输入 x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log 24＝ 2，符合题意，结合选项可知应填x>4？.故选B.15．[2018 ·乐山模拟] 一算法的程序框图如图所示，若输出的y＝，则输入的x 可能为2()A．－ 1B． 1C． 1 或 5D．－ 1 或 1答案B解析是一个用条件分支构的算法，sin πx，x≤2程序框所表示的算法的作用是求分段函数y＝6的函数，出2x，x>2的果1，当x≤2 ， sinπx＝1，解得x＝ 1＋ 12，或x＝ 5＋ 12k，∈ Z，即x＝1，－ 7，262k k－11，⋯当x>2，2x＝1，解得 x＝－1(不符，舍去)，2入的 x 可能 1.故 B.板二典例探究·考向突破考向算法的基本构例 1 [2017 ·全国卷Ⅲ ] 行如所示的程序框，使出S 的小于91，入的正整数 N的最小()A． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2答案D解析假设 N＝2，程序执行过程如下：t＝ 1，M＝ 100，S＝ 0，1001≤2，S＝ 0＋ 100＝ 100，M＝－10＝－ 10，t＝ 2，－102≤2，S＝ 100－10＝ 90，M＝－10 ＝1，t＝3，3＞ 2，输出S＝90＜ 91. 符合题意．∴ N＝2成立．显然 2 是最小值．故选 D.触类旁通利用循环结构表示算法应注意的问题(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；(2)注意选择准确地表示累计的变量；(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．【变式训练1】[2018 ·河南百校联盟] 《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的 a 的值为()A． 4B． 5C． 7D． 11答案A解析起始阶段有m＝2a－3， i ＝1，第一次循环， m＝2(2 a－3)－3＝4a－9， i ＝2；第二次循环， m＝2(4 a－9)－3＝8a－21， i ＝3；第三次循环， m＝2(8 a－21)－3＝16a－45，i ＝4；接着计算 m＝2(16 a－45)－3＝32a－93，跳出循环，输出 m＝32a－93，令32a－93＝35，得 a＝4.考向算法的交汇性问题命题角度1与函数的交汇问题例 2 [2018 ·郑州模拟 ] 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的 s 属于()A． [ －3,4] B2019 版高考数学一轮复习全册学案C． [ －4,3] D．[－2,5]答案A解析当－ 1≤t＜ 1 ，s＝3t，s∈[ － 3,3) ．当 1≤t≤3 ，s＝ 4t－t2. 函数在 [1,2]上增，在[2,3]上减．∴s∈[3,4]．上知 s∈[－3,4]．故 A.命角度2与数列求和的交例3行如所示的程序框，出的k＝()A． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10答案C解析由程序框可知，当，＝1＋1＋⋯＋1 s1×2 2×3n n＋1k＝1， s＝1，当 k＝2， s＝1＋1k＝ n，当1×21×22×3＝ 1－1＋1111＝ 1－1，由 1－1 2－3＋⋯＋－n＋1 2n n＋1n＋1≥9?≥ 9，即当k＝9 ，s＝9. 故 C.10n10命角度 3与的交例 4 在 2017～ 2018 季 NBA季后中，当一个球行完7 比被淘汰后，某个球好者的7 比得分情况行，如下表：次1234567 i得分1191991x i00048057600了个的情况行分析，此人算σ 的算法流程如所示( 其中x是 7比的平均得分) ，求出的σ的．2019 版高考数学一轮复习全册学案1解由题知x ＝7(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程图可知s＝(100 － 100) 2＋ (104 － 100) 2＋ (98 － 100) 2＋ (105 － 100) 2＋ (97 － 100) 2＋ (96 － 100) 2＋ (100 －2s100) ＝ 70.故σ ＝7＝ 10.触类旁通解决算法的交汇性问题的方法循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．考向基本算法语句例 5[2018 ·南京模拟 ] 执行下边的程序，输出的结果是________．S＝1i ＝3WHILE S<＝ 200S＝ S*ii ＝ i ＋ 2WENDPRINT iEND答案11解析根据循环结构可得：第一次： S＝1×3＝3， i ＝3＋2＝5，由3≤200，则循环；第二次：S＝3×5＝15，i ＝5＋2＝ 7，由 15≤200，则循环；第三次：＝15×7＝ 105，i ＝ 7＋ 2＝ 9，由 105≤200，则循S环；第四次： S＝105×9＝945， i ＝9＋2＝11，由945>200，则循环结束，故此时i ＝11.基本算法语句应用中需注意的问题(1) 赋值号“＝”的左、右两边不能对调，＝和＝A 的含义及运行结果是不同的；A B B(2)不能利用赋值语句进行代数式的演算 ( 如化简、因式分解等 ) ，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值；(3) 赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N＝ N＋1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N的值加上1再赋给变量 N，这样原来的值被“冲”掉．【变式训练 2】 [2018 ·龙岩质检 ] 如图所示的程序，若最终输出的结果为63，则在程64序中横线 ____？ ____处应填入的语句为()A．i >＝ 8 B ．i >＝ 7 C ．i <7 D ．i <8答案B11133解析S＝0，n＝2，i ＝1，执行 S＝2，n＝4，i ＝2；S＝2＋4＝4，n＝8，i ＝3；S＝4＋1771151513131 8＝8，n＝16，i ＝4；S＝8＋16＝16，n＝32，i ＝5；S＝16＋32＝32，n＝64，i ＝6；S＝32＋1 ＝63，＝ 128，＝ 7. 此时满足条件输出的＝63，∴“？”处应填上i>＝ 7. 故选 B.6464n i S64核心规律1．在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，则只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论，则必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行多次重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律，则必须引入变量，应用循环结构．2．利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．满分策略1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．2．注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．3．赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如 Y＝ x，表示用 x 的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为 x＝ Y.因为后者表示用Y的值替代变量 x 的值.板块三启智培优·破译高考规范答题系列 5——解决程序框图问题的答题模板[2017 ·全国卷Ⅱ ] 执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－ 1，则输出的＝ ()SA． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5解题视点按部就班法是按照所给程序框图流程线的指向，逐个程序框运行，逐步进行运算，逐步检验，直至满足输出的条件，即可求得输出结果的方法．此种方法适用于处理运算次数不是很多的条件分支结构以及循环结构的程序框图．解析当 K＝1时， S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行 K＝ K＋1后， K＝2；当K＝2时， S＝－1＋1×2＝1， a＝－1，执行 K＝ K＋1后， K＝3；当K＝3时， S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行 K＝ K＋1后， K＝4；当K＝4时， S＝－2＋1×4＝2， a＝－1，执行 K＝ K＋1后， K＝5；当K＝5时， S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行 K＝ K＋1后， K＝6；当K＝6时， S＝－3＋1×6＝3，执行 K＝ K＋1后， K＝7>6，输出 S＝3.结束循环．故选B.答案B[ 答题模板 ]跟踪训练[2017 ·天津高考 ] 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出 N的值为()A． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3答案C解析第一次循环执行条件语句，此时N＝24,24能被3整除，则 N＝24÷3＝8.∵8≤3不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时N＝8,8不能被3整除，则N＝8－1＝ 7.∵7≤3不成立，∴ 入第三次循行条件句，此N＝7,7不能被3整除，N＝7－1＝ 6.∵6≤3不成立，∴ 入第四次循行条件句，此N＝6,6能被3整除，N＝6÷3＝2.∵2≤3成立，∴此出N＝2.故 C.板四模演·提能增分[ A基达]1 111．[2018 ·沈阳研] 要算1＋2＋3＋⋯＋2018的果，下面程序框中的判断框内可以填 ()A．n<2018?B．n≤2018?C．n>2018?D．n≥2018?答案B解析中所的程序框中的循构当型循，累加量初始0，数量1 11初始1，要求S＝ 0＋ 1＋2＋3＋⋯＋2018的，共需要算2018 次．故 B.2．中国古代数学著作《子算》中有一道算：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，物几何？”人把此目称“中国剩余定理”．若正整数 N除以正整数m后的余数n， N≡ n(mod m)，例如11≡2(mod 3)．将以程序框出，行程序框，出的n 等于()2019 版高考数学一轮复习全册学案A． 21 B ． 22 C ． 23 D ． 24答案C解析当 n＝21时，21被3整除，执行否．当n＝22时，22除以3余1，执行否；当n＝23时，23除以3余2，执行是；又 23 除以 5 余 3，执行是，输出的n＝23.故选C.3．[2017 ·全国卷Ⅰ] 如图所示的程序框图是为了求出满足3n－ 2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1000？和n＝n＋ 1B．A>1000？和n＝n＋ 2C．A≤1000？和n＝n＋ 1D．A≤1000？和n＝n＋ 2答案D解析因为题目要求的是“满足3n－ 2n＞ 1000 的最小偶数n”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“ n＝ n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出2019 版高考数学一轮复习全册学案n，所以内填入“ A≤1000？”．故选 D.4．[2018 ·汕头模拟] 若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是 ()A．k<6? B ．k<7? C ．k<8? D ．k<9?答案C解析根据程序框图，运行结果如下：第一次循环： S＝log23， k＝3；第二次循环： S＝log23·log34， k＝4；第三次循环： S＝log23·log34·log45，k＝5；第四次循环： S＝log23·log34·log45·log56， k＝6；第五次循环： S＝log23·log34·log45·log56·log67， k＝7；第六次循环： S＝log23·log34·log45·log56·log67·log78＝log28＝3，k＝8，故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k<8.故选C.5．[2018 ·汉中模拟] 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则 x 的可能值的个数为()A． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个答案C解析分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y ＝x2， x≤2，2x－ 3， 2<x≤5，的值，1x，x>5又∵输入的x 值与输出的 y 值相等，当x≤2时， x＝x2，解得 x＝0，或 x＝1，当2<x≤5时，x＝ 2x－ 3，解得x＝3，1当 x>5时， x＝x，解得 x＝±1(舍去)，故满足条件的x 值共有3个．故选 C.6．已知 [ x] 表示不超过x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为 2.4，则输出 z 的值为()A ． 1.2B ． 0.6C ． 0.4D ．－ 0.4 答案 D解析入 x ＝2.4 ， y ＝ 2.4， x ＝[2.4] － 1＝ 1>0，∴ x ＝y ＝ 1.2 ；y ＝ 1.2 ，x ＝ [1.2] －1＝ 0，∴ x ＝ y＝ 0.6 ；y ＝ 0.6 ，x ＝ [0.6] － 1＝－ 1<0，2 2z ＝ x ＋ y ＝－ 1＋ 0.6 ＝－ 0.4. 故 D.7．[2018 ·湖南模] 出 30 个数： 1,2,4,7,11，⋯，要 算30 个数的和， 已出了 的程序框 如 所示，那么框 中判断框① 和 行框② 分 填入()A ． i ≤30？； p ＝ p ＋ i － 1B ． i ≤31？； p ＝ p ＋ i ＋ 1C ． i ≤31？； p ＝ p ＋ iD ． i ≤30？； p ＝ p ＋ i答案D2019 版高考数学一轮复习全册学案解析由于要算30 个数的和，故循要行30 次，由于循量的初1，步1，故30，即①中填写 i ≤30；又由第 1 个数是 1，第 2 个数比第 1 个数大 1，即 1＋ 1＝ 2；第 3 个数比第 2 个数大 2，即 2＋ 2＝ 4；第 4 个数比第 3 个数大 3，即 4＋ 3＝ 7；⋯⋯故②中填写p＝ p＋ i .故 D.18．[2017 ·江高考] 下是一个算法流程．若入x 的16，出y 的是________．答案－ 2111解析入 x＝16，16≥1不成立，行y＝2＋log216＝2－4＝－2.出 y 的－2.9．[2018 ·黄模] 随机抽取某中学甲、乙两个班各10 名同学，量他的身高得身高数据的茎叶如，在本的20 人中，身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次A1， A2，A3， A4.如是本中身高在一定范内的人数的算法框．若中出的S＝18，判断框填________．2019 版高考数学一轮复习全册学案答案i <5？(或 i ≤4？)解析由于 i 从2开始，也就是统计大于或等于160 的所有人数，于是就要计算A2＋ A3＋A4，因此，判断框应填i <5？或 i ≤4？.10．已知a，b， c 为集合 A＝{1,2,3,4,5}中三个不同的数，通过如图所示的算法框图给出一个算法，输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是________．3答案5解析由算法知输出的 a 是 a，b，c 中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合 A＝{1,2,3,4,5}中选三个不同的数共有10 种取法： {1,2,3}， {1,2,4} ，{1,2,5}，{1,3,4} ， {1,3,5}，{1,4,5} ，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，满足条件3的有 6种，所求概率为5.[ B 级知能提升 ]1．[2017 ·山东高考 ] 执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的 x 的值为9，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为()。

12.5 数学归纳法考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取______时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥k 0，k ∈N *)时命题成立，证明当______时命题也成立． 2．应用数学归纳法时特别注意：(1)数学归纳法证明的对象是与______有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明3n≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( )．A ．n ＝1B ．n ＝2C ．n ＝3D ．n ＝42．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )．A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋233．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )．A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋144．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ＞1)”，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是__________．5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a na n ＋1，则数列的前5项为__________，猜想它的通项公式是__________．一、用数学归纳法证明恒等式【例1】 n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12).方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把n ＝k ＋1时的表达式拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明．请做演练巩固提升2二、用数学归纳法证明不等式【例2】 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)．(1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立； (2)令b n ＝a nn(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由． 方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立．请做演练巩固提升3三、用数学归纳法证明几何问题【例3】 用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．请做演练巩固提升1 四、归纳—猜想—证明【例4】 设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 方法提炼“归纳—猜想—证明的模式”，是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式．请做演练巩固提升5数学归纳法解题步骤要求【典例】 (14分)(2012湖北高考)(1)已知函数f (x )＝rx －x r＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1，求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.规范解答：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(4分)(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r≤rx ＋(1－r )．① 若a 1，a 2中有一个为0，则1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1, 于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得112b a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)， 即11112b ba a -≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即1212b b a a ≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2.②(8分)(3)(2)中命题的推广形式为：设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1212bba a …n bn a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．(10分)(ⅱ)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则1212bb a a …k bk a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是1212b b a a …11k k b b k k a a ++＝(1212b ba a …kb k a )11k b k a ++＝12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+….(12分)因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---…≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而1212b b a a (1)1k k b bk k a a ++≤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1·11k b k a ++.又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋111k b +-11k b k a ++≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1 ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而1212b b a a (1)1k k b bk k a a ++≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．(14分) 答题指导：解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：1．归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．2．证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．3．不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证． 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．1．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n 个圆将平面分成不同的区域有( )．A ．2n 个B ．2n个C ．n 2－n ＋2个D ．n 2＋n ＋1个2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )．A ．f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立4．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验的第一个值为n 0＝__________.5．设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)第一个值n 0(n 0∈N *) (2)n ＝k ＋1 2．(1)正整数 基础自测 1．C 2．C 3．D4．2n－1 解析：当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋1－1＜n ＋1，∴左边增加的项的项数为2n ＋1－1－2n ＝2n ＋1－1－2n ＝2n－1项． 5．12，13，14，15，16 a n ＝1n ＋1考点探究突破【例1】 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．【例2】 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立． 那么当n ＝k ＋1时，21k a +＝a k 2＋21k a ＋2＞2k ＋3＋21ka ＞2(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立．综上，a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)解：∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a nn＝211n a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·n n ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1·n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－14n ＋12＜1.故b n ＋1＜b n .【例3】 证明：(1)∵三角形没有对角线， ∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]．∴当n ＝k ＋1时命题成立，由(1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立． 【例4】 解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立， 即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2. 演练巩固提升1．C 解析：n ＝2时，分成4部分，可排除D ；n ＝3时，分成8部分，可排除A ；n ＝4时，分成14部分，可排除B ，故选C.2．B 解析：n 为正偶数，若n ＝k ，则下一个正偶数为n ＝k ＋2，故选B. 3．D 解析：f (4)≥16，说明当k ＝4时，f (k )≥k 2成立．f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，说明n ＝k 时f (n )≥n 2成立能推出n ＝k ＋1时，f (n )≥n 2成立，根据数学归纳法可得当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．4．4 解析：∵凸多边形要有对角线，至少也是四边形，∴n 0＝4. 5．证明：先证必要性． 设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3①两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ， 则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k＝k －1a 1a k，②1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，③将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1， 得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k .将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后， 得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d . 所以{a n }是公差为d 的等差数列．。

§13.5 复 数1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2——→＝OZ 2→－OZ 1→.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编2．[P106B 组T1]设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1， z ＝i －11＋i ＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1.3．[P112A 组T2]在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．[P116A 组T2]若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1答案 A解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.题组三 易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0，∴θ为第二象限角，故选B.7．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________.答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.题型一 复数的概念1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )， z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0，故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0， 故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.2．(2018·长春调研)若复数z 满足i(z －3)＝－1＋3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为( )A ．6B ．1C ．－1D ．－6答案 A解析 ∵i z －3i ＝－1＋3i ，∴i z ＝－1＋6i ， ∴z ＝6＋i ，故z 的实部为6.3．(2017·河南六市联考)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______. 答案 －23解析 由2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i5，得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23.4．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．题型二 复数的运算命题点1 复数的乘法运算典例 (1)(2018·长春质检)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 答案 A解析 ∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z 2的对应点的坐标为(－2,1)， 即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. (2)复数i(2－i)等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 A解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.(3)(2017·江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 答案10解析 方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2 ＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 命题点2 复数的除法运算典例 (1)(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 D解析 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.(2)(2016·全国Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算典例 (1)(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2. 故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C.(2)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.(3)(2016·全国Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的． 跟踪训练 (1)(1＋i )3(1－i )2等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i＝1－ii＝－1－i.故选D.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． (2)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________. 答案22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i 解析 －23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i.题型三 复数的几何意义典例 (1)(2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B. (2)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(3)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z2－i ＝x －2i2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.2．(2017·济宁一模)已知i 为虚数单位，则z ＝i1－2i 在复平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 z ＝i 1－2i ＝i (1＋2i )1－(2i )2＝－2＋i 5＝－25＋i 5，其对应的点⎝⎛⎭⎫－25，15位于第二象限．3．(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 等于( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3答案 A解析 ∵z ·z ＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2.∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3＝2， ∴a ＝±1.故选A.4．(2017·河北保定定兴三中月考)“复数z ＝3－a i i(a ∈R )在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 z ＝3－a i i ＝(3－a i )(－i )－i·i＝－a －3i. ∵z 在复平面内对应的点在第三象限，∴－a <0，解得a >0.∴“复数z ＝3－a i i在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的充分不必要条件．故选A.5．(2017·河北省三市联考)若复数z ＝a ＋3i i＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )A ．－4B ．－3C ．1D ．2 答案 A 解析 因为z ＝a ＋3i i ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a <0，－a >0， 解得a <－3，故选A.6．(2018·枣庄模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22答案 D解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.7．(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为________． 答案 －2解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5 ＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2. 8．(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i.得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2. 解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.9．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．10．(2018·唐山质检)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝______，c ＝______.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧ (1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ， ∴b ＝－2，c ＝3.11．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 答案 3解析 3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i] ＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝3. ∴a ＋b ＝3.12．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案 3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.13．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则a b的值为________． 答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 14．(2017·辽宁朝阳三校协作体联考)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.答案 14解析 由z ＝3＋i－2(1＋3i )＝－34＋14i ， 得z ＝－34－14i ， 所以z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ·⎝⎛⎭⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 15．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．答案 1解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，根据OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝2， ∴λ＋μ＝1.16．(2018·广州质检)已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0， 所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2， 即m ∈(－∞，－2)．17．若a 1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案 5解析 ∵a ，b ∈R ，且a 1－i＝1－b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 18．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________. 答案 －2解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝(1－i )22＝－i ， 所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 12 0＝－2. 19．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________． 答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合{f (n )}中共有3个元素．20．(2018·济南调研)若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i.∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

第2节算法初步基础巩固(时间:30分钟)1.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( B )(A)15 (B)105(C)245 (D)945解析:逐次计算的结果是T=3,S=3,i=2;T=5,S=15,i=3;T=7,S=105,i=4,此时输出的结果为S=105.故选B.2.执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s∈( A )(A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5]解析:当-1≤t<1时,s=3t,则s∈[-3,3).当1≤t≤3时,s=4t-t2.函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.所以s∈[3,4].综上知s∈[-3,4].故选A.3.(2017·郴州市二模)秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( C )(A)35 (B)20 (C)18 (D)9解析:输入n,x的值分别为3,2,v初始化赋值为1,则i=2,满足循环控制条件,执行循环体得v=4,i=1;仍然满足循环控制条件,继续执行循环体得v=9,i=0,还满足循环控制条件,再执行循环体得v=18,i=-1,此时不满足进行循环控制条件,退出循环,输出的v值为18.故选C. 4.(2017·南昌市一模)执行如图所示的程序框图,输出S的值为( B )(A)log210-1 (B)2log23-1(C) (D)6解析:由于log2= [log2(i+1)-log2i],所以程序运行可得:当i=7时,进入循环,有S=3+[l o g2+l o g2+…+l o g2]=3+ [(log22-log21)+(log23-log22)+…+(log28-log27)]=,当i=8时退出循环,输出S=log2=2log23-1.故选B.5.(2017·柳州市、钦州市一模)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a等于( B )(A)0 (B)2 (C)4 (D)14解析:执行程序框图,可得a=14,b=18,满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=4;满足条件a≠b,满足条件a>b,a=10;满足条件a≠b,满足条件a>b,a=6;满足条件a≠b,满足条件a>b,a=2;满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=2;不满足条件a≠b,输出a的值为2.故选B.6.如图是一个程序框图,则输出的n的值是( A )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由程序框图知,第一次循环p=20,q=1,n=2,第二次循环p=10,q=4,n=3,第三次循环p=,q=9,n=4,符合4p<q2,所以输出n=4,故选A.7.(2017·菏泽市一模)执行如图的程序框图,若输入k的值为3,则输出S的值为.解析:执行如图所示的程序框图,如下;k=3,n=1,S=1,满足条件2S<kn,执行循环体,n=2,S=;满足条件2S<kn,执行循环体,n=3,S=;满足条件2S<kn,执行循环体,n=4,S=;满足条件2S<kn,执行循环体,n=5,S=;不满足条件2S<kn,终止循环,输出S的值为.答案:8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x2+y2=10内有个.解析: 依题意,执行题中的程序框图,打印的点的坐标依次为(-3,6),(-2,5),(-1,4),(0,3),(1,2),(2,1),其中点(0,3),(1,2),(2,1)位于圆x2+y2=10内,因此打印的点位于圆x2+y2=10内的共有3个.答案:3能力提升(时间:15分钟)9.(2017·湖北八校高三第二次联考)若如图框图所给的程序运行结果为S=41,则图中的判断框①中应填入的是( C )(A)i>6? (B)i≤6?(C)i>5? (D)i<5?解析:第1次循环,S=11,i=9,第2次循环,S=20,i=8,第3次循环,S=28,i=7,第4次循环,S=35,i=6,第5次循环,S=41,i=5.因此S满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为i>5.故选C.10.执行如图所示的程序框图,如果输入a=2,b=2,那么输出的a值为( C )(A)4 (B)16(C)256 (D)log316解析:log32>4不成立, 执行第一次循环,a=22=4;log34>4不成立,执行第二次循环,a=42=16;log316>4=log334=log381不成立,执行第三次循环,a=162=256;log3256>4=log381成立,跳出循环体,输出a的值为256.故选C.11.(2017·龙岩质检)如图所示的程序,若最终输出的结果为,则在程序中横线处应填入的语句为( B )S=0n=2i=1DOS=S+1/nn=2*ni=i+1LOOP UNTIL ?PRINT SEND(A)i>=8 (B)i>=7 (C)i<7 (D)i<8解析:S=0,n=2,i=1,执行S=,n=4,i=2;S=+=,n=8,i=3;S=+=,n=16,i=4;S=+=,n=32,i=5;S=+=,n=64,i=6;S=+=,n=128,i=7.此时满足条件输出的S=,所以“?”处应填上i>=7.故选B.12.关于函数f(x)=的程序框图如图所示,现输入区间[a,b],则输出的区间是.解析:由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0,当f(x)=cos x,x∈[-1,1]时满足.然后进入第二个判断框,需要解不等式f′(x)=-sin x≤0,即0≤x≤1.故输出区间为 [0,1].答案:[0,1]13.(2017·揭阳市一模)如图所示的流程图,输入正实数x后,若输出i=4,那么输入的x的取值范围是.解析:设输出的x=a,当i=0时,应满足进行循环的条件,i=1,j=10+a;当i=1时,应满足进行循环的条件,i=2,j=10+2a;当i=2时,应满足进行循环的条件,i=3,j=10+3a;当i=3时,应满足进行循环的条件,i=4,j=10+4a;当i=4时,应不满足进行循环的条件,故10+3a<19,且10+4a≥19,解得≤x<3.答案:[,3]·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1),在样本的20人中,记身高在[150,160),[160,170),[170,180),[180,190]的人数依次为A1,A2,A3,A4.如图(2)是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图.若图中输出的S=18,则判断框应填.解析:由于i从2开始,也就是统计大于或等于160的所有人数,于是就要计算A2+A3+A4,因此,判断框应填i<5?或i≤4?. 答案:i<5?(或i≤4?)。

2019年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）逻辑、推理与证明、复数、框图一．【课标要求】1．常用逻辑用语（1）命题及其关系① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；（2）简单的逻辑联结词通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义.（3）全称量词与存在量词① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.2．推理与证明（1）合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基式，并能运用它们进行一些简单推理；③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；（4）数学文化①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想；②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用；3．数系的扩充与复数的引入（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；（3）了解复数的代数表示法及其几何意义；（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

12.2 基本算法语句考纲要求理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．1．输入语句(1)输入语句的一般格式：______________________.(2)注意事项：“提示内容”与变量之间用“；”隔开，“提示内容”之间用“，”隔开，各变量之间也用“，”隔开，最后一个变量的后面不能加标点符号．2．输出语句(1)输出语句的一般格式：______________________.(2)输出语句中的“提示内容”与表达式之间必须用“；”隔开，“提示内容”之间用“，”隔开，各变量之间也用“，”隔开，最后一个表达式的后面不能加标点符号．输出语句可以输出常量、变量的值以及系统信息．3．赋值语句(1)赋值语句的一般格式：____________.(2)在研究问题的过程中可以取不同数值的量称为______，把一个值a赋给变量b的过程称为______，“____”为赋值符号．注意事项：赋值号“＝”左边只能是变量名，右边是表达式，左右边不能交换；每一个赋值语句只能出现一次“＝”，即只能给一个变量赋值．赋值号“＝”的理解：把右边的数值赋给左边的变量或计算右边表达式的值并把计算结果赋给左边的变量．4．条件语句(1)IF—THEN—ELSE语句的一般格式：(2)IF—THEN语句的一般格式：5．循环语句(1)UNTIL语句的一般格式：(2)WHILE语句的一般格式：1．执行PRINT “2＋2 008＝”；2＋2 008的输出结果是( )． A ．2 010 B ．2＋2 008＝2＋2 008 C ．2＋2 008＝2 010 D ．2 010＝2 010 2．下列语句是正确的赋值语句的是( )． A ．5＝x B ．x ＋y ＝3 C ．x ＝y ＝－2 D ．y ＝y *y3．(2012沈阳模拟)如图程序输出的结果是( )．a ＝3b ＝4 a ＝bb ＝a abA ．3,4B ．4,4C ．3,3D ．4,3 4．当a ＝1，b ＝3时，执行完下面一段过程后x 的值是__________．IF a<b THEN x ＝a ＋b ELSE x ＝a －b ENDIF一、输入、输出和赋值语句【例1】写出下列语句的输出结果： (1)a ＝5b ＝3c ＝＋d ＝PRINT “d＝”；d(2)a ＝1b ＝2c ＝a ＋b b ＝a ＋c －bPRINT “a＝，b ＝，c ＝”；a ，b ，c方法提炼1．输入、 输出、赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句．一个输出语句可以输出多个表达式的值．在赋值语句中，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换．2．一个赋值语句只给一个变量赋值，但一个语句行可以写多个赋值语句． 3．不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、分解因式、解方程等)．4．编写程序的关键在于搞清问题的算法，特别是算法的结构，然后确定采取哪一种算法语句．5．编写程序时，要注意常见运算符号的书写方式如a ^b (a b)；a*b (a ×b )；a /b (a b)；SQR(x )(x )；ABS(x )(|x |)；a \b (a 除以b 的整数商，如5\2=2；a MOD b (a 除以b 的余数，如5 MOD2=1)等，还要明确它们的运算规则：先乘除，后加减；乘幂优于乘除；函数优于乘幂；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先，多层括号则从内到外依次进行〔注意表达式中的括号一律用小括号“()”〕.请做演练巩固提升2 二、条件循环语句【例2】 (2012东北三校模拟)下面程序运行的结果为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7 方法提炼1．在用WHILE 语句和UNTIL 语句编写程序解决问题时，一定要注意它们的格式及条件的表述方法．WHILE 语句中是当条件满足时执行循环体，而UNTIL 语句中是当条件不满足时执行循环体．2．在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题时，应考虑利用循环语句来实现．3．在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时要注意嵌套这些语句应保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行．请做演练巩固提升1不理解算法语句的功能及格式易致误【典例】 (2012湖南衡阳模拟)下面程序运行后输出的结果为( )．a ＝0；j ＝1；WHILE j<＝5 a ＝＋； j ＝j ＋1；END aA ．0B ．1C ．2D ．4 解析：当j ＝1时，余数a ＝1；当j ＝2时，余数a ＝3；当j ＝3时，余数a ＝1； 当j ＝4时，余数a ＝0；当j ＝5时，余数a ＝0； 当j ＝6时，不满足条件，此时退出循环． 答案：A答题指导：1.在解答本题时，易错选D 而导致错误，错误原因是：对循环过程不理解，误认为j ＝1时，余数a ＝0，即j ＝1时，没有执行第一次循环．其错误过程如下：当j ＝1时，余数a ＝0；当j ＝2时，余数a ＝2；当j ＝3时，余数a ＝0；当j ＝4时，余数a ＝4；当j ＝5时，余数a ＝4.2．解决算法语句的有关问题时，还有以下几点易造成失误，备考时要高度关注： (1)对基本算法语句的功能及格式要求不熟悉．(2)条件语句中的嵌套结构混乱，不能用分段函数的形式直观描述． (3)对循环结构的循环过程把握不准．1．下面程序运行的结果为( )．n ＝10S ＝100DOS ＝S －nn ＝n －1LOOP UNTIL S<＝70PRINT nENDA ．4B ．5C ．6D ．72．(2012黑龙江大庆模拟)以上表示的函数表达式是__________．3.运行如图所示的程序，输出的结果是__________．a ＝1b ＝2a ＝a ＋b PRINT a END4．完成下列程序，输入x 的值，求函数y ＝|8－2x 2|的值．①__________，②__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)INPUT “提示内容”；变量 2．(1)PRINT “提示内容”；表达式 3．(1)变量＝表达式 (2)变量 赋值 ＝ 基础自测1．C 解析：这是一个计算2＋2 008的值的简单程序，输出的结果是2＋2 008＝2 010. 2．D 解析：赋值语句中“＝”的左右两边不能互换，不能给常量赋值，左边必须是变量，右边是表达式，故A ， B 错．C 错，一个赋值语句只能给一个变量赋值．D 正确，该语句的功能是将当前的y 平方后赋给变量y .3．B 解析：程序主要为赋值．a ＝b ，则a ＝4，b ＝a ＝4.4．4 解析：x ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，a <b ，a －b ，a ≥b .∵a ＝1，b ＝3，满足a ＜b ， ∴x ＝1＋3＝4. 考点探究突破【例1】 解：(1)∵a ＝5，b ＝3，∴c ＝a ＋b 2＝4，d ＝c 2＝16，即输出d ＝16.(2)∵a ＝1，b ＝2，∴c ＝1＋2＝3，b ＝1＋3－2＝2，故输出a ＝1，b ＝2，c ＝3.【例2】 C 解析：第一次执行后，S ＝100－10＝90，n ＝10－1＝9；第二次执行后，S ＝90－9＝81，n ＝9－1＝8；第三次执行后，S ＝81－8＝73，n ＝8－1＝7；第四次执行后，S ＝73－7＝66，n ＝7－1＝6.此时S ＝66≤70，结束循环，输出n ＝6. 演练巩固提升1．C 解析：该程序依次运行的结果为S ＝90，n ＝9； S ＝81，n ＝8；S ＝73，n ＝7；S ＝66，n ＝6. 此时程序结束，故输出n 的值为6.2．y ＝⎩⎨⎧2x －3，x ≤2x ，x >2解析：当x ≤2时，y ＝2x －3；当x ＞2时，y ＝x .3．3 解析：a ＝1，b ＝2， a ＝a ＋b ＝1＋2＝3. ∴输出的结果为3.4．①x＞＝－2 AND x ＜＝2 THEN ②y＝8－2*x^2。